【文档说明】高考复习方案数学文科一轮复习课件人教A版第5讲-函数的单调性与最值.ppt，共(51)页，967.000 KB，由小橙橙上传

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第5讲│函数的单调性与最值第5讲函数的单调性与最值考纲要求第5讲│考纲要求1．理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义．2．会运用函数图象理解和研究函数的单调性．知识梳理第5讲│知识梳理知识梳理1．函数的单调性及性质(1)定义：增函数减函数

定义设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1，x2.当x1<x2时，都有________，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数当x1<x2时，都有________，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数f(x1)<f(x2)f(x1)>f(x2)第5讲│知

识梳理逐渐上升逐渐下降增函数减函数图象描述自左向右看图象是________自左向右看图象是________(2)单调性定义的等价形式：设x1，x2∈[a，b]，x1≠x2，那么(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0⇔f(x1)－f(

x2)x1－x2>0⇔f(x)在[a，b]上是________；(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0⇔f(x1)－f(x2)x1－x2<0⇔f(x)在[a，b]上是________．第5讲│知识梳理减函数增函数(3)利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调

性的一般步骤：①任取x1，x2∈D，且x1<x2；②作差；③变形(通常是因式分解和配方)；④判断符号(即判断f(x1)－f(x2)的正负)；⑤下结论(即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性)．第5讲│知识梳理(4)判断方法：①定义法(作差比较法和作商比较法)：在区间D上，函数

值y随x的增大而增大，则函数在区间D上为________，函数值y随x的增大而减小，则函数在区间D上为________；②图象法：在区间D上，如果函数的图象从左向右是上升的，则函数在区间D上为________，如果函数的图象从左向右是下降的，则函数在区间D上为________；第

5讲│知识梳理减函数增函数增函数减函数③导数法：已知函数y＝f(x)在某区间D内可导，若f′(x)>0，则函数y＝f(x)为区间D上的________，若f′(x)<0，则函数y＝f(x)为区间D上的________；④运算法：在公共定义域内，增函数＋增函数＝________，减函

数＋减函数＝________；⑤复合函数单调性的判断方法：“同增异减”，即若y＝f(x)和u＝g(x)的单调性相同，则函数y＝f[g(x)]是________，若y＝f(x)和u＝g(x)的单调性相反，则函数y＝

f[g(x)]是________．第5讲│知识梳理减函数增函数增函数减函数增函数减函数(5)简单性质：奇函数在其关于原点对称区间上的单调性________，偶函数在其关于原点对称区间上的单调性________．2．函数的最值对于函数f(x)，假定其定义域为A，则(1)若存在x0∈A，使得

对于任意x∈A，恒有f(x)≥f(x0)成立，则称f(x0)是函数f(x)的________；(2)若存在x0∈A，使得对于任意x∈A，恒有f(x)≤f(x0)成立，则称f(x0)是函数f(x)的________．第5讲│知识梳理最大值最小值相同相反问题思考第5讲│问题思考►问题1函数y＝1x

在定义域上是单调递减的．()[答案]错[解析]函数的单调区间是该函数定义域的子集；函数的定义域不一定是函数的单调区间．第5讲│问题思考►问题2相同单调性函数的和、差、积、商函数还具有相同的单调性．()[答案]错[解析

]两个增(减)函数的和函数仍是增(减)函数，但两个增函数的差、积、商的函数单调性不确定，同样两个减函数的差、积、商的函数单调性也不确定．第5讲│问题思考►问题3如果一个函数在定义域的几个区间上都是增(减)函数，那么这个函数在其定义域上是增(减)函数．()[答案]错[解析]例

如函数y＝1x在区间(－∞，0)和(0，＋∞)上都是减函数，但这个函数在其定义域上不是减函数．第5讲│问题思考►问题4函数f(x)在区间[a，b]上单调递增与函数f(x)的单调递增区间为[a，b]含义相同．()[答案

]错[解析]含义不同，f(x)在区间[a，b]上单调递增并不能排除f(x)在其他区间单调递增，而f(x)的单调递增区间为[a，b]意味着f(x)在其他区间不可能单调递增．第5讲│问题思考►问题5若f(x)在区间I上为增函数，且f

(x1)<f(x2)(x1，x2∈I)，那么x1<x2.()[答案]对[解析]f(x1)－f(x2)x1－x2>0⇒x1<x2.第5讲│问题思考►问题6若(a，b)、(c，d)都是f(x)的单调增区间，且x1∈(a，b)，x2∈(c，d

