【文档说明】北师大版（2019）高中数学必修第一册：2.3《函数的单调性和最值》教案.docx，共(11)页，349.973 KB，由baby熊上传

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函数的单调性和最值【第一课时】【教材分析】函数的单调性和最值的第一课时，主要学习用数学语言刻画函数的变化趋势（单调性的定义）及简单的应用，是学习函数概念后研究的第一个、也是最基本的一个性质，对于分析函数性质、求函数最值

、比较大小、解不等式、函数零点的判定以及其他函数综合问题等，都有重要的应用，掌握函数单调性的定义和应用，为学习幂函数、指数函数、对数函数，包括导函数等做好准备。【教学目标与核心素养】1．知识目标：利用图象判断函数的单调性、寻找函数的单调区间；掌握函

数的单调性的定义，用定义证明函数的单调性，及作差结果符号的判断方法；熟悉常见函数（绝对值函数、二次函数、分段函数等）的单调性及简单应用。2．核心素养目标：通过函数单调性的概念的学习和简单的应用，体会数形结合

、分类讨论等基本的数学思想方法，提高学生的数学运算和直观想象能力。【教学重难点】（1）利用函数的图象判断单调性、寻找函数单调区间；（2）函数的单调性的定义，用定义证明函数的单调性的方法，及作差结果符号的判断方法；（3）常见函数（绝

对值函数、二次函数、分段函数等）的单调性及简单应用。【课前准备】多媒体课件【教学过程】一、知识引入初中学习了一次函数ykxb的图象和性质，当0k＞时，直线是向右上，即函数值y随x的增大而增大，当0k＜时，直

线向右下，即函数值y随x的增大而减小。同样二次函数、反比例函数等，也有类似的性质。思考讨论：（1）如图，是某位同学从高一到高三上学期的考试成绩的统计图，从图中，你可以得出该同学成绩是怎样变化的呢？提示：高一时成绩在下降，高一下期期末降到最低名次

32名，以后各次考试成绩逐步提高，到高三上期时已经进入前五名。（2）如图，是函数6,9fxx（）的图象，说出在各个区间函数值fx随x的值的变化情况。提示：在区间6,52,13,4.57,8、、、上，函数值fx都是随x的值的增大而增大；在区

间5,21,34.5,78,9、、、上，函数值f(x)都是随x的值的增大而减小。二、新知识一般地，在函数yfx定义域内的一个区间A上。如果对于任意的12,xxA，当12xx＜时，都有12fxf

x＜，那么就称函数yfx在区间A上是增函数或递增的；如果对于任意的12,xxA，当12xx＜时，都有12fxfx＞，那么就称函数yfx在区间A上是减函数或递减的。注意：①函数yfx在区间A上是增函数（减函数），那么就

称函数在区间A上是单调函数，或称在区间A上具有单调性，区间A称为函数yfx单调区间。如：一元二次函数2fxx在区间[0,）上是单调增函数（单调递增），区间[0,）是函数2fxx的

单调增区间；②增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的；③“函数在区间A上单增”与“函数的单增区间是A”两种叙述含义是不同的。如：函数221fxxax的单调递增区间为[2,），则对称轴2a；函数221fxxax在区间[2,）上单调递增，则对称轴2a。④函数1yx

的定义域为,00,（），由函数图象可知，在两个区间上函数都是单调递减的，但不能说成“函数在定义域内递减”或“函数的单调递减区间是,00,（）”，而只能说“函数在区间,0和区间0,（）上都是递减的”。例1．设10fxxx（＜），画出函数33

fxx＜的图象，并通过图象直观判断它的单调性。解：函数1(3)(3)3fxxx＜，其图象是函数1fxx的图象向左平移3个单位得到，如图，该函数在区间,3（）上单调递减。例2．根据函数图象直观判断1yx的单调性。解：函数𝑦=|

𝑥−1|={1−𝑥𝑥≤1𝑥−1𝑥>1，画出该函数的图象，如图，函数在区间,1]（上是减函数，在区间[1,）上是增函数。例3．判断函数32fxx的单调性，并给出证明．解：画出函数32fxx的图象，如图，可

