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第八单元解析几何第48讲椭圆课前双基巩固第1课时椭圆及其性质第2课时直线与椭圆的位置关系内容与要求1.了解椭圆的实际背景,了解椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.2.掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单性质.3.了解椭圆的简单应用.4.

理解数形结合的思想.􀳊知识聚焦􀳊1.椭圆的定义平面内与两个定点F1,F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫作.这两个定点叫作椭圆的,两焦点间的距离叫作椭圆的.集合P={M||MF1|+|MF2|=2a},|F1F2|=2c,其中a>0,c>0,且a,c为常数:(1)若

,则集合P为椭圆;(2)若,则集合P为线段;(3)若,则集合P为空集.椭圆焦点焦距a>ca=ca<c2.椭圆的标准方程和几何性质标准方程图形(续表)标准方程性质范围、、对称性对称轴:对称中心:顶点A1,A2B1,B2A1,A2B1,B2

-a≤x≤a-b≤y≤b-b≤x≤b-a≤y≤a坐标轴(0,0)(-a,0)(a,0)(0,-b)(0,b)(0,-a)(0,a)(-b,0)(b,0)第48讲椭圆-2021版高三数学（新高考）一轮复习课件(共

87张PPT)第48讲椭圆-2021版高三数学（新高考）一轮复习课件(共87张PPT)(续表)标准方程性质轴长轴A1A2的长为短轴B1B2的长为焦距|F1F2|=离心率a,b,c的关系c2=2a2b2c(0,1)a2-b2第48讲椭圆-2021版高三数学（新高考）一轮复习课件

(共87张PPT)第48讲椭圆-2021版高三数学（新高考）一轮复习课件(共87张PPT)3.直线与椭圆的位置关系(1)直线与椭圆的位置关系,从几何角度来看有三种:相离时,直线与椭圆公共点;相切时,直线与椭圆有公共点;相交时,直线与椭圆有公共点;(2)判断直线与椭圆的位置关系时

,通常将直线方程与椭圆方程联立,消去y(或x),转化为关于x(或y)的方程ax2+bx+c=0(或ay2+by+c=0)的形式.当判别式时,直线与椭圆相交;当判别式时,直线与椭圆相切;当判别式时,直线与椭圆相离.(3)讨论直线与椭圆的位置关系时,还可以

利用数形结合的方法解决.没有一个两个Δ>0Δ=0Δ<0第48讲椭圆-2021版高三数学（新高考）一轮复习课件(共87张PPT)第48讲椭圆-2021版高三数学（新高考）一轮复习课件(共87张PPT)4.直线与椭圆相交所得弦的长设斜率为k(k≠0)的直线

l与椭圆C的两个交点为A(x1,y1),B(x2,y2),则|AB|=1+𝑘2·|x1-x2|=(1+𝑘2)[(𝑥1+𝑥2)2−4𝑥1𝑥2]或|AB|=1+1𝑘2·|y1-y2|=(1+1𝑘2)[(𝑦1+𝑦2)2−4𝑦1𝑦2].直线

的斜率不存在时,|AB|=.|y1-y2|第48讲椭圆-2021版高三数学（新高考）一轮复习课件(共87张PPT)第48讲椭圆-2021版高三数学（新高考）一轮复习课件(共87张PPT)5.直线与椭圆相交弦的中点问题中点弦问题常用“根与系数的关系”或“点差

法”求解.(1)利用根与系数的关系:将直线方程代入椭圆的方程,消元后得到一个一元二次方程,利用根与系数的关系和中点坐标公式建立等式求解,注意不能忽视对判别式的讨论.(2)点差法:若直线l与椭圆C有两个交点A,B,一般地,首

先设出A(x1,y1),B(x2,y2),代入椭圆方程,通过作差,构造出x1+x2,y1+y2,x1-x2,y1-y2,从而建立中点坐标和斜率的关系.第48讲椭圆-2021版高三数学（新高考）一轮复习课件(共87张PPT)第48

讲椭圆-2021版高三数学（新高考）一轮复习课件(共87张PPT)常用结论椭圆中几个常用的结论:(1)焦半径:椭圆上的点P(x0,y0)与左(下)焦点F1与右(上)焦点F2之间的线段的长度叫作椭圆的焦半径,分别记作r1=𝑃𝐹1,r2=𝑃𝐹2.①𝑥2𝑎2+𝑦

2𝑏2=1(a>b>0),r1=a+ex0,r2=a-ex0;②𝑦2𝑎2+𝑥2𝑏2=1(a>b>0),r1=a+ey0,r2=a-ey0;③焦半径中以长轴端点的焦半径最大和最小(近日点与远日点).第48讲椭圆-2021版高三数学（新高考）一轮复习课件(共87张

PPT)第48讲椭圆-2021版高三数学（新高考）一轮复习课件(共87张PPT)(2)焦点三角形:椭圆上的点P(x0,y0)与两焦点构成的△PF1F2叫作焦点三角形.r1=|PF1|,r2=|PF2|,∠F1PF2=θ,△PF1F2的面积为S

,则在椭圆𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(a>b>0)中:①当r1=r2时,即点P的位置为短轴端点时,θ最大;②S=b2tan𝜃2=c𝑦0,当𝑦0=b时,即点P的位置为短轴端点时,S取最大值,最大值为bc.(3)

焦点弦(过焦点的弦):焦点弦中以通径(垂直于长轴的焦点弦)最短,弦长lmin=2𝑏2𝑎.第48讲椭圆-2021版高三数学（新高考）一轮复习课件(共87张PPT)第48讲椭圆-2021版高三数学（新

高考）一轮复习课件(共87张PPT)(4)AB为椭圆𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(a>b>0)的弦,A(x1,y1),B(x2,y2),弦中点M(x0,y0),则直线AB的斜率k=-𝑏2𝑥0𝑎2𝑦0.(5)已知过焦点F1的弦AB,则△ABF2的周长为4a.(6)若

P为椭圆上任一点,F为椭圆的一个焦点,则a-c≤|PF|≤a+c.(7)已知点P(x0,y0)是椭圆𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1上一点,则椭圆在点P处的切线方程为𝑥0𝑥𝑎2+𝑦0𝑦𝑏2=1.

第48讲椭圆-2021版高三数学（新高考）一轮复习课件(共87张PPT)第48讲椭圆-2021版高三数学（新高考）一轮复习课件(共87张PPT)􀳊对点演练􀳊题组一常识题1.[教材改编]设P是椭圆𝑥225+𝑦29=1上的点,若F1,F2是椭圆的

两个焦点,则|PF1|+|PF2|等于.[解析]由椭圆的定义可知|PF1|+|PF2|=2a=10.10第48讲椭圆-2021版高三数学（新高考）一轮复习课件(共87张PPT)第48讲椭圆-2021版高三数学（新高考）一

轮复习课件(共87张PPT)2.[教材改编]若F1(3,0),F2(-3,0),点P到F1,F2的距离之和为10,则点P的轨迹方程是.[解析]因为|PF1|+|PF2|=10>|F1F2|=6,所以点P的轨迹是以F1,F2为焦

点的椭圆,其中a=5,c=3,b=𝑎2−𝑐2=4,故点P的轨迹方程为𝑥225+𝑦216=1.𝑥225+𝑦216=1第48讲椭圆-2021版高三数学（新高考）一轮复习课件(共87张PPT)第48讲椭圆-2021版高三数学（新高考）一轮复习课件(共87张PPT)3.

