二倍角的三角函数问题1：在两角和的正弦、余弦、正切公式中，若α＝β，则公式可变形为何种形式？提示：sin2α＝2sinαcosα，cos2α＝cos2α－sin2α，tan2α＝2tanα1－tan2α.问题2：能否只用cosα或sinα来表示cos2α？其公式又为何种形式？提示：cos2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α.倍角公式(1)sin2α＝.(2)cos2α＝＝＝.(3)tan2α＝.2sinαcosαcos2α－sin2α2cos2α－11－2sin2α2tanα1－tan2α1．倍角公式与和角公式的关系倍角公式是和角公式的特例，只要在和角公式中令α＝β就可得到相应的倍角公式．2．倍角公式的适用范围公式S2α，C2α中，角α可以为任意角；但公式T2α只有当α≠π2＋kπ及α≠π4＋kπ2(k∈Z)时才成立，否则不成立(因为当α＝π2＋kπ，k∈Z时，tanα的值不存在；当α＝π4＋kπ2，k∈Z时，tan2α的值不存在)．3．倍角的相对性角的二倍关系是相对的，如2α是α的二倍角，4α是2α的二倍角，α是α2的二倍角，π2＋2α是π4＋α的二倍角，等等．在解决问题时，应确定所给角之间是否具备这种“二倍”关系，做到广义上的理解和运用．[例1]求下列各式的值：(1)2sinπ12cosπ12；(2)1－2sin2750°；(3)2tan150°1－tan2150°；(4)cosπ12cos5π12.[思路点拨]逆用二倍角公式化简求值．[精解详析](1)原式＝sin2×π12＝sinπ6＝12.(2)原式＝cos(2×750°)＝cos1500°＝cos(60°＋4×360°)＝cos60°＝12.(3)原式＝tan(2×150°)＝tan300°＝tan(360°－60°)＝－tan60°＝－3.(4)原式＝cosπ12cosπ2－π12＝cosπ12sinπ12＝12·2sinπ12cosπ12＝12sinπ6＝12×12＝14.[一点通]解决此类非特殊角的求值问题，其关键是利用公式转化为特殊角求值，要充分观察角与角之间的联系，看角是否有倍数关系，能否用二倍角公式求值，是否是互余关系，能否进行正弦与余弦的互化；要充分根据已知式的结构形式，选择公式进行变形并求值．解析：12－cos2π8＝12(1－2cos2π8)＝12

第八单元解析几何第48讲椭圆课前双基巩固第1课时椭圆及其性质第2课时直线与椭圆的位置关系内容与要求1.了解椭圆的实际背景,了解椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.2.掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单性质.3.了解椭圆的简单应用.4.理解数形结合的思想.􀳊知识聚焦􀳊1.椭圆的定义平面内与两个定点F1,F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫作.这两个定点叫作椭圆的,两焦点间的距离叫作椭圆的.集合P={M||MF1|+|MF2|=2a},|F1F2|=2c,其中a>0,c>0,且a,c为常数:(1)若,则集合P为椭圆;(2)若,则集合P为线段;(3)若,则集合P为空集.椭圆焦点焦距a>ca=ca<c2.椭圆的标准方程和几何性质标准方程图形(续表)标准方程性质范围、、对称性对称轴:对称中心:顶点A1,A2B1,B2A1,A2B1,B2-a≤x≤a-b≤y≤b-b≤x≤b-a≤y≤a坐标轴(0,0)(-a,0)(a,0)(0,-b)(0,b)(0,-a)(0,a)(-b,0)(b,0)第48讲椭圆-2021版高三数学（新高考）一轮复习课件(共87张PPT)第48讲椭圆-2021版高三数学（新高考）一轮复习课件(共87张PPT)(续表)标准方程性质轴长轴A1A2的长为短轴B1B2的长为焦距|F1F2|=离心率a,b,c的关系c2=2a2b2c(0,1)a2-b2第48讲椭圆-2021版高三数学（新高考）一轮复习课件(共87张PPT)第48讲椭圆-2021版高三数学（新高考）一轮复习课件(共87张PPT)3.直线与椭圆的位置关系(1)直线与椭圆的位置关系,从几何角度来看有三种:相离时,直线与椭圆公共点;相切时,直线与椭圆有公共点;相交时,直线与椭圆有公共点;(2)判断直线与椭圆的位置关系时,通常将直线方程与椭圆方程联立,消去y(或x),转化为关于x(或y)的方程ax2+bx+c=0(或ay2+by+c=0)的形式.当判别式时,直线与椭圆相交;当判别式时,直线与椭圆相切;当判别式时,直线与椭圆相离.(3)讨论直线与椭圆的位置关系时,还可以利用数形结合的方法解决.没有一个两个Δ>0Δ=0Δ<0第48讲椭圆-2021版高三数学（新高考）一轮复习课件(共87张PPT)第48讲椭圆-2021版高三数学（新高考）一轮复习课件(共87张PPT)4.直线与椭圆相

