一元二次不等式及其解法【教材分析】本节课内容的地位体现在它的基础性，作用体现在它的工具性．一元二次不等式的解法是初中一元一次不等式或一元一次不等式组的延续和深化，对已学习过的集合、函数等知识的巩固和运用具有重要作用，也与后面的线形规划、直线与圆锥曲线以及导数等内容密切相关，许多问题的解决都会借助一元二次不等式的解法．因此，一元二次不等式的解法在整个高中数学教学中具有很强的基础性，体现出很大的工具作用．【教学目标】1．正确理解一元二次方程、二次函数与一元二次不等式的关系，掌握一二次不等式的解法．2．通过看图象找解集，培养学生“从形到数”的转化能力和从“特殊到一般”的归纳能力．【核心素养】1．数学抽象：一元二次不等式的概念．2．逻辑推理：经历从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程和通过函数图象探究一元二次不等式与相应函数、方程的联系，获得一元二次不等式的解法．3．数学运算：解一元二次不等式．4．直观想象：利用二次函数图像分析一元二次不等式的解集，直观的解释不等式解集的正确性．5．数学建模：激发学习数学的热情，培养勇于探索的精神，勇于创新精神，同时体会事物之间普遍联系的辩证思想．【教学重难点】1．教学重点：一元二次不等式的解法2．教学难点：理解一元二次方程、二次函数与一元二次不等式的关系【课前准备】PPT【教学过程】1．知识引入汽车在行驶过程中，由于惯性的作用，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住，一般称这段距离为“刹车距”．刹车距S（单位：m）与车速弑单位：km/h）之间具有确定的函数关系，不同车型的刹车距函数不同．它是分析交通事故的一个重要依据．甲、乙两辆汽车相向而行，由于突发情况，两车相撞．交警在现场测得甲车的刹车距接近但未超过12m，乙车的刹车距刚刚超过10m．已知这两辆汽车的刹车距函数如下：200101sxx甲..，20005005sxx乙..，车速超过40km/h属违章．试问：哪一辆车违章超速行驶？由题意，只需分另解出使不等式20.010.112xx和20.0050.0510xx＞成立的x的取值范围，再确认两车的行驶速度，就可以判断哪一辆车违章超速行驶．一般地，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式叫作一元二次不等式．通常，它们都可以化为20axbxc＞的形式，其中a，b，c均为常数，且0a．使一元二次不等式成立的所有未知

一元二次不等式的应用【教学分析】一元二次不等式在实际生活中有着广泛分应用，通过学习本节的内容，使学生体验从实际情景中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义，初步掌握数学建模的基本过程，培养学生数学抽象能力，为高中数学学习做好学习方法和知识技能等方面的准备。【教学目标】掌握一元二次不等式在实际应用问题中的应用；初步掌握解决实际问题的一般步骤；不等式的综合问题。【核心素养】利用一元二次不等式的相关知识解决实际应用问题，提高学生数学抽象和数学建模能力。【教学重难点】1．一元二次不等式在实际应用问题中的应用；2．初步掌握解决实际问题的一般步骤。【课前准备】多媒体课件【教学过程】一、复习引入上一节“思考讨论”中，关于“刹车距”的问题：刹车距s（单位m）与车速x（单位km/h）之间有函数关系：20.0050.05sxx一车的刹车距超过10m，道路限速40km/h，这辆车是否超速？提示：由题意，列出不等式20.0050.0510xx＞，解得50x＜(舍去)或40x＞；所以该车超速。例5：某农家院有客房20间，日常每间客房日租金为80元，每天都客满。该农家院欲提髙档次，并提高租金。经市场调研，每间客房日租金每增加10元，客房出租数就会减少1间。每间客房日租金不得超过130元,要使每天客房的租金总收入不低于1800元，该农家院每间客房日租金提高的空间有多大？解：设每间客房日租金提高x个10元，即每间客房日租金提高到8010x元，则客房出租数减少x间，此时客房的租金总收入为801020xx元．又因为每天客房的租金总收入不低于1800元，所以8010201800xx化简：212200xx，解得210x所以2010100x由题意可知：每间客房日租金不得超过130元，即8010130x，所以1050x。因此，该农家院每间客房日租金提高的空间是20〜50元．例6：为鼓励大学毕业生自主创业，某市出台了相关政策：由政府协调，本市企业按成本价提供产品给大学毕业生自主销售，成本价与出厂价之间的差价由政府承担。袁阳按照相关政策投资销售本市生产的一种新型节能灯，已知这种节能灯的成本价为每件10元，出厂价为每件12元，每月的销售量y（单位：件）与销售单价x（单位：元）之间的关系近似满足一次函数：10500yx（1）设袁阳每月

生活中的变量关系【教材分析】现实世界充满着变量，一些变量之间存在着依赖关系，函数是揭示变量间依赖关系的重要的数学概念，它是现代数学最基本的概念，在解决实际问题中发挥着重要作用．本节内容主要学生更好的认识到生活处处有数学，只要做个有心人，我们可以随时随地学习数学【教学目标与核心素养】一、教学目标：1．通过生活中的实际例子，引起学生积极的思考和交流，从而认识到生活中处处可以遇到变量间的依赖关系．能够利用初中对函数的认识，了解依赖关系与函数关系的联系与区别。2．培养学生类比分析问题的能力，并通过对现实生活中依赖关系的观察、分析归纳和比较来提高学生的实践能力．二、核心素养1．数学抽象：初中对函数概念的理解2．逻辑推理：借助初中所学的变量之间的关系，分析生活中变量的关系，将函数运用于实际生活中，更能体现数学知识无处不在3．数学运算：根据变量之间的关系，列出相应函数关系式，从而解决实际问题4．直观想象：通过有些函数图像的画法，了解什么是分段函数。5．数学建模:利用函数变量的关系，对于生活中，牵扯到有关变量的实际问题，我们都可以构建数学模型，更好的解决一些问题。【教学重点】在于让学生领悟生活中处处有变量，变量之间充满了关系【教学难点】依赖关系和函数关系的差别【教学准备】PPT【教学过程】1.知识探究：例1：图2-1是某高速公路加油站的图片，加油站在地下常用圆柱体储油罐储存汽油等燃料．储油罐的长度d、截面半径r是常量，油面高度h，油面宽度w、储汕量V是变量．思考：V，h，w之间是否具有关系结论：储油量V与油面高度h存在着依赖关系，也与油面宽度w存在着依赖关对于油面高度h的每一个取值，都有唯一的储油量V和它对应．但是，取一个油面宽度w的值，却对应着两个储汕量V例2自2008年京津城际列车开通运营以来，高速铁路在中国大陆迅猛发展．截至2017年年底，中国高铁运营里程突破25000km．图2-2表示的是中国高铁年运营里程的变化．思考：高铁运营里程与年份的关系结论：观察图2-2，不难看出：（1）随着时间的变化，高铁运营里程在变化，它与年份存在着依赖关系；（2）从2008年到2017年，高铁年运营里程是不断增加的，与前一年相比，2014年增长得最多同学回顾初中如何定义函数概念：有两个变量x和y，对于变量x的每一个值，变量y都有唯一确定的值和它对应，那么y就是x的函数，其中x是自变量，y是因变

