换底公式【学习目标】1．通过对数换底公式的推导，提升逻辑推理素养。2．通过用对数换底公式进行化简求值，培养数学运算素养。【学习重难点】1．能推导出对数的换底公式。(重点)2．会用对数换底公式进行化简与求值。(难点、易混点)【学习过程】一、预习提问思考：换底公式的作用是什么？[提示]换底公式的主要作用是把不同底的对数化为同底的对数，再运用对数的性质进行运算。二、合作探究利用换底公式化简求值【例1】计算：log1627log8132．[思路探究]在两个式子中，底数、真数都不相同，因而要用换底公式进行换底以便于计算求值。[解]log1627log8132＝lg27lg16·lg32lg81＝lg33lg24·lg25lg34＝3lg34lg2·5lg24lg3＝1516。用已知对数表示其他对数【例2】已知log189＝a，18b＝5，用a，b表示log3645．[解]法一：因为log189＝a，所以9＝18a，又5＝18b，所以log3645＝log2×18(5×9)＝log2×1818a＋b＝(a＋b)·log2×1818．又因为log2×1818＝1log18＝11＋log182＝11＋log18189＝11＋1－log189＝12－a，所以原式＝a＋b2－a。法二：∵18b＝5，∴log185＝b，∴log3645＝log1845log1836＝log18log18＝log185＋log1892log182＋log189＝a＋b2log18189＋log189＝a＋b2－2log189＋log189＝a＋b2－a。法三：∵log189＝a，18b＝5，∴lg9＝alg18，lg5＝blg18，∴log3645＝lg1829＝lg9＋lg52lg18－lg9＝alg18＋blg182lg18－alg18＝a＋b2－a。对数的实际应用[探究问题]1．光线每通过一块玻璃板，其强度要损失10%，把几块这样的玻璃板重叠起来，设光线原来的强度为a，通过x块玻璃板以后的强度值为y。试写出y关于x的函数关系式。提示：依题意得y＝a1－110x＝a910x，其中x≥1，x∈N。2．探究1中的已知条件不变，求通过多少块玻璃以后，光线强度减弱到原来强度的12以下？(根据需要取用数据lg3≈0.4771，lg2≈0.3010)提示：依题意得a910x≤a

对数函数的概念【教学目标】通过对数函数的概念及反函数概念的学习，培养数学抽象素养。【教学重难点】1．理解对数函数的概念以及对数函数与指数函数间的关系。（重点）2．了解指数函数与对数函数互为反函数，并会求指数函数或对数函数的反函数。(难点)【教学过程】一、基础铺垫1．对数函数的定义一般地，我们把函数y＝logax(a>0，a≠1)叫作对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)，值域是R，a叫作对数函数的底数。2．两类特殊的对数函数常用对数函数：y＝lgx，其底数为10.自然对数函数：y＝lnx，其底数为无理数e。3．反函数阅读教材P90从“分析理解”～P91“练习”间的部分，完成下列问题。指数函数y＝ax(a＞0，a≠1)是对数函数y＝logax(a＞0，a≠1)的反函数；同时，对数函数y＝logax(a＞0，a≠1)也是指数函数y＝ax(a＞0，a≠1)的反函数，即同底的指数函数与对数函数互为反函数。二、新知探究1．对数函数的概念【例1】下列函数中，哪些是对数函数？(1)y＝logax(a>0，且a≠1)；(2)y＝log2x＋2；(3)y＝8log2(x＋1)；(4)y＝logx6(x>0，且x≠1)；(5)y＝log6x。[解](1)中真数不是自变量x，不是对数函数。(2)中对数式后加2，所以不是对数函数。(3)中真数为x＋1，不是x，系数不为1，故不是对数函数。(4)中底数是自变量x，而非常数，所以不是对数函数。(5)中底数是6，真数为x，系数为1，符合对数函数的定义，故是对数函数。【教师小结】判断一个函数是对数函数的方法2．求函数的反函数【例2】求下列函数的反函数。(1)y＝10x；(2)y＝45x；(3)y＝log13x；(4)y＝log2x。[解](1)由y＝10x，得x＝lgy，∴其反函数为y＝lgx；(2)由y＝45x，得x＝log45y，∴其反函数为y＝log45x；(3)由y＝log13x，得x＝13y，∴其反函数为y＝13x；(4)由y＝log2x，得x＝2y，∴其反函数为y＝2x。【教师小结】反函数的求法：（1）由y＝ax或y＝logax，解得x＝logay或x＝ay；（2）将x＝logay或x＝ay中的x与y互换位置，得y＝logax或y＝ax；（3）由y＝ax或y＝logax的值域