[教材改编]椭圆𝑥216+𝑦225=1的长轴长为,焦点坐标为,离心率为.[解析]根据椭圆方程可得a=5,b=4,所以长轴长为2a=10.∵焦点在y轴上,且c2=a2-b2=25-16=9,∴c=3,故焦点坐标为(0,±3

),离心率e=35.10(0,±3)35第48讲椭圆-2021版高三数学（新高考）一轮复习课件(共87张PPT)第48讲椭圆-2021版高三数学（新高考）一轮复习课件(共87张PPT)4.[教材改编]若方程𝑥25−𝑘+𝑦2𝑘−3=1表示椭圆,则k的取值范围是.[解析]由已知得5−�

�>0,𝑘−3>0,5−𝑘≠𝑘−3,解得3<k<5且k≠4.(3,4)∪(4,5)题组二常错题◆索引:椭圆的定义中忽视2a>|F1F2|这一条件;忽视焦点的位置;忽视椭圆方程中未知数的取值范围.5.平面内一点M到两定点F1(-6,0),

F2(6,0)的距离之和等于12,则点M的轨迹是.[解析]由题意知|MF1|+|MF2|=12,但|F1F2|=12,即|MF1|+|MF2|=|F1F2|,所以点M的轨迹是一条线段.线段6.已知椭圆𝑥25+𝑦2𝑚=1(m>0)的离心率e=1

05,则m的值为.[解析]当椭圆焦点在x轴上时,0<m<5,由e=5−𝑚5=105,解得m=3;当椭圆焦点在y轴上时,m>5,由e=𝑚−5𝑚=105,解得m=253.综上可得,m=3或m=253.3或2537.若F1,F2分别是椭圆𝑥24+y2=1的左、右焦点,点

P在椭圆上运动,则𝑃𝐹1·𝑃𝐹2的最大值是.[解析]设P(x,y),依题意得F1(-3,0),F2(3,0),则𝑃𝐹1·𝑃𝐹2=(-3-x)(3-x)+y2=x2+y2-3=34x2-2,因为0≤x2≤4,所以-2≤34x2-2≤1,所以𝑃𝐹1·𝑃𝐹2的

最大值是1.1第八单元解析几何第1课时椭圆及其性质课前考点探究教师备用例题探究点一椭圆的定义例1(1)[2019·大连二模]过椭圆𝑥225+𝑦216=1的中心作一直线交椭圆于P,Q两点,F是椭圆的一个焦点,则△PFQ的周长的最小值为()A.12B.14C.16D.18D[思路点拨](1)

根据椭圆的定义及椭圆的对称性可求得|PF|+|QF|为定值2a,再结合|PQ|min=2b,从而得到△PFQ周长的最小值;[解析](1)由椭圆的对称性可知,P,Q两点关于原点对称,设F'为椭圆的另一个焦点,连接PF',QF',则四边形

PFQF'为平行四边形.由椭圆的定义可知|PF|+|PF'|+|QF|+|QF'|=4a=20,又|PF|=|QF'|,|QF|=|PF'|,∴|PF|+|QF|=10,又|PQ|min=2b=8,∴△PFQ的周长的最小值为10+8=18,故选D.例1(2)[2019·皖南八校联考]已知F

是椭圆C:𝑥23+𝑦22=1的右焦点,P为椭圆C上一点,A(1,22),则|PA|+|PF|的最大值为()A.4+2B.42C.4+3D.43D[思路点拨](2)设椭圆的左焦点为F',则有|PF|+|PF'|=23,结合图形

可知||PA|-|PF'||≤|AF'|,从而求出|PA|+|PF|的最大值.[解析](2)设椭圆的左焦点为F',连接PF',AF',则|PF|+|PF'|=23.又F'(-1,0),∴|AF'|=(−1−1)2+(22)2=23,结合图形知||

PA|-|PF'||≤|AF'|,∴当P在线段AF'的延长线上时,|PA|-|PF'|取得最大值23,又|PA|+|PF|=|PA|+23-|PF'|,∴|PA|+|PF|的最大值为23+23=43,故选D.[总结反思]椭圆定义的应用主要有两个方面:一是明确平面内与两定点

有关的轨迹是否为椭圆;二是当P在椭圆上时,利用定义可求焦点三角形的周长,利用定义和余弦定理可求|PF1|·|PF2|,通过整体代入可求焦点三角形的面积等.变式题(1)[2019·厦门外国语学校月考]若F1(-2,0),F2(2,0),|PF1|+|PF2|=a+4𝑎(

常数a>0),则点P的轨迹是()A.椭圆B.线段C.椭圆或线段D.椭圆或直线[解析](1)当a=2时,由F1(-2,0),F2(2,0),|PF1|+|PF2|=4,可知点P的轨迹是线段;当a≠2时,|PF1|+|PF2|=a+4𝑎>4,这时点P的轨迹是椭圆.故选C.C

第48讲椭圆-2021版高三数学（新高考）一轮复习课件(共87张PPT)第48讲椭圆-2021版高三数学（新高考）一轮复习课件(共87张PPT)变式题(2)[2019·唐山一中二模]已知椭圆𝑥24+𝑦2𝑏2=1(0<b<2)的左、右焦点分别F

1,F2过F1的直线交椭圆于A,B两点,若|BF2|+|AF2|的最大值为5,则b的值为()A.1B.2C.3D.12[解析](2)由0<b<2可知,焦点在x轴上,∴a=2.∵过F1的直线l交椭圆于A,B两点,∴|BF2|+|AF2|+|BF1|+|AF1|=2a+2a=4

a=8,∴|BF2|+|AF2|=8-|AB|.当AB垂直x轴时,|AB|最小,|BF2|+|AF2|最大,此时|AB|=2𝑏2𝑎=b2,∴5=8-b2,解得b=3.故选C.C第48讲椭圆-2021版高三数学（新高考

）一轮复习课件(共87张PPT)第48讲椭圆-2021版高三数学（新高考）一轮复习课件(共87张PPT)探究点二椭圆的标准方程例2(1)已知两圆C1:(x-4)2+y2=169,C2:(x+4)2+y2=9,若动圆M和圆C1相内切,和圆C2相外切,则动圆圆心M的轨迹方程为

()A.𝑥264-𝑦248=1B.𝑦264+𝑥248=1C.𝑥248-𝑦264=1D.𝑥264+𝑦248=1[思路点拨](1)根据动圆与定圆的位置关系得|MC1|+|MC2|=16,从而可得M的轨迹方程;D[解析](1)设圆M的半径为r,由题意知|MC1|+|MC2|=(

13-r)+(3+r)=16>8=|C1C2|,所以M的轨迹是以C1,C2为焦点的椭圆,且2a=16,2c=8,即a=8,c=4,故b2=a2-c2=48,故所求的轨迹方程为𝑥264+𝑦248=1.第48讲椭圆-

2021版高三数学（新高考）一轮复习课件(共87张PPT)第48讲椭圆-2021版高三数学（新高考）一轮复习课件(共87张PPT)例2(2)[2019·肇庆实验中学月考]若椭圆𝑥29+𝑦2𝑚2=1(0<m<3)的