函数的概念【教材分析】函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型．高中阶段不仅把函数看成变量之间的依赖关系，同时还用集合与对应的语言刻画函数，高中阶段更注重函数模型化的思想．【教学目标】1．通过丰富实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；2．会求一些简单函数的定义域和值域；3．能够正确表示某些函数的定义域；【核心素养】1．数学抽象：借助集合语言，抽象的概述函数的概念2．逻辑推理：根据初中的函数概念，掌握函数变量之间的基本特性，从而引导学生用高中集合的语言对函数的概念重新定义。3．数学运算：求函数的定义域；会判断两个函数是否为同一函数；求函数值4．直观想象：对于函数的定义域，可以直观理解为是满足函数有意义的所有自变量组成的集合。5．数学建模:通过对函数的重新定义，让学生了解到如何借助集合的语言可以抽象的概述出函数的定义，这样不仅让学生学会建立数学知识间的关联，也可以将这种数学思想运用于实践中。【教学重点】理解函数的模型化思想，用集合与对应的语言来刻画函数【教学难点】符号“yfx”的含义，函数定义域和值域的区间表示【课前准备】PPT【教学过程】1．知识引入初中学习了三个重要的函数类型:一次函数ykxb、一元二次函数2yaxbxc和反比例函数kyx，其中k,a,b,c为常数，0,0ka．对于每一个x的取值，都有唯一确定的y值和它对应，这是函数的基本特征．2．函数概念抽象概述：给定实数集R中的两个非空数A和B,如果存在一个对应关系f使对于A中的每一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就把对应关系f叫作定义在A上的一个函数，记作y=f(x)其中集合A叫作函数的定义域,x叫作自变量，与x值对应的y值叫作函数值，集合{()|}fxxΑ叫作函数的值域．【重点强调】1．函数是建立在数与数之间的对应关系2．对应关系指对应的结果，而不是对应过程3．“yfx”是函数符号，可以用任意的字母表示，如“ygx”4．函数符号“yfx”中的fx表示与x对应的函数值【知识扩充】函数的三要数：定义域，解析式，值域3．如何判断两个函数是同一函数方法:1．判断两个函数定义域是否相同;2．判断两个函数解析式是否一样同时满足以上两个条件，即为同意函数

函数的概念【学习目标】（1）理解函数的概念（2）掌握函数定义域的求法【学习重点】理解函数的模型化思想，用集合与对应的语言来刻画函数。【学习难点】符号“yfx”的含义，函数定义域和值域的区间表示。【学习过程】一、课前诊断1．给定实数集R中的两个______A和B,如果存在一个对应关系f使对于A中的_______，在集合B中都有________________，那么就把对应关系f叫作定义在A上的一个函数，记作yfx其中集合A叫作函数的________,x叫作自变量，与x值对应的y值叫作_______，集合{()|}fxxA叫作函数的_______．2．函数的三要素：_______________3．判断两个函数是同一个函数的方法：________________二、实践研究1．下列从集合M到集合N的对应关系中，其中y是x的函数的是（）A．|MxxZ＝，|NyyZ＝，对应关系:fxy，其中2xyB．{|}0MxxxR＝＞，，|NyyR＝，对应关系:fxy，其中2yxC．|MxxR＝，|NyyR＝，对应关系:fxy，其中2yxD．|MxxR＝，|NyyR＝，对应关系:fxy，其中2．下列四组中的fx（），gx（）表示同一个函数的是（）A．1fx（），0gxx（）B．1fxx（），2()1xgxxC．2()fxx，33()gxxD．fxx（），,0(),0xxgxxx＞3．已知函数21fx（）的定义域为（0，1），则函数13fx（）的定义域是（）A．1,12B．10,3C．（-1，1）D．20,3【课后巩固】1．对于集合02|Axx，03|Byy，则由下列图形给出的对应f中，能构成从A到B的函数的是（）ABCD2．对于函数yfx（），以下说法正确的有（）①y是x的函数；②对于不同的x，y的值也不同；③fa（）表示当xa时函数f（x）的值，是一个常量；④fx（）一定可以用一个具体的式子表示出来．A．1个B．2个C．3个D．4个3．已知函数21fx（）的定义域为（0，1），则函数13fx（）的定义域是（）A．1,12B．10,3C．（-1，1）D．20,34．已知函数21yf