对数函数的概念【学习目标】通过对数函数的概念及反函数概念的学习，培养数学抽象素养。【学习重难点】1．理解对数函数的概念以及对数函数与指数函数间的关系。（重点）2．了解指数函数与对数函数互为反函数，并会求指数函数或对数函数的反函数。(难点)【学习过程】一、初试身手1．函数y＝log2(x－2)的定义域是________。2．函数y＝log2(x2＋1)的值域是________。3．对数函数f(x)的图像经过点19，2，则f(3)＝________。二、合作探究对数函数的概念【例1】下列函数中，哪些是对数函数？(1)y＝logax(a>0，且a≠1)；(2)y＝log2x＋2；(3)y＝8log2(x＋1)；(4)y＝logx6(x>0，且x≠1)；(5)y＝log6x。[解](1)中真数不是自变量x，不是对数函数。(2)中对数式后加2，所以不是对数函数。(3)中真数为x＋1，不是x，系数不为1，故不是对数函数。(4)中底数是自变量x，而非常数，所以不是对数函数。(5)中底数是6，真数为x，系数为1，符合对数函数的定义，故是对数函数。求函数的反函数【例2】求下列函数的反函数。(1)y＝10x；(2)y＝45x；(3)y＝log13x；(4)y＝log2x。[解](1)由y＝10x，得x＝lgy，∴其反函数为y＝lgx；(2)由y＝45x，得x＝log45y，∴其反函数为y＝log45x；(3)由y＝log13x，得x＝13y，∴其反函数为y＝13x；(4)由y＝log2x，得x＝2y，∴其反函数为y＝2x。【学习小结】1．对数函数的定义一般地，我们把函数y＝logax(a>0，a≠1)叫作对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)，值域是R，a叫作对数函数的底数。2．两类特殊的对数函数常用对数函数：y＝lgx，其底数为10.自然对数函数：y＝lnx，其底数为无理数e。3．反函数阅读教材P90从“分析理解”～P91“练习”间的部分，完成下列问题。指数函数y＝ax(a＞0，a≠1)是对数函数y＝logax(a＞0，a≠1)的反函数；同时，对数函数y＝logax(a＞0，a≠1)也是指数函数y＝ax(a＞0，a≠1)的反函数，即同底的指数函数与对数函数互为反函数。【精炼反馈】1．思考辨析(1)函数y＝2lo

对数函数的图象和性质指导思想与理论依据高中数学课程标准要求教师帮助学生掌握数学的基础知识和基本技能，以及它们所体现的数学思想方法。为未来的进一步学习打好基础。教师应帮助学生理解和掌握基础知识基本技能，发展能力。对一些核心概念和基本思想要贯穿教学的始终，帮助学生逐步加深理解，在初步运用中逐步理解概念的本质。同时应注重联系，提高学生对数学整体的认识。教学目标知识与技能：通过研究对数函数𝑦log2𝑥的性质，掌握对数函数的性质，理解反函数的核心概念，能用对数函数的性质解决应用问题。过程与方法：通过对数函数的研究进一步掌握研究函数的一般方法，理解“换轴”的方法，通过对对数函数与指数函数的关系的研究，感受类比的研究方法。情感态度与价值观：在问题的研究过程中，感受问题的提出，分析，解决。培养数学运算，逻辑推理，直观想象的数学核心素养。教学重难点教学重点：1．掌握对数函数𝑦log2𝑥的性质。2．体会对数运算对数函数，与指数运算指数函数的关系。教学难点：理解x，y轴交换的过程，与函数图象的图形变换关系。教学过程教学阶段教师活动学生活动设置意图时间安排引入课题我们知道对数概念与对数运算都是建立在指数概念指数运算的基础上的，上节课的学习又使我们认识到对数函数与指数函数的概念也有着密不可分的联系，那么今天我们在前述课程的基础上研究对数函数的图象和性质。我们的研究需要一个具体的研究对象，选取谁来当研究对象比较好呢？学生讨论选取适合的研究对象，得出选取𝑦log2𝑥适合我们的研究，因为它最简洁，也比较具有代表性。综述前述课程，引领学生缕清对数函数与指数函数之间的联系。为后面紧密联系指数函数的图象和性质研究对数函数作铺垫。3分钟发现问题提出问题对函数𝑦log2𝑥的性质，大家有什么样的问题？提出问题一：怎样研究对数函数𝑦log2𝑥的性质？选定有代表性的研究对象，确定研究方法。2分钟分析问题解决问题通常，当我们要研究一个函数的性质时，怎样研究？答：运用列表描点连线的方法画出函数图象进行研究，也可以考察函数解析式或者所列表格中的数据进行研究。复习函数的研究方法，引导学生列表描点作图5分钟再次发现问题方法一：指导学生列表提问：表格中的自变量怎样取值，既科学又方便？学生经过思考回答：选取x⋯14121248⋯y⋯-2-10123⋯因为对数运算是定义在指数运算上的，所以取值时可以适当变形为