高考大题增分专项四高考中的立体几何-2-从近五年的高考试题来看,立体几何是历年高考的重点,约占整个试卷的15%,通常以一大两小的模式命题,以中、低档难度为主.三视图、简单几何体的表面积与体积、点、线、面位置关系的判定与证明以及空间角的计算是考查的重点内容,前者多以客观题的形式命题,后者主要以解答题的形式加以考查.着重考查推理论证能力和空间想象能力,而且对数学运算的要求有加强的趋势.转化与化归思想贯穿整个立体几何的始终.-3-题型一题型二题型三题型四题型一线线、线面平行或垂直的判定与性质1.在解决线线平行、线面平行问题,若题目中已出现了中点,则可考虑在图形中取中点,构成中位线进行证明.2.要证线面平行,先在平面内找一条直线与已知直线平行,再利用线面平行的判定定理证明.3.要证线线平行,可考虑公理4或转化为线面平行.4.要证线面垂直可转化为证明线线垂直,应用线面垂直的判定定理与性质定理进行转化.5.用向量方法证明线线、线面平行或垂直的方法:设直线l1,l2的方向向量分别为a,b,平面α,β的法向量分别为e1,e2,A,B,C分别为平面α内相异三点(其中,l1与l2不重合,α与β不重合,l1不在α内),则-4-题型一题型二题型三题型四(1)l1∥l2⇔a∥b⇔存在实数λ,使b=λa(a≠0);l1⊥l2⇔a⊥b⇔a·b=0.(2)l1⊥α⇔a∥e1⇔存在实数λ,使e1=λa(a≠0);l1∥α⇔a·e1=0⇔存在非零实数λ1,λ2,使a=λ1𝐴𝐵+λ2𝐴𝐶.-5-题型一题型二题型三题型四例1在如图所示的几何体中,四边形ABCD是正方形,PA⊥平面ABCD,E,F分别是线段AD,PB的中点,PA=AB=1.求证:EF∥平面DCP.-6-题型一题型二题型三题型四证明:(方法一)取PC的中点M,连接DM,MF.∵M,F分别是PC,PB的中点,∴MF∥CB,MF=12CB.∵E为DA的中点,四边形ABCD为正方形,∴DE∥CB,DE=12CB,∴MF∥DE,MF=DE,∴四边形DEFM为平行四边形,∴EF∥DM.∵EF⊄平面DCP,DM⊂平面DCP,∴EF∥平面DCP.-7-题型一题型二题型三题型四(方法二)取PA的中点N,连接NE,NF.∵E是AD的中点,N是PA的中点,∴NE∥DP.又F是PB的中点,N是PA的中点,∴NF∥AB.∵AB∥CD,∴NF∥CD.∵NE∩N

椭圆中一类定点问题解法探究高三数学考点概述定点问题是圆锥曲线中十分重要的内容，蕴含着动、静依存的辩证关系，深刻体现了数学的魅力，在高考中常常涉及此类问题且位于中档题的位置．本专题以椭圆中的斜率关系为条件，通过对几道具体问题的分析，对解决方法进行小结。【典例剖析】【例1】过椭圆C：的上顶点A作互相垂直的直线分别交椭圆于M,N两点.求证：直线MN过定点，并求出该定点坐标.22+=14xy用变量表示直线MN的方程思路1：设直线AM或AN的斜率思路2：设直线MN的方程，M点与N点坐标，表示直线的垂直关系定点在y轴思路3：先特值化后证明分析：解法1：设直线AM的方程为y=kx+1()22221418014ykxkxkxxy=+++=+=联立方程222814,4141MMkkxykk−=−=++解得22284,44NNkkxykk−==++同理可得，21=5MNkkk−从而有22221418()41541kkkMNyxkkk−−−=+++直线的方程：21355kyxk−−化简得=所以，直线MN过定点.30,5−解法2：用解法一求出直线MN的方程，再用特殊值法求出定点.根据题意可以判断出定点在y轴上，把方程化成斜截式精编优质课PPT2020届江苏省高考二轮复习专题：椭圆中一类定点问题解法探究课件(共19张PPT)(获奖课件推荐下载)精编优质课PPT2020届江苏省高考二轮复习专题：椭圆中一类定点问题解法探究课件(共19张PPT)(获奖课件推荐下载)解法3：由对称思想可知，直线MN过的定点位于y轴上，由特值化易得，直线MN过定点P，再证明如下：30,5−设直线的方程：y=kx+1AMl22331155=,55MNMPNPMNyykkkkxkxk++−−====MPNPkk有所以，直线MN过定点.30,5−()22221418014ykxkxkxxy=+++=+=联立方程222814,4141MMkkxykk−=−=++解得，22284,44NNkkxykk−==++同理可得，利用斜率相等证明三点共线，也可以使用向量来证明.精编优质课PPT2020届江苏省高考二轮复习专题：椭圆中一类定点问题解法探究课件(共19张PPT)(获奖课件推荐下载)精编优质课PPT2020届江苏省高考二轮复习专题：椭圆中一类定点问题解法探究课件(共1

高考大题增分专项五高考中的解析几何-2-从近五年的高考试题来看,圆锥曲线问题在高考中属于必考内容,并且常常在同一份试卷上多题型考查.对圆锥曲线的考查在解答题部分主要体现以下考法:第一问一般是先求圆锥曲线的方程或离心率等较基础的知识;第二问往往涉及定点、定值、最值、取值范围等探究性问题,解决此类问题的关键是通过联立方程来解决.-3-题型一题型二题型三题型四题型五题型六题型一求轨迹方程1.求轨迹方程时,先看轨迹的形状能否预知,若能预先知道轨迹为何种圆锥曲线,则可考虑用定义法求解或用待定系数法求解;否则利用直接法或代入法.2.利用定义法求轨迹方程时,要看所求轨迹是不是完整的圆、椭圆、双曲线、抛物线,如果不是完整的曲线,则应对其中的变量x或y进行限制.-4-题型一题型二题型三题型四题型五题型六例1已知圆C:(x+1)2+y2=8,过D(1,0)且与圆C相切的动圆圆心为P.(1)求点P的轨迹E的方程;(2)设过点C的直线l1交曲线E于Q,S两点,过点D的直线l2交曲线E于R,T两点,且l1⊥l2,垂足为W(Q,R,S,T为不同的四个点).①设W(x0,y0),证明:𝑥022+𝑦02<1;②求四边形QRST的面积的最小值.-5-题型一题型二题型三题型四题型五题型六(1)解:设动圆半径为r,由于D在圆内,圆P与圆C内切,则|PC|=22-r,|PD|=r,|PC|+|PD|=22>|CD|=2,由椭圆定义可知,点P的轨迹E是椭圆,a=2,c=1,b=2-1=1,故E的方程为𝑥22+y2=1.(2)①证明:由已知条件可知,垂足W在以CD为直径的圆周上,则有𝑥02+𝑦02=1,又因Q,R,S,T为不同的四个点,故𝑥022+𝑦02<1.-6-题型一题型二题型三题型四题型五题型六②解:若l1或l2的斜率不存在,则四边形QRST的面积为2.若两条直线的斜率存在,设l1的斜率为k,则l1的方程为y=k(x+1),由𝑦=𝑘(𝑥+1),𝑥22+𝑦2=1,得(2k2+1)x2+4k2x+2k2-2=0,则|QS|=22𝑘2+12𝑘2+1,同理得|RT|=22𝑘2+1𝑘2+2,∴S四边形QSRT=12|QS|·|RT|=4(𝑘2+1)2(2𝑘2+1)(𝑘2+2)≥4(𝑘2+1)294(𝑘2+1)2=169,当且仅当2k2+1=k2+2,即k=±1时等号成立.