离心率等于33,则椭圆的标准方程为.[思路点拨](2)根据0<m<3判断椭圆的焦点位置,结合已知条件确定m的值,即可确定此椭圆的标准方程.[解析](2)∵椭圆𝑥29+𝑦2𝑚2=1(0<m<3)的焦点在x轴上,∴其长轴长为6

,又离心率是33,∴2a=6,e=𝑐𝑎=33,解得a=3,c=3,∴m2=a2-c2=6,∴该椭圆的标准方程为𝑥29+𝑦26=1.𝑥29+𝑦26=1第48讲椭圆-2021版高三数学（新高考）一轮复习课件(共87张PPT)第48

讲椭圆-2021版高三数学（新高考）一轮复习课件(共87张PPT)[总结反思]根据条件求椭圆方程的主要方法有:(1)定义法:根据题目所给条件确定动点的轨迹满足椭圆的定义.(2)待定系数法:根据题目所给的条件确定椭圆中的a,b.当不知焦点在哪一个坐标轴

上时,一般可设所求椭圆的方程为mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n),不必考虑焦点位置,用待定系数法求出m,n的值即可.第48讲椭圆-2021版高三数学（新高考）一轮复习课件(共87张PPT)第48讲椭圆-2

021版高三数学（新高考）一轮复习课件(共87张PPT)变式题(1)若椭圆经过两点(2,0)和(0,1),则椭圆的标准方程为.[解析](1)方法一:当椭圆的焦点在x轴上时,设所求椭圆的方程为𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(a>b>0).∵

椭圆经过两点(2,0),(0,1),∴4𝑎2+0𝑏2=1,0𝑎2+1𝑏2=1,解得𝑎=2,𝑏=1,∴所求椭圆的标准方程为𝑥24+y2=1.当椭圆的焦点在y轴上时,设所求椭圆的方程为𝑦2𝑐2+𝑥2𝑑2=1(c>d>0).∵椭圆经过两点(2,0),(0,1),𝑥24+y2=

1第48讲椭圆-2021版高三数学（新高考）一轮复习课件(共87张PPT)第48讲椭圆-2021版高三数学（新高考）一轮复习课件(共87张PPT)变式题(1)若椭圆经过两点(2,0)和(0,1),则椭圆的标准方程为.∴

0𝑐2+4𝑑2=1,1𝑐2+0𝑑2=1,解得𝑐=1,𝑑=2,与c>d矛盾,舍去.综上可知,所求椭圆的标准方程为𝑥24+y2=1.方法二:设椭圆的方程为mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n).∵椭圆过(2,0)和(0,1)两点,∴4𝑚=1,𝑛=1,解得𝑚=14

,𝑛=1,故所求椭圆的标准方程为𝑥24+y2=1.𝑥24+y2=1第48讲椭圆-2021版高三数学（新高考）一轮复习课件(共87张PPT)第48讲椭圆-2021版高三数学（新高考）一轮复习课件(共87张PPT)变式题(2)过点(3,-5),且与椭圆𝑦225+𝑥29

=1有相同焦点的椭圆的标准方程为.[解析](2)椭圆𝑦225+𝑥29=1的焦点为(0,±4),故所求椭圆的焦点为(0,±4).方法一:设所求椭圆的方程为𝑦2𝑎2+𝑥2𝑏2=1(a>b>0),则2a=(3)2+(−5−4)2+(3)2+(−5+4

)2=220,∴a=20,∴b2=20-16=4,∴所求椭圆的标准方程为𝑦220+𝑥24=1.𝑦220+𝑥24=1第48讲椭圆-2021版高三数学（新高考）一轮复习课件(共87张PPT)第48讲椭圆-2021版高三数学（新

高考）一轮复习课件(共87张PPT)变式题(2)过点(3,-5),且与椭圆𝑦225+𝑥29=1有相同焦点的椭圆的标准方程为.方法二:设所求椭圆的方程为𝑦225+𝑚+𝑥29+𝑚=1(m>-9),

∵该椭圆过点(3,-5),∴525+𝑚+39+𝑚=1,解得m=-5,∴所求椭圆的标准方程为𝑦220+𝑥24=1.𝑦220+𝑥24=1第48讲椭圆-2021版高三数学（新高考）一轮复习课件(共87张PPT)第48讲椭圆-2021版高三数学（新高考）一轮复习课件(共87张PPT

)探究点三椭圆的简单几何性质例3(1)[2019·北京卷]已知椭圆𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(a>b>0)的离心率为12,则()A.a2=2b2B.3a2=4b2C.a=2bD.3a=4b[思路点拨](1)把离心率e用a,b表示出来,进而得到a,b的

关系(或根据选项中a,b的关系求出离心率,与已知离心率比较得出结果);[解析](1)方法一:因为椭圆的离心率为12,所以e2=𝑐2𝑎2=𝑎2−𝑏2𝑎2=14,得3a2=4b2.故选B.B微点1求椭圆的离

心率的值或范围第48讲椭圆-2021版高三数学（新高考）一轮复习课件(共87张PPT)第48讲椭圆-2021版高三数学（新高考）一轮复习课件(共87张PPT)例3(1)[2019·北京卷]已知椭圆𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2

=1(a>b>0)的离心率为12,则()A.a2=2b2B.3a2=4b2C.a=2bD.3a=4b方法二:若a2=2b2,则a2=2(a2-c2),所以a2=2c2,所以e=𝑐𝑎=22,排除选项A;若a=2b,则a2=4(a2-c2),所以3a2=4c2,所以e=𝑐𝑎=32,排除

选项C;若3a=4b,则9a2=16(a2-c2),所以7a2=16c2,所以e=𝑐𝑎=74,排除选项D.故选B.B第48讲椭圆-2021版高三数学（新高考）一轮复习课件(共87张PPT)第48讲椭

圆-2021版高三数学（新高考）一轮复习课件(共87张PPT)例3(2)[2019·贵阳二模]过椭圆C:𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(a>b>0)的左焦点F的直线与椭圆C相交于A,B两点,且B为椭圆C的上顶点,若𝐵𝐹=3𝐹𝐴,则椭圆C的离心率为()A.13B.33C.32D

.22[解析](2)由题意可得B(0,b),F(-c,0),由𝐵𝐹=3𝐹𝐴,可得A(-43c,-𝑏3),由点A在椭圆C上,可得(−43𝑐)2𝑎2+(−𝑏3)2𝑏2=1,整理可得169·𝑐2𝑎2=89,∴e2=𝑐2𝑎2=12,∴e=22.故选D.D[思路点拨]

(2)首先利用点B,F的坐标及已知条件得到点A的坐标,然后利用点A在椭圆上即可求得椭圆的离心率;例3(3)已知椭圆𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,P是椭圆上一点,△PF1F2是以F

2P为底边的等腰三角形,且60°<∠PF1F2<120°,则该椭圆的离心率的取值范围是()A.(3−12,1)B.(3−12,12)C.(12,1)D.(0,12)B[思路点拨](3)由△PF1F2是以F2P为底边的等腰三角形,可得|PF1|=|F1F2|=2c,由椭圆的定义可得|PF2|=

2a-2c,根据60°<∠PF1F2<120°,可得cos∠PF1F2的取值范围,结合余弦定理即可得出结果.例3(3)已知椭圆𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,P是椭圆上一点,△PF1F2是以F2P为底边的等腰三角