函数的表示法【教材分析】根据函数的定义，函数有三种最常用的表示法：解析法、列表法、图象法，这三种表示法在体现函数性质方面各有优势，根据不同情况采用适当的函数表示形式，有助于深入理解相关函数的性质，养成运用函数知识解决实际问题的习惯。掌握函数三种形式的相互转换，为进今后学习新的函数（指数函数、对数函数等）的性质做好知识和方法准备。【教学目标与核心素养】1．知识目标：掌握函数的三种表示法：解析法、列表法、图象法；灵活运用函数的三种表示法研究函数的性质；熟练作出部分常见函数（分段函数、取整函数、绝对值函数等）的图象；掌握函数的相关运算、函数解析式的求解方法等。2．核心素养目标：熟练掌握函数的三种表示法，利用函数图象研究函数性质，提高学生的数学运算能力和直观想象能力。【教学重难点】1．函数的三种表示法：解析法、列表法、图象法；2．准确作出部分常见函数（分段函数、取整函数、绝对值函数等）的图象；3．函数的相关运算、函数解析式的求解方法等。【课前准备】多媒体课件【教学过程】一、知识引入提到“函数”，同学们立刻想到的是什么？可能是初中学过的形如“ykx、yaxb、2yaxbxc”，这些正比例函数、一次函数、二次函数⋯等等。这些都是解析式形式的函数。思考讨论：如图，是我国最大的水库——三峡水库上游某个地区年降雨量的统计图，图中表示了年号与降雨量之间的对应关系，那么它们是不是函数关系呢？能不能用精确的解析式表示呢？提示：是函数关系，但没有精确的函数解析式。二、新知识函数的三种表示法：解析法、列表法、图象法将变量的函数关系用代数式表示，是函数表示方法的解析法；用表格给出变量之间的函数对应关系，是函数表示方法的列表法；用图形给出变量之间的函数对应关系，是函数表示方法的图象法。上图分别是用列表法、图象法表示的列车时刻表和成绩变化图。注意：①函数的三种表示法各有优势．解析法：变量之间的关系明确，便于精确计算，但不够直观，某些函数无法用解析式表示；列表法：变量之间的对应关系直观、明了，不需计算，但数据量有限；图象法：直观地显示出变量的关系、变化规律和函数的性质，使抽象的函数具体化，但无法进行精确运算，如求函数定义域、求精确的函数值等。②灵活运用函数的三种表示法，可以清楚、全面的了解函数的性质．“描点法”作函数图象的一般步骤：解析式（得到函数定义域等），列表（算出一些对应值），描点连

函数的单调性和最值【第一课时】【教材分析】函数的单调性和最值的第一课时，主要学习用数学语言刻画函数的变化趋势（单调性的定义）及简单的应用，是学习函数概念后研究的第一个、也是最基本的一个性质，对于分析函数性质、求函数最值、比较大小、解不等式、函数零点的判定以及其他函数综合问题等，都有重要的应用，掌握函数单调性的定义和应用，为学习幂函数、指数函数、对数函数，包括导函数等做好准备。【教学目标与核心素养】1．知识目标：利用图象判断函数的单调性、寻找函数的单调区间；掌握函数的单调性的定义，用定义证明函数的单调性，及作差结果符号的判断方法；熟悉常见函数（绝对值函数、二次函数、分段函数等）的单调性及简单应用。2．核心素养目标：通过函数单调性的概念的学习和简单的应用，体会数形结合、分类讨论等基本的数学思想方法，提高学生的数学运算和直观想象能力。【教学重难点】（1）利用函数的图象判断单调性、寻找函数单调区间；（2）函数的单调性的定义，用定义证明函数的单调性的方法，及作差结果符号的判断方法；（3）常见函数（绝对值函数、二次函数、分段函数等）的单调性及简单应用。【课前准备】多媒体课件【教学过程】一、知识引入初中学习了一次函数ykxb的图象和性质，当0k＞时，直线是向右上，即函数值y随x的增大而增大，当0k＜时，直线向右下，即函数值y随x的增大而减小。同样二次函数、反比例函数等，也有类似的性质。思考讨论：（1）如图，是某位同学从高一到高三上学期的考试成绩的统计图，从图中，你可以得出该同学成绩是怎样变化的呢？提示：高一时成绩在下降，高一下期期末降到最低名次32名，以后各次考试成绩逐步提高，到高三上期时已经进入前五名。（2）如图，是函数6,9fxx（）的图象，说出在各个区间函数值fx随x的值的变化情况。提示：在区间6,52,13,4.57,8、、、上，函数值fx都是随x的值的增大而增大；在区间5,21,34.5,78,9、、、上，函数值f(x)都是随x的值的增大而减小。二、新知识一般地，在函数yfx定义域内的一个区间A上。如果对于任意的12,xxA，当12xx＜时，都有12fxfx＜，那么就称函数yfx在区间A上是增函数或递增的；如果对于任意的12,xxA，当12xx＜时，都有12fxfx＞，那么

函数的单调性和最值【第一课时】【学习目标】（1）利用图象判断函数的单调性、寻找函数的单调区间；（2）掌握函数的单调性的定义，用定义证明函数的单调性，及作差结果符号的判断方法；（3）熟悉常见函数（绝对值函数、二次函数、分段函数等）的单调性及简单应用。【学习重难点】（1）利用函数的图象判断单调性、寻找函数单调区间；（2）函数的单调性的定义，用定义证明函数的单调性的方法，及作差结果符号的判断方法；（3）常见函数（绝对值函数、二次函数、分段函数等）的单调性及简单应用。【学习过程】一、知识引入初中学习了一次函数𝑦=𝑘𝑥+𝑏的图象和性质.当𝑘>0时，直线是向右上，即函数值𝑦随𝑥的增大而__________，当𝑘<0时，直线向右下，即函数值𝑦随𝑥的增大而__________。思考讨论：（1）如图，是某位同学从高一到高三上学期的考试成绩的统计图，从图中，你可以得出该同学成绩是怎样变化的呢？（2）如图，是函数𝑓(𝑥)（𝑥∈[−6,9]）的图象，说出在各个区间函数值𝑓(𝑥)随𝑥的值的变化情况.二、新知识一般地，在函数𝑦=𝑓(𝑥)定义域内的一个区间𝐴上.如果对于任意的𝑥1,𝑥2∈𝐴，当𝑥1<𝑥2时，都有___________，那么就称函数𝑦=𝑓(𝑥)在区间𝐴上是增函数或递增的；如果对于任意的𝑥1,𝑥2∈𝐴，当𝑥1<𝑥2时，都有____________，那么就称函数𝑦=𝑓(𝑥)在区间𝐴上是减函数或递减的。注意：①函数𝑦=𝑓(𝑥)在区间𝐴上是增函数（减函数），那么就称函数在区间𝐴上是单调函数，或称在区间𝐴上具有单调性，区间𝐴称为函数𝑦=𝑓(𝑥)的单调区间。如：一元二次函数𝑓(𝑥)=𝑥2在区间[0,+∞）上是__________（单调递增），区间[0,+∞）是函数𝑓(𝑥)=𝑥2的__________区间；②增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的；③“函数在区间𝐴上单增”与“函数的单增区间是𝐴”两种叙述含义是不同的.如：函数𝑓(𝑥)=𝑥2−2𝑎𝑥−1的单调递增区间为[2,+∞），则对称轴𝑎__________；函数𝑓(𝑥)=𝑥2−2𝑎𝑥−1在区间[2,+∞）上单调递增，则对称轴𝑎__________.④函数𝑦=1𝑥的定义域为(−∞,0)∪（0,+∞），由

