【文档说明】北师大版（2019）高中数学必修第一册：2.4.1《函数的奇偶性》教案.docx，共(5)页，270.001 KB，由baby熊上传

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函数的奇偶性【教材分析】函数奇偶性是函数的又一个重要性质，是函数概念的拓展和深化，奇偶性充分体现了函数图象在研究函数性质的重要性，渗透了探索发现、数形结合、归纳转化等数学思想方法。奇偶性的教学在知识和能力方面对学生

的教育起着非常重要的作用，是后续学习幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等基本初等函数的基础。因此，在函数的学习中，本节课起着承上启下的重要作用。【教学目标与核心素养】1．知识目标：理解、掌握函数奇偶性的概念、图象特征和性质；能够根据

定义和图象判断简单函数的奇偶性；能够应用定义证明和解决与函数的奇偶性有关的问题。2．核心素养目标：通过函数奇偶性概念的学习和简单的应用，体会数形结合、归纳转化等基本的数学思想方法，提高学生的数学运算和直观想象能力。【教学重难点】1．函数奇偶性的概念、图象特征和性质；

2．根据定义和图象判断简单函数的奇偶性；3．用定义证明和解决与函数的奇偶性有关的问题。【课前准备】多媒体课件【教学过程】一、知识引入在日常生活中，我们经常会看到一些具有对称性的图片，如美丽的蝴蝶、精彩的剪纸等等。思考讨论：（1）上列各图，分别是怎样的对称图

形？提示：第1、2图为轴对称图形，第3、4图为中心对称图形．（2）在我们学习的函数中，有些函数的图象也具有对称性，请举出几个这样的函数；提示：一元二次函数图象（轴对称）、反比例函数图象（中心对称）等等．例1．画出函数𝑓(𝑥)=𝑥3的图象，并观察它的对称性．解：

先列表，然后描点、连线，得到函数图象如图（3）上例函数的图象是关于原点中心对称的，你能说出函数解析式是怎样体现这个性质的吗？提示：对于定义域中任一个自变量的取值𝑥0，都有函数值𝑓(−𝑥0)=−𝑓（𝑥0）．二、新知识一般地，设函数𝑦=𝑓(𝑥)定义域为𝐴．如果当�

�∈𝐴时,有−𝑥∈𝐴，且𝑓(−𝑥)=−𝑓（𝑥），那么就称函数𝑦=𝑓(𝑥)为奇函数；如果当𝑥∈𝐴时,有−𝑥∈𝐴，且𝑓(−𝑥)=𝑓（𝑥），那么就称函数𝑦=𝑓(𝑥)为偶函数。如：函数𝑓(𝑥)=𝑥2、𝑓

(𝑥)=2𝑥等等注意：①当函数𝑦=𝑓(𝑥)是奇函数或偶函数时，称函数𝑓(𝑥)具有奇偶性。奇函数图象关于原点中心对称，反之亦然；偶函数图象关于𝑦轴对称,反之亦然。②函数具有奇偶性的前提是：定义域关于原点对称；③若奇函数𝑦=𝑓(𝑥)是在𝑥=0处有定义

，则有𝑓(0)=0；④如果已知了一个函数的奇偶性，那么在研究它的性质时，可以先研究其在非负区间,0,+∞）上的性质，然后利用对称性可得在𝑦轴另一侧函数的性质．例2．根据定义，判断下列函数的奇偶性：（1）𝑓(𝑥)=−2𝑥5；（2）𝑔(𝑥)=𝑥4

+2；（3）𝑕(𝑥)=1𝑥2；（4）𝑚(𝑥)=1𝑥+2．解：（1）函数𝑓(𝑥)=−2𝑥5定义域为𝑅，对任意𝑥∈𝑅，有𝑓(−𝑥)=−2(−𝑥)5=2𝑥5，−𝑓(𝑥)=2𝑥5．得𝑓(−𝑥

)=−𝑓(𝑥)，所以函数为奇函数．（2）函数𝑔(𝑥)=𝑥4+2定义域为𝑅，对任意𝑥∈𝑅，有𝑔(−𝑥)=(−𝑥)4+2=𝑥4+2，得𝑔(−𝑥)=𝑔(𝑥)，所以函数为偶函数．（3）函数𝑕(𝑥

)=1𝑥2定义域为*𝑥|𝑥≠0+，对任意𝑥∈*𝑥|𝑥≠0+，有𝑕(−𝑥)=1（−𝑥）2=1𝑥2，得𝑕(−𝑥)=𝑕(𝑥)，所以函数为偶函数．（4）函数𝑚(𝑥)=1𝑥+2定义域为*𝑥|𝑥≠−2+，

