【文档说明】高考风向标数学文科一轮复习课件函数与映射的概念课件.ppt，共(85)页，1.333 MB，由小橙橙上传

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第二章函数第1讲函数与映射的概念考纲要求考纲研读1.了解构成函数的要素．2．会求一些简单函数的定义域和值域．3．了解映射的概念.函数是特殊的映射，对函数的考查主要为：概念(判断是否为函数或判断两个函数是否相同)、定义域(具体函数或抽象函数)

构成映射的个数.1．函数的概念(1)函数的定义设A、B是两个非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的____________，在集合B中都有___________的数和它对应，那么这样的对应叫做从A到B的一个函数，通常记为_____

__________.每一个数x唯一确定y＝f(x)，x∈A(2)函数的定义域、值域的集合{f(x)|x∈A}在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做y＝f(x)的_______；与x的值相对应的y值叫做函数值，_________________________称为函数y＝

f(x)的值域．(3)函数的三个要素，即_______、_____和____________.2．映射的概念定义域值域对应关系f设A、B是两个非空集合，如果按照某种对应关系f，对于集合A中的_____元素，在集合B中都有___________的元

素与之对应，那么这样的对应叫做从A到B的映射，通常记为__________.任意唯一确定f：A→B定义域函数值AA．{x|x≥－3}C．{x|x≤－3}B．{x|x>－3}D．{x|x<－3}2．下列函数中与函数y＝x相同的是()B[－

2,2]1．(2011年广东广州调研)函数g(x)＝x＋3的定义域为()A．y＝(x)2B．y＝3x3C．y＝x2D．y＝x2x3．函数y＝4－x2的定义域是___________．4．函数y＝lg(4－x)x－3的定义域是_

_______________.5．设M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤3}，给出如图2－1－1所示四个图象，其中能表示从集合M到集合N的函数关系的是_______(填序号)．②③{x|x<4且x≠3}

图2－1－1考点1有关映射与函数的概念例1：若f：y＝3x＋1是从集合A＝{1,2,3，k}到集合B＝{4,7，a4，a2＋3a}的一个映射，则自然数a＝________，自然数k＝________；集合A＝________，B＝________.解

题思路：处理映射有关问题的关键是理解透概念．解析：∵f(1)＝3×1＋1＝4，f(2)＝3×2＋1＝7，f(3)＝3×3＋1＝10，f(k)＝3k＋1，由映射的定义知∵a∈N，∴方程组(1)无解．解方程组(2)，得a＝2或a＝－5(舍)．3k＋1＝16,3k＝15，k＝

5.∴A＝{1,2,3,5}，B＝{4,7,10,16}．(1)a4＝10，a2＋3a＝3k＋1，或(2)a2＋3a＝10，a4＝3k＋1.答案：25{1,2,3,5}{4,7,1

0,16}【互动探究】1．已知映射：f：A→B，其中A＝B＝R，对应关系f：x→y＝－x2＋2x，对于实数k∈B，且在集合A中没有元素与之对应，)则k的取值范围是(A．k>1C．k<1B．k≥1D．k≤1解析

：y＝－(x－1)2＋1≤1，若k∈B，且在集合A中没有元素与之对应，则k>1.A考点2判断两函数是否为同一个函数例2：试判断以下各组函数是否表示同一函数？(1)f(x)＝x2，g(x)＝3x3；(2)f(x)＝|x|

x，g(x)＝1(x≥0)，－1(x<0)；(3)f(x)＝2n＋1x2n＋1，g(x)＝2n－1x2n－1(n∈N*)；(4)f(x)＝xx＋1，g(x)＝x2＋x；(5)f(x)＝x2－2x－1，g(t)＝t

2－2t－1.解题思路：要判断两个函数是否为同个函数，只需判断其定义域和对应关系是否相同即可．解析：(1)由于f(x)＝x2＝|x|，g(x)＝3x3＝x，故它们的对应关系不相同，∴它们不是同一函数．(2)由于函数f(x)＝|x|x的定义域为(

－∞，0)∪(0，＋∞)，而g(x)＝1(x≥0)－1(x<0)的定义域为R，∴它们不是同一函数．(3)由于当n∈N*时，2n±1为奇数，∴f(x)＝2n＋1x2n＋1＝x，g(x)＝2n－1x2n－1＝x.它们的定义域、对应关系都相同，∴它们是同一函数．(4)由于函数f(x)＝x

x＋1的定义域为{x|x≥0}，而g(x)＝x2＋x的定义域为{x|x≥0或x≤－1}，它们的定义域不同，∴它们不是同一函数．(5)函数的定义域和对应关系都相同，∴它们是同一函数．【互动探究】2．若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”