形,且60°<∠PF1F2<120°,则该椭圆的离心率的取值范围是()A.(3−12,1)B.(3−12,12)C.(12,1)D.(0,12)[解析](3)∵△PF1F2是以F2P为底边的等腰三角形,∴|PF1|=|F1F2|

=2c.由椭圆的定义可得|PF2|=2a-2c.∵60°<∠PF1F2<120°,∴cos∠PF1F2∈(-12,12).在△PF1F2中,由余弦定理可得cos∠PF1F2=(2𝑐)2×2−(2𝑎−2𝑐)22×2𝑐×2𝑐=𝑒2+2𝑒−12𝑒2∈(-1

2,12),解得e∈(3−12,12),故选B.B[总结反思]椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质,求椭圆的离心率(或离心率的取值范围),常见有两种方法:①求出a,c,代入公式e=𝑐𝑎;②根据条件得到关于

a,b,c的齐次式,结合b2=a2-c2转化为a,c的齐次式,然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式),解方程(不等式)即可得e的值或取值范围.例4(1)[2019·赣州一模]已知A,B是椭圆E:𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(a>b>0)

上的两点,且A,B关于坐标原点对称,F是椭圆的一个焦点,若△ABF面积的最大值为2,则椭圆E的长轴长的最小值为()A.1B.2C.3D.4[思路点拨](1)先设出A,B两点的坐标并表示出△ABF的面积,然后根据△ABF面积的最大值为2

得出cb=2,最后根据基本不等式的相关性质以及a2=b2+c2得出结果;D微点2与椭圆有关的范围(最值)问题例4(1)[2019·赣州一模]已知A,B是椭圆E:𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(a>b>0)上的两点,且A,B关于坐标原点对称,F是椭圆的一

个焦点,若△ABF面积的最大值为2,则椭圆E的长轴长的最小值为()A.1B.2C.3D.4[解析](1)因为A,B关于坐标原点对称,所以可设A(x1,y1),B(-x1,-y1),其中y1>0.不妨设F(c,0),则S△A

BF=12·c·(y1+y1)=cy1,因为△ABF面积的最大值为2,y1∈(0,b],所以当y1=b时△ABF的面积取到最大值,且cb=2,故a2=b2+c2≥2bc=4,当且仅当b=c=2时“=”成立,此时a=2,2a=4,故选D.D例4(2)[2019·滨州二模]已知点P是椭圆𝑥2

4+𝑦23=1上的动点,且与椭圆的四个顶点不重合,F1,F2分别是椭圆的左、右焦点,O为坐标原点,若点M是∠F1PF2的角平分线上一点,且F1M⊥MP,则|OM|的取值范围是.[思路点拨](2)根据中位线定理及椭圆的定义,结合点P的位置,即

可求得|OM|的取值范围.(0,1)[解析](2)不妨设点P在第二象限,延长F1M,交直线PF2于N.因为M是∠F1PF2的角平分线上一点,且F1M⊥MP,所以|F1M|=|NM|,|PF1|=|PN|,即M为F1N的中点.又因为O为F1F2的中点,由中位线定理可得|OM|=12|F

2N|=12(|PF2|-|PN|),又|PF1|+|PF2|=2a=4,所以|OM|=12|F2N|=12(4-2|PF1|)=2-|PF1|.因为a-c<|PF1|<a,即1<|PF1|<2,所以0<|OM|

<1.[总结反思]与椭圆有关的最值或范围问题的求解方法:(1)利用数形结合、几何意义,尤其是椭圆的性质;(2)利用函数,尤其是二次函数;(3)利用不等式,尤其是基本不等式;(4)利用一元二次方程的判别式.特别注意的是,求解与椭圆几何性质有关的参数问题时,要结合图形进行分析,当涉及顶点、焦点、长

轴、短轴等椭圆的基本量时,要理清它们之间的关系.1.【微点1】已知椭圆𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(a>b>0)的左顶点为M,上顶点为N,右焦点为F,若𝑁𝑀·𝑁𝐹=0,则椭圆的离心率为()A.32B.2−12C.3−12D.5−

12D[解析]由题意知,M(-a,0),N(0,b),F(c,0),∴𝑁𝑀=(-a,-b),𝑁𝐹=(c,-b).∵𝑁𝑀·𝑁𝐹=0,∴-ac+b2=0,即b2=ac.又b2=a2-c2,∴a2-c2=ac,∴e2+e-1=0,解得e=5

−12或e=−5−12(舍去),∴椭圆的离心率为5−12,故选D.应用演练2.【微点1】[2019·大庆实验中学一模]在平面直角坐标系xOy中,点P为椭圆C:𝑦2𝑎2+𝑥2𝑏2=1(a>b>0)的下顶点,M,N在椭圆上,四边形OPMN为平

行四边形,α为直线ON的倾斜角,若α∈π6,π4,则椭圆C的离心率的取值范围为()A.0,63B.0,32C.63,32D.63,1[解析]∵点O,P均在y轴上,四边形OPMN为平行四边形,∴M,N两点的横坐标相等,纵坐标互为相反数,即M,N两点关于x

轴对称,且|MN|=|OP|=a,可设M(x,-𝑎2),N(x,𝑎2),代入椭圆方程得|x|=32b,故N(32b,𝑎2).∵α为直线ON的倾斜角,∴tanα=𝑎232𝑏=𝑎3𝑏,又α∈π6,π4,A2.【微点1】[2019·大庆实验中学一模]在平

面直角坐标系xOy中,点P为椭圆C:𝑦2𝑎2+𝑥2𝑏2=1(a>b>0)的下顶点,M,N在椭圆上,四边形OPMN为平行四边形,α为直线ON的倾斜角,若α∈π6,π4,则椭圆C的离心率的取值范围为()A.0,63B.0,32C.63,32D.6

3,1∴33<tanα≤1,∴1≤3𝑏𝑎<3,∴33≤𝑏𝑎<1,∴13≤𝑏2𝑎2<1,∴0<e=1−𝑎2𝑏2≤63,故椭圆C的离心率的取值范围为0,63.故选A.A3.【微点2】[2019·合

肥质检]若焦点在x轴上的椭圆𝑥24+𝑦2𝑏2=1的离心率e=12,F,A分别是椭圆的左焦点和右顶点,P是椭圆上任意一点,则𝑃𝐹·𝑃𝐴的最大值为.[解析]由题意知a=2,因为e=𝑐𝑎=12,所以c=1,所以b2=a2-c2=3,故椭圆的方

程为𝑥24+𝑦23=1.设点P的坐标为(x0,y0),所以-2≤x0≤2,-3≤y0≤3,因为F(-1,0),A(2,0),所以𝑃𝐹=(-1-x0,-y0),𝑃𝐴=(2-x0,-y0),所以𝑃𝐹·𝑃𝐴=

𝑥02-x0-2+𝑦02=14𝑥02-x0+1=14(x0-2)2,则当x0=-2时,𝑃𝐹·𝑃𝐴取得最大值4.44.【微点2】[2019·烟台模拟]已知F(2,0)为椭圆𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1