第二章函数第1讲函数与映射的概念考纲要求考纲研读1.了解构成函数的要素．2．会求一些简单函数的定义域和值域．3．了解映射的概念.函数是特殊的映射，对函数的考查主要为：概念(判断是否为函数或判断两个函数是否相同)、定义域(具体函数或抽象函数)构成映射的个数.1．函数的概念(1)函数的定义设A、B是两个非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的____________，在集合B中都有___________的数和它对应，那么这样的对应叫做从A到B的一个函数，通常记为_______________.每一个数x唯一确定y＝f(x)，x∈A(2)函数的定义域、值域的集合{f(x)|x∈A}在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做y＝f(x)的_______；与x的值相对应的y值叫做函数值，_________________________称为函数y＝f(x)的值域．(3)函数的三个要素，即_______、_____和____________.2．映射的概念定义域值域对应关系f设A、B是两个非空集合，如果按照某种对应关系f，对于集合A中的_____元素，在集合B中都有___________的元素与之对应，那么这样的对应叫做从A到B的映射，通常记为__________.任意唯一确定f：A→B定义域函数值AA．{x|x≥－3}C．{x|x≤－3}B．{x|x>－3}D．{x|x<－3}2．下列函数中与函数y＝x相同的是()B[－2,2]1．(2011年广东广州调研)函数g(x)＝x＋3的定义域为()A．y＝(x)2B．y＝3x3C．y＝x2D．y＝x2x3．函数y＝4－x2的定义域是___________．4．函数y＝lg(4－x)x－3的定义域是________________.5．设M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤3}，给出如图2－1－1所示四个图象，其中能表示从集合M到集合N的函数关系的是_______(填序号)．②③{x|x<4且x≠3}图2－1－1考点1有关映射与函数的概念例1：若f：y＝3x＋1是从集合A＝{1,2,3，k}到集合B＝{4,7，a4，a2＋3a}的一个映射，则自然数a＝________，自然数k＝________；集合A＝________，B＝________.解题思路：处理映射有关问题的关键是理解透概念．解

第6讲│函数的奇偶性与周期性第6讲函数的奇偶性与周期性考纲要求第6讲│考纲要求1．结合具体函数，了解函数奇偶性的含义．2．掌握奇函数与偶函数图象的对称关系，并熟练地利用对称性解决函数的综合问题．3．了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性．知识梳理第6讲│知识梳理1．函数奇偶性的定义奇偶性定义图象特点偶函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有__________，那么函数f(x)是偶函数关于___________对称奇函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有____________，那么函数f(x)是奇函数关于____________对称f(－x)＝f(x)y轴f(－x)＝－f(x)原点2.利用定义判断函数奇偶性的步骤(1)首先确定函数的______________，并判断其是否关于______对称；(2)确定______与______的关系；(3)作出相应结论：若f(－x)＝f(x)或f(－x)－f(x)＝0，则f(x)是偶函数；若f(－x)＝－f(x)或f(－x)＋f(x)＝0，则f(x)是奇函数．第6讲│知识梳理原点定义域f(－x)f(x)第6讲│知识梳理y轴原点偶函数偶函数奇函数3．奇偶函数的简单性质(1)奇函数的图象关于______对称；偶函数的图象关于______对称；(2)在定义域的公共部分内，两个奇函数之积(商)为________；两个偶函数之积(商)也是________；一奇一偶函数之积(商)为________(注：取商时应使分母不为0)；(3)奇(偶)函数有关定义的等价形式：f(－x)＝±f(x)⇔f(－x)∓f(x)＝0⇔f(－x)f(x)＝±1(f(x)≠0)；(4)若函数y＝f(x)是奇函数且0是定义域内的值，则f(0)＝_________；(5)f(x)为偶函数⇔f(－x)＝f(x)＝f(|x|)．4．周期函数对于函数y＝f(x)，如果存在一个______________，使得当x取定义域内的每一个值时，__________________都成立，那么f(x)是周期函数，T是它的一个周期．若T是函数的一个周期，则nT(n∈N，n≠0)也是函数的周期．如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个____________，那么这个数就叫做f(x)的最小正周期．第6讲│知识梳理非零常数T0f(x＋T)＝f