对数函数y＝log2x的图象和性质【学习目标】通过对数函数y＝log2x的图象研究函数的性质，培养直观想象素养。【学习重难点】会画具体对数函数的图象。【学习过程】一、预习提问思考：(1)指数函数y＝2x与对数函数x＝log2y的图象有什么关系？(2)指数函数y＝2x的图象与对数函数y＝log2x的图象有什么关系？[提示](1)重合。(2)关于直线y＝x对称。二、合作探究4．函数y＝log2x的图象和性质完成下列问题。图象特征函数性质过点(1，0)当x＝1时，y＝0在y轴的右侧定义域是(0，＋∞)向上、向下无限延伸值域是R在直线x＝1右侧，图象位于x轴上方；在直线x＝1左侧，图象位于x轴下方若x＞1，则y＞0；若0＜x＜1，则y＜0函数图象从左到右是上升的在(0，＋∞)上是增函数1．函数y＝logax的图象如图所示，则a的值可以是()A．12B．2C．eD．102．函数y＝log2(x－2)的定义域是________。3．函数y＝log2(x2＋1)的值域是________。4．对数函数f(x)的图象经过点19，2，则f(3)＝________。【答案】1．A[y＝logax的图象是下降的，故a可以是12。故选A．]2．(2，＋∞)[由x－2>0，得x>2，所以其定义域是(2，＋∞)。]3．[0，＋∞)[由x2＋1≥1，得y≥0，所以，其值域是[0，＋∞)。]4．－1[设f(x)＝logax(a>0，且a≠1)，因为对数函数f(x)的图象经过点19，2，所以f19＝loga19＝2．所以a2＝19。所以a＝1912＝13212＝13。所以f(x)＝log13x。所以f(3)＝log133＝log1313-2＝－1．]对数函数的概念【例1】下列函数中，哪些是对数函数？(1)y＝logax(a>0，且a≠1)；(2)y＝log2x＋2；(3)y＝8log2(x＋1)；(4)y＝logx6(x>0，且x≠1)；(5)y＝log6x。【答案】(1)中真数不是自变量x，不是对数函数。(2)中对数式后加2，所以不是对数函数。(3)中真数为x＋1，不是x，系数不为1，故不是对数函数。(4)中底数是自变量x，而非常数，所以不是对数函数。(5)中底数是6，真数为x，系数为1，符合对数函数的定义，故是对数

对数函数y=logax的图象和性质【教学目标】1．通过对对数函数图像和性质的应用，体会数学抽象素养。2．通过数形结合思想的应用，提升直观想象素养。【教学重难点】1．掌握对数函数的图像和性质。2．掌握对数函数的图像和性质的应用。3．体会数形结合的思想方法。【教学过程】一、基础铺垫对数函数的图像和性质：二、新知探究1.利用对数函数比较大小【例1】比较大小：(1)log0.31.8，log0.32.7；(2)log67，log76；(3)log3π，log20.8；(4)log712，log812.[思路探究](1)底数相同，可利用单调性比较；(2)与1比较；(3)与0比较；(4)可结合图像比较大小。[解](1)考查对数函数y＝log0.3x，∵0<0.3<1，∴它在(0，＋∞)上是减函数，∴log0.31.8>log0.32.7；(2)∵log67>log66＝1，log76<log77＝1，∴log67>log76；(3)∵log3π>log31＝0，log20.8<log21＝0，∴log3π>log20.8；(4)法一：在同一坐标系中作出函数y＝log7x与y＝log8x的图像，由底数变化对图像位置的影响知：log712>log812.法二：∵log712－log812＝lg12lg7－lg12lg8＝－lg7lg8>0，∴log712>log812.【教师小结】比较对数大小的思路：（1）底数相同，真数不同的，可看作同一对数函数上的几个函数值，用对数函数的单调性比较大小；（2）底数不同，真数相同的几个数，可通过图像比较大小，也可通过换底公式比较大小；（3）底数不相同，真数也不相同的几个数，可通过特殊值来比较大小，常用的特殊值是“0”或“1”。2．对数函数的图像及应用【例2】已知函数y＝loga(x＋b)（c>0，且a≠1）的图像如图所示。(1)求实数a与b的值；(2)函数y＝loga(x＋b)与y＝logax的图像有何关系？[解](1)由图像可知，函数的图像过点(－3，0)与点(0，2)，所以得方程0＝loga(－3＋b)与2＝logab，解得a＝2，b＝4．(2)函数y＝loga(x＋4)的图像可以由y＝logax的图像向左平移4个单位得到。【教师小结】解决对数函数图像问题的注意事项：（1）明确对数函数图像的分布区域。对数函数的图像在第一、四象限。当x趋近于0时

