【文档说明】高考数学大一轮复习第三章导数及其应用第五节定积分与微积分基本定理课件理.ppt，共(33)页，1.591 MB，由小橙橙上传

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第五节定积分与微积分基本定理本节主要包括2个知识点：1.求定积分；2.定积分的应用.突破点(一)求定积分基础联通抓主干知识的“源”与“流”1．定积分的定义一般地，如果函数f(x)在区间[a，b]上连续

，用分点a＝x0<x1<…<xi－1<xi<…<xn＝b，将区间[a，b]等分成n个小区间，在每个小区间[xi－1，xi]上任取一点ξi(i＝1,2，…，n)，作和式i＝1nf(ξi)Δx＝i＝1nb－anf(ξi)，当n→∞时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数f(x)在区间[

a，b]上的定积分，记作_______.abf(x)dx2．定积分的相关概念在abf(x)dx中，a与b分别叫做与，区间[a，b]叫做积分区间，函数f(x)叫做，x叫做积分变量，________叫做被积式．3．定积分的性质(1)a

bkf(x)dx＝_________(k为常数)；(2)ab[f1(x)±f2(x)]dx＝；(3)abf(x)dx＝(其中a<c<b)．积分下限积分上限被积函数f(x)dxkabf(x)dxabf1(x)dx±abf2(x)dxacf(x

)dx＋cbf(x)dx4．微积分基本定理如果f(x)是区间[a，b]上的连续函数，并且F′(x)＝f(x)，那么abf(x)dx＝．其中F(x)叫做f(x)的一个原函数．为了方便，我们常常把记为F(x)|ba，即abf(x)dx＝F(x)|ba＝.F(

b)－F(a)F(b)－F(a)F(b)－F(a)考点贯通抓高考命题的“形”与“神”利用微积分基本定理求定积分[例1]计算下列定积分：(1)01(－x2＋2x)dx；(2)0π(sinx－cosx)dx；[解](1)01(－x2＋2x)dx＝

01(－x2)dx＋012xdx＝－13x310＋x2|10＝－13＋1＝23.(2)0π(sinx－cosx)dx＝0πsinxdx－0πcosxdx＝(－cosx)|π0

－sinx|π0＝2.[解]12e2x＋1xdx＝12e2xdx＋121xdx＝12e2x|21＋lnx|21＝12e4－12e2＋ln2－ln1＝12e4－12e2＋ln2.(3)12e2x＋1

xdx；[解]201－sin2xdx＝20|sinx－cosx|dx＝40(cosx－sinx)dx＋24(sinx－cosx)dx＝(sinx＋cosx)π400＋(－cosx－sin

x)π2π4＝2－1＋(－1＋2)＝22－2.(4)201－sin2xdx.[方法技巧]利用微积分基本定理求定积分的步骤(1)把被积函数变形为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数与常数的

积的和或差．(2)把定积分用定积分性质变形为求被积函数为上述函数的定积分．(3)分别用求导公式找到一个相应的原函数．(4)利用微积分基本定理求出各个定积分的值．(5)计算原始定积分的值．利用定积分的几何

意义求定积分[例2]利用定积分的几何意义计算下列定积分：(1)011－(x－1)2dx；[解]根据定积分的几何意义，可知011－(x－1)2dx表示的是圆(x－1)2＋y2＝1的面积的14(如图所示的阴影

部分)．故011－(x－1)2dx＝π4.[解]5－5(3x3＋4sinx)dx表示直线x＝－5，x＝5，y＝0和曲线y＝3x3＋4sinx所围成的曲边梯形面积的代数和，且在x轴上方的面积取正号，在x轴下方的面积取负号．设y＝f(x)＝3x3＋4sinx，则

f(－x)＝3(－x)3＋4sin(－x)＝－(3x3＋4sinx)＝－f(x)，又f(0)＝0，所以f(x)＝3x3＋4sinx在[－5,5]上是奇函数，所以0－5(3x3＋4sinx)dx＝－05(3x3＋4sinx)dx，所以5－5(3x3＋4sinx)dx＝

0－5(3x3＋4sinx)dx＋05(3x3＋4sinx)dx＝0.(2)5－5(3x3＋4sinx)dx.[方法技巧]1．利用定积分几何意义求定积分的策略当被积函数的原函数不易求，而被积函数的图象与直线x＝a，x＝b，y＝0所围成的曲边梯形的面积易