．例如解析式为y＝2x2＋1、值域为{9}的孪生函数有三个：①y＝2x2＋1，x∈{－2}；②y＝2x2＋1，x∈{2}；③y＝2x2＋1，x∈{－2,2}．那么函数的解析式为y＝2x2＋1，值域为{1,5}的孪生函数共有()CA．5个B．4个C．3个D．2个考点3求

函数的定义域答案：A例3：(2011年江西)若f(x)＝1log12(2x＋1)，则f(x)的定义域为()A.－12，0B.－12，0C.－12，＋∞D．(0，＋∞)解析：log12(2x＋1)>0，∴0<2x＋1<1.∴x∈－12，

0.求一些具体函数的定义域，有分母的保证分母不为零；有开偶次方根的要保证被开方数为非负数；有对数函数保证真数大于零，底数大于零且不等于1.在求定义域的过程中，往往需要解不等式(组)，很多时候需要利用函数的单调性．A3．函数f(x)＝的定义域是

()A．(－∞，0]C．(－∞，0)B．[0，＋∞)D．(－∞，＋∞)【互动探究】12x−＋lg(1＋x)的定义域是(11－x)4．(2011年广东)函数f(x)＝A．(－∞，－1)B．(1，＋∞)C．(

－1,1)∪(1，＋∞)D．(－∞，＋∞)C解析：1－x≠0，1＋x>0⇒x>－1且x≠1，则f(x)的定义域是(－1,1)∪(1，＋∞)．易错、易混、易漏4．对复合函数的定义域理解不透彻例题：(1)若函数f(x)的定义域为[2,3]，则f(x－1)的定义域

为________；(2)若函数f(x－1)的定义域为[2,3]，则f(x)的定义域为________；(3)若函数f(x－1)的定义域为[2,3]，则f(x)的定义域为________，f(2x＋1

)的定义域为________；(4)若函数f(x)的值域为[2,3]，则f(x－1)的值域为_______；f(x)－1的值域为________．正解：(1)若函数f(x)的定义域为[2,3]，则f(x－1)有2≤x－1≤3，解得3≤x≤4.即f(

x－1)的定义域为[3,4]．(2)若函数f(x－1)的定义域为[2,3]，即2≤x≤3，有1≤x－1≤2.则f(x)的定义域为[1,2]．(3)若函数f(x－1)的定义域为[2,3]，则f(x)的定义域为[1,2]．则f(2x＋

1)有1≤2x＋1≤2，解得0≤x≤12.即f(2x＋1)的定义域为0，12.(4)f(x－1)的图象就是将f(x)的图象向右平移1个单位，不改变值域．f(x)－1的图象就是将f(x)的图象向下平移1个单位，所以f(x－1)的值域为[2,3]，f(x)－1的值域为[1,2]．【失误

与防范】本题是求关于抽象的复合函数的定义域和值域，加深对函数定义域的理解，弄明白f(x)与f[u(x)]定义域之间的区别与联系，其实在这里只要f(x)中x取值的范围与f[u(x)]中式子u(x)的取值范围一致就行了.注意习题(3)就是习题(1)和习题(2)的综合.函数的概念

含有三个要素，当函数的定义域及对应关系确定之后，函数的值域也就随之确定．因此，“定义域和对应关系”为函数的两个基本条件，当且仅当两个函数的定义域和对应关系分别相同时，这两个函数才是同一个函数．对于求抽象的复合函数的定义域，主要理解三种情形：①

已知f(x)的定义域为[a，b]，求f[u(x)]的定义域，只需求不等式a≤u(x)≤b的解集即可；②已知f[u(x)]的定义域为[a，b]，求f(x)的定义域，只需求u(x)的值域；③已知f[u(x)]的定义域为[a，b]，求f[g(x)]的定义域，必须先利

用②的方法求f(x)的定义域然后利用①的方法求解．考纲要求考纲研读1.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数．2．了解简单的分段函数，并能简单应用.对于函数的解析式的考查主要集中在两个方面

：求函数值或求函数解析式f(x)；分段函数主要体现分类讨论的思想.第2讲函数的表示法1．函数的三种表示法图象法列表法解析法_______、________、_________．(1)图象法：就是_____________表示两个变量之间的关系．(2)列表法：就是_________

___来表示两个变量的函数关系．(3)解析法：就是把两个变量的函数关系，用_____来表示．2．分段函数列出表格等式在自变量的不同变化范围中，对应关系用不同式子来表示的函数称为分段函数．分段函数的对应关系为一整体．用函数图象1．若f(x

)＝x＋1，则f(3)＝()A．2B．4C．22D．102．函数f(x)＝x2－1x2＋1，则f(2)f12＝()A．1B．－1C.35D．－35AB3．设函数f(x)＝1－x2(x≤1)，x2＋x－2(x