以看出函数在R上是减函数．下面用定义证明这一单调性．任取12,xxR，且12xx＜，则120xx＜121212323230fxfxxxxx）（＞，即12fxfx＞所以函数32fxx在R上是减函数

．思考讨论（综合练习）（1）二次函数222fxxax在区间1,2上单调，则实数a的取值范围；（2）设函数21fxxax，证明：当1a时，函数fx在区间[0,）上是减函数；（3）已知0a＞，函数3fxxax

是区间[1,）上的单调函数，求实数a的取值范围；（4）设实数tR，函数221fxxx在区间,1tt上的最小值是gt（），求gt（）并画出ygt（）的图象。提示：（1）二次函数222fxxax，图象抛物线开口向上，对称轴xa函数在区间1

,2上单调，则1a或2a，所以𝑎的取值范围为2a或1a．（2）设12,[0,xx），且12xx＜2212112211fxfxxaxxax22121211xxaxx

221212221211xxaxxxx1212221211xxxxaxx（）．因为12xx＜，所以120xx＜22121211xxxx＞，122212111xxxx＜，1a，所以122212

011xxaxx＜．120fxfx＞．即12fxfx＞函数fx在区间[0,）上是减函数（3）任取12xx＜，且12,[1,xx）333312112

21212fxfxxaxxaxxxaxx22121212xxxxxxa（）．12,[1,xx），得2212123xxxx＞根据题意，221212xxxxa的符号恒正或恒负，故3a所以实

数a的取值范围是0,3]（．（4）画出函数221fxxx的图象，如图，抛物线对称轴为1x当11t＜时0t＜，函数在区间,1tt上单调递减，212minfxgtftt；当111tt且时01t，函数在区间,1tt上的最小值为

12minfxgtf；当1t＞时，函数在区间,1tt上单调递增，221minfxgtfttt．综上，𝑔(𝑡)={𝑡2−2,𝑡<0−2,0≤𝑡≤1𝑡2−2𝑡−1,𝑡>1，画出函数图象如图：三、课堂练习教材P60，练习1、2

、3。四、课后作业教材P62，习题2-3：A组第1、2、3、4题。【教学反思】函数的单调性是函数的重要性质之一，它反映了函数的变化趋势，通过函数图象，可以直观、定性地进行初步判断，要精确地判断函数的单调性，还是要根据定义证明，今后还要学习其他方法（导数等）判断函数的单调性。在函数的很多问

题中（求值域、求极值等）都要用到函数的单调性。【第二课时】【教学分析】上一节，同学们已经可以利用函数图象判断函数的单调性，学习了函数单调性的定义以及用定义证明函数的单调性、找出函数单调区间，本节课在此基础上继续学习复杂函数（双曲函数、分式函数、复合函数等）单调性的分析和证明，达到熟练运用函数

单调性，解决有关函数性质的综合问题。【教学目标与核心素养】（1）知识目标：利用函数的单调性定义证明函数的单调性；复杂函数（双曲函数、分式函数、复合函数等）单调性的分析和证明；熟练利用函数的单调性解决函数、不等式等函数综合问题。（2）核心素养目标：通过函数

单调性的应用，体会数形结合、分类讨论等基本的数学思想方法，提高学生的数学运算和直观想象能力。【教学重难点】1．利用定义证明函数的单调性；2．复杂函数（双曲函数、分式函数、复合函数等）单调性的分析和证明；3．利用函数的单调性解决函数

、不等式等函数综合问题。【课前准备】多媒体课件【教学过程】思考讨论：（1）增函数和减函数的定义是什么？提示：在函数𝑦=𝑓(𝑥)定义域内的一个区间𝐴上，如果对于任意的𝑥1,𝑥2∈𝐴，当𝑥1<𝑥2时,都有𝑓（𝑥1）<𝑓（𝑥2），就称函数𝑦=𝑓(𝑥)在区间𝐴上是