)，x2>x1，则f(x1)＜f(x2)．()[答案]错[解析]x1、x2在不同区间上，f(x1)、f(x2)的大小不能确定．要点探究►探究点1判断、证明函数的单调性第5讲│要点探究例1求证：函数f(x)＝x＋ax(a>0)在(a，＋∞)上是增函数．[思路]严

格按照用定义证明单调性的步骤进行．第5讲│要点探究[解答]证明：设x1>x2>a，则f(x1)－f(x2)＝x1＋ax1－x2＋ax2＝(x1－x2)·1－ax1x2＝(x1－x2)·x1x2－ax1x2，当x1>x2>a时，x1－x2>0，x1

x2>0，x1x2>a，所以f(x1)－f(x2)>0.所以函数f(x)＝x＋ax(a>0)在a，＋∞上是增函数．第5讲│要点探究[点评]用定义证明单调性必须走程序化的步骤，其关键一步是对Δy作的变形，变形的目的是能够判

断f(x2)－f(x1)的符号，为此常作出：①多项式分解因式或配方；②分式通分后分子、分母因式分解；③根式有理化；④幂、指、对数要用各自的运算法则．第5讲│要点探究变式题(1)下列函数中，满足“对任意x1，x2∈(0，＋∞)，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)”的是()A．f(x

)＝1xB．f(x)＝(x－1)2C．f(x)＝exD．f(x)＝ln(x＋1)(2)下列函数中，在区间(0,1)上单调递减的是________．①f(x)＝sinx；②f(x)＝x＋1x；③f(x)＝log12(x＋3)；④f(x)＝|x＋1|.第5讲│要点探究[答案](1)A(2)②③[

解析](1)因为所给函数中只有f(x)＝1x在(0，＋∞)上是减函数，所以A正确．(2)结合函数性质及图象分析可知：①、④不满足题意．对于②，f′(x)＝1－1x2，当x∈(0,1)时，f′(x)<0，则f(x)在(0,1)上递减；对于③，令u＝x＋3，在(0,1

)上递增，而y＝log12u为减函数，由复合函数单调性知，f(x)＝log12(x＋3)在(0,1)上单调递减．综上可知，②③在(0,1)上为减函数．►探究点2探究抽象函数与复合函数的单调性第5讲│要点探究例2[2011·太原模拟]已知函数f(x)对于任意x，y∈R，总有f(x＋y)＝f(x

)＋f(y)－1，并且x＞0时，恒有f(x)>1.(1)求证：f(x)在R上是增函数；(2)若f(3)＝4，解不等式：f(a2＋a－5)<2.第5讲│要点探究[思路](1)对抽象函数关系式中的x，y正确合理的赋值后，利用单调性的定义证明；(2)先求出f(

1)＝2，将不等式变为f(a2＋a－5)<f(1)，再用单调性求解．第5讲│要点探究[解答](1)证明：设x1<x2，x1，x2∈R，∴x2－x1>0，当x>0时，f(x)>1，∴f(x2－x1)>1，f(x2)＝f[(x2－x1)＋

x1]＝f(x2－x1)＋f(x1)－1.∴f(x2)－f(x1)＝f(x2－x1)－1>0，∴f(x1)<f(x2)，∴f(x)在R上是增函数．第5讲│要点探究(2)∵对于任意x，y∈R，f(x＋y)＝f(x)＋

f(y)－1，∴令x＝y＝1得，f(1＋1)＝f(1)＋f(1)－1，即f(2)＝2f(1)－1，又∵f(3)＝4，∴f(2＋1)＝4，即f(2)＋f(1)－1＝4，∴2f(1)－1＋f(1)－1＝4，解得f(

1)＝2，∴由f(a2＋a－5)<2，得f(a2＋a－5)<f(1)．∵f(x)在R上是增函数，∴a2＋a－5<1，解得－3<a<2，∴原不等式的解集为{a|－3<a<2}．第5讲│要点探究[点评](1)判断或证明函数的单调性，基本方法是利用单调性定义，当判断抽象函数的单调性时，有时需适当构

造变形，如x1＝(x1＋x2)－x2，x1＝x1x2·x2等．(2)根据题目所给的条件，往往需要探求函数有哪些特殊的性质，如函数的单调性、奇偶性、周期性等，本题利用函数的单调性将问题巧妙地解决．第5讲│要点探究例3(1)已知函数f(x)＝log2(x2－2x－3)，则使f(x)为减函数的区间是(