>1)，则f1f(2)的值为()A.1516B．－2716C.89D．184．已知f(x)＝x(x>0)，x2(x≤0)，若f(a)＝2，则a＝__________.5．已知函数f(x)＝x2＋|x－2|，则f(1)＝____.A22或－2，若f(a)＝2，则实数考点

1求函数值例1：①(2011年浙江)设函数f(x)＝41－xa＝________.解析：∵f(a)＝41－a＝2，∴a＝－1.答案：－1②(2011年广东)设函数f(x)＝x3cosx＋1.若f(a)＝11，则f(－a)＝________.解析：f(a)＝a3cosa＋1＝11，即f

(a)＝a3cosa＝10.则f(－a)＝(－a)3cos(－a)＋1＝－a3cosa＋1＝－10＋1＝－9.答案：－9【互动探究】1．已知a，b为常数，若f(x)＝x2＋4x＋3，f(ax＋b)＝x2＋10x＋24，则5a－b＝____.2解析：因为f

(x)＝x2＋4x＋3，所以f(ax＋b)＝(ax＋b)2＋4(ax＋b)＋3＝a2x2＋(2ab＋4a)x＋(b2＋4b＋3)．又f(ax＋b)＝x2＋10x＋24，所以5a－b＝2.所以a2＝1，2ab＋4a＝10

，b2＋4b＋3＝24.解得a＝1，b＝3，或a＝－1，b＝－7.考点2分段函数例2：①(2011年北京)根据统计，一名工人组装第x件某产品已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A件产品用时15分钟，那么C和A的值分别是()A．75,25B．75,1

6C．60,25D．60,16所用的时间(单位：分钟)为f(x)＝Cx(x＜A)，CA(x≥A)(A，C为常数)．已解析：由题意可知f(4)＝C4＝30，f(A)＝CA＝15，解得C＝60，A＝16.故应选D.答案：D若f(1－a)＝f(1＋a)，则a的值为___

___．答案：D②(2011年江苏)已知实数a≠0，函数f(x)＝2x＋a(x<1)，－x－2a(x≥1)，分段函数的对应关系是借助几个不同的表达式来表示的，处理相关问题时，首先要确定自变量的值属于哪一个区间，从而选定相应关系式代入计算．特别地要注意分段区间端

点的取舍．解析：当a>0时，2－2a＋a＝－1－a－2a，a＝－32(舍去)；当a<0时，－1＋a－2a＝2＋2a＋a，a＝－34.【互动探究】-22．(2011年陕西)设f(x)＝lgx(x>0)，10x(x≤0)，则ff(－2)＝____.解析：∵x＝－2<0

，∴f(－2)＝10－2＝1100>0.∴f(10－2)＝lg10－2＝－2.即f[f(－2)]＝－2.考点3求函数的解析式例3：(1)已知f(x＋1)＝x2－1，求f(x)的表达式；(2)已知f(x)是一次函数，且满足3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋17，求

f(x)；(3)若fx＋1x＝x2＋1x2，求f(x)的解析式；(4)已知f(x)满足2f(x)＋f1x＝3x，求f(x)．解题思路：本题侧重于从映射的角度理解函数，求函数解析式f(x)即是求“对应关系f是如何对x实施运算

的”．解析：(1)方法一：f(x＋1)＝x2－1＝(x＋1)2－2x－2＝(x＋1)2－2(x＋1)，可令t＝x＋1，则有f(t)＝t2－2t，故f(x)＝x2－2x.(f对x实施的运算和对t实施的运算是完全一样的)方法二：令x＋1＝t，则x＝t－1.代入原式，有f(t)

＝(t－1)2－1＝t2－2t，∴f(x)＝x2－2x.(2)设f(x)＝ax＋b(a≠0)，则3f(x＋1)－2f(x－1)＝3ax＋3a＋3b－2ax＋2a－2b＝ax＋b＋5a＝2x＋17.∴a＝2，b＝7.故f(x)＝2x＋7.(3)fx＋1

x＝x2＋1x2＝x＋1x2－2，设x＋1x＝t，有f(t)＝t2－2.即f(x)＝x2－2，x∈(－∞，－2)∪(2，＋∞)．(4)2f(x)＋f1x＝3x，①把①中的x换成1x，得2f