对数函数y=logax的图象和性质【学习目标】1．通过对对数函数图像和性质的应用，体会数学抽象素养。2．通过数形结合思想的应用，提升直观想象素养。【学习重难点】1．掌握对数函数的图像和性质。2．掌握对数函数的图像和性质的应用。3．体会数形结合的思想方法。【学习过程】一、初试身手1．如图所示，曲线是对数函数y＝logax的图像，已知a取3，43，35，110，则相应于c1，c2，c3，c4的a值依次为()A．3，43，35，110B．3，43，110，35C．43，3，35，110D．43，3，110，352．函数f(x)＝log2．5x的值域为________。3．函数y＝log2x2的单调递增区间是________。4．函数y＝的定义域是________。【答案】1．A[先排c1，c2底的顺序，底都大于1，当x>1时图低的底大，c1，c2对应的a分别为3，43。然后考虑c3，c4底的顺序，底都小于1，当x<1时底大的图高，c3，c4对应的a分别为35，110。综合以上分析，可得c1，c2，c3，c4的a值依次为3，43，35，110。故选A．]2．R3．(0，＋∞)[由x2>0，得x≠0，令u＝x2，则u在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，又y＝log2u在(0，＋∞)上单调递增，则y＝log2x2的单调递增区间是(0，＋∞)。]4．(0，1][由log12x≥0，得0<x≤1，所以，其定义域为(0，1]。]二、合作探究比较大小【例1】比较大小：(1)log0.31．8，log0.32．7；(2)log67，log76；(3)log3π，log20.8；(4)log712，log812．[思路探究](1)底数相同，可利用单调性比较；(2)与1比较；(3)与0比较；(4)可结合图像比较大小。[解](1)考查对数函数y＝log0.3x，∵0<0.3<1，∴它在(0，＋∞)上是减函数，∴log0.31．8>log0.32．7；(2)∵log67>log66＝1，log76<log77＝1，∴log67>log76；(3)∵log3π>log31＝0，log20.8<log21＝0，∴log3π>log20.8；(4)法一：在同一坐标系中作出函数y＝log7x与y＝log8x的图像，由底数变化对图像位置的影响知：log712>log812．法二：∵log7

指数函数、幂函数、对数函数增长的比较【教学目标】1．通过具体实例体会三类函数模型增长的差异，提升数学建模素养。2．利用三类函数的图像对比研究函数的增长快慢培养直观想象素养。【教学重难点】1．结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同增长的函数模型的意义，理解它们增长的差异性。(重点)2．会利用指数函数、幂函数和对数函数的图像对比研究函数的增长快慢。(难点)【教学过程】一、基础铺垫(1)三种函数的增长趋势当a>1时，指数函数y＝ax是增函数，并且当a越大时，其函数值的增长就越快。当a>1时，对数函数y＝logax是增函数，并且当a越小时，其函数值的增长就越快。当x>0，n>1时，幂函数y＝xn也是增函数，并且当x>1时，n越大，其函数值的增长就越快。思考1：在指数函数、对数函数、幂函数三类函数中，函数值增长最快的是哪个函数？[提示]指数函数(2)三种函数的增长对比对数函数y＝logax(a>1)增长最慢，幂函数y＝xn(n>0)，指数函数y＝ax(a>1)增长的快慢交替出现，当x足够大时，一定有ax>xn>logax。思考2：在区间(0，＋∞)上，当a>1，n>0时，是否总有logax<xn<an成立？[提示]不是，但总存在x0，使得当a>1，n>0，x>x0时，logax<xn<ax成立。二、新知探究1．指数、对数、幂函数增长趋势的比较【例1】函数f(x)＝2x和g(x)＝x3的图像如图所示。设两函数的图像交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1<x2．(1)请指出示意图中曲线C1，C2分别对应哪一个函数；(2)结合函数图像，比较f(8)，g(8)，f(2016)，g(2016)的大小。[解](1)C1对应的函数为g(x)＝x3，C2对应的函数为f(x)＝2x。(2)∵g(1)＝1，f(1)＝2，g(2)＝8，f(2)＝4，g(9)＝729，f(9)＝512，g(10)＝1000，f(10)＝1024，∴f(1)>g(1)，f(2)<g(2)，f(9)<g(9)，f(10)>g(10)。∴1<x1<2，9<x2<10.∴x1<8<x2<2016．从图像上知，当x1<x<x2时，f(x)<g(x)；当x>x2时，f(x)>g(x)，且g(x)在(0，＋∞)上是增函数。∴f(2016)>g(2016)>g(8)>f(8)。【教师小结】（一）指数函数、对数函数

指数函数、幂函数、对数函数增长的比较【学习目标】1．通过具体实例体会三类函数模型增长的差异，提升数学建模素养。2．利用三类函数的图像对比研究函数的增长快慢培养直观想象素养。【学习重难点】1．结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同增长的函数模型的意义，理解它们增长的差异性。(重点)2．会利用指数函数、幂函数和对数函数的图像对比研究函数的增长快慢。(难点)【学习过程】一、初试身手1．下列函数中，增长速度最快的是()A．y＝2xB．y＝3xC．y＝5xD．y＝10x2．若x∈(1，2)，则下列结论正确的是()A．2x>x12>lgxB．2x>lgx>x12C．x12>2x>lgxD．x12>lgx>2x3．如图所示曲线反映的是________函数模型的增长趋势。4．当x>4时，a＝4x，b＝log4x，c＝x4的大小关系是________。【答案】1．D[四个选项中的函数都是指数函数，且底数均大于1，D项中底数10最大，则函数y＝10x的增长速度最快。]2．A3．对数4．[答案]a>c>b二、合作探究指数、对数、幂函数增长趋势的比较【例1】函数f(x)＝2x和g(x)＝x3的图像如图所示。设两函数的图像交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1<x2．(1)请指出示意图中曲线C1，C2分别对应哪一个函数；(2)结合函数图像，比较f(8)，g(8)，f(2016)，g(2016)的大小。[解](1)C1对应的函数为g(x)＝x3，C2对应的函数为f(x)＝2x。(2)∵g(1)＝1，f(1)＝2，g(2)＝8，f(2)＝4，g(9)＝729，f(9)＝512，g(10)＝1000，f(10)＝1024，∴f(1)>g(1)，f(2)<g(2)，f(9)<g(9)，f(10)>g(10)。∴1<x1<2，9<x2<10.∴x1<8<x2<2016．从图像上知，当x1<x<x2时，f(x)<g(x)；当x>x2时，f(x)>g(x)，且g(x)在(0，＋∞)上是增函数。∴f(2016)>g(2016)>g(8)>f(8)。建立函数模型解决实际问题【例2】假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：方案一：每天回报40元；方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番。请