求时，利用定积分的几何意义求定积分．2．两个常用结论设函数f(x)在闭区间[－a，a]上连续，则由定积分的几何意义和奇、偶函数图象的对称性可得两个结论：(1)若f(x)是偶函数，则a－af(x)dx＝20af(x)dx；(2)若f(x)是奇函数，则

a－af(x)dx＝0.能力练通抓应用体验的“得”与“失”1．[考点一]1－1(x－1)dx＝()A．2B．－2C．13D．12解析：1－1(x－1)dx＝x22－x1－1＝12－1－12＋1＝－2.答案：B

2．[考点一]20sin2x2dx＝()A．0B．π4－12C．π4－14D．π4－1解析：20sin2x2dx＝201－cosx2dx＝12x－12sinxπ20＝π4－12.答案：B3.[考点一]设f(x)＝x2，x∈[0，1]，

1x，x∈(1，e](其中e为自然对数的底数)，则0ef(x)dx的值为()A.43B．2C．1D.23解析：根据定积分的性质，可知0ef(x)dx可以分为两段，则0ef(x)dx＝01x2dx＋1e1xdx＝13x310＋lnx

e0＝13＋1＝43.答案：A4.[考点二]12－x2＋4x－3dx＝________.解析：根据定积分的几何意义，可知12－x2＋4x－3dx表示圆(x－2)2＋y2＝1与x＝1，x

＝2及y＝0所围成的圆的面积的14，即12－x2＋4x－3dx＝π4.答案：π45.[考点二]－11[1－x2－sinx]dx＝________.解析：令1－x2＝y，则x2＋y2＝1(

y≥0)，该方程表示以(0,0)为圆心，1为半径的圆的一半．所以－111－x2dx表示圆x2＋y2＝1与x轴所围成的上半圆的面积，因此－11－11－x2dx＝π2.又因为－11sinxdx＝(－cosx)1－1＝－cos1－[－cos(－1)]＝0，所以1－1[

1－x2－sinx]dx＝π2.答案：π2突破点(二)定积分的应用基础联通抓主干知识的“源”与“流”1．定积分与曲边梯形面积的关系如图：设阴影部分面积为S.图形阴影部分面积S＝abf(x)dxS＝_________－abf(x)dx图形阴影部分面积S＝S＝

abf(x)dx－abg(x)dx＝ab[f(x)－g(x)]dxacf(x)dx－cbf(x)dx2．求变速运动的路程做变速运动的物体在时间[a，b]上所经过的路程s，等于其速度函数v＝v(t)(v

(t)≥0)在时间区间[a，b]上的定积分，即s＝abv(t)dt.具体步骤为：①找出速度函数v＝v(t)，作出图形．②观察v＝v(t)的图形是否满足v(t)≥0.③若v(t)≥0，则相应的时间段[a，b]上的路程为s＝abv(t)dt；若v(t)<

0，则相应的时间段[a，b]上的路程为s＝abv(t)dt＝－abv(t)dt.考点贯通抓高考命题的“形”与“神”利用定积分求平面图形的面积[例1]由曲线y＝x，直线y＝x－2及y轴所围成的图形的面积为()A.103B．4C.163D．6[解析]作

出曲线y＝x和直线y＝x－2的草图(如图所示)，所求面积为阴影部分的面积．由y＝x，y＝x－2得交点A(4,2)．因此y＝x与y＝x－2及y轴所围成的图形的面积为04x－(x－2)dx＝04(x－x＋2)dx＝23x32－12x2＋2x

40＝23×8－12×16＋2×4＝163.[答案]C[方法技巧]利用定积分求平面图形面积的步骤(1)根据题意画出图形；(2)借助图形确定出被积函数，求出交点坐标，确定积分的上、下限；(3)把曲边梯形的面积表示成若干个定积分的和；(4)计算定积分，写出答案．定积分在物理中

的应用[例2](1)一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v(t)＝7－3t＋251＋t(t的单位：s，v的单位：m/s)行驶至停止．在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m)是()A．1＋25ln5B．8＋25ln113C

．4＋25ln5D．4＋50ln2[解析]由v(t)＝7－3t＋251＋t＝0，可得t＝4t＝－83舍去，因此汽车从刹车到停止一共行驶了4s，此期间行驶的距离为04v(t)dt＝047－3t＋251＋tdt＝

7t－32t2＋25ln(1＋t)40＝4＋25ln5.[答案]C(2)一物体在力F(x)＝5，0≤x≤2，3x＋4，x＞2(单位：N)的作用下沿与力F相同的方向，从x＝0处运动到x＝4(单位：m)处，则力F(x)做的功为_____