1x＋f(x)＝3x，②①×2－②得3f(x)＝6x－3x.∴f(x)＝2x－1x.【互动探究】3．已知f(3x)＝4xlog23＋233，则f(2)＋f(4)＋f(8)＋…＋f(28)的值等于_________.2008解析：∵f(3x)＝4xlog23＋233＝4l

og23x＋233⇒f(x)＝4log2x＋233，∴f(2)＋f(4)＋f(8)＋…＋f(28)＝8×233＋4(log22＋2log22＋3log22＋…＋8log22)＝1864＋144＝2008.考

点4函数中的信息给予题例4：符号[x]表示不超过x的最大整数，如[π]＝3，[－1.08]＝－2，定义函数{x}＝x－[x]．给出下列四个命题：①函数{x}的定义域是R，值域为[0,1]；③函数{x}是周期函数；④函数{x}

是增函数．其中正确命题的序号有()A．①④B．③④C．②③D．②④②方程{x}＝12有无数个解；解析：依据函数{x}＝x－[x]的定义知函数{x}的定义域是R，但0≤x－[x]<1，故①错误；而方程{x}＝12，即方程x－[x]＝12有无数个解，故②正确；由于当x取整数时，都有x－[x

]＝0，所以函数{x}不是增函数，即④是错误的，从而应选C.答案：C【互动探究】4．(2011年广东珠海模拟)对于任意实数x，符号[x]表示x的整数部分，即[x]是不超过x的最大整数，例如[2]＝2；[2.1]＝2；[－2.2]＝3，这个函数[x]叫做“取整函数”，它在数学本身

和生产实践中有广泛的应用．那么[log21]＋[log22]＋[log23]＋[log24]＋…＋[log264]的值为()CA．21B．76C．264D．6421．求抽象函数解析式的几种常用方法(1)换元法：已知f[g(x)]的表达式，欲求f(x)

，我们常设t＝g(x)，反解求得x＝g－1(t)，然后代入f[g(x)]的表达式，从而得到f(t)的表达式，即为f(x)的表达式．(2)凑配法：若已知f[g(x)]的表达式，欲求f(x)的表达式，用换元法有困难时[如g(x)不存在反函数]，可把g(x)看成一个整体

，把右边变为由g(x)组成的式子，再换元求出f(x)的式子．(3)消元法：已知以函数为元的方程形式，若能设法构造另一个方程，组成方程组，再解这个方程组，求出函数元，称这个方法为消元法．(4)赋值法：在求某些函数的表达式或求某些函数值时，有时把已知条

件中的某些变量赋值，使问题简单明了，从而易于求出函数的表达式．2．分段函数不论是研究性质，还是作图、求值，都是按自变量的取值范围和对应关系分段处理．1．在函数f(x)中，符号f表示一种对应关系，可以是解析式，可以

是图象，也可以是图表．2．分段函数是同一个函数，由于在不同区间上的解析关系式不同，所以容易忽视自变量的取值范围，从而造成错误．考纲要求考纲研读1.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义．2．会运用函数图象

理解和研究函数的性质.1.以函数的奇偶性与周期性为载体求函数值、比较函数值的大小、解函数不等式及求参数的取值范围是本节考查的重点．2．研究函数性质时可以将抽象的函数具体化、直观化(利用图象).第3讲函数的奇偶性与周期性1．函数的奇偶性的定义(1)对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有_

___________[或_____________]，则称f(x)为奇函数．奇函数的图象关于____对称．(2)对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有____________[或____________]，则称f(x

)为偶函数．偶函数的图象关于___轴对称．(3)通常采用图象或定义判断函数的奇偶性．具有奇偶性的函数，其定义域关于原点对称(也就是说，函数为奇函数或偶函数的必要条件是其定义域关于原点对称)．原点f(－x)＝－f(x)f(－x)＋f(x)＝0f(－x)－f(x)＝0yf

(－x)＝f(x)2．函数的周期性的定义对于函数f(x)，如果存在一个__________T，使得定义域内的每一个x值，都满足_____________，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的______．非零常数f(x＋T)＝

f(x)周期DA．奇函数B．偶函数C．既是奇函数又是偶函数D．非奇非偶函数)C2．下列函数中，在其定义域内是奇函数的是(1．函数y＝1－x＋x－1是()A．y＝exB．y＝x12C．y＝x3D．y＝cosxCA．y轴对称C．坐标原点对称B．直线y＝

－x对称D．直线y＝x对称4．设函数f(x)＝(x2＋1)(x＋a)为奇函数，则a＝___.05．设f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，f(x＋2)＝－f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x，则f(7.5)＝_______.－0.53．函数f(x)＝1x－x的图象关于()解析：由f(x＋2

)＝－f(x)得f(x＋4)＝f(x)，故f(x)是以4为周期的函数．故f(7.5)＝f(－0.5＋8)＝f(－0.5)．又f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，且当0≤x≤1时，f(x)＝x，所以f(7.5)＝f(－0.5)＝－f(0.5)＝－0.5.考点1判断函数的奇偶性例1：