第5讲│函数的单调性与最值第5讲函数的单调性与最值考纲要求第5讲│考纲要求1．理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义．2．会运用函数图象理解和研究函数的单调性．知识梳理第5讲│知识梳理知识梳理1．函数的单调性及性质(1)定义：增函数减函数定义设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1，x2.当x1<x2时，都有________，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数当x1<x2时，都有________，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数f(x1)<f(x2)f(x1)>f(x2)第5讲│知识梳理逐渐上升逐渐下降增函数减函数图象描述自左向右看图象是________自左向右看图象是________(2)单调性定义的等价形式：设x1，x2∈[a，b]，x1≠x2，那么(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0⇔f(x1)－f(x2)x1－x2>0⇔f(x)在[a，b]上是________；(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0⇔f(x1)－f(x2)x1－x2<0⇔f(x)在[a，b]上是________．第5讲│知识梳理减函数增函数(3)利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤：①任取x1，x2∈D，且x1<x2；②作差；③变形(通常是因式分解和配方)；④判断符号(即判断f(x1)－f(x2)的正负)；⑤下结论(即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性)．第5讲│知识梳理(4)判断方法：①定义法(作差比较法和作商比较法)：在区间D上，函数值y随x的增大而增大，则函数在区间D上为________，函数值y随x的增大而减小，则函数在区间D上为________；②图象法：在区间D上，如果函数的图象从左向右是上升的，则函数在区间D上为________，如果函数的图象从左向右是下降的，则函数在区间D上为________；第5讲│知识梳理减函数增函数增函数减函数③导数法：已知函数y＝f(x)在某区间D内可导，若f′(x)>0，则函数y＝f(x)为区间D上的________，若f′(x)<0，则函数y＝f(x)为区间D上的________；④运算法：在公共定义域内，增函数＋增函数＝________，减函数＋减函数＝________；⑤复合函数单调性的判断方法：“同增异减”，即若y＝f(x)和u＝g(x)的单调性

§1.3简单逻辑联结词、全称量词与存在量词数学RA（理）第一章集合与常用逻辑用语1．简单的逻辑联结词(1)命题中的“”、“”、“”叫做逻辑联结词．(2)简单复合命题的真值表：逻辑联结词中的“或”的含义，与并集概念中的“或”的含义相同．如“x∈A或x∈B”，是指：x∈A且x∉B；x∉A且x∈B；x∈A且x∈B三种情况．再如“p真或q真”是指：p真且q假；p假且q真；p真且q真三种情况．基础知识·自主学习1.逻辑联结词“或”的含义难点正本疑点清源要点梳理pqp∧qp∨q綈p真真假真真假假假且或非真真假假真真假真假假假真2.全称量词与存在量词(1)常见的全称量词有“任意一个”“一切”“每一个”“任给”“”等．(2)常见的存在量词有“存在一个”“有一个”“有些”“有一个”“某个”“有的”等．(3)全称量词用符号“”表示；存在量词用符号“”表示．“否命题”是对原命题“若p，则q”的条件和结论分别加以否定而得到的命题，它既否定其条件，又否定其结论；“命题的否定”即“非p”，只是否定命题p的结论．命题的否定与原命题的真假总是对立的，即两者中有且只有一个为真，而原命题与否命题的真假无必然联系．基础知识·自主学习2.命题的否定与否命题难点正本疑点清源要点梳理所有的至少∀∃3．全称命题与特称命题(1)含有量词的命题叫全称命题．(2)含有量词的命题叫特称命题．4．命题的否定(1)全称命题的否定是命题；特称命题的否定是命题．(2)p或q的否定：非p且非q；p且q的否定：.全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题．基础知识·自主学习3.含一个量词的命题的否定难点正本疑点清源要点梳理全称存在特称全称非p或非q题号答案解析12345①②p、p∨qDA基础知识·自主学习基础自测[－4,0]【例1】已知命题p1：函数y＝2x－2－x在R上为增函数，p2：函数y＝2x＋2－x在R上为减函数，则在命题q1：p1∨p2，q2：p1∧p2，q3：(綈p1)∨p2和q4：p1∧(綈p2)中，真命题是()A．q1，q3B．q2，q3C．q1，q4D．q2，q4题型分类·深度剖析题型一含有逻辑联结词的命题的真假思维启迪解析答案探究提高基础知识题型分类思想方法练出高分•11、凡为教者必期于达到不须教。对人以诚信，人不欺我;对事以诚信，事无不成。•12、首先是教师品格的陶冶，行为的教育，然后才是专门知识和技

第三节直线、平面平行的判定与性质本节主要包括2个知识点：1.直线与平面平行的判定与性质；2.平面与平面平行的判定与性质.突破点(一)直线与平面平行的判定与性质基础联通抓主干知识的“源”与“流”直线与平面平行的判定定理和性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理_______一条直线与__________的一条直线平行，则该直线与此平面平行(线线平行⇒线面平行)l∥a，a⊂α，l⊄α⇒l∥α性质定理一条直线与一个平面____，则过这条直线的任一平面与此平面的_____与该直线平行(线面平行⇒线线平行)l∥α，l⊂β，α∩β＝b⇒l∥b平面外此平面内平行交线考点贯通抓高考命题的“形”与“神”线面平行的判定[例1]如图，在三棱台DEF-ABC中，AB＝2DE，点G，H分别为AC，BC的中点．求证：BD∥平面FGH.[证明]如图，连接DG，CD，设CD∩FG＝O，连接OH.在三棱台DEF-ABC中，AB＝2DE，点G为AC的中点，可得DF∥GC，DF＝GC，所以四边形DFCG为平行四边形，所以点O为CD的中点．又因为点H为BC的中点，所以OH∥BD.又因为OH⊂平面FGH，BD⊄平面FGH，所以BD∥平面FGH.[方法技巧]判定线面平行的四种方法(1)利用线面平行的定义(无公共点)；(2)利用线面平行的判定定理(a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α)；(3)利用面面平行的性质定理(α∥β，a⊂α⇒a∥β)；(4)利用面面平行的性质(α∥β，a⊄α，a⊄β，a∥α⇒a∥β)．线面平行性质定理的应用[例2]如图，四棱锥P-ABCD的底面是边长为8的正方形，四条侧棱长均为217.点G，E，F，H分别是棱PB，AB，CD，PC上共面的四点，平面GEFH⊥平面ABCD，BC∥平面GEFH.(1)证明：GH∥EF；[解]证明：因为BC∥平面GEFH，BC⊂平面PBC，且平面PBC∩平面GEFH＝GH，所以GH∥BC.同理可证EF∥BC，因此GH∥EF.[解]如图，连接AC，BD交于点O，BD交EF于点K，连接OP，GK.因为PA＝PC，O是AC的中点，所以PO⊥AC，同理可得PO⊥BD.又BD∩AC＝O，且AC，BD都在底面ABCD内，所以PO⊥底面ABCD.又因为平面GEFH⊥平面ABCD，且PO⊄平面GEFH，所以PO∥平面GEFH.因为平面PBD∩平面GEFH＝GK，(2)若EB＝2，求

