【文档说明】北师大版（2019）高中数学必修第一册：3.1《指数幂的拓展》学案.docx，共(4)页，1.197 MB，由baby熊上传

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指数幂的拓展【学习目标】掌握有理数指数幂的含义和运算；掌握根式运算与指数运算的内在联系；正确进行有理数指数幂的运算；理解实数指数幂的含义。【学习重难点】（1）正分数指数幂的含义和运算；（2）有理数指数幂的运

算；（3）根式与分数指数幂的相互转化。【学习过程】一、知识引入在初中，学习了整数指数幂的运算及性质𝑎𝑛=𝑎∙𝑎∙𝑎∙⋯∙𝑎⏟𝑛个𝑎，𝑎0=1，𝑎−𝑛=1𝑎𝑛𝑎𝑚∙𝑎𝑛=𝑎𝑚+𝑛，(𝑎𝑚)�

�=𝑎𝑚𝑛，(𝑎∙𝑏)𝑛=𝑎𝑛∙𝑏𝑛。思考讨论：（1）薇甘菊是热带、亚热带地区危害最严重的杂草之一，它侵害田地的面积𝑆(单位hm2)与年数𝑡（年）的关系式为：𝑆=𝑆0∙1.057𝑡。其中𝑆0为侵害面积的初始值如果求10年后侵害的面

积，则𝑆=𝑆0∙1.05710；如果求15.5年后侵害的面积，就需要计算𝑆=𝑆0∙1.05715.5，这个指数运算与初中所学的指数运算有什么差异呢？（2）对于分数指数幂的运算，该如何运算呢？如312=？。二、新知探究1、给定正数𝑎和正整数𝑚，𝑛(𝑛>1，且

𝑚，𝑛互素)，若存在唯一的正数𝑏，使得𝑏𝑛=𝑎𝑚，则称𝑏为𝑎的𝑚𝑛次幂。记作𝑏=，这就是正分数指数幂。例如：𝑏5=2，则𝑏=215；𝑡6=513，则𝑡=。注意：①当𝑘是正整数时，分数指数幂𝑎𝑚𝑛满足：𝑎𝑚𝑛=𝑎𝑘𝑚�

�𝑛②与312=√3类似，当底数𝑎>0时，𝑎𝑚𝑛=√𝑎𝑚𝑛，其中√𝑎𝑚𝑛读作“𝑛次根号下𝑎𝑚”，也叫根式运算。例如：812=√8=2√2，2723=√2723=9；③根据分数指数幂𝑎𝑚𝑛的定义，分数指数幂的

条件是：底数𝑎>0.虽然√−273=−3，但不能写成(−27)13=−3．例1．把下列各式中的正数𝑏写成正分数指数幂的形式：（1）𝑏5=20；（2）𝑏4=25；（3）𝑏𝑛=3𝑚(𝑚，𝑛∈𝑁+)；（4）𝑏3𝑛=𝜋9𝑚(𝑚，𝑛∈𝑁+)。

2、类似负整数指数幂的定义，给定𝑎>0，正整数𝑚，𝑛(𝑛>1，且𝑚，𝑛互素)，定义𝑎−𝑚𝑛=1𝑎𝑚𝑛=1√𝑎𝑚𝑛。指数运算的指数已经扩充到有理数了。那么，指数是无理数的情况呢？以10√2为例说明如下因为√2=1．414213⋯，所以1．4<1．41<1．414<⋯<√

2<⋯<1．415<1．42<1．5上式√2左边的数称为√2的不足近似值，右边的数称为√2的过剩近似值101.4<101.41<101.414<⋯<10√2<⋯<101.415<101.42<101.5借助计算器，可算出10√2越来越趋近于同一个数

，即10√2=25.954⋯一般的，给定正数𝑎，对任意无理数𝛼，𝑎𝛼都是一个确定的实数。同理𝑎−𝛼=1𝑎𝛼这样，指数运算的指数已经扩充到全体实数了。注意：①给定一个正数𝑎，对任意实数𝛼，指数幂𝑎𝛼都大于0；②0的任意正实数幂都等于0；

③0的0指数幂和负实数指数幂都没有意义。例2．计算：（1）432；（2）27−13；（3）(116)−32。思考讨论（综合练习）（1）计算下列各式：①932+(12)−2；②(279)0.5−0.1−2+(21027)−13+100𝜋0。（2）用分数指数幂表示下列各式（字母均表示

正实数）。①√𝑎∙√𝑎3②√𝑎𝑏3√𝑎𝑏5【学习小结】1、给定正数𝑎和正整数𝑚，𝑛(𝑛>1，且𝑚，𝑛互素)，若存在唯一的正数𝑏，使得𝑏𝑛=𝑎𝑚，则称𝑏为𝑎的𝑚𝑛次幂。记作𝑏=𝑎𝑚𝑛，这就是正分数指数幂。2

、类似负整数指数幂的定义，给定𝑎>0，正整数𝑚，𝑛(𝑛>1，且𝑚，𝑛互素)，定义𝑎−𝑚𝑛=1𝑎𝑚𝑛=1√𝑎𝑚𝑛。【精炼反馈】1．思考辨析（1）223表示23个2相乘。()（2）amn＝man(a>0，m，n

∈N＋，且n>1)。()（3）nan＝(na)n。()[答案]（1）×（2）×（3）×[答案]92