【文档说明】二倍角的三角函数课件.ppt，共(30)页，1.076 MB，由小橙橙上传

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二倍角的三角函数问题1：在两角和的正弦、余弦、正切公式中，若α＝β，则公式可变形为何种形式？提示：sin2α＝2sinαcosα，cos2α＝cos2α－sin2α，tan2α＝2tanα1－tan2α.问题2：能否只用cosα或sinα来表示co

s2α？其公式又为何种形式？提示：cos2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α.倍角公式(1)sin2α＝.(2)cos2α＝＝＝.(3)tan2α＝.2sinαcosαcos2α－sin2α2cos2α－11－2sin2α2tanα1－tan2α

1．倍角公式与和角公式的关系倍角公式是和角公式的特例，只要在和角公式中令α＝β就可得到相应的倍角公式．2．倍角公式的适用范围公式S2α，C2α中，角α可以为任意角；但公式T2α只有当α≠π2＋kπ及α≠π4＋kπ2(k∈Z)时才成立，否则不成立(因为当α＝π2＋kπ，k∈Z时，tanα的值不存在

；当α＝π4＋kπ2，k∈Z时，tan2α的值不存在)．3．倍角的相对性角的二倍关系是相对的，如2α是α的二倍角，4α是2α的二倍角，α是α2的二倍角，π2＋2α是π4＋α的二倍角，等等．在解决问题时，

应确定所给角之间是否具备这种“二倍”关系，做到广义上的理解和运用．[例1]求下列各式的值：(1)2sinπ12cosπ12；(2)1－2sin2750°；(3)2tan150°1－tan2150°；(4)cosπ12cos5π12.[思路点拨]逆用二倍角公式化简求

值．[精解详析](1)原式＝sin2×π12＝sinπ6＝12.(2)原式＝cos(2×750°)＝cos1500°＝cos(60°＋4×360°)＝cos60°＝12.(3)原式＝tan(2×150°)＝ta

n300°＝tan(360°－60°)＝－tan60°＝－3.(4)原式＝cosπ12cosπ2－π12＝cosπ12sinπ12＝12·2sinπ12cosπ12＝12sinπ6＝12×12＝14.[一点通]解决此类非特殊角的求值问题，其

关键是利用公式转化为特殊角求值，要充分观察角与角之间的联系，看角是否有倍数关系，能否用二倍角公式求值，是否是互余关系，能否进行正弦与余弦的互化；要充分根据已知式的结构形式，选择公式进行变形并求值．解析：12－cos2π8＝12(1－2cos2π8)＝12×(－co

sπ4)＝－12cosπ4＝－24.1.12－cos2π8＝________.答案：－24解析：cos105°cos15°＝cos(90°＋15°)cos15°＝－sin15°cos15°＝－12sin30°＝－14.答案：－142．cos105°cos15°

＝________.解：(1)原式＝2sinπ5cosπ5cos2π52sinπ5＝sin2π5cos2π52sinπ5＝sin4π54sinπ5＝sinπ54sinπ5＝14.3．求值：(1)cosπ5cos2π5；(2)s

in5π12－sinπ12sin5π12＋sinπ12；(3)tanπ12－1tanπ12.(2)原式＝[sin(π2－π12)－sinπ12]·[sin(π2－π12)＋sinπ12]＝(cosπ12－sinπ12)(cosπ12＋sinπ12)＝cos2π12－sin2π12

＝cosπ6＝32.(3)原式＝tan2π12－1tanπ12＝－2·1－tan2π122tanπ12＝－2×1tanπ6＝－233＝－23.[例2](1)已知cosα＝－1213，α∈π，3π2，求sin2α，cos2α和tan2α的值．(2)已

知sinπ4－x＝513，0<x<π4，求cos2xcosπ4＋x的值．[思路点拨](1)要求的sin2α＝2sinαcosα中缺少sinα，可结合条件首先求出来，进而求出tanα，为求tan2α作好准备．(2)先由已知求得cos

π4－x，再由诱导公式化简分子，cos2x＝sinπ2－2x＝2sinπ4－xcosπ4－x.由π4＋x与π4－x的互余关系求分母，最后得解．[精解详析](1)∵cosα

＝－1213，α∈π，3π2，∴sinα＝－1－cos2α＝－513.∴sin2α＝2sinα·cosα＝2×－513×－1213＝120169，cos2α＝1－2sin2α＝1－2×－5132＝119169，tan

α＝sin2αcos2α＝120119.(2)∵x∈0，π4，∴π4－x∈0，π4.又∵sinπ4－x＝513，∴cosπ4－x＝1213.又cos2x＝sinπ2－2x＝2sin