增函数；如果都有𝑓（𝑥1）>𝑓（𝑥2），就称函数𝑦=𝑓(𝑥)在区间𝐴上是减函数。（2）如果有两个函数𝑦=𝑓(𝑥)和𝑦=𝑔(𝑥)，在同一个区间𝐼上都是单增（单减）函数，那么函数𝑦=𝑓(𝑥)+𝑔(𝑥)的具有怎样的单调性？能不能判断函数𝑦=𝑓(𝑥)−�

�(𝑥)的单调性呢？提示：函数𝑦=𝑓(𝑥)+𝑔(𝑥)也是单增（单减）函数，函数𝑦=𝑓(𝑥)−𝑔(𝑥)的单调性不确定。例4．判断函数𝑓(𝑥)=√𝑥的单调性，并给出证明．解：画出函数的图象，可以看出，函数在定义域内是增函数．下面给出证明：设𝑥1,𝑥2∈[0,

+∞），且𝑥1<𝑥2，则𝑥1−𝑥2<0𝑓(𝑥1）−𝑓（𝑥2)=√𝑥1−√𝑥2=𝑥1−𝑥2√𝑥1+√𝑥2，∵√𝑥1+√𝑥2>0，∴𝑓(𝑥1）−𝑓（𝑥2)<0即𝑓(𝑥1）<�

�（𝑥2)，所以函数𝑓(𝑥)=√𝑥在定义域[0,+∞）上是增函数．例5．试用定义证明：函数𝑓(𝑥)=𝑥+1𝑥在区间（0,1]上是减函数，在区间[1,+∞）上是增函数．解：设𝑥1,𝑥2∈（0,1]，且𝑥1<�

�2,则𝑥1−𝑥2<0𝑓(𝑥1）−𝑓（x2)=(𝑥1+1𝑥1)−(𝑥2+1𝑥2)=(𝑥1−𝑥2)−𝑥1−𝑥2𝑥1𝑥2=(𝑥1−𝑥2)(1−1𝑥1𝑥2)=（𝑥1−𝑥2）（�

�1𝑥2−1）𝑥1𝑥2，∵𝑥1,𝑥2∈（0,1]，∴0<𝑥1𝑥2<1，𝑥1𝑥2−1<0，又𝑥1−𝑥2<0𝑓(𝑥1）−𝑓（𝑥2)>0，即函数𝑓(𝑥)=𝑥+1𝑥在区间（0,1]上是减函数．同理可证

，函数𝑓(𝑥)=𝑥+1𝑥在区间[1,+∞）上是增函数．注意：①函数𝑦=𝑥+1𝑥在区间（0,1]上是减函数，在区间[1,+∞）上是增函数．在区间（0,+∞）上，由函数的单调性或由均值不等式𝑥+1𝑥≥2，可得当𝑥=1时，函数𝑦=𝑥+1𝑥取得最小值2，同理

也可以得到,0x（）时函数的单调性。画出该函数的图象，如图，该函数又叫双曲函数．形如𝑓(𝑥)=𝑎𝑥+𝑏𝑥（𝑎>0,𝑏>0）的函数，在区间（0,+∞）上也具有类似的性质，根据均值不等式，可得当𝑥=√𝑏𝑎时，函数

取得最小值2√𝑎𝑏，函数在区间（0,√𝑏𝑎]上是减函数，在区间[√𝑏𝑎,+∞）上是增函数；②设𝑦是𝑢的函数𝑦=𝑓(𝑢)，𝑢是𝑥的函数𝑢=𝑔（𝑥），其中函数𝑢=𝑔（𝑥）的

值域是函数𝑦=𝑓(𝑢)的定义域或子集，则函数𝑦=𝑓(𝑔（𝑥）)称为函数𝑦=𝑓(𝑢)与函数𝑢=𝑔（𝑥）的复合函数。复合函数单调性常采用分层分析的方法：如：函数𝑦=√𝑥2+1，令𝑢=𝑥2+1，则�

�=√𝑢当𝑥∈（−∞,0）时，𝑥↗,𝑢=𝑥2+1↘,𝑦=√𝑢↘，所以函数𝑦=√𝑥2+1在𝑥∈（−∞,0）时单减，当𝑥∈（0,+∞）时，𝑥↗,𝑢=𝑥2+1↗,𝑦=√𝑢↗，所以函数𝑦=√𝑥2+1在𝑥∈（−∞,0）时单增，其中“↗”代表增大，“↘