)A．(3,6)B．(－1,0)C．(1,2)D．(－3，－1)(2)若函数f(x)＝|logax|(0<a<1)在区间(a,3a－1)上单调递减，则实数a的取值范围是________．第5讲│要点探究[思路]对于复合函数的单调性，要在定义域上结合“同增异减

”的判断方法进行分析．第5讲│要点探究[答案](1)D(2)12<a≤23[解析](1)由x2－2x－3>0，得x<－1或x>3，结合二次函数的对称轴直线x＝1知，在对称轴左边函数y＝x2－2x－3是减函数，所

以在区间(－∞，－1)上f(x)是减函数，由此可得D项符合．故选D.(2)由于f(x)＝|logax|在(0,1]上递减，在(1，＋∞)上递增，所以0<a<3a－1≤1，解得12<a≤23，此即为a的取值范围．►探究点3与单调性有关的参数问题第5讲

│要点探究例4设函数f(x)＝ax2＋bx＋1(a、b∈R)．(1)若f(－1)＝0，且对任意实数x均有f(x)≥0成立，求实数a、b的值；(2)在(1)的条件下，当x∈[－2,2]时，g(x)＝f(x)－kx是

单调函数，求实数k的取值范围．第5讲│要点探究[思路](1)关于二次函数恒成立问题可考虑判别式；(2)g(x)仍是二次函数，其单调性可依据抛物线的对称轴处理．第5讲│要点探究[解答](1)∵f(－1)＝0，∴a－b＋1＝0，即b＝a＋1.又对任意实数x均有f(x)≥0成立，∴a>0

且Δ＝b2－4a≤0恒成立，即a>0且(a－1)2≤0恒成立，∴a＝1，b＝2.第5讲│要点探究(2)由(1)可知f(x)＝x2＋2x＋1，∴g(x)＝x2＋(2－k)x＋1.∵g(x)在x∈[－2,2]时是单调函数，∴

[－2,2]⊆－∞，k－22或[－2,2]⊆k－22，＋∞.∴2≤k－22或k－22≤－2，即k≥6或k≤－2，故实数k的取值范围为(－∞，－2]∪[6，＋∞)．第5讲│要点探究[点评]已知函数的单调性求函数

解析式中参数的取值范围的基本方法有两个：(1)根据函数单调性的特点，若是一次函数要注意考虑一次项的系数，若是二次函数要注意考虑其对称轴等．(2)利用导数方法．►探究点4函数的最值问题第5讲│要点探究例5已知函

数f(x)＝x2＋2x＋ax，x∈[1，＋∞)．(1)当a＝12时，求f(x)的最小值；(2)若对任意x∈[1，＋∞)，f(x)>0恒成立，试求实数a的取值范围．第5讲│要点探究[思路]第(1)问可先证明函数f(x)在[1，＋∞)上的单调性，然后利用函数的单调性求解，对于第(2)，问可转化为求函

数f(x)在[1，＋∞)上的最小值大于0的问题来解决．第5讲│要点探究[解答](1)当a＝12时，f(x)＝x＋12x＋2.设1≤x1<x2，则f(x2)－f(x1)＝(x2－x1)1－12x1x2，∵1≤x1<x2，∴x2－x1>0,2x1x2>2，∴0<12

x1x2<12，1－12x1x2>0，∴f(x2)－f(x1)>0，f(x1)<f(x2)．∴f(x)在区间[1，＋∞)上为增函数，∴f(x)在区间[1，＋∞)上的最小值为f(1)＝72.第5讲│要点探究(2)对任意x∈[1，＋∞)

，f(x)>0恒成立⇔x2＋2x＋a>0恒成立．设y＝x2＋2x＋a，x∈[1，＋∞)，函数y＝x2＋2x＋a＝(x＋1)2＋a－1在区间[1，＋∞)上是增函数，∴当x＝1时，ymin＝3＋a，于是当且仅当ymin＝3＋a>0时，

函数f(x)>0恒成立，故a>－3.第5讲│要点探究变式题[2010·江苏卷]将边长为1m的正三角形薄铁皮沿一条平行于某边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记s＝梯形的周长2梯形的面积，则s的最小值是________．[答案]3233第5讲│要点探究[解析

]设剪成的小正三角形的边长为x，则s＝(3－x)234(1－x2)＝43×(3－x)21－x2(0<x<1)．令3－x＝t，则t∈(2,3)，1t∈13，12，则s＝43×t2－t2＋6t－8＝43×1－8t2＋6t－1＝43×118－81t－382，所