利用函数性质判定方程解的存在性【教学目标】1．学习函数零点的概念，领会方程的根与函数零点之间的关系，提升直观想象素养。2．通过结合图像与解函数零点问题，培养数学抽象、数学运算素养。【教学重难点】1．了解函数零点的概念，领会方程的根与函数零点之间的关系。(易混点)2．掌握函数零点存在的判定方法。(重点)3．能结合图像求解零点问题。(难点)【教学过程】一、基础铺垫1．函数的零点：①定义：函数f(x)的图像与横轴的交点的横坐标称为这个函数的零点。②方程的根、函数的图像、函数的零点三者之间的联系。2．函数零点的判定定理：若函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的图像是连续曲线，并且在区间端点的函数值符号相反，即f(a)·f(b)<0，则在区间(a，b)内，函数y＝f(x)至少有一个零点，即相应的方程f(x)＝0在区间(a，b)内至少有一个实数解。思考：(1)函数的零点是点吗？(2)若f(a)·f(b)>0，则y＝f(x)在区间(a，b)内一定没有零点吗？[提示](1)不是点，是数。(2)不一定，如y＝x2－1，在区间(－2，2)上有两个零点。二、新知探究1．求函数的零点【例1】判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出。(1)f(x)＝x＋3x；(2)f(x)＝x2＋2x＋4；(3)f(x)＝2x－3；(4)f(x)＝1－log3x。[解](1)令x＋3x＝0，解得x＝－3，所以函数f(x)＝x＋3x的零点是－3．(2)令x2＋2x＋4＝0，由于Δ＝22－4×4＝－12<0，所以方程x2＋2x＋4＝0无解，所以函数f(x)＝x2＋2x＋4不存在零点。(3)令2x－3＝0，解得x＝log23，所以函数f(x)＝2x－3的零点是log23．(4)令1－log3x＝0，解得x＝3，所以函数f(x)＝1－log3x的零点是3．【教师小结】函数零点的求法，求函数y＝f(x)的零点通常有两种方法：其一是令y＝f(x)＝0，根据解方程y＝f(x)＝0的根求得函数的零点；其二是画出函数y＝y＝f(x)的图像，图像与x轴的交点的横坐标即为函数的零点。2．判断零点所在的区间【例2】(1)已知函数f(x)的图像是连续不断的，有如下x，f(x)的对应值表：x123456f(x)1510－76－4－5则函数f(x)在区间[1，6]上的零点至少有()A．2个B．3个C．4个D．5个(2)函数f(x)＝l

利用函数性质判定方程解的存在性【学习目标】1．学习函数零点的概念，领会方程的根与函数零点之间的关系，提升直观想象素养。2．通过结合图像与解函数零点问题，培养数学抽象、数学运算素养。【学习重难点】1．了解函数零点的概念，领会方程的根与函数零点之间的关系。(易混点)2．掌握函数零点存在的判定方法。(重点)3．能结合图像求解零点问题。(难点)【学习过程】一、预习提问思考：(1)函数的零点是点吗？(2)若f(a)·f(b)>0，则y＝f(x)在区间(a，b)内一定没有零点吗？[提示](1)不是点，是数。(2)不一定，如y＝x2－1，在区间(－2，2)上有两个零点。二、合作探究求函数的零点【例1】判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出。(1)f(x)＝x＋3x；(2)f(x)＝x2＋2x＋4；(3)f(x)＝2x－3；(4)f(x)＝1－log3x。【答案】(1)令x＋3x＝0，解得x＝－3，所以函数f(x)＝x＋3x的零点是－3．(2)令x2＋2x＋4＝0，由于Δ＝22－4×4＝－12<0，所以方程x2＋2x＋4＝0无解，所以函数f(x)＝x2＋2x＋4不存在零点。(3)令2x－3＝0，解得x＝log23，所以函数f(x)＝2x－3的零点是log23．(4)令1－log3x＝0，解得x＝3，所以函数f(x)＝1－log3x的零点是3．判断零点所在的区间【例2】(1)已知函数f(x)的图像是连续不断的，有如下x，f(x)的对应值表：x123456f(x)1510－76－4－5则函数f(x)在区间[1，6]上的零点至少有()A．2个B．3个C．4个D．5个(2)函数f(x)＝lnx－2x的零点所在的大致区间是()A．(1，2)B．(2，3)C．1，1e和(3，4)D．(e，＋∞)【答案】(1)B(2)B[(1)由已知数表可知f(2)·f(3)＝10×(－7)＜0，f(3)·f(4)＝(－7)×6＜0，f(4)×f(5)＝6×(－4)<0，故函数f(x)在(2，3)，(3，4)，(4，5)上分别存在零点，故至少有3个零点。(2)∵f(1)＝－2＜0，f(2)＝ln2－1＜0，∴在(1，2)内f(x)无零点，A错；又f(3)＝ln3－23＞0，∴f(2)·f(3)＜0，∴f(x)在(2，3)内有零点。]【母题探究】1．(变条件)已知函数f(x)＝x3－x－1仅有一个