___J.[解析]由题意知，力F(x)所做的功为W＝04F(x)dx＝025dx＋24(3x＋4)dx＝5x|20＋32x2＋4x42＝5×2＋32×42＋4×4－32×22＋4×2＝36(J)．[答案]36[方法

技巧]定积分在物理中的两个应用(1)求物体做变速直线运动的路程：如果物体做变速直线运动，且其速度为v＝v(t)(v(t)≥0)，那么从时刻t＝a到t＝b所经过的路程s＝∫bav(t)dt.(2)求变力做功：一物体在变力F(x)的作用下，沿着与F(x)相同方

向从x＝a移动到x＝b时，力F(x)所做的功是W＝∫baF(x)dx.能力练通抓应用体验的“得”与“失”1.[考点二]若x(单位：m)表示位移的大小，一物体在力F(x)＝x(单位：N)的作用下沿与力F(x)相

同的方向运动了4m，力F(x)做功为()A．8JB．12JC．15JD.163J解析：由题意得W＝04xdx＝23x3240＝163J.答案：D2.曲线y＝2x与直线y＝x－1及x＝4所围成的封闭图形的面积为(

)A．2ln2B．2－ln2C．4－ln2D．4－2ln2解析：由曲线y＝2x与直线y＝x－1联立，解得x＝－1，x＝2，如图所示，故所求图形的面积为S＝∫42x－1－2xdx＝12x2－x－2lnx42＝4－2ln2.答案：D

[考点一]3.[考点一](2016·衡阳一模)如图，阴影部分的面积是()A．32B．16C．323D．83解析：由题意得，阴影部分的面积S＝1－3(3－x2－2x)dx＝3x－13x3－x21－31－3＝323.答案

：C解析：如图所示，由x2－1＝0，得抛物线与x轴的交点分别为(－1，0)和(1,0)．所以S＝02|x2－1|dx＝01(1－x2)dx＋12(x2－1)dx＝x－x3310＋x

33－x21＝1－13＋83－2－13－1＝2.答案：24．由抛物线y＝x2－1，直线x＝0，x＝2及x轴围成的图形面积为________．5.[考点二]物体A以速度v＝3t2＋1(t的单位：s，v的单位：m/s)在一直

线上运动，在此直线上与物体A出发的同时，物体B在物体A的正前方5m处以v＝10t(t的单位：s，v的单位：m/s)的速度与A同向运动，当两物体相遇时，相遇地与物体A的出发地的距离是________m.解析：设bs后两物体相遇，则0b(3t2＋1)dt－0b10tdt＝5，即

b3＋b－5b2＝5，(b2＋1)(b－5)＝0，解得b＝5，此时物体A离出发地的距离为05(3t2＋1)dt＝(t3＋t)|50＝53＋5＝130(m)．答案：130编后语•同学们在听课的过程中，还要善于抓住各种课程的特点，运用相

应的方法去听，这样才能达到最佳的学习效果。•一、听理科课重在理解基本概念和规律•数、理、化是逻辑性很强的学科，前面的知识没学懂，后面的学习就很难继续进行。因此，掌握基本概念是学习的关键。上课时要抓好概念的理解，同时，大家要开动脑筋，思考老师是怎样提出问题、分析问题、解决问题的，要边听边想。

为讲明一个定理，推出一个公式，老师讲解顺序是怎样的，为什么这么安排？两个例题之间又有什么相同点和不同之处？特别要从中学习理科思维的方法，如观察、比较、分析、综合、归纳、演绎等。•作为实验科学的物理、化学

和生物，就要特别重视实验和观察，并在获得感性知识的基础上，进一步通过思考来掌握科学的概念和规律，等等。•二、听文科课要注重在理解中记忆•文科多以记忆为主，比如政治，要注意哪些是观点，哪些是事例，哪些是用观点解释社会现象。听历史课时，首先要弄清楚本节教材的主要观点，然后，弄清教

材为了说明这一观点引用了哪些史实，这些史料涉及的时间、地点、人物、事件。最后，也是关键的一环，看你是否真正弄懂观点与史料间的关系。最好还能进一步思索：这些史料能不能充分说明观点？是否还可以补充新的史料？有无相反的史料证明原观点不正确。•三、听英语课要注重实践•英语课老师往往讲得不太多，在大部分的

时间里，进行的师生之间、学生之间的大量语言实践练习。因此，要上好英语课，就应积极参加语言实践活动，珍惜课堂上的每一个练习机会。2023/5/31最新中小学教学课件32thankyou!