(a>b>0)的右焦点,过F且垂直于x轴的弦长为6,若A(-2,2),点M为椭圆上任一点,则|MF|+|MA|的最大值为.[解析]由椭圆的右焦点为F(2,0),得c=2,又过F且垂直于x轴的弦长为6,即2𝑏2𝑎=6,则𝑎2−𝑐2𝑎=𝑎2−4𝑎=3,解

得a=4,设椭圆的左焦点为F',所以|MF|+|MA|=8-|MF'|+|MA|=8+|MA|-|MF'|,当M,A,F'三点共线时,|MA|-|MF'|取得最大值,且(|MA|-|MF'|)max=|AF'|=2,所以|MF|+|MA|的最大值为8+2.8+2【备选理由】例1考查

了椭圆的定义、三角形中位线性质;例2考查了椭圆方程的求法;例3考查了椭圆离心率取值范围的求法;例4考查了与椭圆有关的最值问题.[解析]由题意知a=3,b=5.由椭圆定义知|PF1|+|PF2|=6.在△PF1F2中,因为PF1的中点在y轴上,O为F1F2的中点,由三角形中位线性质可得PF2⊥x轴,

所以|PF2|=𝑏2𝑎=53,所以|PF1|=6-|PF2|=133,所以|𝑃𝐹2||𝑃𝐹1|=513,故选B.例1[配合例1使用]设F1,F2为椭圆𝑥29+𝑦25=1的两个焦点,点P在椭圆上,若线段PF1的中点在y轴上,则|𝑃𝐹2||𝑃�

�1|的值为()A.514B.513C.49D.59B[解析]由题意知|BF1|=|AB|=|AF2|+|F2B|=2|F2B|+|F2B|=3|F2B|,又由椭圆定义得|BF1|+|BF2|=2a,所以|BF2|=𝑎2,|BF1|=32a,|AF2|=|AF1|=a,而|F1F2|

=2c=2,则在△AF1F2中,由余弦定理得cos∠F1AF2=𝑎2+𝑎2−222·𝑎·𝑎①,在△ABF1中,由余弦定理得cos∠F1AB=𝑎2+32𝑎2−32𝑎22·𝑎·32𝑎②,解①②得a2=3,所以b2=3-1=2,所以椭圆C的方程为𝑥23+𝑦22=1.例2[配合例2使

用][2019·全国卷Ⅰ]已知椭圆C的焦点为F1(-1,0),F2(1,0),过F2的直线与C交于A,B两点.若|AF2|=2|F2B|,|AB|=|BF1|,则C的方程为()A.𝑥22+y2=1B.𝑥23+𝑦22=1C.𝑥24+𝑦23=1D.�

�25+𝑦24=1B[解析]因为圆M与x轴相切于焦点F,所以圆心与F的连线必垂直于x轴,不妨设M(c,y),因为M(c,y)在椭圆上,则y=±𝑏2𝑎(a2=b2+c2),所以圆的半径为𝑏2𝑎,由题意得|y|>

c>22|y|,可得c2<(𝑏2𝑎)2<2c2,故e2<(1-e2)2<2e2,所以6−22<e<5−12.例3[配合例3使用][2019·衡水中学月考]设点M是椭圆𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(a>b>0)上的点,以点M为圆心的圆与x轴相切于椭圆的焦点F,圆M与y轴相交

于不同的两点P,Q,若△PMQ为锐角三角形,则椭圆的离心率的取值范围为.6−22<e<5−12[解析]椭圆C:𝑥2𝑚+𝑦2𝑚−4=1(m>4)的右焦点为F(2,0),记其左焦点为F'(-2,0),由椭圆的定义可得2𝑚=|PF|+|PF'|,即|PF'|=

2𝑚-|PF|,可得|PA|-|PF'|=8-2𝑚.由||PA|-|PF'||≤|AF'|=2,可得-2≤8-2𝑚≤2,解得3≤𝑚≤5,所以9≤m≤25.又A在椭圆内,所以4𝑚+4𝑚−4<1,所以8m-16<m(m-4),解得m<6-25或m>6+25.综上,6+25<m≤25,

所以m的最大值为25.例4[配合例4使用][2019·安徽定远中学三模]已知椭圆C:𝑥2𝑚+𝑦2𝑚−4=1(m>4)的右焦点为F,点A(-2,2)为椭圆C内一点.若椭圆C上存在一点P,使得|PA|+|PF|=8,则m的最大值为.25第八单元解析几何第2课时直线与椭圆的位置关

系课前考点探究教师备用例题探究点一直线与椭圆的位置关系例1已知直线l:y=x+m,椭圆C:𝑥24+𝑦23=1.试问当m取何值时,直线l与椭圆C:(1)有两个不重合的公共点;(2)有且只有一个公共点;(3)没有公共点.[思

路点拨]将直线方程y=x+m代入𝑥24+𝑦23=1,消去y得7x2+8mx+4m2-12=0,根据根的判别式求解.解:将直线l的方程与椭圆C的方程联立,得方程组𝑦=𝑥+𝑚①,𝑥24+𝑦23=1②,将①代入②,整理得7x2+8mx+4m2-12=0③.方程③根的判别式Δ=(8m)2-4

×7×(4m2-12)=-48m2+336.例1已知直线l:y=x+m,椭圆C:𝑥24+𝑦23=1.试问当m取何值时,直线l与椭圆C:(1)有两个不重合的公共点;(2)有且只有一个公共点;(3)没有公共点.(

1)当Δ>0,即-7<m<7时,方程③有两个不同的实数根,可知原方程组有两组不同的实数解,这时直线l与椭圆C有两个不重合的公共点.(2)当Δ=0,即m=±7时,方程③有两个相同的实数根,可知原方程组有两组相同的实数解,这时直线l与椭圆C有

两个互相重合的公共点,即直线l与椭圆C有且只有一个公共点.(3)当Δ<0,即m<-7或m>7时,方程③没有实数根,可知原方程组没有实数解,这时直线l与椭圆C没有公共点.[总结反思]研究直线与椭圆位置关系的方法(1)研究直线和椭圆的位置关系,一般转化为研究直线方程与

椭圆方程组成的方程组解的个数.(2)对于过定点的直线,也可以通过定点在椭圆内部或椭圆上判定直线和椭圆有交点.变式题(多选题)直线y=kx-2k+62与椭圆𝑥24+𝑦23=1的位置关系可能为()A.相交B.相切C.相离D.一定相交[解

析]直线y=kx-2k+62=k(x-2)+62恒过定点2,62,又点2,62在椭圆上,故直线与椭圆可能相交也可能相切,故选AB.AB探究点二弦长问题例2[2019·潍坊三模]已知椭圆C:𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,若椭圆经过点P(6,-1),且△

PF1F2的面积为2.(1)求椭圆C的标准方程;(2)设斜率为1的直线l与以原点为圆心,半径为2的圆交于A,B两点,与椭圆C交于C,D两点,且|CD|=λ|AB|(λ∈R),当λ取得最小值时,求直线l的方程.[思路点拨]

(1)根据三角形的面积公式,求得c,由a2-b2=4及P的坐标求得a和b的值,即可求得椭圆方程;(2)设出直线l的方程,利用点到直线的距离公式及勾股定理求得|AB|,将直线方程代入椭圆方程,由Δ>0和d<r,求得m的取值范围,利用根与系数的关系及弦长公式求得|CD|,根据m的取值范围,即可求