利用二分法求方程的近似解【教学目标】1．通过具体函数图像，借助计算器用二分法求相应方程的近似解，培养数学运算素养。2．通过学习利用二分法求方程近似解的过程和方法，提升直观想像、逻辑推理素养。【教学重难点】1．根据具体函数的图像，借助计算器用二分法求相应方程的近似解。(重点)2．学习利用二分法求方程近似解的过程和方法。(难点)【教学过程】一、基础铺垫1．二分法的概念对于图像在区间[a，b]上连续不断且满足f(a)·f(b)＜0的函数y＝f(x)，每次取区间的中点，将区间一分为二，再经比较，按需要留下其中一个小区间的方法称为二分法。2．用二分法求方程的近似解的过程在图中：“初始区间”是一个两端函数值反号的区间；“M”的含义是：取新区间，一个端点是原区间的中点，另一端是原区间两端点中的一个，新区间两端点的函数值反号；“N”的含义是：方程解满足要求的精度；“P”的含义是：选取区间内的任意一个数作为方程的近似解。思考：用二分法求函数近似零点时，函数应满足哪些条件？[提示](1)f(x)在区间[a，b]上的图像连续；(2)在区间[a，b]端点的函数值f(a)·f(b)<0.二、新知探究1．二分法概念的理解【例1】下列图像与x轴均有交点，其中不能用二分法求函数零点的是()ABCD[思路探究]零点附近连续→零点左右函数值异号A[按定义，f(x)在[a，b]上是连续的，且f(a)·f(b)＜0，才能不断地把函数零点所在的区间一分为二，进而利用二分法求出函数的零点。故结合各图像可得选项B、C、D满足条件，而选项A不满足，在A中，图像经过零点x0时，函数值不变号，因此不能用二分法求解。故选A．]【教师小结】（1）准确理解“二分法”的含义。二分就是平均分成两部分。二分法就是通过不断地将所选区间一分为二，逐步逼近零点的方法，找到零点附近足够小的区间，根据所要求的精度，用此区间的某个数值近似地表示真正的零点。（2）“二分法”与判定函数零点的定义密切相关，只有满足函数图像在零点附近连续且在该零点左右函数值异号才能应用“二分法”求函数零点。2．利用二分法求方程的近似解【例2】求方程lgx＝12x－1的近似解(精度为0.1)。[解]如图所示，由函数y＝lgx与y＝12x－1的图像可知，方程lgx＝12x－1有唯一实数解，且在区间[0，1]内。设f(x)＝lgx－

利用二分法求方程的近似解【学习目标】1．通过具体函数图像，借助计算器用二分法求相应方程的近似解，培养数学运算素养。2．通过学习利用二分法求方程近似解的过程和方法，提升直观想像、逻辑推理素养。【学习重难点】1．根据具体函数的图像，借助计算器用二分法求相应方程的近似解。(重点)2．学习利用二分法求方程近似解的过程和方法。(难点)【学习过程】一、初试身手1．下列函数图像与x轴均有交点，其中能用二分法求零点的是()2．在用二分法求函数f(x)的一个零点时，经计算，f(0.64)＜0，f(0.72)＞0，f(0.68)＜0，若精确度为0.1，则函数f(x)的零点近似值可为()A．0.64B．0.65C．0.70D．0.733．在下面给出的四个函数中，需要用二分法求其零点的是________。①y＝x＋π；②y＝3x－1；③y＝lnx；④y＝12x－x。4．用“二分法”求2x＋log2x－4＝0在区间(1，3)内的根。如果取区间的中点为x0＝2，那么下一个有根的区间是________。【答案】1．C[C中函数的零点是变号零点，故选C．]2．C[∵f(0.72)>0，f(0.68)<0，∴f(x)在(0.68，0.72)内至少有一个零点，又|0.72－0.68|<0.1，故其零点的近似值可为0.70.]3．④[①②③可直接解出来，不需要用二分法去求，而④无法直接解出来，故应填④。]4．(1，2)[令f(x)＝2x＋log2x－4，则f(1)＝－2<0，f(2)＝1>0，由零点存在性定理知，f(x)在区间(1，2)内至少存在一个零点。所以，下一个有根的区间是(1，2)。]二、合作探究二分法概念的理解【例1】下列图像与x轴均有交点，其中不能用二分法求函数零点的是()ABCD[思路探究]零点附近连续→零点左右函数值异号A[按定义，f(x)在[a，b]上是连续的，且f(a)·f(b)＜0，才能不断地把函数零点所在的区间一分为二，进而利用二分法求出函数的零点。故结合各图像可得选项B、C、D满足条件，而选项A不满足，在A中，图像经过零点x0时，函数值不变号，因此不能用二分法求解。故选A．]利用二分法求方程的近似解【例2】求方程lgx＝12x－1的近似解(精度为0.1)。[解]如图所示，由函数y＝lgx与y＝12x－1的图像可知，方程lgx＝12