π4－xcosπ4－x＝2×513×1213＝120169.cosπ4＋x＝sinπ2－π4＋x＝sinπ4－x＝513，∴原式＝120169513＝2413.[一点通]当遇到π4±x这样的角时可利用角的互余关系和

诱导公式，将条件与结论沟通．cos2x＝sinπ2－2x＝2sinπ4－x·cosπ4－x.类似这样的变换还有：(1)cos2x＝sinπ2＋2x＝2sin

π4＋xcosπ4＋x；(2)sin2x＝cosπ2－2x＝2cos2π4－x－1；(3)sin2x＝－cosπ2＋2x＝1－2cos2π4＋x等

．解析：cos2α(sinα－cosα)2＝cos2α－sin2α(cosα－sinα)2＝cosα＋sinαcosα－sinα＝1＋tanα1－tanα＝1＋31－3＝－2.4．已知tanα＝3，则cos2

α(sinα－cosα)2＝________.答案：－25．(2012·江西高考改编)若sinα＋cosαsinα－cosα＝12，则tan2α＝________.解析：由sinα＋cosαsinα－cosα＝12，

等式左边分子、分母同除cosα得，tanα＋1tanα－1＝12，解得tanα＝－3，则tan2α＝2tanα1－tan2α＝34.答案：346．已知α为第二象限角，cosα2＋sinα2＝－52，求：(1)sin

α2－cosα2；(2)sin2α＋cos2α的值．解：(1)∵cosα2＋sinα2＝－52，∴1＋sinα＝54，即sinα＝14.又∵α为第二象限角，∴cosα＝－154.∴cos2α2－sin2α2＝－154，即(cosα2－sinα2)(cosα2＋sinα2)＝－

154∴cosα2－sinα2＝32，即sinα2－cosα2＝－32.(2)sin2α＋cos2α＝2sinαcosα＋1－2sin2α＝2×14×(－154)＋1－2×(14)2＝7－158.[例3]求证：1＋sin4θ

－cos4θ2tanθ＝1＋sin4θ＋cos4θ1－tan2θ.[思路点拨]将角统一成2θ，先由二倍角的正切公式，将单角θ化成2θ，将求证式化成整式，再由二倍角的正弦、余弦公式化4θ为2θ.最后可从一边证到另一边．[精解详析]原式可变形为1＋sin4θ－cos4θ＝tan2θ(1＋

sin4θ＋cos4θ)，①①式右边＝sin2θcos2θ(1＋2cos22θ－1＋2sin2θcos2θ)＝sin2θcos2θ(2cos22θ＋2sin2θcos2θ)＝2sin2θ(cos2θ＋sin2θ)＝2sin2θc

os2θ＋2sin22θ＝sin4θ＋1－cos4θ＝左边．∴①式成立，即原式得证．[一点通]利用倍角公式证明三角恒等式，关键是找到左、右两边式子中角间的倍半关系，先用倍角公式统一角，再用同角三角函数基本关系式等完成证明．

7．求证：3－4cos2A＋cos4A3＋4cos2A＋cos4A＝tan4A.证明：∵左边＝3－4cos2A＋2cos22A－13＋4cos2A＋2cos22A－1＝(1－cos2A1＋cos2A)2＝(2sin2A2cos2A)2＝(tan2A)2＝tan4A＝右边．∴

3－4cos2A＋cos4A3＋4cos2A＋cos4A＝tan4A.8．求证：8sin4θ＝cos4θ－4cos2θ＋3.证明：法一：左边＝2(2sin2θ)2＝2(1－cos2θ)2＝2(1－2cos2θ＋cos22θ)＝2－4cos2θ＋1＋cos4θ＝cos4θ－4cos2θ＋3＝右

边．∴命题得证．法二：右边＝2cos22θ－1－4cos2θ＋3＝2cos22θ－4cos2θ＋2＝2(cos2θ－1)2＝8sin4θ＝左边．∴命题得证．1．倍角公式的变形与应用(1)由cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1⇒2cos2α＝1＋cos2α，1－

2sin2α⇒2sin2α＝1－cos2α；(2)由(sinα±cosα)2＝sin2α＋cos2α±2sinαcosα＝1±sin2α⇒sin2α＝(sinα＋cosα)2－1sin2α＝1－(sinα－cosα)2；(3)由(sinα±cosα)2＝1±sin2α⇒

1＋sin2α＝|sinα＋cosα|，1－sin2α＝|sinα－cosα|.根据这些变形式，可对三角函数式迅速化简或求值．2．证明三角恒等式的常用方法(1)从复杂的一边入手，逐步化简，证得与另一边相等；在证明的过程中，时刻

“盯”住目标，分析其特征，时刻向着目标“奔”；(2)从两边入手，证得等式两边都等于同一个式子；(3)把要证的等式进行等价变形；(4)两边作差，证明其差为0.