第十节圆锥曲线中的定点、定值、存在性问题本节主要包括2个知识点：1.圆锥曲线中的定点、定值问题；2.圆锥曲线中的存在性问题.突破点(一)圆锥曲线中的定点、定值问题圆锥曲线中的定点、定值问题是解析几何中的常见问题，它多与圆锥曲线的性质相结合，难度较大，常出现在解答题中.考点贯通抓高考命题的“形”与“神”圆锥曲线中的定点问题[例1](2016·大庆质检)已知椭圆C：x2a2＋y2＝1(a>1)的上顶点为A，右焦点为F，直线AF与圆M：(x－3)2＋(y－1)2＝3相切．(1)求椭圆C的方程；(2)若不过点A的动直线l与椭圆C交于P，Q两点，且AP·AQ＝0，求证：直线l过定点，并求该定点的坐标．[解](1)圆M的圆心为(3,1)，半径r＝3.由题意知A(0,1)，F(c,0)，直线AF的方程为xc＋y＝1，即x＋cy－c＝0，由直线AF与圆M相切，得|3＋c－c|c2＋1＝3，解得c2＝2，a2＝c2＋1＝3，故椭圆C的方程为x23＋y2＝1.[解]证明：由AP·AQ＝0知AP⊥AQ，从而直线AP与坐标轴不垂直，故可设直线AP的方程为y＝kx＋1，直线AQ的方程为y＝－1kx＋1.联立方程组y＝kx＋1，x23＋y2＝1，整理得(1＋3k2)x2＋6kx＝0，解得x＝0或x＝－6k1＋3k2，故点P的坐标为－6k1＋3k2，1－3k21＋3k2，(2)若不过点A的动直线l与椭圆C交于P，Q两点，且AP·AQ＝0，求证：直线l过定点，并求该定点的坐标．同理，点Q的坐标为6kk2＋3，k2－3k2＋3.所以直线l的斜率为k2－3k2＋3－1－3k21＋3k26kk2＋3－－6k1＋3k2＝k2－14k，所以直线l的方程为y＝k2－14kx－6kk2＋3＋k2－3k2＋3，即y＝k2－14kx－12.所以直线l过定点0，－12.[方法技巧]圆锥曲线中定点问题的两种解法(1)引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点．(2)特殊到一般法：根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关．圆锥曲线中的定值问题圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题策略(1)求代数式为定值．依题意设条件，得出与代数式参数有关的等式，代入代数式、化简即可得出定值．(2)

第50课线面平行与面面平行课前热身1.(必修2P41练习2改编)若直线a∥b，且b⊂平面α，则直线a与平面α的位置关系为______________________．2.(必修2P45习题9改编)已知α，β，γ是三个不重合的平面，α∥β，β∥γ，那么α与γ的位置关系为________．3.(必修2P41练习1改编)已知两个命题：p:平行于同一条直线的两个平面平行；q:垂直于同一条直线的两个平面平行．则真命题为________，假命题为________．激活思维a∥平面α或a⊂平面α平行qp4.(必修2P32练习3改编)如图，在三棱台ABCA1B1C1中，A1B1与平面ABC的位置关系是________，AA1与平面BCC1B1的位置关系是________，AC与平面ACC1A1的位置关系是_________．【解析】直线与平面的位置关系有三种：平行、相交、线在面内．(第4题)平行相交线在面内1.一条直线和一个平面的位置关系知识梳理位置关系直线a与平面α相交直线a与平面α平行公共点有且只有一个公共点没有公共点符号表示a⊂α直线a在平面α内有无数个公共点a∩α＝Aa∥α图形表示2.直线与平面平行的判定定理：．直线与平面平行的性质定理：．如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行3.两个平面的位置关系位置关系公共点符号表示图形表示两平面平行两平面相交没有公共点有一条公共直线α∥βα∩β＝a4.两个平面平行的判定定理：．两个平面平行的性质定理：．如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行课堂导学(2016·合肥质检)若a，b，c为空间中三条不同的直线，α，β，γ为三个不重合的平面，则下列命题中正确的是________．(填序号)①若a⊥b，a⊥c，则b∥c；②若a⊥α，b⊥α，则a∥b；③若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；④若a⊥α，α⊥β，则a∥β.线面基本位置关系的判断例1②【解析】对于①，空间中垂直于同一条直线的两条直线可以异面、相交或平行，故①错误；对于②，空间中垂直于同一个平面的两条直线平行，故②正确；对于③，空间中垂直于同一个平面的两个平面可以相交或平行，故③错误；对于④，当