函数的奇偶性【教材分析】函数奇偶性是函数的又一个重要性质，是函数概念的拓展和深化，奇偶性充分体现了函数图象在研究函数性质的重要性，渗透了探索发现、数形结合、归纳转化等数学思想方法。奇偶性的教学在知识和能力方面对学生的教育起着非常重要的作用，是后续学习幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等基本初等函数的基础。因此，在函数的学习中，本节课起着承上启下的重要作用。【教学目标与核心素养】1．知识目标：理解、掌握函数奇偶性的概念、图象特征和性质；能够根据定义和图象判断简单函数的奇偶性；能够应用定义证明和解决与函数的奇偶性有关的问题。2．核心素养目标：通过函数奇偶性概念的学习和简单的应用，体会数形结合、归纳转化等基本的数学思想方法，提高学生的数学运算和直观想象能力。【教学重难点】1．函数奇偶性的概念、图象特征和性质；2．根据定义和图象判断简单函数的奇偶性；3．用定义证明和解决与函数的奇偶性有关的问题。【课前准备】多媒体课件【教学过程】一、知识引入在日常生活中，我们经常会看到一些具有对称性的图片，如美丽的蝴蝶、精彩的剪纸等等。思考讨论：（1）上列各图，分别是怎样的对称图形？提示：第1、2图为轴对称图形，第3、4图为中心对称图形．（2）在我们学习的函数中，有些函数的图象也具有对称性，请举出几个这样的函数；提示：一元二次函数图象（轴对称）、反比例函数图象（中心对称）等等．例1．画出函数𝑓(𝑥)=𝑥3的图象，并观察它的对称性．解：先列表，然后描点、连线，得到函数图象如图（3）上例函数的图象是关于原点中心对称的，你能说出函数解析式是怎样体现这个性质的吗？提示：对于定义域中任一个自变量的取值𝑥0，都有函数值𝑓(−𝑥0)=−𝑓（𝑥0）．二、新知识一般地，设函数𝑦=𝑓(𝑥)定义域为𝐴．如果当𝑥∈𝐴时,有−𝑥∈𝐴，且𝑓(−𝑥)=−𝑓（𝑥），那么就称函数𝑦=𝑓(𝑥)为奇函数；如果当𝑥∈𝐴时,有−𝑥∈𝐴，且𝑓(−𝑥)=𝑓（𝑥），那么就称函数𝑦=𝑓(𝑥)为偶函数。如：函数𝑓(𝑥)=𝑥2、𝑓(𝑥)=2𝑥等等注意：①当函数𝑦=𝑓(𝑥)是奇函数或偶函数时，称函数𝑓(𝑥)具有奇偶性。奇函数图象关于原点中心对称，反之亦然；偶函数图象关于𝑦轴对称,反之亦然。②函数具有奇偶性的前提是：定义域关于原点对称；③若奇函数𝑦=𝑓

函数的奇偶性【学习目标】（1）理解、掌握函数奇偶性的概念、图象特征和性质；（2）能够根据定义和图像判断简单函数的奇偶性；（3）能够应用定义证明和解决与函数的奇偶性有关的问题。【学习重难点】（1）函数奇偶性的概念、图象特征和性质；（2）根据定义和图像判断简单函数的奇偶性；（3）用定义证明和解决与函数的奇偶性有关的问题。【学习过程】一、知识引入在日常生活中，我们经常会看到一些具有对称性的图片，如美丽的蝴蝶、精彩的剪纸等等。思考讨论：（1）上列各图，分别是怎样的对称图形？（2）在我们学习的函数中，有些函数的图象也具有对称性，请举出几个这样的函数；例1.画出函数𝑓(𝑥)=𝑥3的图象，并观察它的对称性.（3）上例函数的图象是关于原点中心对称的，你能说出函数解析式是怎样体现这个性质的吗？二、新知识一般地，设函数𝑦=𝑓(𝑥)定义域为𝐴.如果当𝑥∈𝐴时,有−𝑥∈𝐴，且𝑓(−𝑥)=−𝑓（𝑥），那么就称函数𝑦=𝑓(𝑥)为奇函数；如果当𝑥∈𝐴时,有−𝑥∈𝐴，且𝑓(−𝑥)=𝑓（𝑥），那么就称函数𝑦=𝑓(𝑥)为偶函数。如：函数𝑓(𝑥)=𝑥2、𝑓(𝑥)=2𝑥等等注意：①当函数𝑦=𝑓(𝑥)是奇函数或偶函数时，称函数𝑓(𝑥)具有奇偶性。奇函数图象关于原点中心对称，反之亦然；偶函数图象关于𝑦轴对称,反之亦然。②函数具有奇偶性的前提是：定义域关于原点对称；③若奇函数𝑦=𝑓(𝑥)是在𝑥=0处有定义，则有𝑓(0)=0；④如果已知了一个函数的奇偶性，那么在研究它的性质时，可以先研究其在非负区间[0,+∞）上的性质，然后利用对称性可得在𝑦轴另一侧函数的性质.例2.根据定义，判断下列函数的奇偶性：（1）𝑓(𝑥)=−2𝑥5；（2）𝑔(𝑥)=𝑥4+2；（3）𝑕(𝑥)=1𝑥2；（4）𝑚(𝑥)=1𝑥+2.思考讨论（综合练习）（1）根据定义，判断下列函数的奇偶性：①𝑓(𝑥)=√1−𝑥2+√𝑥2−1②𝑓(𝑥)={𝑥2+𝑥𝑥≤0−𝑥2+𝑥𝑥>0③𝑓(𝑥)=√1−𝑥2|𝑥+2|−2④𝑓(𝑥)=√𝑥2+1+𝑥−1√𝑥2+1+𝑥+1（2）已知函数𝑓(𝑥)是定义在𝑅上的奇函数，且当𝑥>0时，𝑓(𝑥)=−𝑥2+2𝑥+1.①求函数𝑓(𝑥)的解析式；②若函数在