判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)＝|x＋1|－|x－1|；(2)f(x)＝x＋1x；(3)f(x)＝1－x2|x＋2|－2；(4)f(x)＝x(1－x)(x<0)，x(1＋x)(x>0)；(5)f(x)＝1－x2＋x2－1；(6)f(x)＝2x＋12

x－1.解：(1)函数的定义域为x∈(－∞，＋∞)，关于原点对称．∵f(－x)＝|－x＋1|－|－x－1|＝|x－1|－|x＋1|＝－(|x＋1|－|x－1|)＝－f(x)，∴f(x)＝|x＋1|－|x－1|

是奇函数．(2)此函数的定义域为{x|x>0}．由于定义域关于原点不对称，故f(x)既不是奇函数也不是偶函数．(3)去掉绝对值符号，根据定义判断．故f(x)的定义域为[－1,0)∪(0,1]，关于原点对称，且有x＋2＞0.由1－

x2≥0，|x＋2|－2≠0，得－1≤x≤1，x≠0且x≠－4.故f(x)为奇函数．(4)∵函数f(x)的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)．当x＞0时，－x＜0，∴f(－x)＝(－x)[1－(－x)]＝－x(1＋x)＝－

f(x)(x＞0)．当x＜0时，－x＞0，∴f(－x)＝－x(1－x)＝－f(x)(x＜0)．故函数f(x)为奇函数．从而有f(x)＝1－x2x＋2－2＝1－x2x.∴f(－x)＝1－(－x)2－x＝－1－x

2x＝－f(x)．(5)此函数的定义域为{－1,1}，且f(x)＝0.可知图象既关于原点对称、又关于y轴对称，故此函数既是奇函数又是偶函数．∴f(x)是奇函数．(6)函数的定义域为2x－1≠0，即x≠0.∵f

(－x)＝2－x＋12－x－1＝2x＋12x1－2x2x＝－2x＋12x－1＝－f(x)，(1)函数的奇偶性是函数的一个整体性质，定义域具有对称性(即若奇函数或偶函数的定义域为D，则x∈D时都有－x∈D)是一个函数为奇函数或偶函数的必要条件，因此判断函数的奇偶性应首先考虑函数的定义域．(2)分段

函数的奇偶性一般要分段证明．(3)用定义判断函数的奇偶性的步骤是：定义域(关于原点对称)→验证f(－x)＝±f(x)→下结论，还可以利用图象法或定义的等价命题f(－x)±f(x)＝0或f(－x)f(x)＝±1[f(x)≠0]来判断．【互动探究】域均为R，则()

BA．f(x)与g(x)均为偶函数C．f(x)与g(x)均为奇函数B．f(x)为偶函数，g(x)为奇函数D．f(x)为奇函数，g(x)为偶函数01．(2010年广东)若函数f(x)＝3x＋3－x与g(x)＝3x－3－x的定义解析：f(－x)＝3－x＋3x＝f(x)，g

(－x)＝3－x－3x＝－g(x)．＝___.2．(2011年浙江)若函数f(x)＝x2－|x＋a|为偶函数，则实数a解析：∵f(x)为偶函数，∴f(－x)＝f(x)．即x2－|x＋a|＝(－x)2－|－x＋a|⇒＝.∴a＝0.考点2利用函数

的奇偶性求函数解析式例2：设f(x)是R上的奇函数，且当x∈[0，＋∞)时，f(x)＝x(1＋3x)，那么当x∈(－∞，0)时，求f(x)的解析式．解：f(x)是奇函数．∵当x＜0时，－x＞0.∴f(－x)＝－x(1＋3－x)＝－x(1－3x)．∴f(x)＝－f(－x)＝x(1－3x

)．∴f(x)＝x(1＋3x)，x∈[0，＋∞)，x(1－3x)，x∈(－∞，0).【互动探究】3．(2011年广东广州综合测试)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x≤0时，f(x)＝x3－x2，则当x>0时，f(x)的解析式为__

_______________.f(x)＝－x3－x24．(2011年安徽)设f(x)是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f(x)＝2x2－x，则f(1)＝()AA．－3B．－1C．1D．3解析：f(1)＝－f(－1)＝－[2×(－1)2

－(－1)]＝－3.故选A.考点3函数奇偶性与周期性的综合应用答案：A例3：(2011年全国)设f(x)是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f(x)＝2x(1－x)，则f－52＝()A．－12B．－14C.14D.12解析：由f(x)是周期为2的奇函数，利用周期性和