得m的值,进而得到直线l的方程.例2[2019·潍坊三模]已知椭圆C:𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,若椭圆经过点P(6,-1),且△PF1F2的面积为2.(1)求椭圆C的标准方程;(2)设斜率为1的直线l与以原点为圆

心,半径为2的圆交于A,B两点,与椭圆C交于C,D两点,且|CD|=λ|AB|(λ∈R),当λ取得最小值时,求直线l的方程.解:(1)由△PF1F2的面积S=12×2c×1=2,可得c=2,由a2-b2=4,且椭圆C过点P(6,-1),可得6𝑎2+1𝑏2=1,解得a=22,b=2,∴椭圆C的标

准方程为𝑥28+𝑦24=1.(2)设直线l的方程为y=x+m,则原点到直线l的距离d=|𝑚|2,由弦长公式得|AB|=22−𝑚22=8−2𝑚2,例2[2019·潍坊三模]已知椭圆C:𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,若椭圆经过点P

(6,-1),且△PF1F2的面积为2.(1)求椭圆C的标准方程;(2)设斜率为1的直线l与以原点为圆心,半径为2的圆交于A,B两点,与椭圆C交于C,D两点,且|CD|=λ|AB|(λ∈R),当λ取得最小值时,求直线l的方程.由𝑦=𝑥+𝑚,𝑥2+2𝑦2=8,整理得3x2+4

mx+2m2-8=0,由Δ=16m2-12(2m2-8)>0,解得-23<m<23.由直线和圆相交的条件可得d<r,即|𝑚|2<2,则-2<m<2,故m的取值范围为(-2,2).设C(x1,y1),D(x2,y2),则x1+x2=-4𝑚3,x1x2=2�

�2−83,例2[2019·潍坊三模]已知椭圆C:𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,若椭圆经过点P(6,-1),且△PF1F2的面积为2.(1)求椭圆C的标准方程;(2)设斜率为1的直线l与以原点为圆心,半径为2的圆交于A,B两点,与椭圆C

交于C,D两点,且|CD|=λ|AB|(λ∈R),当λ取得最小值时,求直线l的方程.由弦长公式得|CD|=2×(𝑥1+𝑥2)2−4𝑥1𝑥2=4312−𝑚2,又|CD|=λ|AB|,则λ=|𝐶𝐷||𝐴

𝐵|=4312−𝑚28−2𝑚2=223×1+84−𝑚2,又-2<m<2,∴0<4-m2≤4,∴当m=0时,λ取得最小值263,此时直线l的方程为y=x.[总结反思]解决直线与椭圆相交时弦长问题,一般有以下几种方法:(1)当弦的两端点坐标易求时

,可直接利用两点间的距离公式求解;(2)联立直线与椭圆方程,解方程组求出两个交点坐标,代入两点间的距离公式求解;(3)把直线方程与椭圆方程联立,消元、化简,然后应用根与系数的关系建立方程,解决相关问题;(4)当弦过焦点时,可结合焦半径公式求解弦长.特别要注意两种特殊情况

:直线与圆锥曲线的对称轴平行或垂直;直线过圆锥曲线的焦点.变式题[2018·北京卷改编]已知椭圆M:𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(a>b>0)的离心率为63,焦距为22.斜率为k的直线l与椭圆M有两个

不同的交点A,B.(1)求椭圆M的方程;(2)若k=1,求|AB|的最大值.解:(1)由题意得2c=22,所以c=2,又e=𝑐𝑎=63,所以a=3,所以b2=a2-c2=1,所以椭圆M的方程为𝑥23+y2=1.(2)设直线AB的方程为y=x+m,由𝑦=𝑥+𝑚,𝑥23+

𝑦2=1,消去y可得4x2+6mx+3m2-3=0,则Δ=36m2-4×4(3m2-3)=48-12m2>0,即m2<4.变式题[2018·北京卷改编]已知椭圆M:𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(a>b>0)的离心率为63,焦距为2

2.斜率为k的直线l与椭圆M有两个不同的交点A,B.(1)求椭圆M的方程;(2)若k=1,求|AB|的最大值.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=-3𝑚2,x1x2=3𝑚2−34,则|AB|=1+𝑘2|x1-x2|=1+𝑘

2·(𝑥1+𝑥2)2−4𝑥1𝑥2=6×4−𝑚22,易得当m2=0时,|AB|max=6,故|AB|的最大值为6.探究点三中点弦与弦中点问题例3[2019·济南外国语学校月考]已知椭圆M:𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(a>b>0)的左、右顶点分别为A,B,左焦点为F,已知椭圆M的离心

率为12,且过点(1,32).(1)求椭圆M的方程;(2)若过点N(1,1)的直线与椭圆M交于P,Q两点,且线段PQ的中点恰为点N,求直线PQ的方程.[思路点拨](1)由离心率及椭圆过点(1,32),列出关于a,b的方程,求解即可;(

2)设P(xP,yP),Q(xQ,yQ),将两点代入椭圆方程,两式作差,可得𝑦𝑃−𝑦𝑄𝑥𝑃−𝑥𝑄=-34,进而由点斜式得到直线方程.解:(1)因为e=𝑐𝑎=1−𝑏2𝑎2=12,所以3a2=4b2①,将(1,32)代入椭圆方程,得1𝑎2+94𝑏2=1②,由①②解得a=2,

b=3,所以椭圆M的方程为𝑥24+𝑦23=1.(2)设P(xP,yP),Q(xQ,yQ),∵线段PQ的中点恰为点N,∴xP+xQ=2,yP+yQ=2.由题知𝑥𝑃24+𝑦𝑃23=1,𝑥𝑄24+𝑦𝑄23=1,两式相减可得14(

xP+xQ)(xP-xQ)+13(yP+yQ)(yP-yQ)=0,∴𝑦𝑃−𝑦𝑄𝑥𝑃−𝑥𝑄=-34,即直线PQ的斜率为-34,∴直线PQ的方程为y-1=-34(x-1),即3x+4y-7=0.例3[2019

·济南外国语学校月考]已知椭圆M:𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(a>b>0)的左、右顶点分别为A,B,左焦点为F,已知椭圆M的离心率为12,且过点(1,32).(1)求椭圆M的方程;(2)若过点N(1,1)的直线与椭圆M交于P,Q两点,且线段PQ的中点恰为点N,求直线P

Q的方程.[总结反思]处理中点弦问题常用的方法:(1)点差法,设出弦的两端点坐标后,代入圆锥曲线方程,并将两式相减,式中含有x1+x2,y1+y2,𝑦1−𝑦2𝑥1−𝑥2三个未知量,这样就直接联系了中点坐标和直线的斜率,借助中点坐标公式即可求得斜率;(2)根与系

数的关系,联立直线与椭圆的方程得到方程组,化为一元二次方程后由根与系数的关系求解.特别要注意的是,中点弦问题常用的两种求解方法各有弊端:根与系数的关系在解题过程中易产生漏解,需关注直线的斜率问题;点差法在确定范围方面略显不足.变式题一个焦点是F(0,52),且截直线y=2x-1所得弦的中

点的横坐标是27的椭圆的标准方程为.[解析]设所求椭圆的方程为𝑦2𝑎2+𝑥2𝑏2=1(a>b>0),直线被椭圆所截弦的端点为A(x1,y1),B(x2,y2).由题意可得弦AB的中点坐标为(𝑥1+𝑥22,𝑦1