简单幂函数的图象和性质【教材分析】传统教材中，幂函数内容是放在指数函数、对数函数之后学习，而新教材将其提前，在学习了函数基本概念和性质后，学习的第一个具体函数，这一安排有其合理性，一方面，幂函数是初中学习的正比例、反比例、一元二次函数的推广，有一定的知识基础，另一方面，将前面刚刚学习的函数知识，应用到具体函数中，使学生深刻体会探究函数性质的方法与步骤，为学习指数函数、对数函数做好准备。【教学目标与核心素养】1．知识目标：掌握幂函数的概念和定义；学会使用函数的知识自主分析、研究幂函数的图象和性质；对于指数的不同情况，学会从函数的定义域、奇偶性、单调性等方面入手分析幂函数的性质，掌握探究函数性质的一般方法和步骤。2．核心素养目标：通过自主探究幂函数的图象和性质，培养学生知识的应用能力，提高学生的数学运算和逻辑推理的核心素养。【教学重难点】1．幂函数的概念和定义；2．使用函数的知识自主分析、研究幂函数的图象和性质；3．对于指数的不同情况，学会从函数的定义域、奇偶性、单调性等方面入手，分析幂函数的性质，掌握探究函数性质的一般方法和步骤。【课前准备】多媒体课件【教学过程】一、知识引入初中学习了函数𝑦=𝑥、反比例函数𝑦=1𝑥、二次函数𝑦=𝑥2等，对它们的图象和性质已经很熟悉了。后面将学习“1𝑥”可以记作“𝑥−1”、“√𝑥”可以记作“𝑥12”，形如“𝑦=𝑥∝”的函数，在实际生活中经常会遇到。思考讨论：（1）写出边长为𝑥的正方体体积𝑦的函数；提示：𝑦=𝑥3．（2）写出面积为𝑥的正方形的边长𝑦的函数．提示：𝑦=√𝑥即𝑦=𝑥12．二、新知识一般地，形如𝑦=𝑥∝（∝为常数）的函数，称为幂函数．如：函数𝑦=𝑥3、𝑦=𝑥12、𝑦=𝑥−1等等注意：①幂函数的指数∝是常数，底数是自变量，且指数式前面的系数是1；②幂函数的图象和性质，根据不同的指数∝，视其情况具体分析，一般从函数的定义域、奇偶性、单调性、经过的特殊点等方面入手，分析画出其图象．思考讨论（1）将函数𝑦=𝑥、𝑦=1𝑥、𝑦=𝑥2、𝑦=√𝑥、𝑦=𝑥3的图象画在同一个坐标系中，并完成下表：𝑦=𝑥𝑦=1𝑥𝑦=𝑥2𝑦=√𝑥𝑦=𝑥3定义域𝑅*𝑥|𝑥≠0+𝑅*𝑥|𝑥≥0+𝑅值域𝑅*𝑦|𝑦≠0+*𝑦|𝑦≥0+*𝑦|𝑦≥0+�

简单幂函数的图象和性质【学习目标】（1）掌握幂函数的概念和定义；（2）学会使用函数的知识自主分析、研究幂函数的图象和性质；（3）对于指数的不同情况，学会从函数的定义域、奇偶性、单调性等方面入手分析幂函数的性质，掌握探究函数性质的一般方法和步骤。【学习重难点】（1）幂函数的概念和定义；（2）使用函数的知识自主分析、研究幂函数的图象和性质；（3）对于指数的不同情况，学会从函数的定义域、奇偶性、单调性等方面入手，分析幂函数的性质，掌握探究函数性质的一般方法和步骤。【学习过程】一、知识引入初中学习了函数𝑦=𝑥、反比例函数𝑦=1𝑥、二次函数𝑦=𝑥2等，对它们的图象和性质已经很熟悉了。后面将学习“1𝑥”可以记作“𝑥−1”、“√𝑥”可以记作“𝑥12”，形如“𝑦=𝑥∝”的函数，在实际生活中经常会遇到。思考讨论：（1）写出边长为𝑥的正方体体积𝑦的函数；（2）写出面积为𝑥的正方形的边长𝑦的函数.二、新知识一般地，形如𝑦=𝑥∝（∝为常数）的函数，称为幂函数.如：函数𝑦=𝑥3、𝑦=𝑥12、𝑦=𝑥−1等等注意：①幂函数的指数∝是常数，底数是自变量，且指数式前面的系数是1；②幂函数的图象和性质，根据不同的指数∝，视其情况具体分析，一般从函数的定义域、奇偶性、单调性、经过的特殊点等方面入手，分析画出其图象.思考讨论（1）将函数𝑦=𝑥、𝑦=1𝑥、𝑦=𝑥2、𝑦=√𝑥、𝑦=𝑥3的图象画在同一个坐标系中，并完成下表：𝑦=𝑥𝑦=1𝑥𝑦=𝑥2𝑦=√𝑥𝑦=𝑥3定义域值域单调性奇偶性（2）下列各图，只画出了函数在𝑦轴一侧的图象，请画出𝑦轴另一侧的图象，并说出画法的依据.考讨论（综合练习）（1）若幂函数𝑦=(𝑚2−2𝑚−2)𝑥−𝑚+2在（0,+∞）上为减函数，求实数𝑚的值；（2）已知函数𝑦=𝑥𝑎、𝑦=𝑥𝑏、𝑦=𝑥𝑐在第一象限的函数图象如图，试比较𝑎,𝑏,𝑐的大小；（3）试利用函数的性质，比较𝑎,𝑏,𝑐的大小：𝑎=1.112,𝑏=1.52,𝑐=1.2−1.（4）已知幂函数𝑦=𝑥3𝑚−9（𝑚∈𝑁∗）的图象关于𝑦轴对称，且在（0,+∞）上为减函数，解关于𝑎的不等式（𝑎+1）−𝑚<（3𝑎−2）−𝑚.注意：①幂函数𝑦=𝑥∝的图象和性质，因不同的指数∝，差异是比