奇偶性得：f－52＝f－52＋2＝f－12＝－f12＝－2×12×1－12＝－12.值的方法．关键是通过周期性和奇偶性，把自变量－—转化到区间本题主要考查利用

函数的周期性和奇偶性求函数52[0,1]上进行求值．【互动探究】5．(2011年山东)已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x<2时，f(x)＝x3－x，则函数y＝f(x)的图象在区间[0,6]上与x轴的交点的个数为()BA．6B．7C．8D．9解析：因为当0

≤x<2时，f(x)＝x3－x，又因为f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且f(0)＝0，所以f(6)＝f(4)＝f(2)＝f(0)＝0，又因为f(1)＝0，所以f(3)＝0，f(5)＝0.故函数y＝f(x)的图象在区间[0,6]上与x轴的交点的个数为7个，故选B.DA．a<b<

cC．c<b<aB．b<a<cD．c<a<b6．已知f(x)是周期为2的奇函数，当0<x<1时，f(x)＝lgx，设a＝f65，b＝f32，c＝f52，则()解析：已知f(x)是周期为2的

奇函数，当0<x<1时，f(x)＝lgx.设a＝f65＝f－45＝－f45，b＝f32＝f－12＝－f12，c＝f52＝f

12<0，∴c<a<b.2－x易错、易混、易漏5．判断函数奇偶性时没有考虑定义域例题：给出四个函数：①y＝lg；2＋x②y＝lg(2－x)－lg(2＋x)；③y＝lg[(x＋2)(x－2)]；④y＝lg(x＋2)＋lg(x－2)．其中奇函数是________，偶函数

是________．正解：①②的定义域相同，均为(－2,2)，且均有f(－x)＝－f(x)，所以都是奇函数；③的定义域为(－∞，－2)∪(2，＋∞)，且有f(－x)＝f(x)，所以为偶函数；而④的定义域为(2，＋∞)不对称，因此为非奇非偶函数．答案：①②③【失误与防范】对函数

奇偶性定义的实质理解不全面．对定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，f(－x)＝－f(x)的实质是：函数的定义域关于原点对称．这是函数具备奇偶性的必要条件．对于函数f(x)定义域中的任意x，总存在一个常数T(T≠0)，使得f(x＋T)＝f(x)恒成立，则T是函数y＝f(x)的一个周期．(

1)若函数y＝f(x)满足f(x＋a)＝f(x－a)(a≠0)，则T＝2a是它的一个周期．(2)若函数y＝f(x)满足f(x＋a)＝－f(x)(a≠0)，则T＝2a是它的一个周期．(3)若函数y＝f(x)满足f(x＋a)＝

－1f(x)(a≠0)，则T＝2a是它的一个周期．(4)若函数y＝f(x)满足f(x＋a)＝1f(x)(a≠0)，则T＝2a是它的一个周期．1－f(x)1＋f(x)(a≠0)，则T＝2a是它(5)若函数y＝f(x)满足f(x＋a)＝的一个周期．(6)若函

数y＝f(x)(x∈R)的图象关于直线x＝a与x＝b对称，则T＝2|b－a|是它的一个周期．(7)若函数y＝f(x)(x∈R)的图象关于点(a,0)与x＝b对称，则T＝4|b－a|是它的一个周期．对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)[或f(－

x)＝f(x)]，则称f(x)为奇(偶)函数．因此在讨论函数的奇偶性时，应首先求函数的定义域，观察其定义域是否关于原点对称，若不对称，则函数不具备奇偶性，为非奇非偶函数；只有定义域关于原点对称，才有必要利用定义进一步研究其奇偶性．考纲要求考纲研读1.会求一些简单函数的值域．2．理解函数

的单调性、最大值、最小值及其几何意义.利用函数单调性、图象等方法求一些简单函数的值域或最值；或以最值为载体求参数的范围，并能解决实际生活中的一些优化问题.第4讲函数的单调性与最值1．函数的单调性的定义设函

数y＝f(x)的定义域为A，区间I⊆A，如果对于区间I内的任意两个值x1，x2，当x1<x2时，都有__________，那么就说y＝f(x)在区间I上是单调增函数，I称为y＝f(x)的______________；如果对于区间I内的任意两个值x1，x2，当x1<x2时，

都有________，那么就说y＝f(x)在区间I上是单调减函数，I称为y＝f(x)的____________．单调增区间f(x1)>f(x2)单调减区间f(x1)<f(x2)2．用导数的语言来描述函数的单调性设函数y＝f(x)，如果在某区间I上___

________，那么f(x)为区间I上的增函数；如果在某区间I上____________，那么f(x)为区间I上的减函数．f′(x)>0f′(x)<03．函数的最大(小)值设函数y＝f(x)的定义域为A，如果存在定值x0∈A，使得对于任意x∈A，有__