以当1t＝38，即x＝13时，s取得最小值3233.第5讲│规律总结规律总结1．求函数的单调区间，讨论函数的单调性时要注意以下两点：(1)必须在定义域内进行，即函数的单调区间是定义域的子集；(2)常转化为熟悉函数的单调性，因此，掌握并熟记一次函数、反比例函

数、二次函数、指数函数、对数函数、幂函数、三角函数的单调性，将大大缩短我们的判断过程．2．单调性是函数在某一区间上的“整体”性质，因此，定义中的x1，x2具有任意性，不能用特殊值代替．第5讲│规律总结3．已

知函数单调性求参数范围的问题，解法是根据单调性得到恒成立的不等式，还要注意定义域的限制，并挖掘题目的隐含条件．4．利用函数的单调性求函数的值域或最值时，一定要注意函数的定义域．除函数的单调性外，求函数最值的方法还有：不等式法，三角代换法，配方法，导数法，数形结合

法等，需多总结各种题型与方法的相互搭配．第5讲│备用例题[备选理由]利用函数单调性讨论参数的取值范围是高考试题考查能力的知识结合点，同时也是难点，例1、例2可作为补充训练．备用例题第5讲│备用例题例1已知函数f(x)＝ax＋1x＋2在区间(

－2，＋∞)上是递增的，求实数a的取值范围．第5讲│备用例题[解答]法一：f(x)＝ax＋1x＋2＝a(x＋2)＋1－2ax＋2＝1－2ax＋2＋a.任取x1，x2∈(－2，＋∞)，且x1<x2，则f(x1)－f(x2)＝1－2ax1＋2－1－2ax2＋2＝(1－2a)(x2－x1

)(x1＋2)(x2＋2).∵函数f(x)＝ax＋1x＋2在区间(－2，＋∞)上为增函数，第5讲│备用例题∴f(x1)－f(x2)<0.∵x2－x1>0，x1＋2>0，x2＋2>0，∴1－2a<0，a>12，即实数a的取值范围是12，＋∞.第5

讲│备用例题法二：f′(x)＝2a－1(x＋2)2，∵f(x)在(－2，＋∞)上递增，∴f′(x)＝2a－1(x＋2)2>0(x∈(－2，＋∞))．∴2a－1>0，即a∈12，＋∞.第5讲│备用例题例2已知函数f(x)＝x2x

－2(x∈R，且x≠2)．(1)求f(x)的单调区间；(2)若函数g(x)＝x2－2ax与函数f(x)在[0,1]上有相同的值域，求a的值；(3)设a≥1，函数h(x)＝x3－3a2x＋5a，x∈[0,1]，若对于任意

x∈[0,1]，总存在x0∈[0,1]，使得h(x0)＝f(x)成立，求a的取值范围．第5讲│备用例题[解答](1)f(x)＝x2x－2＝[(x－2)＋2]2x－2＝(x－2)＋4x－2＋4，令x－2＝t，t

≠0，由于y＝t＋4t＋4在(－∞，－2)，(2，＋∞)内单调递增，在(－2,0)，(0,2)内单调递减，∴容易求得f(x)的单调递增区间为(－∞，0)，(4，＋∞)；单调递减区间为(0,2)，(2,4)．第5讲│备用例题(2)∵f(x)在[0,1]上单调递减，∴其值域为[－1,0]，

∴x∈[0,1]时，g(x)∈[－1,0]．∵g(0)＝0为最大值，∴最小值只能为g(1)或g(a)，若g(1)＝－1⇒a≥1，1－2a＝－1⇒a＝1；若g(a)＝－1⇒12≤a≤1，－a2＝－1⇒a＝1.综上得a＝1.第5讲│备用例题(3)设h(x)的值域为

A，由题意知[－1,0]⊆A.以下首先证明h(x)的单调性：设0≤x1＜x2≤1，则h(x1)－h(x2)＝x31－x32－3a2(x1－x2)＝(x1－x2)(x21＋x1x2＋x22－3a2)＞0(a≥1⇒

3a2≥3，x21＋x1x2＋x22＜3)，∴h(x)在[0,1]上单调递减．∴h(x)max＝h(0)＝5a≥0，h(x)min＝h(1)＝1－3a2＋5a≤－1⇒a≥2，∴a的取值范围是[2，＋∞)．第5讲│备用例题[点评]本题主要考查函数单调区间的求解以及函数单调性的应用

，其中解决第(3)问的关键是根据题意，将问题转化为集合之间的包含关系，从而建立参数不等式进行求解．