指数幂的拓展【教材分析】初中学习了整数指数幂的运算，本节将整数指数扩充到有理数指数和实数指数，着重是有理数指数（分数指数）的运算，完成了指数幂运算的扩充，一方面使指数运算知识更加完整，揭示了开方（根式）运算与乘方（指数式）运算的内在联系，另一方面为学习指数的运算性质和指数函数的性质奠定了基础。【教学目标】（1）知识目标：掌握有理数指数幂的含义和运算；掌握根式运算与指数运算的内在联系；正确进行有理数指数幂的运算；理解实数指数幂的含义。（2）核心素养目标：通过实数指数幂的扩充和相关运算，使学生了解指数运算的发展过程，提高学生数学运算的核心素养。【教学重难点】（1）正分数指数幂的含义和运算；（2）有理数指数幂的运算；（3）根式与分数指数幂的相互转化。【教学准备】多媒体课件【教学过程】一、知识引入在初中，学习了整数指数幂的运算及性质𝑎𝑛=𝑎∙𝑎∙𝑎∙⋯∙𝑎⏟𝑛个𝑎，𝑎0=1，𝑎−𝑛=1𝑎𝑛𝑎𝑚∙𝑎𝑛=𝑎𝑚+𝑛，(𝑎𝑚)𝑛=𝑎𝑚𝑛，(𝑎∙𝑏)𝑛=𝑎𝑛∙𝑏𝑛。思考讨论：（1）薇甘菊是热带、亚热带地区危害最严重的杂草之一，它侵害田地的面积𝑆(单位hm2)与年数𝑡（年）的关系式为𝑆=𝑆0∙1.057𝑡。其中𝑆0为侵害面积的初始值如果求10年后侵害的面积，则𝑆=𝑆0∙1.05710；如果求15.5年后侵害的面积，就需要计算𝑆=𝑆0∙1.05715.5，这个指数运算与初中所学的指数运算有什么差异呢？提示：指数是分数。（2）对于分数指数幂，该如何运算呢？如312=？。提示：(312)2=312×2=3，又(√3)2=3，可见312=√3。二、新知识1、给定正数𝑎和正整数𝑚，𝑛(𝑛>1，且𝑚，𝑛互素)，若存在唯一的正数𝑏，使得𝑏𝑛=𝑎𝑚，则称𝑏为𝑎的𝑚𝑛次幂。记作𝑏=𝑎𝑚𝑛，这就是正分数指数幂。例如：𝑏5=2，则𝑏=215；𝑡6=513，则𝑡=5136注意：①当𝑘是正整数时，分数指数幂𝑎𝑚𝑛满足：𝑎𝑚𝑛=𝑎𝑘𝑚𝑘𝑛②与312=√3类似，当底数𝑎>0时，𝑎𝑚𝑛=√𝑎𝑚𝑛，其中√𝑎𝑚𝑛读作“𝑛次根号下𝑎𝑚”，也叫根式运算。例如：812=√8=2√2，2723=√2723=9；③根据分数指数幂𝑎𝑚𝑛的定义，分数

指数函数的图象和性质【教材分析】本节课是北师大版高中数学的内容，是在学生学习了幂函数的基础上，将要学习的另一个具体函数，本节课的学习还为后续对数函数的学习提供了探究的思想方法。因此，它在函数的学习进程中起着承上启下的作用。【学情分析】高一学生已经学习了集合、函数的概念和性质及幂函数，具备了基本的作函数图象和研究函数性质的知识储备；同时，数形结合、分类讨论、从特殊到一般的化归思想也为本节课的学习奠定了基础。但是，函数作为高中数学的难点，学生在理解和运用上还不够熟练，需要不断地学习和强化。【教学目标】知识与技能：理解指数函数的概念和意义，能画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性和特殊点；过程与方法：在学习的过程中体会研究具体函数及其性质的过程和方法，如从特殊到一般的过程，数形结合的方法等；情感态度与价值观：使学生了解指数函数模型的实际背景，认识数学与现实生活及其他学科的联系。【教学重难点】重点：指数函数的概念和性质。难点：用数形结合的方法探索并概括指数函数的性质。【教学过程】（一）创设情境，引入新课情境1．陶渊明曾说过：“勤学如春起之苗，不见其增，日有所长；辍学如磨刀之石，不见其损，日有所亏”。这句话告诉我们什么道理呢？假定现在获取的知识量是1，学习的知识按照每天1%的速度增长，一天后知识量是______1.01两天后知识量是______21.01三天后知识量是______31.01一年后知识量是______3651.01那么，若干天后会怎样？两年后，三年后会怎样？怎么计算？我们用变量x来表示天数，那么你获取的知识量y与天数x之间的关系可以用一个什么样的式子来表示呢？________)(01.1Nxyx假设我们的知识的减少量也按每天1%计算，将“辍学如磨刀之石，不见其损日有所亏”翻译成数学的式子，得到什么？________Nxyx99.0计算一下，一个月你丢掉了多少？一年后你还剩下多少？情境2．《庄子·天下篇》中写道：“一尺之棰，日取其半，万世不竭。”你能用一个函数来描述它吗？*1N2xyx（）问题1：这三个函数有何共同特征？问题2：根据上面的特征，你能抽象、概括出这类函数的表达式吗？（二）动手实践探究新知1．指数函数的定义：一般地，函数)1,0(aaayx叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定是R。问题3：为何规定01aa

