【文档说明】高考复习方案数学文科一轮复习课件人教A版第6讲-函数的奇偶性与周期性.ppt，共(46)页，827.500 KB，由小橙橙上传

转载请保留链接：https://www.ichengzhen.cn/view-256717.html

以下为本文档部分文字说明：

第6讲│函数的奇偶性与周期性第6讲函数的奇偶性与周期性考纲要求第6讲│考纲要求1．结合具体函数，了解函数奇偶性的含义．2．掌握奇函数与偶函数图象的对称关系，并熟练地利用对称性解决函数的综合问题．3．了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数

的周期性．知识梳理第6讲│知识梳理1．函数奇偶性的定义奇偶性定义图象特点偶函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有__________，那么函数f(x)是偶函数关于___________对称奇函数如果对于函数f(x)的定义域内任意

一个x，都有____________，那么函数f(x)是奇函数关于____________对称f(－x)＝f(x)y轴f(－x)＝－f(x)原点2.利用定义判断函数奇偶性的步骤(1)首先确定函数的______________，并判断其是否关于______对称；(2)确

定______与______的关系；(3)作出相应结论：若f(－x)＝f(x)或f(－x)－f(x)＝0，则f(x)是偶函数；若f(－x)＝－f(x)或f(－x)＋f(x)＝0，则f(x)是奇函数．第6讲│知识梳理原点定义域f(

－x)f(x)第6讲│知识梳理y轴原点偶函数偶函数奇函数3．奇偶函数的简单性质(1)奇函数的图象关于______对称；偶函数的图象关于______对称；(2)在定义域的公共部分内，两个奇函数之积(商)为___

_____；两个偶函数之积(商)也是________；一奇一偶函数之积(商)为________(注：取商时应使分母不为0)；(3)奇(偶)函数有关定义的等价形式：f(－x)＝±f(x)⇔f(－x)∓f(x)＝0⇔f(－x)f(x)＝±1(f(x)≠0)；(4)若函数y＝f(x)是奇函数且0是定

义域内的值，则f(0)＝_________；(5)f(x)为偶函数⇔f(－x)＝f(x)＝f(|x|)．4．周期函数对于函数y＝f(x)，如果存在一个______________，使得当x取定义域内的每一个值时，__________________都成立，那么f(x)是周期函数，T是它的一个周

期．若T是函数的一个周期，则nT(n∈N，n≠0)也是函数的周期．如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个____________，那么这个数就叫做f(x)的最小正周期．第6讲│知识梳理非零常数T0f(x＋T)＝f(x)最小的正数问题思考第6讲│问题思考

►问题1奇偶函数图象(1)偶函数的图象一定与y轴相交；()(2)奇函数的图象一定通过原点；()(3)偶函数的图象关于y轴对称；()(4)既是奇函数，又是偶函数的函数一定是f(x)＝0(x∈R)．()第6讲│问题思考[答案](1)错(2)错(3)对(4)错[解析]当y＝f(x)在x＝0处无定

义时，(1)(2)都不正确；∵偶函数的图象关于y轴对称，∴(3)正确；∵既是奇函数又是偶函数的函数可以写成f(x)＝0，x∈[－a，a](其中a可为任一确定的正实数)，∴(4)错误．第6讲│问题思考►问题2若T为y＝f(x)的一个周期，那么nT

(n∈Z)也是函数f(x)的周期．()[答案]错[解析]不一定，由周期函数的定义知，函数的周期是非零常数，当n∈Z且n≠0时，nT是f(x)的一个周期．第6讲│问题思考►问题3(1)若奇函数f(x)在x＝0处有意义，则一定有f(0)＝0.()(2)f(x)是偶

函数⇔f(－x)＝f(x)＝f(|x|)．()[答案](1)对(2)对第6讲│问题思考[解析](1)奇函数f(x)在x＝0处有意义，其图象一定过原点，则f(0)＝0；(2)①若x≥0，则有|x|＝x，则f(|x|)＝f(x)．