”代表减小．③有些函数问题中（如求值域、求最值等），如果要用到函数的单调性，而又不需证明，可以通过分析的方法，得到函数的单调性．如：求函数𝑓(𝑥)=1−2𝑥𝑥−1在区间[2,3]上的最值．𝑓(𝑥)

=1−2𝑥𝑥−1=2(1−𝑥)−1𝑥−1=−2−1𝑥−1，当𝑥∈[2,3]时，随着𝑥↗，−1𝑥−1↗，所以函数𝑓(𝑥)↗，即函数单增．所以𝑓(𝑥)𝑚𝑖𝑛=𝑓(2)=−3，𝑓(𝑥)�

�𝑎𝑥=𝑓(3)=−52．思考讨论（综合练习）（1）如果函数𝑓(𝑥)=𝑥2+𝑏𝑥+𝑐，对任意实数𝑥都有𝑓(2+𝑥)=𝑓（2−𝑥），试比较𝑓(−3)、𝑓(2)、𝑓(3)的大小；（2）函数𝑓(𝑥)={2𝑥+1𝑥≤0𝑎𝑥+𝑎−1𝑥>0在𝑅上单调

递增，求实数𝑎的取值范围（3）求函数𝑦=√3−2𝑥−𝑥2的单调区间；（4）已知定义在区间（0,+∞）上的函数𝑓(𝑥)，满足：i）对任意𝑥,𝑦∈（0,+∞），都有𝑓(𝑥𝑦)=𝑓(𝑥)+𝑓（𝑦）；ii）当0<𝑥<1时，𝑓(𝑥)>0．①判断并证明𝑓(𝑥)在区间（

0,+∞）上的单调性；②解关于𝑎的不等式𝑓(1−2𝑎)−𝑓(4−𝑎2)>0．提示：（1）根据题意，对任意实数𝑥都有𝑓(2+𝑥)=𝑓（2−𝑥），则二次函数图象的对称轴为𝑥=2，抛物线开口向上，所以离对称轴距离越远的自变

量，对应的函数值越大，所以𝑓(−3)>𝑓(3)>𝑓(2)．（2）函数在𝑅上单调递增，则在𝑥>0时单增，且在分界点𝑥=0处，右侧函数值不小于左侧函数值，即𝑎>0且𝑎−1≥1，得𝑎≥2，所以实数𝑎的取值范围为𝑎≥2．（3）函数有意义，则3−2𝑥−𝑥2≥0，得−3≤

𝑥≤1，所以函数定义域为[−3,1]设𝑢=3−2𝑥−𝑥2，函数对称轴为𝑥=−1，y=√u当x∈[−3,−1]时，x↗,u↗,y=√u↗，函数的递增区间为[−3,−1]；当x∈[−1,1]时，

x↗,u↘,y=√u↘，函数的递减区间为[−1,1]．所以，函数的递增区间为[−3,−1]；递减区间为[−1,1]．（4）①：设x1,x2∈（0,+∞），且x1<x2f(x1)−f(x2)=f(x1x2∙x2)−f(x2)=f(x1x2)+f(x2)−f(x2

)=f(x1x2)．因x1<x2，故0<x1x2<1，得f(x1x2)>0f(x1)−f(x2)>0，函数在区间（0,+∞）上单减．②不等式f(1−2a)−f(4−a2)>0即f(1−2a)>f(4−a2)由函数的定义域和单调递减，得{1−2a>04−a2>01−2a<4−

a2，解得−1<a<12．三、课堂练习教材P62，练习1、2、3．四、课后作业教材P62，习题2-3：A组第5题，B组第1、2、3、4题．【教学反思】函数的单调性是函数的一个重要性质，有关函数的很多问题中，均以函数的单调性为基础，比如求函数

的值域、求函数的极值等等，大家在掌握定义法证明函数单调性同时，也要掌握分析函数单调性的方法。