【文档说明】高考数学大一轮复习第七章不等式第43讲不等式恒成立问题课件理.ppt，共(23)页，2.978 MB，由小橙橙上传

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第43讲不等式恒成立问题考试要求1.不等式包含两个元的情况(C级要求)；2.不等式恒成立问题涉及一元二次不等式、线性规划、基本不等式恒成立问题.解决问题的本质是转化成求最值问题.1.设y＝(log2x)2＋(t－2)log2x－t＋

1，若t在[－2，2]上变化时y恒取正值，则实数x的取值范围为________.解析设f(t)＝y＝(log2x－1)t＋(log2x)2－2log2x＋1，t∈[－2，2]，诊断自测问题转化为：f(t)＞0对t∈[－2，

2]恒成立⇔f（－2）>0，f（2）>0故实数x的取值范围是0，12∪(8，＋∞).答案0，12∪(8，＋∞)⇔（log2x）2－4log2x＋3>0，（log2x）2－1>0⇒0＜x＜12或x＞8.2.不等式2x2＋2mx＋m4x2＋6x＋3

＜1对一切实数x恒成立，则实数m的取值范围为________.解析由4x2＋6x＋3＝2x＋322＋34＞0，对一切实数x恒成立，从而原不等式等价于2x2＋2mx＋m＜4x2＋6x＋3(x∈R)，即2x2＋(6－2m)x＋(3－m)＞0对一切实数x恒成立.则Δ

＝(6－2m)2－8(3－m)＜0，解得1＜m＜3，故实数m的取值范围是(1，3).答案(1，3)3.(一题多解)已知f(x)＝x2＋2x＋ax＞0在x∈1，＋∞上恒成立，则实数a的取值范围为________.解析法一∵f(

x)＝x2＋2x＋ax＞0对x∈1，＋∞恒成立⇔x2＋2x＋a＞0对x∈1，＋∞恒成立.设g(x)＝x2＋2x＋a，x∈1，＋∞，问题转化为：g(x)min＞0g(x)＝x2＋2x＋a＝(x＋1)2＋a－1

,x∈1，＋∞，∴g(x)在1，＋∞上是增函数.∴g(x)min＝g(1)＝3＋a，∴3＋a＞0⇔a＞－3.即所求实数a的取值范围为(－3，＋∞).法二∵f(x)＝x2＋2x＋ax＞0对x∈1，＋∞恒成立⇔x2＋2x＋a＞0对x∈1，＋∞恒

成立⇔a＞－(x2＋2x)对x∈1，＋∞恒成立设φ(x)＝－(x2＋2x)，x∈1，＋∞.问题转化为：a＞φ(x)max.∴φ(x)max＝φ(1)＝－3，∴a＞－3，即所求实数a的取值范围为(－3，＋∞).答案(－3，＋∞)φ(x)＝－(x2＋2x)＝－(x＋

1)2＋1，x∈1，＋∞.∴φ(x)在1，＋∞上是减函数.解析设0<x1<x2，则x2x1>1，有fx2x1<0.这样f(x2)－f(x1)＝fx2x1

·x1－f(x1)＝fx2x1＋f(x1)－f(x1)＝fx2x1<0，则f(x2)<f(x1)，函数f(x)在(0，＋∞)为减函数.4.若定义在(0，＋∞)的函数f(x)满足f(x)＋f(y)＝f(xy)，且x>1时

不等式f(x)<0成立，若不等式f(x2＋y2)≤f(xy)＋f(a)对于任意x，y∈(0，＋∞)恒成立，则实数a的取值范围是________.因此f(x2＋y2)≤f(xy)＋f(a)⇔f(x2＋y2)≤f(axy)⇔x2＋y2≥axy⇔a≤x2＋y2xy；

而x2＋y2xy≥2xyxy＝2(当且仅当x＝y时取等号)，又a>0，所以a的取值范围是(0，2].答案(0，2]1.恒成立问题转化成最值处理a＞f(x)对x∈D恒成立⇔a＞f(x)max，a＜f(x)对x∈D恒成立⇔a＜f(x)min.知识梳理2.恒成立问题处理

方法：图象法、最值法、参变分离法、变换主元法等.3.不等式的恒成立、能成立、恰成立问题(1)恒成立问题：若f(x)在区间D上存在最小值，则不等式f(x)>A在区间D上恒成立⇔f(x)min>A(x∈D)；若f(x)在区间D上存在最大值，则不等式f

(x)<B在区间D上恒成立⇔____________(x∈D).(2)能成立问题：若f(x)在区间D上存在最大值，则在区间D上存在实数x使不等式f(x)>A成立⇔_____________(x∈D)；若f(x)在区间D上存在最小值，则在区间D上存在实数x使不等式f(x)<B成立⇔