②若x＜0，则有|x|＝－x，则f(|x|)＝f(－x)．因为f(x)是偶函数，所以f(－x)＝f(x)．因此f(|x|)＝f(－x)＝f(x)．第6讲│问题思考►问题4已知f(x)＝(a－1)x2＋bx是定义在[1－b，a]上的奇函数，

那么b－a＝1.()[答案]对[解析]依题意得a－1＝0，1－b＝－a，解得a＝1，b＝2，所以b－a＝1.第6讲│问题思考►问题5已知某函数为周期函数，那么此函数不一定有最小正周期．()[答案]对[解析]如f(x)

＝1(x∈R)，任意一个正数都是它的周期，故没有最小正周期．第6讲│问题思考►问题6定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件．()[答案]对[解析]例如指数函数的定义域为R，关于原点对称，但它是非奇非偶函数．要点探究►探究点1判断函数的奇偶性第6讲│要

点探究例1判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)＝x2－2x2；(2)f(x)＝x2－1＋1－x2；(3)f(x)＝(x－1)1－x1＋x；(4)f(x)＝（1－x2）|x－2|－2.第6讲│要点探究[思路]从定义域入手，在定义域关于

原点对称的情况下，判断f(x)与f(－x)的关系．[解答](1)函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，又f(－x)＝－x2－2－x2＝x2－2x2＝f(x)，∴函数f(x)＝x2－2x2是偶函数．第6讲│要点探究(2)由x2－

1≥0，1－x2≥0，得x＝±1，∴函数的定义域为{1，－1}，关于原点对称，又f(x)＝x2－1＋1－x2＝0，∴f(－x)＝－f(x)＝f(x)＝0，∴函数f(x)＝x2－1＋1－x2既是奇函数又是偶函数．第6讲│要点探究(

3)由1－x1＋x≥0且x≠－1，得－1<x≤1，∴函数的定义域为(－1,1]，不关于原点对称，∴函数f(x)＝(x－1)1－x1＋x既不是奇函数也不是偶函数．第6讲│要点探究(4)由1－x2>0，|x－2|－2≠0，得－1<x<0或0<x<1，∴函数的定义域为(－

1,0)∪(0,1)，关于原点对称．又|x－2|＝2－x，∴f(x)＝lg(1－x2)|x－2|－2＝－lg(1－x2)x，∴f(－x)＝lg1－－x2x＝lg(1－x2)x＝－f(x)，∴函数f(x)＝lg(1－x2)|x－2|－2为

奇函数．第6讲│要点探究[点评]判断函数的奇偶性是比较基本的问题，难度不大，解决问题时应先考察函数的定义域，若函数的定义域不关于原点对称，则函数不具有奇偶性；若定义域关于原点对称，再判断f(－x)与f(x)的关系；若定义域关于原点对称，且函数的解析式能化简，一般应考虑先化简，但要注意

化简必须是等价变换过程(要保证定义域不变)．第6讲│要点探究例2判断函数f(x)＝ln(x＋1－x)(x>0)，0(x＝0)，ln(1－x＋－x)(x<0)的奇偶性．．第6讲│要点探究[解答]需要分三种情况讨论：①设x>0，则－x<0，∴f(－x)＝ln(1＋x

＋x)＝ln1x＋1－x＝－ln(x＋1－x)＝－f(x)；②设x<0，则－x>0，∴f(－x)＝ln(－x＋1－－x)＝ln11－x＋－x＝－ln(1－x＋－x)＝－f(x)；③当x＝0时，f(x)＝0，也满足f(

－x)＝－f(x)；由①、②、③知，对x∈R有f(－x)＝－f(x)，∴f(x)为奇函数．第6讲│要点探究例3已知函数f(x)的定义域为R，且满足f(x＋2)＝－f(x)．(1)求证：f(x)是周期函数；(2)若f(x)为奇函数，且

当0≤x≤1时，f(x)＝12x，求使f(x)＝－12在[0,2009]上的所有x的个数．►探究点2抽象函数的周期性问题第6讲│要点探究[思路](1)只需证明f(x＋T)＝f(x)，则f(x)即是以T为周期的周期函数；(2)由第(1)问可知只需