第二节一元二次不等式及其解法判别式Δ＝b2－4acΔ＞0Δ＝0Δ＜0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象“三个二次”的关系判别式Δ＝b2－4acΔ＞0Δ＝0Δ＜0一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的根有两相异实根x1，x2(x1＜x2)没有实数根一元二次方程ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集_______________________R一元二次方程ax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集___________∅__{x|x<x1或x>x2}{x|x1＜x＜x2}有两相等实根x1＝x2＝－b2axx≠－b2a∅1．设集合S＝{x|x>－2}，T＝{x|x2＋3x－4≤0}，则(∁RS)∪T＝()A．(－2,1]B．(－∞，－4]C．(－∞，1]D．[1，＋∞)解析：由题意得T＝{x|－4≤x≤1}，根据补集定义，∁RS＝{x|x≤－2}，所以(∁RS)∪T＝{x|x≤1}．答案：C[小题体验]2．(教材习题改编)不等式－x2＋2x－3＞0的解集为________．答案：∅3．不等式ax2＋bx＋2>0的解集是－12，13，则a＋b的值是______．解析：由题意知－12，13是ax2＋bx＋2＝0的两根，则a＝－12，b＝－2．所以a＋b＝－14．答案：－141．对于不等式ax2＋bx＋c>0，求解时不要忘记讨论a＝0时的情形．2．当Δ<0时，ax2＋bx＋c>0(a≠0)的解集为R还是∅，要注意区别．3．含参数的不等式要注意选好分类标准，避免盲目讨论．1．不等式x－3x－1≤0的解集为()A．{x|x＜1或x≥3}B．{x|1≤x≤3}C．{x|1＜x≤3}D．{x|1＜x＜3}解析：由x－3x－1≤0，得(x－3)(x－1)≤0，x－1≠0，解得1＜x≤3．答案：C[小题纠偏]2．若不等式mx2＋2mx＋1>0的解集为R，则m的取值范围是________．解析：①当m＝0时，1>0显然成立．②当m≠0时，由条件知m>0，Δ＝4m2－4m<0.得0<m<1．由①②知0≤m<1．答案：[0,1)考点一一元二次不等式的解法[题组练透]1．已知函数f(x)＝2x2＋1，x≤0，－2x，x>0，则不等式f(x)－x≤2的解集是________．解析：当x≤0时，原不等式等价于2x2＋1－x≤

1.认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构.2.了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式.几何体侧面积体积圆柱S侧＝______V＝Sh＝πr2h圆锥S侧＝πrl圆台S侧＝π(r1＋r2)l1.柱、锥、台和球的侧面积和体积V＝13Sh＝13πr2h＝13πr2l2－r2V＝13(S上＋S下＋S上S下)h＝13π(r21＋r22＋r1r2)h2πrh(续表)几何体侧面积体积直棱柱S侧＝ChV＝Sh正棱锥S侧＝12Ch′V＝13Sh正棱台S侧＝12(C＋C′)h′V＝13(S上＋S下＋S上S下)h球S球面＝______V＝43πR34πR22.几何体的表面积(1)棱柱、棱锥、棱台的表面积就是各面面积之和.(2)圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是矩形、扇形、扇环形；它们的表面积等于侧面积与底面面积之和.3.等积法的应用(1)等积法：包括等面积法和等体积法.(2)等积法的前提是几何图形(或几何体)的面积(或体积)通过已知条件可以得到，利用等积法可以用来求解几何图形的高或几何体的高，特别是求三角形的高和三棱锥的高.这一方法回避了具体通过作图得到三角形(或三棱锥)的高，而通过直接计算得到高的数值.1.以边长为1的正方形的一边所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周所得圆柱的侧面积等于()A.2πB.πC.2D.12.若两个球的表面积之比为1∶4，则这两个球的体积之比为()ACA.1∶2C.1∶8B.1∶4D.1∶163.(2016年新课标Ⅱ)体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为()A.12πB.323πAC.8πD.4π4.(2017年江苏)如图8-2-1，在圆柱O1O2内有一个球O，该球与圆柱的上、下面及母线均相切.记圆柱O1O2的体积为V1，图8-2-1球O的体积为V2，则V1V2的值是______.32考点1几何体的面积例1：(1)(2017年新课标Ⅱ)长方体的长、宽、高分别为3,2,1，其顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为________.答案：14π解析：长方体的长、宽、高分别为3,2,1，其顶点都在球O的球面上，长方体的体对角线是球O的直径，即32＋22＋12＝14＝2r，r＝142.则球O的表面积为4πr2＝4π1422＝14π.(2)(2018年新课标Ⅱ)已知圆锥的顶点为S，母

第1讲不等关系与不等式第七章不等式1．两个实数比较大小的方法(1)作差法a－b>0⇔a___ba－b＝0⇔a___b（a，b∈R）a－b<0⇔a___b.(2)作商法ab>1⇔a___bab＝1⇔a___b（a∈R，b>0）ab<1⇔a___b.>＝<>＝<2．不等式的基本性质性质性质内容特别提醒对称性a>b⇔______⇔传递性a>b，b>c⇒______⇒可加性a>b⇔_____________⇔b<aa>ca＋c>b＋c性质性质内容特别提醒对乘性a>bc>0⇒______注意c的符号a>bc<0⇒______同向可加性a>bc>d⇒____________⇒ac>bcac<bca＋c>b＋d性质性质内容特别提醒同向同正可乘性a>b>0c>d>0⇒______⇒可乘方性a>b>0⇒______(n∈N，n≥1)a，b同为正数可开方性a>b>0⇒____________(n∈N，n≥2)ac>bdan>bnna>nb导师提醒记住不等式的两类常用性质(1)倒数的性质①a>b，ab>0⇒1a<1b；②a<0<b⇒1a<1b；③a>b>0，0<c<d⇒ac>bd；④0<a<x<b或a<x<b<0⇒1b<1x<1a.(2)有关分数的性质若a>b>0，m>0，则①ba<b＋ma＋m；ba>b－ma－m(b－m>0)；②ab>a＋mb＋m；ab<a－mb－m(b－m>0)．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)两个实数a，b之间，有且只有a>b，a＝b，a<b三种关系中的一种．()(2)若ab>1，则a>b.()(3)一个不等式的两边同加上或同乘以同一个数，不等号方向不变．()(4)一个非零实数越大，则其倒数就越小．()(5)a>b>0，c>d>0⇒ad>bc.()(6)若ab>0，则a>b⇔1a<1b.()答案：(1)√(2)×(3)×(4)×(5)√(6)√(教材习题改编)若a<b<0，则下列不等式不成立的是()A.1a－b>1aB.1a>1bC．|a|>|b|D．a2>b2解析：选A.由a<b<0，可用特殊值法，取a＝－2，b＝－1，则1a－b>1a不成立．(教材习题改编)设A＝(x－3)2，B＝(x－2)(x－4)，则A与B的大小关系为()A．A≥BB．A>BC．A≤BD．A<B解析：选B.