定义域不关于原点对称，所以函数既不是奇函数也不是偶函数．思考讨论（综合练习）（1）根据定义，判断下列函数的奇偶性：①𝑓(𝑥)=√1−𝑥2+√𝑥2−1②𝑓(𝑥)={𝑥2+𝑥𝑥≤0−𝑥2+𝑥𝑥>0③𝑓(𝑥)=√1−𝑥2|

𝑥+2|−2④𝑓(𝑥)=√𝑥2+1+𝑥−1√𝑥2+1+𝑥+1（2）已知函数𝑓(𝑥)是定义在𝑅上的奇函数，且当𝑥>0时，𝑓(𝑥)=−𝑥2+2𝑥+1．①求函数𝑓(𝑥)的解析式；②若函数在(−1,𝑎−2)上单调递增，求实数

𝑎的取值范围．提示：（1）①函数有意义，则{1−𝑥2≥0𝑥2−1≥0，即定义域为*−1,1+，有𝑓(𝑥)=0，此时既有𝑓(−𝑥)=−𝑓(𝑥)，又有𝑓(−𝑥)=𝑓(𝑥)所以函数既是奇函数又是偶函数．②函数定义域为𝑅，𝑓(0)=0若𝑥>0，则−𝑥<0，有𝑓(−

𝑥)=（−𝑥）2+(−𝑥)=𝑥2−𝑥，−𝑓(𝑥)=𝑥2−𝑥，有𝑓(−𝑥)=−𝑓(𝑥)若𝑥<0，则−𝑥>0，有𝑓(−𝑥)=−(−𝑥)2+(−𝑥)=−𝑥2−𝑥，−𝑓(𝑥)=−𝑥2−

𝑥，仍有𝑓(−𝑥)=−𝑓(𝑥)所以函数为奇函数．③函数有意义，则{1−𝑥2≥0|𝑥+2|−2≠0，即定义域为,−1,0）∪（0,1-，函数即为𝑓(𝑥)=√1−𝑥2𝑥易得𝑓(−𝑥)=−𝑓(𝑥)所以函数为奇函数．④函数定

义域为𝑅，对任意𝑥∈𝑅，有222222111122011111111xxxxxxfxfxxxxxxxxx（）（）即𝑓(−𝑥)=−𝑓(𝑥)所以函数为奇函数．（2）①函数𝑓(𝑥)是定义在�

�上的奇函数，设𝑥<0，则−𝑥>0𝑓(−𝑥)=−（−𝑥）2+2(−𝑥)+1=−𝑥2−2𝑥+1．又函数为奇函数，𝑓(−𝑥)=−𝑓(𝑥)，上式即为−𝑓(𝑥)=−𝑥2−2𝑥+1得

𝑓(𝑥)=𝑥2+2𝑥−1所以函数𝑓(𝑥)={−𝑥2+2𝑥+1𝑥>00𝑥=0𝑥2+2𝑥−1𝑥<0②函数在(−1,𝑎−2)上单调递增，画出函数图象，如图则{𝑎−2>−1𝑎−

2≤1，解得1<𝑎≤3所以实数𝑎的取值范围为1<𝑎≤3．注意：①奇偶性的定义是判断函数奇偶性的基本方法，某些函数，如果不易直接看出𝑓(−𝑥)与𝑓(𝑥)的关系，可以通过验证𝑓(−𝑥)+𝑓(𝑥)=0或𝑓(−𝑥)−𝑓(𝑥)=0

来判断函数的奇偶性；②奇函数如果在𝑥=0处有定义，必有𝑓(0)=0；③函数𝑓(𝑥)在定义域内，如果满足𝑓(𝑎+𝑥)=𝑓（𝑎−𝑥），则函数图象关于直线𝑥=𝑎对称；如果满足𝑓(𝑎+𝑥)=𝑓（𝑏−𝑥），则函数图象关于直线𝑥=𝑎+𝑏2对称．

三、课堂练习教材P66，练习1、2、3．四、课后作业教材P67，习题2-4：A组第1、2、3题．【教学反思】分析函数的性质，一般首先考察函数的定义域，然后考察函数的奇偶性等，如果可能，再画出函数的图象，这样函数的其他性质，比如单调性、值域、最值等等，就很容易得到了。所以奇偶性是函数最基本的性质之一

，如果函数具备奇偶性，在考察其性质或图象时，就可以只考虑𝑦轴一侧的情况，从而事半而功倍。