【文档说明】北师大版（2019）高中数学必修第一册：2.3《函数的单调性和最值》学案.docx，共(5)页，91.461 KB，由baby熊上传

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函数的单调性和最值【第一课时】【学习目标】（1）利用图象判断函数的单调性、寻找函数的单调区间；（2）掌握函数的单调性的定义，用定义证明函数的单调性，及作差结果符号的判断方法；（3）熟悉常见函数（绝对值函数、二次函数、分段函数等）的单调性

及简单应用。【学习重难点】（1）利用函数的图象判断单调性、寻找函数单调区间；（2）函数的单调性的定义，用定义证明函数的单调性的方法，及作差结果符号的判断方法；（3）常见函数（绝对值函数、二次函数、分段函数等）的单调性及简单应用。【学习过程】一、知识引入初中

学习了一次函数𝑦=𝑘𝑥+𝑏的图象和性质.当𝑘>0时，直线是向右上，即函数值𝑦随𝑥的增大而__________，当𝑘<0时，直线向右下，即函数值𝑦随𝑥的增大而__________。思考讨论：（1）如图，是某位同学从高一到高三上学期的考试成绩的统计图，从图中，你

可以得出该同学成绩是怎样变化的呢？（2）如图，是函数𝑓(𝑥)（𝑥∈[−6,9]）的图象，说出在各个区间函数值𝑓(𝑥)随𝑥的值的变化情况.二、新知识一般地，在函数𝑦=𝑓(𝑥)定义域内的一个区间𝐴上.如果对于任意的𝑥1,𝑥2∈𝐴，当𝑥1<𝑥2时，都有___________

，那么就称函数𝑦=𝑓(𝑥)在区间𝐴上是增函数或递增的；如果对于任意的𝑥1,𝑥2∈𝐴，当𝑥1<𝑥2时，都有____________，那么就称函数𝑦=𝑓(𝑥)在区间𝐴上是减函数或递减的。注意：①函数𝑦=𝑓

(𝑥)在区间𝐴上是增函数（减函数），那么就称函数在区间𝐴上是单调函数，或称在区间𝐴上具有单调性，区间𝐴称为函数𝑦=𝑓(𝑥)的单调区间。如：一元二次函数𝑓(𝑥)=𝑥2在区间[0,+∞）上是__________（单调递增）

，区间[0,+∞）是函数𝑓(𝑥)=𝑥2的__________区间；②增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的；③“函数在区间𝐴上单增”与“函数的单增区间是𝐴”两种叙述含义是不同的.如：函数𝑓(𝑥)=𝑥2−2𝑎𝑥−1的单调递增

区间为[2,+∞），则对称轴𝑎__________；函数𝑓(𝑥)=𝑥2−2𝑎𝑥−1在区间[2,+∞）上单调递增，则对称轴𝑎__________.④函数𝑦=1𝑥的定义域为(−∞,0)∪（0,+∞），由

函数图象可知，在两个区间上函数都是单调递减的，但不能说成“函数在定义域内递减”或“函数的单调递减区间是(−∞,0)∪（0,+∞）”，而只能说“函数在区间(−∞,0)和区间（0,+∞）上都是递减的”.例1.设𝑓(𝑥)=1𝑥（𝑥<0），画出函数𝑓(𝑥+3)（𝑥<−3）的图象，并通过图

象直观判断它的单调性.例2.根据函数图象直观判断𝑦=|𝑥−1|的单调性.例3.判断函数𝑓(𝑥)=−3𝑥+2的单调性，并给出证明.思考讨论（综合练习）（1）二次函数𝑓(𝑥)=𝑥2+2𝑎𝑥+2在区间[1,2]上单调，则实数𝑎的取值范围；（2

）设函数𝑓(𝑥)=√𝑥2+1−𝑎𝑥，证明：当𝑎≥1时，函数𝑓(𝑥)在区间[0,+∞）上是减函数；（3）已知𝑎>0，函数𝑓(𝑥)=𝑥3−𝑎𝑥是区间[1,+∞）上的单调函数，求实数𝑎

的取值范围；（4）设实数𝑡∈𝑅,函数𝑓(𝑥)=𝑥2−2𝑥−1在区间[𝑡,𝑡+1]上的最小值是𝑔（𝑡），求𝑔（𝑡）并画出𝑦=𝑔（𝑡）的图象.【第二课时】【学习目标】（1）利用函数的单调性定义证明函数的单调性；（2）复杂函数（双曲函数、分