第四节导数与函数的综合问题本节主要包括3个知识点：1.利用导数研究生活中的优化问题；2.利用导数研究函数的零点或方程根的综合问题；3.利用导数研究与不等式有关的综合问题.突破点(一)利用导数研究生活中的优化问题基础联通抓主干知识的“源”与“流”1．生活中的优化问题生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题．一般地，对于实际问题，若函数在给定的定义域内只有一个极值点，那么该点也是最值点．2．利用导数解决生活中优化问题的基本思路考点贯通抓高考命题的“形”与“神”利用导数研究生活中的优化问题[典例]某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y＝ax－3＋10(x－6)2，其中3＜x＜6，a为常数．已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克．(1)求a的值；(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．[解](1)因为x＝5时，y＝11，所以a2＋10＝11，a＝2.[解]由(1)可知，该商品每日的销售量y＝2x－3＋10(x－6)2.所以商场每日销售该商品所获得的利润f(x)＝(x－3)2x－3＋10(x－6)2＝2＋10(x－3)(x－6)2,3＜x＜6.从而，f′(x)＝10[(x－6)2＋2(x－3)(x－6)]＝30(x－4)(x－6)．(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．于是，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x(3,4)4(4,6)f′(x)＋0－f(x)极大值由上表可得，x＝4是函数f(x)在区间(3,6)内的极大值点，也是最大值点．所以，当x＝4时，函数f(x)取得最大值，且最大值等于42.当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大．[方法技巧]利用导数解决生活中的优化问题的步骤(1)分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式y＝f(x)；(2)求函数的导数f′(x)，解方程f′(x)＝0；(3)比较函数在区间端点和f′(x)＝0的点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值；(4)回归实际问题作答．能力练通抓应用体验的“得”与“失”1．某工厂要围建一个

第43讲不等式恒成立问题考试要求1.不等式包含两个元的情况(C级要求)；2.不等式恒成立问题涉及一元二次不等式、线性规划、基本不等式恒成立问题.解决问题的本质是转化成求最值问题.1.设y＝(log2x)2＋(t－2)log2x－t＋1，若t在[－2，2]上变化时y恒取正值，则实数x的取值范围为________.解析设f(t)＝y＝(log2x－1)t＋(log2x)2－2log2x＋1，t∈[－2，2]，诊断自测问题转化为：f(t)＞0对t∈[－2，2]恒成立⇔f（－2）>0，f（2）>0故实数x的取值范围是0，12∪(8，＋∞).答案0，12∪(8，＋∞)⇔（log2x）2－4log2x＋3>0，（log2x）2－1>0⇒0＜x＜12或x＞8.2.不等式2x2＋2mx＋m4x2＋6x＋3＜1对一切实数x恒成立，则实数m的取值范围为________.解析由4x2＋6x＋3＝2x＋322＋34＞0，对一切实数x恒成立，从而原不等式等价于2x2＋2mx＋m＜4x2＋6x＋3(x∈R)，即2x2＋(6－2m)x＋(3－m)＞0对一切实数x恒成立.则Δ＝(6－2m)2－8(3－m)＜0，解得1＜m＜3，故实数m的取值范围是(1，3).答案(1，3)3.(一题多解)已知f(x)＝x2＋2x＋ax＞0在x∈1，＋∞上恒成立，则实数a的取值范围为________.解析法一∵f(x)＝x2＋2x＋ax＞0对x∈1，＋∞恒成立⇔x2＋2x＋a＞0对x∈1，＋∞恒成立.设g(x)＝x2＋2x＋a，x∈1，＋∞，问题转化为：g(x)min＞0g(x)＝x2＋2x＋a＝(x＋1)2＋a－1,x∈1，＋∞，∴g(x)在1，＋∞上是增函数.∴g(x)min＝g(1)＝3＋a，∴3＋a＞0⇔a＞－3.即所求实数a的取值范围为(－3，＋∞).法二∵f(x)＝x2＋2x＋ax＞0对x∈1，＋∞恒成立⇔x2＋2x＋a＞0对x∈1，＋∞恒成立⇔a＞－(x2＋2x)对x∈1，＋∞恒成立设φ(x)＝－(x2＋2x)，x∈1，＋∞.问题转化为：a＞φ(x)max.∴φ(x)max＝φ(1)＝－3，∴a＞－3，即所求实数a的取值范围为(－