+𝑦22),且𝑥1+𝑥22=27,𝑦1+𝑦22=-37.将A,B两点的坐标代入椭圆方程中,得𝑦12𝑎2+𝑥12𝑏2=1,𝑦22𝑎2+𝑥22𝑏2=1,两式相减并化简,得𝑎2𝑏2=-𝑦1−𝑦2𝑥1−𝑥2·𝑦1+𝑦2𝑥1+𝑥2=-2×−6747=3

,所以a2=3b2.又c2=a2-b2=50,所以a2=75,b2=25,故所求椭圆的标准方程为𝑦275+𝑥225=1.𝑦275+𝑥225=1探究点四切线问题例4已知椭圆C1:𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(a>

b>0)的离心率为63,椭圆C2:𝑥23𝑎2+𝑦23𝑏2=1(a>b>0)经过点(32,32).(1)求椭圆C1的标准方程;(2)设点M是椭圆C1上的任意一点,射线MO(O为坐标原点)与椭圆C2交于点N,过点M的直线l与椭圆C1有且只有一个公共点,直

线l与椭圆C2交于A,B两个相异点,证明:△NAB的面积为定值.[思路点拨](1)根据椭圆C1的离心率以及椭圆C2过的点,求出a,b即可;(2)当直线l的斜率不存在时,易得△NAB的面积,当直线l的斜率存在时,设

其方程为y=kx+m,根据直线l与椭圆C1相切,得到k和m的关系,再利用弦长公式得到|AB|,找出点N到直线l的距离,从而计算出△NAB的面积,得到结论.解:(1)因为C1的离心率为63,所以69=1-𝑏2𝑎2,可得a2=

3b2①.将(32,32)代入𝑥23𝑎2+𝑦23𝑏2=1,整理得14𝑎2+14𝑏2=1②,由①②得a2=1,b2=13,故椭圆C1的标准方程为x2+𝑦213=1.(2)证明:①当直线l的斜率不存在时,点M的坐标为(1,0)或(-1,0),由对称性不妨取M(1,0).由(1)知椭圆C

2的方程为𝑥23+y2=1,所以有N(-3,0).将x=1代入椭圆C2的方程得y=±63,所以S△NAB=12|MN|·|AB|=12×(3+1)×263=2+63.②当直线l的斜率存在时,设其方程为y=kx+m,将y=kx+m代入椭圆C1的方程得(1+

3k2)x2+6kmx+3m2-1=0,由题意得Δ=(6km)2-4(1+3k2)(3m2-1)=0,整理得3m2=1+3k2.将y=kx+m代入椭圆C2的方程,得(1+3k2)x2+6kmx+3m2-3=0,设A(x1,y

1),B(x2,y2),则x1+x2=-6𝑘𝑚1+3𝑘2,x1x2=3𝑚2−31+3𝑘2,所以|AB|=1+𝑘2(𝑥1+𝑥2)2−4𝑥1𝑥2=1+𝑘2×23×3𝑘2+1−𝑚23𝑘2+1=261+𝑘23|𝑚|.设M(x0,y0),N(x3,y3),�

�𝑁=λ𝑀𝑂,则可得x3=-λx0,y3=-λy0.由𝑥02+3𝑦02=1,𝑥323+𝑦32=1,得𝑥02+3𝑦02=1,𝜆2(𝑥023+𝑦02)=1,解得λ=3或λ=-3(舍去),所以𝑂𝑁=3𝑀𝑂,从而|NM|=(3+1)|OM|.又因为点O

到直线l的距离d=|𝑚|1+𝑘2,所以点N到直线l的距离为(3+1)d=(3+1)·|𝑚|1+𝑘2,所以S△NAB=12×(3+1)d·|AB|=12(3+1)·|𝑚|1+𝑘2·261+𝑘23|𝑚|=2+63.综上,△NAB的面积为定值2+63.[总结反思]求解直

线与椭圆相切问题,要把直线方程与椭圆方程联立消去x(或y),得到关于y(或x)的一元二次方程,利用一元二次方程根的判别式等于零解决.变式题已知点M是圆E:(x+3)2+y2=16上的动点,点F(3,0),线段M

F的垂直平分线交线段EM于点P.(1)求动点P的轨迹T的方程;(2)若矩形ABCD的边所在直线与轨迹T均相切,设矩形ABCD的面积为S,求S的取值范围.解:(1)连接PF,依题意得|PM|=|PF|,所以|PE|+|PF|=|PE

|+|PM|=|ME|=4(为定值),|EF|=23,4>23,所以点P的轨迹是以E,F为焦点的椭圆,其中2a=4,2c=23,所以点P的轨迹T的方程是𝑥24+y2=1.(2)①当矩形的边与坐标轴垂

直或平行时,易得S=8.变式题已知点M是圆E:(x+3)2+y2=16上的动点,点F(3,0),线段MF的垂直平分线交线段EM于点P.(1)求动点P的轨迹T的方程;(2)若矩形ABCD的边所在直线与轨迹

T均相切,设矩形ABCD的面积为S,求S的取值范围.②当矩形的边均不与坐标轴垂直或平行时,其四边所在直线的斜率存在且不为0,设直线AB的方程为y=k1x+m,直线BC的方程为y=k2x+n,则直线CD的方程为y=

k1x-m,直线AD的方程为y=k2x-n,其中k1·k2=-1,则直线AB与CD间的距离d1=|𝑚−(−𝑚)|1+𝑘12=2|𝑚|1+𝑘12,直线BC与AD间的距离d2=|𝑛−(−𝑛)|1+𝑘22=2|𝑛|1+𝑘22,所以S=d1·d2=2|�

�|1+𝑘12·2|𝑛|1+𝑘22.变式题已知点M是圆E:(x+3)2+y2=16上的动点,点F(3,0),线段MF的垂直平分线交线段EM于点P.(1)求动点P的轨迹T的方程;(2)若矩形ABCD的边所在直线与轨迹T均相切

,设矩形ABCD的面积为S,求S的取值范围.由𝑥24+𝑦2=1,𝑦=𝑘1𝑥+𝑚,得(14+𝑘12)x2+2k1mx+m2-1=0,因为直线AB与椭圆相切,所以Δ=4𝑘12+1-m2=0,所以|m|=4𝑘12+1,同理|n|=4𝑘22+

1,所以S=44𝑘12+1·4𝑘22+11+𝑘12·1+𝑘22=416𝑘12𝑘22+4(𝑘12+𝑘22)+1𝑘12𝑘22+(𝑘12+𝑘22)+1=变式题已知点M是圆E:(x+3)2+y2

=16上的动点,点F(3,0),线段MF的垂直平分线交线段EM于点P.(1)求动点P的轨迹T的方程;(2)若矩形ABCD的边所在直线与轨迹T均相切,设矩形ABCD的面积为S,求S的取值范围.417+4(𝑘12+𝑘22)2+(𝑘12+𝑘22

)=4·92+(𝑘12+𝑘22)+4=4·92+(𝑘12+1𝑘12)+4,因为𝑘12+1𝑘12≥2(当且仅当k1=±1时取等号),所以44<S≤4×92+2+4,即8<S≤10.综上,8≤S≤10.【备选理由】例1考查了直线与椭圆位置关系