实际问题的函数刻画【教学目标】1．尝试用函数刻画实际问题，感受函数与现实世界的联系，会用数学知识有意识地解决实际问题，能够找出简单实际问题中的函数关系式。2．会用数学知识有意识地解决实际问题，会用数学知识进行实际问题的转化，并用数学知识解读实际问题。3．培养学生用数学眼光看待问题的意识与能力。【教学重点】知道怎样用数学知识刻画实际问题。【教学难点】1．用数学知识解读实际问题。2．引用数学符号建立数学模型，用数学语言表示实际问题。【教学过程】一、阅读交流问题1：某公司投入了15万元，用于研发设计一种新型几何模板。经测算，每件产品的直接成本是130元，市场的合适售价是190元。显然，这家公司一方面要尽力为使用者提供可信的产品，另一方面又要争取获得好的收益。当这种新型几何模板畅销时，怎样计算总收益呢？提示：（1）该问题中反映的信息中有哪些量？（2）这几个量之间存在怎样的依赖关系？（3）数据提供的信息是什么（揭示了怎样的规律）？（4）上述规律有什么现实指导意义？解：设产量为x，总收益为y。（1）*60150000(N)yxx。（2）实际中企业关注的是成本与利润之间的关系，需要对它们进行比较。（3）数学知识诠释：①从利润关系式可见，希望有较大利润应增加产量。若x<2500，则要亏损；若x=2500，则利润为零；若x>2500，则可赢利。②单位成本P与产量x的关系xP150000130可见，为了降低成本，应增加产量，以形成规模效应。问题2：网购女鞋时，常常会看到一张女鞋尺码对照表，第一行是脚长（新鞋码，单位：mm），第二行是我们习惯称呼的“鞋号（旧鞋码，单位：号）”。脚长/mm220225230235240245250255260鞋号/号343536373839404142（1）脚长和鞋号有什么关系呢？（2）如果看到一款“30号”的女童鞋，你知道对应的脚长估计是多少吗？（3）一名脚长为262mm的女运动员，又该穿多大号的鞋呢？解：（1）在这个实际问题中出现了两个变量：一个是脚长；一个是鞋号。从题目看出，表中的数据已经给出了几个脚长对应的鞋码；（2）从题目看出，对于每一个脚长都有唯一的鞋号与之对应，所以题目给出是一个函数关系；（3）为了使函数关系更直观，我们将表中的每一对数值在平面直角坐标系中表示出来。（4）可以看出，这些点都在一条直线上，不妨设这条直线为y=kx+B．

实际问题的函数刻画【学习目标】1．知道什么叫数学模型，知道数学建模的意义。2．会用函数刻画现实世界中变量间的依赖关系。3．知道函数的一些模型。如正反比例函数、一次函数。【学习重难点】用函数观点刻画实际问题。（重点）准确理解题意，理解变量间的关系。（难点）【学习过程】问题1：某公司投入了15万元，用于研发设计一种新型几何模板。经测算，每件产品的直接成本是130元，市场的合适售价是190元。显然，这家公司一方面要尽力为使用者提供可信的产品，另一方面又要争取获得好的收益。当这种新型几何模板畅销时，怎样计算总收益呢？提示：（1）该问题中反映的信息中有哪些量？（2）这几个量之间存在怎样的依赖关系？（3）数据提供的信息是什么（揭示了怎样的规律）？（4）上述规律有什么现实指导意义？问题2：网购女鞋时，常常会看到一张女鞋尺码对照表，第一行是脚长（新鞋码，单位：mm），第二行是我们习惯称呼的“鞋号（旧鞋码，单位：号）”。脚长/mm220225230235240245250255260鞋号/号333333444456789012（1）脚长和鞋号有什么关系呢？（2）如果看到一款“30号”的女童鞋，你知道对应的脚长估计是多少吗？（3）一名脚长为262mm的女运动员，又该穿多大号的鞋呢？【学习小结】实际问题的数学刻画：（1）认真读题，慎密审题。（2）引进数学符号，建立数学模型。（3）把数学结果转化为实际问题的结果进行诠释实际问题。【达标检测】类型一：数学模型为正比例、反比例函数的问题1．一个圆柱形容器的底面直径为dcm，高度为hcm，现以每秒S3cm的速度向容器内注入某种溶液，求容器内溶液高度y与时间t（秒）的函数关系式及定义域。2．有m部同样的机器一起工作，需要m小时完成一项任务。设由x部机器（x为不大于m的正整数）完成同一任务，求所需时间y（小时）与机器的部数x的函数关系式。画出所求函数当m=4时的图像。类型二：数学模型为一次函数3．某家报刊销售店从报社买进报纸的价格是每份0.35元，卖出的价格是每份0.50元，卖不掉的报纸还可以以每份0.08元的价格退回报社。在一个月（30天）里，有20天每天都可以卖出400份，其余10天每天只能卖出250份。设每天从报社买进的报纸的数量相同，则应该每天从报社买进多少份才能使每月所获利润最大？并计算该销售点一个月最多可赚的多少元？4．某人开汽车以60k