__________恒成立，那么称f(x0)为y＝f(x)的最大值；如果存在定值x0∈A，使得对于任意x∈A，有___________恒成立，那么称f(x0)为y＝f(x)的最小值．f(x)≤f(x0)f(x)≥f(x0)A．k>－1．函数y＝x2－6x的减区间是()DA．(－∞，2]C．[3

，＋∞)B．[2，＋∞)D．(－∞，3]2．函数y＝(2k＋1)x＋b在实数集上是增函数，则()A12B．k<－12C．b>0D．b>03．已知函数f(x)的值域是[－2,3]，则函数f(x－2)的值域为()DA．[－4,1]C．[－4,1]∪[0,5]B．[0,5]D．[－2,3]解析：

f(x－2)的图象是把f(x)的图象向右平移2个单位．因此f(x－2)的值域不变．单调减区间是______________．[0，＋∞)5．指数函数y＝(a－1)x在(－∞，＋∞)上为减函数，则实数a的取值范围为_____

___.1<a<24．若函数f(x)＝(m－1)x2＋mx＋3(x∈R)是偶函数，则f(x)的例1：已知函数f(x)＝x2＋—(x≠0，a∈R)．考点1利用定义判断函数的单调性ax(1)判断函数f(x)的奇偶性；(2)若f(x)在区间[2，＋∞)是增函数，求实数a的取值范围．当a≠0时，f

(x)既不是奇函数也不是偶函数．解：(1)当a＝0时，f(x)＝x2为偶函数．(2)设x2>x1≥2，f(x1)－f(x2)＝x21＋ax1－x22－ax2＝x1－x2x1x2[x1x2(x1＋x2)－a]，由x2>x1≥2得x1x2(x1＋x2)>16，x

1－x2<0，x1x2>0.要使f(x)在区间[2，＋∞)是增函数只需f(x1)－f(x2)<0，即x1x2(x1＋x2)－a>0恒成立，则a≤16.(1)利用增、减函数定义证明或判断函数的单调性，其步骤是：设出指定区

间上的任意两个值→作差→变形→判符号→定结论．(2)本题还可以利用导数求解：f′(x)＝2x－ax2，要使f(x)在区间[2，＋∞)是增函数，只需当x≥2时，f′(x)≥0恒成立，即2x－ax2≥0，则a≤2x3∈[16，＋∞)恒成立，故当a≤16时，f(x)在区间[2，＋

∞)是增函数．【互动探究】2xx－1在区间(0,1)上1．试用函数单调性的定义判断函数f(x)＝的单调性．解：任取x1，x2∈(0,1)，且x1<x2.则f(x1)－f(x2)＝2x1x1－1－2x2x2－1＝2(x2－x1)(x1－1)(x2－1).由于0<x1<x2

<1，x1－1<0，x2－1<0，x2－x1>0，故f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)．所以，函数f(x)＝2xx－1在(0,1)上是减函数．考点2利用导数判断函数的单调性函数，在区间(6，＋∞)上为增函数，试求实数a的取值范围．解题思路：本题

可用分离参数的方法结合不等式恒成立问题求解，也可求出整个函数的递增(减)区间，再用所给区间是所求区间的子区间的关系求解．例2：若函数f(x)＝13x3－12ax2＋(a－1)x＋1在区间(1,4)内为减解析：函数f(x)的导数为

f′(x)＝x2－ax＋a－1.令f′(x)＝0，解得x＝1或x＝a－1.当a－1≤1即a≤2时，函数f(x)在(1，＋∞)上为增函数，不合题意．当a－1＞1，即a＞2时，函数f(x)在(－∞，1)上为增函数，在(1，a－1)内为减函数

，在(a－1，＋∞)上为增函数．依题意应有：当x∈(1,4)时，f′(x)＜0.当x∈(6，＋∞)时，f′(x)＞0.所以4≤a－1≤6，解得5≤a≤7，所以a的取值范围是[5,7]．【互动探究】＋mf(x)<0恒成立，则实数m的取值范围是_________.m<－12．(2010

年天津)设函数f(x)＝x－1x，对任意x∈[1，＋∞)，f(mx)解析：已知f(x)为增函数且m≠0，所以2mx2＜1＋m2m.显然m>0时不符合题意．则m<0，即有1＋1m2<2x2.因为y＝2x2在x∈[1，＋∞)

上的最小值为2，所以1＋1m2＜2，即m2>1，解得m<－1.考点3函数的最值与值域例3：求下列函数的值域：(1)y＝3x＋2x－2；(2)y＝－x2－2x＋3(－5≤x≤－2)；(3)y＝x2－xx2－x＋1；(4)y＝x＋4x.程，用