求一个周期中f(x)＝－12的x的个数便可知在[0,2009]上满足条件的x的个数．第6讲│要点探究[解答](1)证明：∵f(x＋2)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝－[－f(x)]＝f(x)

，∴f(x)是以4为周期的周期函数．(2)当0≤x≤1时，f(x)＝12x，设－1≤x≤0，则0≤－x≤1，∴f(－x)＝12(－x)＝－12x.∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，∴－f(x)＝－12x，即f(x)＝12x.故f(x)＝12x(－1

≤x≤1)．第6讲│要点探究又设1<x<3，则－1<x－2<1，∴f(x－2)＝12(x－2)．又∵f(x－2)＝－f(2－x)＝－f[(－x)＋2]＝f(－x)＝－f(x)，∴－f(x)＝12(x－2)，∴f(x)＝－12(x－2)(1<x<3)．∴f(x)＝12x（－1≤x

≤1），－12x－2（x）.第6讲│要点探究由f(x)＝－12，解得x＝－1.∵f(x)是以4为周期的周期函数，故满足f(x)＝－12的所有x满足x＝4n－1(n∈Z)．令0≤4n－1≤2009，则14≤n≤10052，又∵n∈Z，∴1≤n≤50

2(n∈Z)，∴在[0,2009]上共有502个x使f(x)＝－12.►探究点3函数奇偶性的性质及其应用第6讲│要点探究例4(1)已知f(x)是R上的奇函数，且当x>0时，f(x)＝x2－x－1，求f(x)的解析式；(2)设a>0，f

(x)＝exa＋aex是R上的偶函数，求实数a的值．第6讲│要点探究[解答](1)∵f(x)是定义在R上的奇函数，∴f(0)＝0，当x<0时，－x>0，由已知f(－x)＝(－x)2－(－x)－1＝x2＋x－1＝－f(x)．∴f(x)＝－x2－x＋1.∴f(x)＝x2－x－（x

>0），（x＝0），－x2－x＋（x<0）第6讲│要点探究(2)方法一：∵f(x)是R上的偶函数，∴f(－x)＝f(x)在R上恒成立，即e－xa＋ae－x＝exa＋aex，(a2－1)e2x＋1－a2＝0对任意的x恒成立，∴a2－1＝0，a>0，解得a＝1.第6讲│要点

探究方法二：∵f(x)是R上的偶函数，∴f(－1)＝f(1)，∴1a·1e＋ae＝ea＋ae，∴a－1ae＋1e1a－a＝0，∴a－1ae2－1＝0，∴a－1a＝0.又a

>0，∴a＝1.经验证当a＝1时，有f(－x)＝f(x)．∴a＝1.第6讲│要点探究变式题已知f(x)是定义在(－1,1)上的偶函数，且在区间[0,1)上是增函数．若有不等式f(a－2)－f(3－a)<0成立，求实数a的取值范围．第6讲│要点探究[

解答]因为f(x)是定义在(－1,1)上的偶函数，由f(a－2)－f(3－a)<0得f(|a－2|)<f(|3－a|)．又因为f(x)在[0,1)上递增，从而有－1<a－2<1，－1<3－a<1，

|a－2|<|3－a|⇒1<a<3，2<a<4，a<52⇒2<a<52，于是a的取值范围是2，52.►探究点4函数性质的综合应用第6讲│要点探究例5函数f(x)＝ax＋b1＋x2是定义在(－1,1)上的

奇函数，且f12＝25.(1)确定函数f(x)的解析式；(2)用定义证明f(x)在(－1,1)上是增函数；(3)解不等式f(t－1)＋f(t)<0.第6讲│要点探究[思路](1)通过建立方程组，求出a、b的值．确定f

(x)的解析式．(3)利用函数的单调性脱掉“f”．[解答](1)依题意，得f＝0，f12＝25，即b1＋02＝0，a2＋b1＋14＝25⇒a＝1，b＝0.∴f(x)＝x1＋x2.第6讲│要点探究(2)任取－1<x1<x2<1，f(x1)

－f(x2)＝x11＋x21－x21＋x22＝(x1－x2)(1－x1x2)(1＋x21)(1＋x22)，∵－1<x1<x2<1，∴x1－x2<0，－1<x1x2<1，又∵1＋x21>0,1＋x22>0，∴f(x1)－f(x2)<0.∴f(x)在(－1,1)上是增函数