用函数模型解决实际问题【教学目标】1．通过利用已知函数模型解决实际问题，提升数学建模素养。2．通过建立数学模型解决实际问题，培养数据分析、数学运算素养。【教学重难点】1．会利用已知函数模型解决实际问题。(重点)2．能建立函数模型解决实际问题。(重、难点)【教学过程】一、基础铺垫常用的函数模型：二、新知探究1．表格信息类建模问题【例1】某国2015年至2018年国内生产总值(单位：万亿元)如下表所示：年份2015201620172018x(年)0123生产总值(万亿元)8.20678.94429.593310.2398(1)画出函数图形，猜想它们之间的函数关系，近似地写出一个函数关系式；(2)利用得出的关系式求生产总值，与表中实际生产总值比较；(3)利用关系式预测2019年该国的国内生产总值。[解](1)根据表中数据画出函数图形，如图所示。从函数的图形可以看出，画出的点近似地落在一条直线上，设所求的函数为y＝kx＋B．把直线通过的两点(0，8.2067)和(3，10.2398)代入上式，解方程组，可得k＝0.6777，b＝8.2067．所以它的一个函数关系式为y＝0.6777x＋8.2067．(2)由(1)中得到的关系式为f(x)＝0.6777x＋8.2067，计算出2016年和2017年的国内生产总值分别为f(1)＝0.6777×1＋8.2067＝8.8844，f(2)＝0.6777×2＋8.2067＝9.5621．与实际的生产总值相比，误差不超过0.1万亿元。(3)2019年，即x＝4，由上述关系式，得y＝f(4)＝0.6777×4＋8.2067＝10.9175，即预测2019年该国的国内生产总值约为10.9175万亿元。【教师小结】(1)根据表格信息，画出图像；(2)根据图像特征，选定函数模型；(3)用待定系数法求出函数解析式；(4)检验模型。2．图像信息解读问题【例2】如图1是某公共汽车线路收支差额y元与乘客量x的图像。图1图2图3(1)试说明图1上点A、点B以及射线AB上的点的实际意义；(2)由于目前本条线路亏损，公司有关人员提出了两种扭亏为盈的建议，如图2、3所示。你能根据图像，说明这两种建议的意义吗？(3)此问题中直线斜率的实际意义是什么？(4)图1、图2、图3中的票价分别是多少元？[解](1)点A表示无人乘车时收支差额为－20元，点B表示有10人乘车时

用函数模型解决实际问题【学习目标】1．通过利用已知函数模型解决实际问题，提升数学建模素养。2．通过建立数学模型解决实际问题，培养数据分析、数学运算素养。【学习重难点】1．会利用已知函数模型解决实际问题。(重点)2．能建立函数模型解决实际问题。(重、难点)【学习过程】一、初试身手1．下表显示出函数值y随自变量x变化的一组数据，由此判断它最可能的函数模型为()x－2－10123y11614141664A．一次函数模型B．二次函数模型C．对数函数模型D．指数函数模型2．一辆汽车在某段路上的行驶路程s关于时间t变化的图像如图所示，那么图像所对应的函数模型为()A．分段函数B．二次函数C．指数函数D．对数函数3．“龟兔赛跑”讲述了这样的故事：领先的兔子看着慢慢爬行的乌龟，骄傲起来，睡了一觉，当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到达了终点。用S1，S2分别表示乌龟和兔子所行的路程，t为时间，则与故事情节相吻合的是()4．用一根长为12m的铁丝弯成一个矩形的铁框架，则铁框架的最大面积是________m2．【答案】1．D2．A[由图像知，在不同时段内，路程折线图不同，故对应的函数模型为分段函数。]3．B[乌龟距离起点的距离始终在增加，符合一次函数的增长模型，兔子距离起点的距离先增加，再停止增加一段时间后又更快的增加，总之乌龟与兔子行进的路程是一样的，乌龟用的时间少，兔子用的时间长，综合以上分析，故选B．]4．9[设铁框架的一边长为xm，则其面积S＝－2xx2＝－x2＋6x＝－(x－3)2＋9．由x>012－2x>0，得0<x<6．所以，当x＝3时，S取最大值9．]二、合作探究表格信息类建模问题【例1】某国2015年至2018年国内生产总值(单位：万亿元)如下表所示：年份2015201620172018x(年)0123生产总值(万亿元)8.20678.94429.593310.2398(1)画出函数图形，猜想它们之间的函数关系，近似地写出一个函数关系式；(2)利用得出的关系式求生产总值，与表中实际生产总值比较；(3)利用关系式预测2019年该国的国内生产总值。[解](1)根据表中数据画出函数图形，如图所示。从函数的图形可以看出，画出的点近似地落在一条直线上，设所求的函数为y＝kx＋B．把直线通过的两点(0，8.2067)和(3，10.2398)