【文档说明】北师大版（2019）高中数学必修第一册：4.2.2《换底公式》教案.docx，共(5)页，55.142 KB，由baby熊上传

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换底公式【教学目标】1．通过对数换底公式的推导，提升逻辑推理素养。2．通过用对数换底公式进行化简求值，培养数学运算素养。【教学重难点】1．能推导出对数的换底公式。(重点)2．会用对数换底公式进行化简与求值。(难点、易混点)【教学过程】一、问题引入换底

公式：logbN＝logaNlogab(a，b＞0，a，b≠1，N＞0)。特别地，logab·logba＝1，logba＝思考：换底公式的作用是什么？[提示]换底公式的主要作用是把不同底的对数化为同底的对数，再运用对数的性质进行运算。二、新

知探究1．利用换底公式化简求值【例1】计算：log1627log8132．[思路探究]在两个式子中，底数、真数都不相同，因而要用换底公式进行换底以便于计算求值。[解]log1627log8132＝lg27lg16·lg32lg81＝lg33lg24·lg25lg34＝3lg34lg2·5lg24l

g3＝1516。【教师小结】（1）换底公式中的底可由条件决定，也可换为常用对数的底，一般来讲，对数的底越小越便于化简，如an为底的换为a为底。（2）换底公式的派生公式：logab＝logac·logcb；logan

bm＝mnlogaB．2．用已知对数表示其他对数【例2】已知log189＝a，18b＝5，用a，b表示log3645．[解]法一：因为log189＝a，所以9＝18a，又5＝18b，所以log3645＝log2×18(5×9)＝log2×1818a＋b＝(a＋b)·

log2×1818．又因为log2×1818＝1log18＝11＋log182＝11＋log18189＝11＋1－log189＝12－a，所以原式＝a＋b2－a。法二：∵18b＝5，∴log185＝b，

∴log3645＝log1845log1836＝log18log18＝log185＋log1892log182＋log189＝a＋b2log18189＋log189＝a＋b2－2log189＋log189＝a＋b2－a。法三：∵log189＝a，18b＝5，∴lg9＝alg18，lg5＝bl

g18，∴log3645＝lg1829＝lg9＋lg52lg18－lg9＝alg18＋blg182lg18－alg18＝a＋b2－a。【教师小结】用已知对数的值表示所求对数的值，要注意以下几点：（1）增强目标意识，合理地把所求向

已知条件靠拢，巧妙代换；（2）巧用换底公式，灵活“换底”是解决这种类型问题的关键；（3）注意一些派生公式的使用。3．对数的实际应用[探究问题]（1）光线每通过一块玻璃板，其强度要损失10%，把几块这样的玻璃板重叠起来，设光线原

来的强度为a，通过x块玻璃板以后的强度值为y。试写出y关于x的函数关系式。提示：依题意得y＝a1－110x＝a910x，其中x≥1，x∈N。（2）探究1中的已知条件不变，求通过多少块玻璃以后，光线强度减弱到原来

强度的12以下？(根据需要取用数据lg3≈0.4771，lg2≈0.3010)提示：依题意得a910x≤a×12⇒910x≤12⇒x(2lg3－1)≤－lg2⇒x≥0.30101－2×0.4771≈6．572，∴xmin＝7．即通过7块以上(包括7块)的玻

璃板后，光线强度减弱到原来强度的12以下。【例3】某城市现有人口数为100万，如果年自然增长率为1．2%，试解答下面的问题。(1)写出该城市x年后的人口总数y(万人)与年数x(年)的函数关系式；(2)计算大约多少年以后，该城市人口将达到120万？(精确到1年

)(lg1．012≈0.0052，lg1．2≈0.0792)[思路探究]先利用指数函数知识列出y与x的函数关系式，再利用对数求值。[解](1)由题意y＝100(1＋1．2%)x＝100·1．012x(x∈N＋)。(2)由100·1．012x＝

120，得1．012x＝1．2，∴x＝log1．0121．2＝lg1.2lg1.012≈0.07920.0052≈16，故大约16年以后，该城市人口将达到120万。【教师小结】解对数应用题的步骤三、课堂总结1．换底公式可完成不同

底数的对数式之间的转化，可正用，逆用；使用的关键是恰当选择底数，换底的目的是利用对数的运算性质进行对数式的化简。2．运用对数的运算性质应注意：(1)在各对数有意义的前提下才能应用运算性质。(2)根据不同的问题选择公式的正用或逆用。(3

)在运算过程中避免出现以下错误：①logaNn＝(logaN)n，②loga(MN)＝logaM·logaN，③logaM±logaN＝loga(M±N)。四、课堂检测1．思考辨析(1)logab＝lgblg

a＝lnblna。()(2)log52＝log－2log－5。()(3)logab·logbc＝logaC．()[答案](1)√(2)×(3)√2．若lg3＝a，lg5＝b，则log53等于()A．baB．abC．abD．baB[log

53＝lg3lg5＝ab。]3．log332·log227＝________。15[log332·log227＝lg32lg3·lg27lg2＝5lg2lg3·3lg3lg2＝15．]4．一种放射性物质不断变

化为其他物质，每经过一年剩留的质量是原来的84%，估计约经过多少年，该物质的剩留量是原来的一半。(结果保留1个有效数字)[解]设最初的质量是1，经过x年，剩留量是y，则y与x的关系式为y＝0.84x。依题意得0.84x＝0.5，化为对数式，得log0.840.5＝x，由换底公式知x＝ln0.5ln

0.84，用科学计算器计算得x≈3．98，即约经过4年，该物质的剩留量是原来的一半。