．(3)原不等式等价于f(t－1)<－f(t)＝f(－t)，∵f(x)在(－1,1)上是增函数，∴－1<t－1<－t<1，解得0<t<12.第6讲│要点探究[点评](1)如果一个奇函数在x＝0处有定义，那么f(0)

＝0.(2)解不等式f(t－1)＋f(t)<0时，注意函数定义域对t的限制．第6讲│规律总结规律总结1．判断函数的奇偶性，首先要检验其定义域是否关于原点对称，然后再严格按照奇偶性的定义经过化简、整理，将f(－x)与f(x)比

较，得出结论．其中，分段函数的奇偶性应分段证明f(－x)与f(x)的关系，只有当对称的两段上都满足相同的关系时才能判定其奇偶性．2．利用函数的奇偶性把研究整个函数具有的性质问题转化到只研究部分(一半)区间上的问题，是简化问题的

一种途径．第6讲│规律总结3．函数的奇偶性常与函数的其他性质及不等式结合出题，运用函数的奇偶性就是运用函数图象的对称性．4．要善于发现函数特征，图象特征，运用数形结合，定向转化，分类讨论的思想，整体代换的手段，从而简化解决问题的程序，

既快又准．第6讲│规律总结5．函数周期性问题应牢牢把握周期函数的定义，并掌握一些常见的确定函数周期的条件．①若T为函数的一个周期，则nT(n是整数，且n≠0)也是函数的周期；②若对任何x∈D都有f(x＋a)＝－f(x)，则f(x)是以2|a|为周期的函数；③若对任何x∈D都有f(x＋a)＝1f(x

)或－1f(x)，则f(x)是以2|a|为周期的函数；④若函数f(x)有两条对称轴x＝a，x＝b，则f(x)是以2(b－a)为周期的函数(b>a)．第6讲│备用例题[备选理由]例1是抽象函数的奇偶性判断，可作

为“探究点1：判断函数的奇偶性”的补充训练．例2是函数奇偶性定义的拓展．备用例题第6讲│备用例题例1设f(x)是定义在R上的偶函数，其图象关于直线x＝1对称，对任意x1、x2∈0，12都有f(x1＋x2)＝

f(x1)·f(x2)，且f(1)＝a＞0.(1)求f12及f14；(2)证明：f(x)是周期函数．第6讲│备用例题[解答](1)∵对x1、x2∈0，12，都有f(x1＋x2)＝f(x1)·f(x2)，∴f(x)＝fx2＋x2＝f

x2·fx2≥0，x∈[0,1]．∴f(1)＝f12＋12＝f12·f12＝f122，f12＝f14＋14＝f14·f

14＝f142.∵f(1)＝a＞0，∴f12＝a12，f14＝a14.第6讲│备用例题(2)证明：∵y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称，∴f(x)＝f(1＋1－x)，即f(

x)＝f(2－x)，x∈R.又由f(x)是偶函数知，f(－x)＝f(x)，x∈R，∴f(－x)＝f(2－x)，x∈R.将上式中－x用x代换，得f(x)＝f(x＋2)，x∈R.这表明f(x)是R上的周期函数，且2是它的一个周期．第6讲│备用例题例2函数f(x)的定

义域为R，若f(x＋1)与f(x－1)都是奇函数，则()A．f(x)是偶函数B．f(x)是奇函数C．f(x)＝f(x＋2)D．f(x＋3)是奇函数第6讲│备用例题[解析]D由于f(x＋1)是奇函数，则函数f(x)的对称中心为(1,0)，∴f(1＋x)＝－f(1－x)，即f(x)＝

－f(2－x)．又f(x－1)是奇函数，则函数f(x)的对称中心为(－1,0)，∴f(－1＋x)＝－f(－1－x)，即f(x)＝－f(－2－x)，∴f(2－x)＝f(－2－x)，f(x－4)＝f(x)．可知4为函数f(x)的周期，则f(x＋3)是奇函数．故

选D.