____________(x∈D).(3)恰成立问题：不等式f(x)>A恰在区间D上成立⇔f(x)>A的解集为D；不等式f(x)<B恰在区间D上成立⇔f(x)<B的解集为D.f(x)max<Bf(x)max>Af(x)min<B

考点一一元一次不等式恒成立问题【例1】对于－1≤a≤1，求使不等式12x2＋ax<122x＋a－1恒成立的x的取值范围.解原不等式等价于x2＋ax>2x＋a－1在a∈[－1，1]上恒成立.设f(a)＝(x－1)a＋x2－2x＋1，则f(a)是a

的一次函数或常数函数，要使f(a)>0在a∈[－1，1]上恒成立，则须满足f（－1）>0，f（1）>0⇔x2－x>0，x2－3x＋2>0⇒x>2或x<0，故实数的取值范围是(－∞，

0)∪(2，＋∞).规律方法设f(x)＝ax＋b，f(x)＞0在x∈m，n上恒成立⇔f（m）>0，f（n）>0.f(x)＜0在x∈m，n上恒成立⇔f（m）<0，f（n）<0.考点二

一元二次不等式恒成立问题【例2】已知x∈时，不等式1＋2x＋(a－a2)·4x＞0恒成立，求实数a的取值范围.解设2x＝t,∵x∈－∞，1，∴t∈0，2，原不等式可化为：a－a2＞－t－1t2.要使上式对t

∈0，2恒成立，只需a－a2＞－t－1t2max，t∈0，2，－t－1t2＝－1t＋122＋14.由1t∈12，＋∞，∴－t－1

t2max＝－34，∴a－a2＞－34，即4a2－4a－3＜0，从而－12＜a＜32.即实数a的取值范围是－12，32.考点三高次不等式恒成立问题【例3】已知f(x)＝－x3＋ax，其中a∈R，g(x)＝－12x32，且f(x)＜g(x)在x∈0，1上恒成立，求实数a的取值

范围.解f(x)＜g(x)在x∈0，1上恒成立⇔－x3＋ax＋12x32＜0对x∈0，1恒成立⇔a＜x2－12x12对x∈0，1恒成立设h(x)＝x2－12x12，x∈0，1，问题转化为：a

＜h(x)minh′(x)＝2x－14x＝2x－1·4x＋2x＋14x由h′(x)＝0，得x＝14，当x∈0，14时，h′(x)＜0，h(x)在0，14递减.当x∈14，1时，h′(x)＞0，h(x)在14

，1递增.∴h(x)在x＝14时取最小值，h(x)min＝－316，∴a＜－316.即a的取值范围是－∞，－316.考点四绝对值不等式恒成立问题解(ⅰ)当x＝0时，显然f(x)＜0成立，此时a∈R.【例4】已知f(x)＝xx－a－2，若当x∈0，1时，恒有f(

x)＜0，求实数a的取值范围.(ⅱ)当x∈0，1时，由f(x)＜0，可得x－2x＜a＜x＋2x，令g(x)＝x－2x，(x∈0，1)；h(x)＝x＋2x(x∈0，1)，则g′(x)＝1＋2x2＞0，∴g(x)是单调递增，此时a

的范围是(－1，3).综合(ⅰ)(ⅱ)得a的范围是(－1，3).可知g（x）max＝g(1)＝－1，h′(x)＝1－2x2＜0，∴h(x)是单调递减，可知h（x）min＝h(1)＝3，规律方法(1)当f(x)含有绝对值时，先去掉绝对值号，(2)这种思

路是：首先是——分离变量，其次用——极端值原理.把问题转化为求函数的最值，若f(x)不存在最值，可求出f(x)的范围，问题同样可以解出.考点五线性规划恒成立问题【例5】已知实数x，y满足条件x－y≤0，x＋y－5≥0，y－3≤0.若不等式m(x2＋y2)≤(x＋y)2恒成立，

则实数m的最大值是________.解析∵m(x2＋y2)≤(x＋y)2恒成立，则m≤x2＋2xy＋y2x2＋y2＝1＋2yx1＋yx2＝1＋2k＋1k，其中k＝yx∈1，32，当k＝32时，1＋2k＋1k取最小值为2513，则实数m的最大值是2513.答案

2513考点六基本不等式恒成立问题【例6】已知对满足x＋y＋4＝2xy的任意正实数x，y，都有x2＋2xy＋y2－ax－ay＋1≥0，则实数a的取值范围是________.解析x＋y＋4＝2xy≤2×x＋y22，解得x＋y≥4，当且仅当x＝y＝2时取“＝”.∵(x＋y)2－a

(x＋y)＋1≥0，∴(x＋y)＋1x＋y≥a.∵(x＋y)＋1x＋y≥174，则a≤174.答案－∞，174