判别式可求值域，也可把函数解析式化成A＋(A，解题思路：关于x的一次分式函数，可通过求关于x的方程在定义域内有解的条件来求得值域，也可以经过变形(分离常量)，观察得出结果；关于有理分式函数，去分母化成关于x的二次方Bx２－x＋1B是常数)的形式来求值域；可用换元法将无理

函数化为有理函数或将已知等式化成关于x的二次方程，用判别式求函数的值域．解析：(1)方法一：y＝3x＋2x－2＝(3x－6)＋8x－2＝3＋8x－2，由于8x－2≠0，∴y≠3.∴函数y＝3x＋2x－2的值域是{y|y∈R且y≠3}．方法二：由y＝3x＋2x－2，得x＝2(y＋1)

y－3.∴y≠3.(2)∵y＝－x2－2x＋3＝－(x＋1)2＋4，x∈[－5，－2]，∴其图象是开口向下，顶点为(－1,4)．∴当x＝－5时，ymin＝－12.当x＝－2时，ymax＝3.∴y＝－x2－2x＋3(－5≤x≤－2)的值域是[－12,3]．(3)方法一：y＝x2－xx2－x＋1＝

1－1x2－x＋1.∵x2－x＋1＝x－122＋34，∴－13≤1－1x2－x＋1<1，即－13≤y<1.故值域为－13，1.方法二：去分母，整理得(y－1)x2－(y－1)x＋y

＝0.易知y≠1，故上式可看作是关于x的二次方程．∵x∈R，∴方程有实根．∴Δ＝(y－1)2－4y(y－1)≥0.解得－13≤y≤1.又y≠1，故值域为－13，1.(4)方法一：函数y＝x＋4x是定义域为{x|x≠0}的奇函数，故其图象关于原点

对称，故只讨论x＞0时的最值，即可知x＜0时的最值．当x＞0时，y＝x＋4x≥2x·4x＝4，等号当且仅当x＝2时取得．当x＜0时，y≤－4，等号当且仅当x＝－2时取得．综上，函数的值域为(－∞，－4]∪[4，＋∞)．方法二：任取x1，x

2，且x1＜x2，∵f(x1)－f(x2)＝x1＋4x1－x2＋4x2＝(x1－x2)(x1x2－4)x1x2，∴当x≤－2或x≥2时，f(x)递增．当－2＜x＜0或0＜x＜2时，f(x)递减．故x＝－2时，f(x

)极大值＝f(－2)＝－4；x＝2时，f(x)极小值＝f(2)＝4.∴所求函数的值域为(－∞，－4]∪[4，＋∞)．【互动探究】3．求下列函数的值域：(1)y＝3x＋25－4x；(2)y＝－x2＋x＋2；(3)y＝3x2－1x2＋2.解：(1)y＝3x＋25－4x

＝14×12x＋85－4x＝14×3(4x－5)＋235－4x＝－34＋234(5－4x).∴值域为yy≠－34.(2)y＝－x2＋x＋2＝－x－122＋94.∴值域是－∞，94.(3)由y＝3x2－1x2＋2可知，x∈R且(3－y)x2＝2y＋

1，当y＝3时，显然不成立．∴y≠3，得：x2＝2y＋13－y.∵x2≥0，∴2y＋13－y≥0.解得：－12≤y＜3.∴函数值域为y∈－12，3.易错、易混、易漏6．求函数的单调区间时没有考虑

定义域例题：(2010年广东珠海北大希望之星实验学校)函数f(x)＝log2(4x－x2)的单调递减区间是()A．(0,4)B．(0,2)C．(2,4)D．(2，＋∞)正解：由4x－x2>0得0<x<4，又由u＝4x－x2＝－(x－2)2＋4

知函数u在(2,4)上是减函数，根据复合函数的单调性知函数f(x)＝log2(4x－x2)的单调递减区间是(2,4)．故选C.答案：C【失误与防范】易忽略x需满足4x－x2＞0这个条件．求函数值域的常用方法有：配方法、分离变量法、单调性法、图象法

、换元法、不等式法等．无论用什么方法求函数的值域，都必须考虑函数的定义域．1．在研究函数的单调性时，对单调区间的表述要准确．如函数f(x)＝1x的单调减区间为－∞，0和0，＋∞，而不能表述为

－∞，0∪0，＋∞.有的函数既无最大值也无最小值，如y＝—.2．并不是所有的函数都有最值，有的函数只有最大值而无最小值，如y＝－x2；有的函数只有最小值而无最大值，如y＝x2；1x