第五节定积分与微积分基本定理本节主要包括2个知识点：1.求定积分；2.定积分的应用.突破点(一)求定积分基础联通抓主干知识的“源”与“流”1．定积分的定义一般地，如果函数f(x)在区间[a，b]上连续，用分点a＝x0<x1<…<xi－1<xi<…<xn＝b，将区间[a，b]等分成n个小区间，在每个小区间[xi－1，xi]上任取一点ξi(i＝1,2，…，n)，作和式i＝1nf(ξi)Δx＝i＝1nb－anf(ξi)，当n→∞时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数f(x)在区间[a，b]上的定积分，记作_______.abf(x)dx2．定积分的相关概念在abf(x)dx中，a与b分别叫做与，区间[a，b]叫做积分区间，函数f(x)叫做，x叫做积分变量，________叫做被积式．3．定积分的性质(1)abkf(x)dx＝_________(k为常数)；(2)ab[f1(x)±f2(x)]dx＝；(3)abf(x)dx＝(其中a<c<b)．积分下限积分上限被积函数f(x)dxkabf(x)dxabf1(x)dx±abf2(x)dxacf(x)dx＋cbf(x)dx4．微积分基本定理如果f(x)是区间[a，b]上的连续函数，并且F′(x)＝f(x)，那么abf(x)dx＝．其中F(x)叫做f(x)的一个原函数．为了方便，我们常常把记为F(x)|ba，即abf(x)dx＝F(x)|ba＝.F(b)－F(a)F(b)－F(a)F(b)－F(a)考点贯通抓高考命题的“形”与“神”利用微积分基本定理求定积分[例1]计算下列定积分：(1)01(－x2＋2x)dx；(2)0π(sinx－cosx)dx；[解](1)01(－x2＋2x)dx＝01(－x2)dx＋012xdx＝－13x310＋x2|10＝－13＋1＝23.(2)0π(sinx－cosx)dx＝0πsinxdx－0πcosxdx＝(－cosx)|π0－sinx|π0＝2.[解]12e2x＋1xdx＝12e2xdx＋121xdx＝12e2x|21＋lnx|21＝12e4－12e2＋ln2－ln1＝12e4－12e

第六节利用空间向量求空间角本节主要包括2个知识点：1.利用空间向量求空间角；2.与空间角有关的综合问题.突破点(一)利用空间向量求空间角基础联通抓主干知识的“源”与“流”1．两条异面直线所成角的求法设两条异面直线a，b的方向向量为a，b，其夹角为θ，则cosφ＝|cosθ|＝______(其中φ为异面直线a，b所成的角)．2．直线和平面所成角的求法如图所示，设直线l的方向向量为e，平面α的法向量为n，直线l与平面α所成的角为φ，向量e与n的夹角为θ，则有sinφ＝|cosθ|＝____.|a·b||a||b||n·e||n||e|3．求二面角的大小(1)如图①，AB，CD是二面角α-l-β的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小θ＝__________．(2)如图②和图③，n1，n2分别是二面角α-l-β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ＝_______________________.〈AB，CD〉〈n1，n2〉或π－〈n1，n2〉考点贯通抓高考命题的“形”与“神”求两异面直线所成的角[例1]如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，AB＝2，∠BAD＝60°.(1)求证：BD⊥平面PAC；(2)若PA＝AB，求PB与AC所成角的余弦值．[解](1)证明：因为四边形ABCD是菱形，所以AC⊥BD.又因为PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD.所以PA⊥BD.因为PA∩AC＝A，所以BD⊥平面PAC.[解]设AC∩BD＝O.因为∠BAD＝60°，PA＝AB＝2，所以BO＝1，AO＝CO＝3.如图，以O为坐标原点，建立空间直角坐标系，则P(0，－3，2)，A(0，－3，0)，B(1,0,0)，C(0，3，0)．所以PB＝(1，3，－2)，AC＝(0,23，0)，设PB与AC所成角为θ，则cosθ＝PB·AC|PB|·|AC|＝622×23＝64.(2)若PA＝AB，求PB与AC所成角的余弦值．[方法技巧]向量法求两异面直线所成角的步骤(1)选好基底或建立空间直角坐标系；(2)求出两直线的方向向量v1，v2；(3)代入公式|cos〈v1，v2〉|＝|v1·v2||v1||v2|求解．[提醒]两异面直线所成角θ的范围是0，π2，两向量的夹角α的范围是[0，π]，当两异面直线的方向向量的夹角为锐角或直角时，

第二节等差数列及其前n项和1．等差数列的有关概念(1)定义：如果一个数列从起，每一项与它的前一项的____都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的，通常用字母d表示．(2)等差中项：数列a，A，b成等差数列的充要条件是________，其中A叫做a，b的．第2项公差差A＝a＋b2等差中项2．等差数列的有关公式(1)通项公式：an＝.(2)前n项和公式：Sn＝_____________________.3．等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：an＝am＋(n，m∈N*)．(2)若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则.(3)若{an}是等差数列，公差为d，则{a2n}也是等差数列，公差为.a1＋(n－1)dna1＋n(n－1)2d(n－m)dak＋al＝am＋an2d＝n(a1＋an)2(4)若{an}，{bn}是等差数列，则{pan＋qbn}也是等差数列．(5)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为的等差数列．md1．在等差数列{an}中，若a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝25，则a2＋a8＝________．答案：10[小题体验]2．(教材习题改编)已知等差数列{an}，a5＝－20，a20＝－35，则an＝________答案：－15－n3．(教材习题改编)已知等差数列5,427，347，…，则前n项和Sn＝________．答案：114(75n－5n2)1．要注意概念中的“从第2项起”．如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或第4项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列．2．求等差数列的前n项和Sn的最值时，需要注意“自变量n为正整数”这一隐含条件．1．首项为24的等差数列，从第10项开始为负数，则公差d的取值范围是()A．(－3，＋∞)B．－∞，－83C．－3，－83D．－3，－83[小题纠偏]答案：D2．等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝2，S3＝12，则a6等于________．解析：设等差数列{an}的公差为d，则S3＝3a1＋3d，所以12＝3×2＋3d，解得d＝2，所以a6＝a1＋5d＝2＋5×2＝12．答案：12考点一等差数列的基本运算[题组练透]1．(2016·郑州二检)已