对数的概念【学习目标】1．理解对数的概念。2．掌握指数式与对数式的互化。3．掌握对数的基本性质。4．通过指数式与对数式的互化及对数的基本性质，培养逻辑推理素养。【学习重难点】1．理解对数的概念。2．掌握指数式与对数式的互化。3．掌握对数的基本性质。【学习过程】一、初试身手1．下列指数式与对数式互化不正确的一组是()A．22＝4与log24＝2B．4－12＝12与log412＝－12C．(－2)3＝－8与log(－2)(－8)＝3D．3－2＝19与log319＝－22．若lg(lnx)＝0，则x＝________。二、合作探究指数式与对数式的互化【例1】将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：(1)2－7＝1128；(2)33＝27；(3)10－1＝0.1；(4)log1232＝－5；(5)lg0.001＝－3；(6)lne＝1．[解](1)log21128＝－7；(2)log327＝3；(3)log100.1＝－1；(4)12－5＝32；(5)10－3＝0.001；(6)e1＝e。【规律方法】利用对数与指数间的互化关系时，要注意各字母位置的对应关系，其中两式中的底数是相同的。【跟踪训练】1．将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式。①35＝243；②13m＝5．73；③log1216＝－4；④ln10＝2．303．[解]①log3243＝5；②log135．73＝m；③12－4＝16；④e2．303＝10.对数基本性质的应用【例2】(1)求下列各式中x的值。①log(2x2－1)(3x2＋2x－1)＝1；②log2(log3(log4x))＝0.[解](1)①由log(2x2－1)(3x2＋2x－1)＝1得3x2＋2x－1＝2x2－1，3x2＋2x－1>0，2x2－1>0且2x2－1≠1.解得x＝－2．②由log2(log3(log4x))＝0可得log3(log4x)＝1，故log4x＝3，所以x＝43＝64．【学习小结】1．对数的定义(1)对数的有关概念(2)对数的底数a的取值范围是a>0，且a≠1．2．对数的基本性质与对数恒等式对数恒等式alogaN＝__N__对数的基本性质底数的对数等于__1__，即logaa＝__1__1的对数等于__0__，即loga1＝__0__零和负数没有对数3．两种常见对数对数形式特点记

对数的运算性质【教学目标】1．掌握对数的运算性质。2．理解对数的运算性质推导过程。3．通过推导对数运算性质的过程，提升数学运算素养。【教学重难点】1．掌握对数的运算性质。2．理解对数的运算性质推导过程。【教学过程】一、基础铺垫对数与指数概念之间的联系，决定了对数运算与指数运算之间的密切相关性。若a>0，且a≠1，M>0，N>0，则(1)loga(MN)＝logaM＋logaN；(2)logaMn＝nlogaM(n∈R)；(3)logaMN＝logaM－logaN。二、新知探究1．对数运算性质【例】求下列算式的值。2log32－log3329＋log38＋3log515。[解]原式＝log34－log3329＋log38－3log55＝log34×932×8－3＝log39－3＝2－3＝－1．【教师小结】对数的计算一般有两种处理方法：一种是将式中真数的积、商、幂、方根运用对数的运算法则将它们化为对数的和、差、积、商，然后化简求值；二是将式中的对数的和、差、积、商运用对数的运算法则将它们化为真数的积、商、幂、方根，然后化简求值。2．对数运算性质的应用[探究问题]（1）已知a＝2lg3，b＝3lg2，则a，b的大小关系是什么？提示：∵lga＝lg2lg3＝lg3lg2，lgb＝lg3lg2＝lg2lg3．∴lga＝lgb∴a＝B．（2）设2a＝5b＝m，且1a＋1b＝2，则m的值是什么？提示：由2a＝5b＝m，取对数得alg2＝blg5＝lgm，∴a＝lgmlg2，b＝lgmlg5，又1a＋1b＝2，∴lg2lgm＋lg5lgm＝2，∴lg10lgm＝2．∴lgm＝12，∴m＝1012＝10。【例】已知x，y，z∈(0，＋∞)且3x＝4y＝6z。求证：12y＝1z－1x。[思路探究]令3x＝4y＝6z＝m，通过取对数，把x，y，z表示出来，再求解。[解]令3x＝4y＝6z＝m，则xlg3＝ylg4＝zlg6＝lgm∴x＝lgmlg3，y＝lgmlg4，z＝lgmlg6，∴1z－1x＝lg6lgm－lg3lgm＝lg2lgm＝12y。【教师小结】取对数可以把乘方、开方、乘、除运算转化为乘、除、加、减运算，即取对数起到把运算降级的作用，便于运算。三、课堂检测1．(lg2)2＋lg2lg50＋lg25＝________。2[(lg2)2＋lg2lg50＋lg25＝l

指数幂的拓展【学习目标】掌握有理数指数幂的含义和运算；掌握根式运算与指数运算的内在联系；正确进行有理数指数幂的运算；理解实数指数幂的含义。【学习重难点】（1）正分数指数幂的含义和运算；（2）有理数指数幂的运算；（3）根式与分数指数幂的相互转化。【学习过程】一、知识引入在初中，学习了整数指数幂的运算及性质𝑎𝑛=𝑎∙𝑎∙𝑎∙⋯∙𝑎⏟𝑛个𝑎，𝑎0=1，𝑎−𝑛=1𝑎𝑛𝑎𝑚∙𝑎𝑛=𝑎𝑚+𝑛，(𝑎𝑚)𝑛=𝑎𝑚𝑛，(𝑎∙𝑏)𝑛=𝑎𝑛∙𝑏𝑛。思考讨论：（1）薇甘菊是热带、亚热带地区危害最严重的杂草之一，它侵害田地的面积𝑆(单位hm2)与年数𝑡（年）的关系式为：𝑆=𝑆0∙1.057𝑡。其中𝑆0为侵害面积的初始值如果求10年后侵害的面积，则𝑆=𝑆0∙1.05710；如果求15.5年后侵害的面积，就需要计算𝑆=𝑆0∙1.05715.5，这个指数运算与初中所学的指数运算有什么差异呢？（2）对于分数指数幂的运算，该如何运算呢？如312=？。二、新知探究1、给定正数𝑎和正整数𝑚，𝑛(𝑛>1，且𝑚，𝑛互素)，若存在唯一的正数𝑏，使得𝑏𝑛=𝑎𝑚，则称𝑏为𝑎的𝑚𝑛次幂。记作𝑏=，这就是正分数指数幂。例如：𝑏5=2，则𝑏=215；𝑡6=513，则𝑡=。注意：①当𝑘是正整数时，分数指数幂𝑎𝑚𝑛满足：𝑎𝑚𝑛=𝑎𝑘𝑚𝑘𝑛②与312=√3类似，当底数𝑎>0时，𝑎𝑚𝑛=√𝑎𝑚𝑛，其中√𝑎𝑚𝑛读作“𝑛次根号下𝑎𝑚”，也叫根式运算。例如：812=√8=2√2，2723=√2723=9；③根据分数指数幂𝑎𝑚𝑛的定义，分数指数幂的条件是：底数𝑎>0.虽然√−273=−3，但不能写成(−27)13=−3．例1．把下列各式中的正数𝑏写成正分数指数幂的形式：（1）𝑏5=20；（2）𝑏4=25；（3）𝑏𝑛=3𝑚(𝑚，𝑛∈𝑁+)；（4）𝑏3𝑛=𝜋9𝑚(𝑚，𝑛∈𝑁+)。2、类似负整数指数幂的定义，给定𝑎>0，正整数𝑚，𝑛(𝑛>1，且𝑚，𝑛互素)，定义𝑎−𝑚𝑛=1𝑎𝑚𝑛=1√𝑎𝑚𝑛。指数运算的指数已经扩充到有理数了。那么，指数是无理数的情况呢？以10√2为例说明如下因为√2=1．414213

