【文档说明】北师大版（2019）高中数学必修第一册：2.4.2《简单幂函数的图象和性质》教案.docx，共(5)页，410.951 KB，由baby熊上传

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简单幂函数的图象和性质【教材分析】传统教材中，幂函数内容是放在指数函数、对数函数之后学习，而新教材将其提前，在学习了函数基本概念和性质后，学习的第一个具体函数，这一安排有其合理性，一方面，幂函数是初中学习的正比例、反比例

、一元二次函数的推广，有一定的知识基础，另一方面，将前面刚刚学习的函数知识，应用到具体函数中，使学生深刻体会探究函数性质的方法与步骤，为学习指数函数、对数函数做好准备。【教学目标与核心素养】1．知识目标：掌握幂函数的概念和定义；学会使用函数的知

识自主分析、研究幂函数的图象和性质；对于指数的不同情况，学会从函数的定义域、奇偶性、单调性等方面入手分析幂函数的性质，掌握探究函数性质的一般方法和步骤。2．核心素养目标：通过自主探究幂函数的图象和性质，培养学生知识的应用能力，提高学生的数学运算和逻辑推理的核心素养。【教学重难点】1．幂函

数的概念和定义；2．使用函数的知识自主分析、研究幂函数的图象和性质；3．对于指数的不同情况，学会从函数的定义域、奇偶性、单调性等方面入手，分析幂函数的性质，掌握探究函数性质的一般方法和步骤。【课前准备】多媒体课件【教学过程】一、知识引入初中学习了函数𝑦=𝑥、反比例函数𝑦=1𝑥、二次

函数𝑦=𝑥2等，对它们的图象和性质已经很熟悉了。后面将学习“1𝑥”可以记作“𝑥−1”、“√𝑥”可以记作“𝑥12”，形如“𝑦=𝑥∝”的函数，在实际生活中经常会遇到。思考讨论：（1）写出边长为𝑥的正方体体积𝑦的函数；提示：𝑦=𝑥3．（2）写出面积为𝑥的正方形

的边长𝑦的函数．提示：𝑦=√𝑥即𝑦=𝑥12．二、新知识一般地，形如𝑦=𝑥∝（∝为常数）的函数，称为幂函数．如：函数𝑦=𝑥3、𝑦=𝑥12、𝑦=𝑥−1等等注意：①幂函数的指数∝是常数，底数是自变量，且指数式前面的系数是1；②

幂函数的图象和性质，根据不同的指数∝，视其情况具体分析，一般从函数的定义域、奇偶性、单调性、经过的特殊点等方面入手，分析画出其图象．思考讨论（1）将函数𝑦=𝑥、𝑦=1𝑥、𝑦=𝑥2、𝑦=√𝑥、𝑦=𝑥3的图象画在同一个坐标系中，并完成下表：𝑦=𝑥𝑦=1𝑥𝑦

=𝑥2𝑦=√𝑥𝑦=𝑥3定义域𝑅*𝑥|𝑥≠0+𝑅*𝑥|𝑥≥0+𝑅值域𝑅*𝑦|𝑦≠0+*𝑦|𝑦≥0+*𝑦|𝑦≥0+𝑅单调性𝑅↗（−∞,0）↘（0,+∞）↘（−∞,0

-↘,0,+∞）↗,0,+∞）↗𝑅↗奇偶性奇奇偶非奇非偶奇（2）下列各图，只画出了函数在𝑦轴一侧的图象，请画出𝑦轴另一侧的图象，并说出画法的依据．提示：前三个函数为奇函数，所以图象关于原点中心对称，后两个函数为偶函数，图象关于轴对称．思考讨论（综合练习）（

1）若幂函数𝑦=(𝑚2−2𝑚−2)𝑥−𝑚+2在（0,+∞）上为减函数，求实数𝑚的值；（2）已知函数𝑦=𝑥𝑎、𝑦=𝑥𝑏、𝑦=𝑥𝑐在第一象限的函数图象如图，试比较𝑎,𝑏,𝑐

的大小；（3）试利用函数的性质，比较𝑎,𝑏,𝑐的大小：𝑎=1．112,𝑏=1．52,𝑐=1．2−1．（4）已知幂函数𝑦=𝑥3𝑚−9（𝑚∈𝑁∗）的图象关于𝑦轴对称，且在（0,+∞）上为减函数，解关于𝑎的不等式（𝑎+1）−𝑚<（3𝑎−2

）−𝑚．提示：（1）函数为幂函数，则𝑚2−2𝑚−2=1，得𝑚=−1或𝑚=3，函数为𝑦=𝑥3或𝑦=𝑥−1，又函数在（0,+∞）上为减函数，所以𝑚=3．（2）由𝑦=𝑥𝑐的图象，函数单减，则𝑐<0，再取特殊值𝑥

=2，则2𝑎>2𝑏>1，则𝑎>𝑏>0所以𝑎>𝑏>𝑐．（3）由幂函数𝑦=𝑥−1，即𝑦=1𝑥的性质，1．2−1<1，即𝑐<1再由幂函数𝑦=𝑥2、𝑦=𝑥12的图象，可得1．52>1．12>1．112>1，即𝑏>𝑎>1所以𝑏

>𝑎>𝑐．（4）函数𝑦=𝑥3𝑚−9（𝑚∈𝑁∗）在（0,+∞）上为减函数，则3𝑚−9<0，即𝑚<3，𝑚∈𝑁∗，故𝑚=1或𝑚=2．又图象关于𝑦轴对称，函数为偶函数，则3𝑚−9为偶数，所以𝑚=1不等式即为（𝑎+1）

−1<（3𝑎−2）−1，再由幂函数𝑦=𝑥−1的图象得3𝑎−2<𝑎+1<0或𝑎+1>3𝑎−2>0或{𝑎+1<03𝑎−2>0所以不等式的解集为*𝑎|𝑎<−1或23<𝑎<32+．注意：①幂函数𝑦=𝑥∝的图象和性

质，因不同的指数∝，差异是比较大的，一般通过分析函数的定义域、奇偶性、单调性和经过的特殊点等等得出图象和性质；②在区间（0,+∞）上，幂函数的图象均过定点（1,1），当∝>0时，幂函数单调递增，当∝<0时，单调递减，当∝=

0时，幂函数为𝑦=𝑥0（𝑥≠0）,即𝑦=1（𝑥≠0）；③特殊值法在幂函数问题中常常用到，这样可以省去很多不必要的分析过程．三、课堂练习教材P66，练习3．四、课后作业教材P67，习题2-4：B组第1题．【教学反思】分析函数的图象和性质，一般步骤是：首先考虑函数的定义域，然后考察函数

的奇偶性，如果可能，再画出函数的图象，这样函数的其他性质，比如单调性、值域、最值等等，就很容易得到了。幂函数指数的情况较多，其图象和性质差异也较大，但只需按照上述步骤去分析，就可以得出函数的性质。