的综合应用;例2综合考查椭圆的标准方程与简单几何性质、弦长公式,以及直线与椭圆相交的问题,考查了三角形的面积计算、最值的求法;例3考查了中点弦的相关问题;例4考查了直线与椭圆相切时椭圆方程的求法,考查了直线与椭圆相交时参数的取值范围.[解析]由

题意可知k≠0,点A与点B的横坐标即为焦点的横坐标,且半焦距c=1.当k>0时,不妨设A,B两点的坐标分别为(-1,y1),(1,y2),代入椭圆方程得y1=-32,y2=32,此时k=32;同理可得当k<0时,k=-32.故选A.例1[配合例1使用]设直线y=kx

与椭圆𝑥24+𝑦23=1相交于A,B两点,分别过A,B两点向x轴作垂线,若垂足恰为椭圆的两个焦点,则k等于()A.±32B.±23C.±12D.±2A解:(1)由题意得𝑒=𝑐𝑎=22,𝑎=𝑏2

+𝑐2=2,解得𝑎=2,𝑐=1,从而b2=1,所以椭圆C的方程为𝑥22+y2=1.(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),联立𝑥22+𝑦2=1,𝑦=𝑥+𝑚,消去y,整理得3x2+4mx+2m2-2=0,由题意知Δ=16m2-4×3(2m

2-2)=-8m2+24>0,所以m2<3,x1+x2=-4𝑚3,x1x2=2𝑚2−23,例2[配合例2使用]已知椭圆C:𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(a>b>0)的离心率是22,短轴的一个端点到右焦点的距离

为2,直线y=x+m与椭圆C交于A,B两点.(1)求椭圆C的方程;(2)当实数m变化时,求|AB|的最大值;(3)求△ABO(O为坐标原点)面积的最大值.所以|AB|=1+𝑘2|x1-x2|=2×𝛥3=2×−8𝑚2+243=43−𝑚2+3≤433,当且仅当m=0

时,|AB|有最大值433.(3)点O到直线AB的距离d=|𝑚|2,故△ABO的面积S△ABO=12d·|AB|=12·|𝑚|2·43−𝑚2+3=23·𝑚2·(3−𝑚2)≤23·(𝑚2+3−𝑚22)2=2

3×32=22(当且仅当m2=3-m2,即m=±62时,等号成立),所以△ABO面积的最大值为22.例2[配合例2使用]已知椭圆C:𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(a>b>0)的离心率是22,短轴的一个端点到右焦点的距离为2,直线y=x+m与

椭圆C交于A,B两点.(1)求椭圆C的方程;(2)当实数m变化时,求|AB|的最大值;(3)求△ABO(O为坐标原点)面积的最大值.例3[配合例3使用]已知P(1,1)为椭圆𝑥24+𝑦22=1内一定点,经过P引一条弦,使此弦被点P平分,则此

弦所在直线的方程为.x+2y-3=0[解析]方法一:易知此弦AB所在直线的斜率存在,所以设其方程为y-1=k(x-1),设A(x1,y1),B(x2,y2).由𝑦−1=𝑘(𝑥−1),𝑥24+𝑦22=1,消去y得(2k

2+1)x2-4k(k-1)x+2(k2-2k-1)=0,∴x1+x2=4𝑘(𝑘−1)2𝑘2+1,又∵x1+x2=2,∴4𝑘(𝑘−1)2𝑘2+1=2,解得k=-12.故此弦所在直线的方程为y-1=-12(x-1),即x+2y-3=0.例3[配合例3使用]已知P(1,1)为椭圆𝑥24+

𝑦22=1内一定点,经过P引一条弦,使此弦被点P平分,则此弦所在直线的方程为.x+2y-3=0方法二:易知此弦AB所在直线的斜率存在,所以设其斜率为k,设A(x1,y1),B(x2,y2),则𝑥124+𝑦122=1①

,𝑥224+𝑦222=1②,由①-②得(𝑥1+𝑥2)(𝑥1−𝑥2)4+(𝑦1+𝑦2)(𝑦1−𝑦2)2=0,∵x1+x2=2,y1+y2=2,∴𝑥1−𝑥22+y1-y2=0,∴k=𝑦1−𝑦2𝑥1−𝑥2=-12,∴此弦所在直线的方程为y-1=-12(x-1)

,即x+2y-3=0.解:(1)由题意得a=2c,b=3c,则可设椭圆E的方程为𝑥24𝑐2+𝑦23𝑐2=1.由𝑥24+𝑦23=𝑐2,𝑥4+𝑦2=1,得x2-2x+4-3c2=0.∵直线𝑥4+𝑦2=1与椭圆E有且仅有一

个交点M,∴Δ1=4-4(4-3c2)=0,解得c=1,∴a=2,b=3,∴椭圆E的方程为𝑥24+𝑦23=1.例4[配合例4使用]已知点F为椭圆E:𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(a>b>0)的左焦点,且以两焦点与短轴的一个端点为

顶点的三角形是等边三角形,直线𝑥4+𝑦2=1与椭圆E有且仅有一个交点M.(1)求椭圆E的方程;(2)设直线𝑥4+𝑦2=1与y轴交于点P,过点P的直线l与椭圆E交于不同的两点A,B,若λ|PM|2=|PA|·|P

B|,求实数λ的取值范围.(2)由(1)得M(1,32).∵直线𝑥4+𝑦2=1与y轴交于点P(0,2),∴|PM|2=54.当直线l与x轴垂直时,|PA|·|PB|=(2+3)×(2-3)=1,由λ|PM|2=|PA|·|PB|,得λ=4

5.当直线l与x轴不垂直时,设直线l的方程为y=kx+2,A(x1,y1),B(x2,y2),由𝑦=𝑘𝑥+2,3𝑥2+4𝑦2−12=0得(3+4k2)x2+16kx+4=0,例4[配合例4使用]已知点F为椭圆E:𝑥2𝑎2

+𝑦2𝑏2=1(a>b>0)的左焦点,且以两焦点与短轴的一个端点为顶点的三角形是等边三角形,直线𝑥4+𝑦2=1与椭圆E有且仅有一个交点M.(1)求椭圆E的方程;(2)设直线𝑥4+𝑦2=1与y轴交于点P,过点P的直线l与椭圆E交于不同的两点A,B,若λ

|PM|2=|PA|·|PB|,求实数λ的取值范围.依题意得,Δ2=48(4k2-1)>0,故k2>14,则x1x2=43+4𝑘2,∴|PA|·|PB|=(1+k2)x1x2=(1+k2)·43+4𝑘2=1

+13+4𝑘2=54λ,∴λ=45(1+13+4𝑘2),∵k2>14,∴45<λ<1.综上所述,λ的取值范围是[45,1).例4[配合例4使用]已知点F为椭圆E:𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(a>b>0)的左焦点,且以两焦点与短轴的一个端点为顶点的三角形是等边三角形

,直线𝑥4+𝑦2=1与椭圆E有且仅有一个交点M.(1)求椭圆E的方程;(2)设直线𝑥4+𝑦2=1与y轴交于点P,过点P的直线l与椭圆E交于不同的两点A,B,若λ|PM|2=|PA|·|PB|,求实数λ的取值范围.