式函数、复合函数等）单调性的分析和证明；（3）熟练利用函数的单调性解决函数、不等式等问题。【学习重难点】（1）利用定义证明函数的单调性；（2）复杂函数（双曲函数、分式函数、复合函数等）单调性的分析和证明；

（3）利用函数的单调性解决函数、不等式等问题。【学习过程】思考讨论：（1）增函数和减函数的定义是什么？（2）如果有两个函数𝑦=𝑓(𝑥)和𝑦=𝑔(𝑥)，在同一个区间𝐼上都是单增（单减）函数，那么函数𝑦=𝑓(𝑥)+𝑔(𝑥)的具有怎样的单调性

？能不能判断函数𝑦=𝑓(𝑥)−𝑔(𝑥)的单调性呢？例4.判断函数𝑓(𝑥)=√𝑥的单调性，并给出证明.例5.试用定义证明：函数𝑓(𝑥)=𝑥+1𝑥在区间（0,1]上是减函数，在区间[1,+∞）上是增函数.

注意：①函数𝑦=𝑥+1𝑥在区间（0,1]上是减函数，在区间[1,+∞）上是增函数.𝑥∈（0,+∞）时，由函数的单调性或由均值不等式𝑥+1𝑥≥2，可得当𝑥=1时，函数𝑦=𝑥+1𝑥取得最小值2，同理也可以得到𝑥∈（−∞,0

）时函数的单调性。画出该函数的图象，如图，该函数又叫双曲函数.形如𝑓(𝑥)=𝑎𝑥+𝑏𝑥（𝑎>0,𝑏>0）的函数，在区间（0,+∞）上也具有类似的性质，根据均值不等式，可得当𝑥=__________时，函数取得最小值__________，函数在区间（0,√ba]上是

__________，在区间[√𝑏𝑎,+∞）上是__________；②设𝑦是𝑢的函数𝑦=𝑓(𝑢)，𝑢是𝑥的函数𝑢=𝑔（𝑥），其中函数𝑢=𝑔（𝑥）的值域是函数𝑦=𝑓(𝑢)的定义域或子集，则函数𝑦=𝑓(𝑔（𝑥）)

称为函数𝑦=𝑓(𝑢)与函数𝑢=𝑔（𝑥）的复合函数。复合函数单调性常采用分层分析的方法：如：函数𝑦=√𝑥2+1，令𝑢=𝑥2+1，则𝑦=√𝑢当𝑥∈（−∞,0）时，𝑥↗,𝑢=𝑥2+1↘,𝑦=√𝑢↘，所以函数𝑦=√𝑥2+1在𝑥∈（−∞,0）时单减，当𝑥∈（0,

+∞）时，𝑥↗,𝑢=𝑥2+1↗,𝑦=√𝑢↗，所以函数𝑦=√𝑥2+1在𝑥∈（−∞,0）时单增，其中“↗”代表增大，“↘”代表减小.③有些函数问题中（如求值域、求最值等），如果要用到函数的单调性，而又不需证明，可以通过分析的方法，得到函数的单

调性.如：求函数𝑓(𝑥)=1−2𝑥𝑥−1在区间[2,3]上的最值.𝑓(𝑥)=____________________________________，当𝑥∈[2,3]时，随着𝑥↗，−1𝑥−1↗，所以函数𝑓(𝑥)↗，即函数单增.所以𝑓(𝑥)𝑚𝑖𝑛=_

___________________，𝑓(𝑥)𝑚𝑎𝑥=____________________。思考讨论（综合练习）（1）如果函数𝑓(𝑥)=𝑥2+𝑏𝑥+𝑐，对任意实数𝑥都有�

�(2+𝑥)=𝑓（2−𝑥），试比较𝑓(−3)、𝑓(2)、𝑓(3)的大小；（2）函数21010xxfxaxax＞在𝑅上单调递增，求实数𝑎的取值范围（3）求函数𝑦=√3−2𝑥−𝑥2的单调区间；（

4）已知定义在区间（0,+∞）上的函数𝑓(𝑥)，满足：i）对任意𝑥,𝑦∈（0,+∞），都有𝑓(𝑥𝑦)=𝑓(𝑥)+𝑓（𝑦）；ii）当0<𝑥<1时，𝑓(𝑥)>0.①判断并证明𝑓(𝑥)在区间（0,+∞）上的单调性；②解关于𝑎的不等式𝑓(1−2𝑎)−𝑓(

4−𝑎2)>0.