【文档说明】北师大版（2019）高中数学必修第一册：3.1《指数幂的拓展》教案.docx，共(4)页，1.198 MB，由baby熊上传

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指数幂的拓展【教材分析】初中学习了整数指数幂的运算，本节将整数指数扩充到有理数指数和实数指数，着重是有理数指数（分数指数）的运算，完成了指数幂运算的扩充，一方面使指数运算知识更加完整，揭示了开方（根式）运算与乘方（指数式）

运算的内在联系，另一方面为学习指数的运算性质和指数函数的性质奠定了基础。【教学目标】（1）知识目标：掌握有理数指数幂的含义和运算；掌握根式运算与指数运算的内在联系；正确进行有理数指数幂的运算；理解实数指数幂的含义。（2）核心素养目标：通过实数指数幂的扩充和相关运算，使学

生了解指数运算的发展过程，提高学生数学运算的核心素养。【教学重难点】（1）正分数指数幂的含义和运算；（2）有理数指数幂的运算；（3）根式与分数指数幂的相互转化。【教学准备】多媒体课件【教学过程】一、知

识引入在初中，学习了整数指数幂的运算及性质𝑎𝑛=𝑎∙𝑎∙𝑎∙⋯∙𝑎⏟𝑛个𝑎，𝑎0=1，𝑎−𝑛=1𝑎𝑛𝑎𝑚∙𝑎𝑛=𝑎𝑚+𝑛，(𝑎𝑚)𝑛=𝑎𝑚𝑛，(𝑎∙𝑏)𝑛=𝑎𝑛∙𝑏𝑛。思考讨论：（

1）薇甘菊是热带、亚热带地区危害最严重的杂草之一，它侵害田地的面积𝑆(单位hm2)与年数𝑡（年）的关系式为𝑆=𝑆0∙1.057𝑡。其中𝑆0为侵害面积的初始值如果求10年后侵害的面积，则𝑆=𝑆0∙1.05710

；如果求15.5年后侵害的面积，就需要计算𝑆=𝑆0∙1.05715.5，这个指数运算与初中所学的指数运算有什么差异呢？提示：指数是分数。（2）对于分数指数幂，该如何运算呢？如312=？。提示：(312)2=

312×2=3，又(√3)2=3，可见312=√3。二、新知识1、给定正数𝑎和正整数𝑚，𝑛(𝑛>1，且𝑚，𝑛互素)，若存在唯一的正数𝑏，使得𝑏𝑛=𝑎𝑚，则称𝑏为𝑎的𝑚𝑛次幂。记作𝑏=𝑎𝑚𝑛，这就是正分数指数幂。例如：𝑏5=2，则𝑏

=215；𝑡6=513，则𝑡=5136注意：①当𝑘是正整数时，分数指数幂𝑎𝑚𝑛满足：𝑎𝑚𝑛=𝑎𝑘𝑚𝑘𝑛②与312=√3类似，当底数𝑎>0时，𝑎𝑚𝑛=√𝑎𝑚𝑛，其中√𝑎𝑚𝑛读作“𝑛次根号下𝑎𝑚

”，也叫根式运算。例如：812=√8=2√2，2723=√2723=9；③根据分数指数幂𝑎𝑚𝑛的定义，分数指数幂的条件是：底数𝑎>0.虽然√−273=−3，但不能写成(−27)13=−3．例1

．把下列各式中的正数𝑏写成正分数指数幂的形式：（1）𝑏5=20；（2）𝑏4=25；（3）𝑏𝑛=3𝑚(𝑚，𝑛∈𝑁+)；（4）𝑏3𝑛=𝜋9𝑚(𝑚，𝑛∈𝑁+)。解：（1）𝑏=2015；（2）𝑏=254；（3）

𝑏=3𝑚𝑛；（4）𝑏=𝜋9𝑚3𝑛=𝜋3𝑚𝑛2、类似负整数指数幂的定义，给定𝑎>0，正整数𝑚，𝑛(𝑛>1，且𝑚，𝑛互素)，定义𝑎−𝑚𝑛=1𝑎𝑚𝑛=1√𝑎𝑚𝑛。至此，指数运算的指数已经扩充到有理数了。那么，指数是无理数的情况呢？以10√2为例说明

如下因为√2=1.414213⋯，所以1.4<1.41<1.414<⋯<√2<⋯<1.415<1.42<1.5上式√2左边的数称为√2的不足近似值，右边的数称为√2的过剩近似值101.4<101.41<101.41

4<⋯<10√2<⋯<101.415<101.42<101.5借助计算器，可算出10√2越来越趋近于同一个数，即10√2=25.954⋯一般的，给定正数𝑎，对任意无理数𝛼，𝑎𝛼都是一个确定的实数。同理𝑎−𝛼=1𝑎𝛼这

样，指数运算的指数已经扩充到全体实数了。注意：①给定一个正数𝑎，对任意实数𝛼，指数幂𝑎𝛼都大于0；②0的任意正实数幂都等于0；③0的0指数幂和负实数指数幂都没有意义。例2．计算：（1）432；（2）27−

13；（3）(116)−32。解：（1）432=(22)32=23=8；（2）27−13=(33)−13=3−1=13；（3）(116)−32=(2−4)−32=26=64思考讨论（综合练习）（1）计算下列各式：

①932+(12)−2；②(279)0.5−0.1−2+(21027)−13+100𝜋0。（2）用分数指数幂表示下列各式（字母均表示正实数）。①√𝑎∙√𝑎3②√𝑎𝑏3√𝑎𝑏5提示：（1）①932+(12)−2=(32)32+22=31．②(279)0.5−0.1−2+(

21027)−13+100𝜋0=[(53)2]12−(110)−2+[(43)3]−13+100=53+34=2912。（2）①√𝑎∙√𝑎3=(𝑎∙𝑎12)13=(𝑎32)13=𝑎12。②√𝑎𝑏3√𝑎𝑏5=(𝑎𝑏3∙𝑎12𝑏52)12=(𝑎32𝑏112)12=

𝑎34𝑏114【教学反思】（1）负数的分数指数幂，在某些情况下是没有意义的，如(−2)12=√−2，但(−2)24=√(−2)24却是有意义的，避免情况过于复杂，所以对分数指数幂的底数统一要求为正数，这也是后面指数函数底数要求为正数的原因。（2）为了便于指数幂的运算，

一般都将根式化成分数指数进行运算，这样便于利用指数运算律进行指数幂的运算。