对数的运算性质【学习目标】1．掌握对数的运算性质。2．理解对数的运算性质推导过程。3．通过推导对数运算性质的过程，提升数学运算素养。【学习重难点】1．掌握对数的运算性质。2．理解对数的运算性质推导过程。【学习过程】一、初试身手1．lg2＋lg5＝________。2．若log22x－53＝1，则x＝________。二、合作探究1．对数运算性质【例】求下列算式的值。2log32－log3329＋log38＋3log515。【规律方法】对数的计算一般有两种处理方法：一种是将式中真数的积、商、幂、方根运用对数的运算法则将它们化为对数的和、差、积、商，然后化简求值；二是将式中的对数的和、差、积、商运用对数的运算法则将它们化为真数的积、商、幂、方根，然后化简求值。2．对数运算性质的应用【例】已知x，y，z∈(0，＋∞)且3x＝4y＝6z。求证：12y＝1z－1x。[思路探究]令3x＝4y＝6z＝m，通过取对数，把x，y，z表示出来，再求解。【规律方法】取对数可以把乘方、开方、乘、除运算转化为乘、除、加、减运算，即取对数起到把运算降级的作用，便于运算。【跟踪训练】已知315a＝55b＝153c，则5ab－bc－3ac＝________。【学习小结】若a>0，且a≠1，M>0，N>0，则(1)loga(MN)＝logaM＋logaN；(2)logaMn＝nlogaM(n∈R)；(3)logaMN＝logaM－logaN。【精炼反馈】1．(lg2)2＋lg2lg50＋lg25＝________。2．计算：(1)31＋log32；(2)log2(23×45)【答案】[学习过程]一、1.1[lg2＋lg5＝lg10＝1．]2.112[由2x－53＝2⇒2x＝11⇒x＝112。]二、1.[解]原式＝log34－log3329＋log38－3log55＝log34×932×8－3＝log39－3＝2－3＝－1．2.[解]令3x＝4y＝6z＝m，则xlg3＝ylg4＝zlg6＝lgm∴x＝lgmlg3，y＝lgmlg4，z＝lgmlg6，∴1z－1x＝lg6lgm－lg3lgm＝lg2lgm＝12y。[跟踪训练]0[令315a＝55b＝153c＝m，则15alg3＝5blg5＝3clg15＝lgm∴a＝lgm15lg3，b＝lgm5lg5，c＝lgm3lg15∴5ab－bc－3

换底公式【教学目标】1．通过对数换底公式的推导，提升逻辑推理素养。2．通过用对数换底公式进行化简求值，培养数学运算素养。【教学重难点】1．能推导出对数的换底公式。(重点)2．会用对数换底公式进行化简与求值。(难点、易混点)【教学过程】一、问题引入换底公式：logbN＝logaNlogab(a，b＞0，a，b≠1，N＞0)。特别地，logab·logba＝1，logba＝思考：换底公式的作用是什么？[提示]换底公式的主要作用是把不同底的对数化为同底的对数，再运用对数的性质进行运算。二、新知探究1．利用换底公式化简求值【例1】计算：log1627log8132．[思路探究]在两个式子中，底数、真数都不相同，因而要用换底公式进行换底以便于计算求值。[解]log1627log8132＝lg27lg16·lg32lg81＝lg33lg24·lg25lg34＝3lg34lg2·5lg24lg3＝1516。【教师小结】（1）换底公式中的底可由条件决定，也可换为常用对数的底，一般来讲，对数的底越小越便于化简，如an为底的换为a为底。（2）换底公式的派生公式：logab＝logac·logcb；loganbm＝mnlogaB．2．用已知对数表示其他对数【例2】已知log189＝a，18b＝5，用a，b表示log3645．[解]法一：因为log189＝a，所以9＝18a，又5＝18b，所以log3645＝log2×18(5×9)＝log2×1818a＋b＝(a＋b)·log2×1818．又因为log2×1818＝1log18＝11＋log182＝11＋log18189＝11＋1－log189＝12－a，所以原式＝a＋b2－a。法二：∵18b＝5，∴log185＝b，∴log3645＝log1845log1836＝log18log18＝log185＋log1892log182＋log189＝a＋b2log18189＋log189＝a＋b2－2log189＋log189＝a＋b2－a。法三：∵log189＝a，18b＝5，∴lg9＝alg18，lg5＝blg18，∴log3645＝lg1829＝lg9＋lg52lg18－lg9＝alg18＋blg182lg18－alg18＝a＋b2－a。【教师小结】用已知对数的值表示所求对数的值，要注意以下几点：（1）增强目标意识，合理地把所求向已知条件靠