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第1讲函数与方程的思想「思想方法解读」函数思想是指用函数的观点、方法去分析问题、转化问题和解决问题．如求数列中的项或最值、求不等式中的参量、求解析几何中距离或面积的最值等相关的非函数问题，往往都可利用函数思想，构建函数将其转化为函数问题．方程思想是从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为方程或方程组去分析问题和解决问题．如变量的取值范围、直线与圆锥曲线的位置关系、数列中的基本量、二项式中的系数等问题.热点题型探究热点1函数与方程思想在不等式中的应用例1(1)(新疆昌吉市教育共同体高三月考)若关于x的不等式1＋acosx≥23sinπ2＋2x在R上恒成立，则实数a的最大值为()A．－13B．13C．23D．1答案B解析1＋acosx≥23sinπ2＋2x＝23(2cos2x－1)，令cosx＝t∈[－1,1]，并代入不等

解密01三角函数的图象与性质A组考点专练一、选择题1.函数y＝loga(x＋4)＋2(a＞0且a≠1)的图象恒过点A，且点A在角α的终边上，则sin2α等于()A.－513B.－1213C.1213D.913【答案】B【解析】函数y＝loga(x＋4)＋2(a＞0且a≠1)的图象恒过点A(－3，2)，则sinα＝213，cosα＝－313，所以sin2α＝2sinαcosα＝－1213.故选B.2.如图为函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0)的部分图象，将其向左平移14个单位长度后与函数g(x)的图象重合，则g(x)可以表示为()A.sinπxB.－sinπxC.sin2πxD.－sin2πx【答案】B【解析】由图象知T2＝54－14＝1，∴T＝2πω＝2，得ω＝π，由14·ω＋φ＝π，得φ＝3π4，∴f(x)＝sinπx＋3π4，将f(x)的图象向左平移14个单位长度后得g(x)＝sinπx＋14＋3π4＝－sinπx的图象，故g(x)可以表示为－sinπx.故选B.3.函数f(x)＝tanx1＋tan2x的最小正周期为()A.π4B.π2C.πD.2π【答案】C【解析

专题复习检测A卷1．(新课标Ⅱ)已知集合A＝{1,3,5,7}，B＝{2,3,4,5}，则A∩B＝()A．{3}B．{5}C．{3,5}D．{1,2,3,4,5,7}【答案】C【解析】A∩B＝{1,3,5,7}∩{2,3,4,5}＝{3,5}．故选C．2．(辽宁辽阳模拟)设全集U＝R，集合A＝{x|y＝lgx}，B＝{x|－7＜2＋3x＜5}，则∁U(A∪B)＝()A．{x|0＜x＜1}B．{x|x≤0或x≥1}C．{x|x≤－3}D．{x|x＞－3}【答案】C【解析】由y＝lgx，可得x>0，故A＝{x|x>0}．由－7＜2＋3x＜5，解得－3<x<1，故B＝{x|－3<x<1}．所以A∪B＝{x|x>0}∪{x|－3<x<1}＝{x|x>－3}．所以∁U(A∪B)＝{x|x≤－3}．故选C．3．(山东烟台模拟)设a，b均为不等于1的正实数，则“a>b>1”是“logb2>loga2”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】当a>b>1时，易得logb2>loga2，充分性成立．当logb2>loga2时，a>b>1不一定成立，如a＝12，b＝2时，显然logb2>loga2成立，而a>b

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．函数f(x)＝1ln（5－2x）＋ex－1的定义域为()A．[0，＋∞)B．(－∞，2]C．[0，2]D．[0，2)解：由5－2x>0，ln（5－2x）>0，ex－1≥0可得0≤x<2，所以函数f(x)的定义域为[0，2)．故选D.2．(2018·山西运城夏县月考)下列函数中，既是偶函数，又在区间(0，＋∞)上单调递减的函数是()A．y＝x3B．y＝ln1|x|C．y＝2|x|D．y＝cosx解：对于A，函数是奇函数，不满足题意；对于B，因为ln1|－x|＝ln1|x|，所以函数是偶函数，在区间(0，＋∞)上，y＝－lnx，函数单调递减，故满足题意；对于C，因为2|－x|＝2|x|，所以函数是偶函数，在区间(0，＋∞)上，y＝2x，函数单调递增，故不满足题意；对于D，函数是偶函数，在区间(0，＋∞)上，不是单调函数，故不满足题意．故�

解密02三角恒等变换与解三角形A组考点专练一、选择题1．若sinα＝13，则cos2α等于()A.89B.79C．－79D．－89【答案】B【解析】∵sinα＝13，∴cos2α＝1－2sin2α＝1－2×132＝79.2．tan70°＋tan50°－3tan70°tan50°的值为()A.3B.33C．－33D．－3【答案】D【解析】因为tan120°＝tan70°＋tan50°1－tan70°tan50°＝－3，即tan70°＋tan50°－3tan70°tan50°＝－3.3.已知sinα＝55，sin(α－β)＝－1010，α，β均为锐角，则β等于()A.5π12B.π3C.π4D.π6【答案】C【解析】由α，β为锐角，则－π2<α－β<π2，由sin(α－β)＝－1010，得cos(α－β)＝31010，又sinα＝55，所以cosα＝255，所以sinβ＝sin[α－(α－β)]＝sinαcos(α－β)－cosαsin(α－β)＝55×31010－255×－1010＝22.所以β＝π4.4.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，acosB＋bcosA＝2ccosC，c＝7，且△ABC的面积为332，则△ABC的周长为()A．1＋7B．2＋7C�

专题复习检测A卷1．(天津)已知a＝log52，b＝log0.50.2，c＝0.50.2，则a，b，c的大小关系为()A．a＜c＜bB．a＜b＜cC．b＜c＜aD．c＜a＜b【答案】A【解析】a＝log52＜1，b＝log0.50.2＝log1215＝log25＞log24＝1，c＝0.50.2＜1，所以b最大．因为a＝log52＝1log25，c＝0.50.2＝1215＝512＝152.而log25＞log24＝2＞52，所以1log25＜152，即a＜c.故选A．2．(甘肃白银模拟)若函数f(x)＝2x＋2＋a，x≤1，log12x＋1，x>1有最大值，则a的取值范围为()A．(－5，＋∞)B．[－5，＋∞)C．(－∞，－5)D．(－∞，－5]【答案】B【解析】易知f(x)在(－∞，1]上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，要使f(x)有最大值，则f(1)＝4＋a≥log12(1＋1)＝－1，解得a≥－5.3．(新课标Ⅲ)下列函数中，其图象与函数y＝lnx的图象关于直线x＝1对称的是()A．y＝ln(1－x)B．y＝ln(2－x)C．y＝ln(1＋x)D．y＝ln(2＋x)【答案】

110．2二项式定理1．二项式定理(a＋b)n＝_______________________(n∈N*)，这个公式所表示的规律叫做二项式定理．(a＋b)n的二项展开式共有____________项，其中各项的系数____________(k∈{0，1，2，„，n})叫做二项式系数，式中的____________叫做二项展开式的通项，用Tk＋1表示，即__________________．通项为展开式的第__________项．2．二项式系数的性质(1)对称性在二项展开式中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即C0n＝Cnn，C1n＝Cn－1n，C2n＝Cn－2n，„，____________，„，Cnn＝C0n．(2)增减性与最大值二项式系数Ckn，当____________时，二项式系数是递增的；当____________时，二项式系数是递减的．当n是偶数时，中间的一项____________取得最大值．当n是奇数时，中间的两项____________和____________相等，且同时取得最大值．(3)各二项式系数的和(a＋b)n的展开式的各个二项式�

解密03等差数列与等比数列A组考点专练一、选择题1.在正项等比数列{an}中，若a5－a1＝15，a4－a2＝6，则a3＝()A.2B.4C.12D.8【答案】B【解析】设数列{an}的公比为q.由已知得a1（q4－1）＝15，a1q（q2－1）＝6，即q4－1q（q2－1）＝52，解得q＝12或q＝2.当q＝12时，a1＝－16，不符合题意；当q＝2时，a1＝1，所以a3＝a1q2＝4，故选B.2．一个等比数列的前三项的积为2，最后三项的积为4，且所有项的积为64，则该数列的项数是()A．13B．12C．11D．10【答案】B【解析】设等比数列为{an}，其前n项积为Tn，由已知得a1a2a3＝2，anan－1an－2＝4，可得(a1an)3＝2×4，a1an＝2，∵Tn＝a1a2„an，∴T2n＝(a1a2„an)2＝(a1an)(a2an－1)„(ana1)＝(a1an)n＝2n＝642＝212，∴n＝12.3.(多选题)已知Sn是等差数列{an}(n∈N*)的前n项和，且S5>S6>S4.下列四个命题正确的是()A.数列{Sn}中的最大项为S10B.数列{an}的公差

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(2016·西安模拟)已知曲线y＝18x2的一条切线的斜率为12，则切点的横坐标为()A．4B．3C．2D.12解：y′＝14x＝12⇒x＝2.故选C.2．函数f(x)＝(4－x)ex的单调递减区间是()A．(－∞，4)B．(－∞，3)C．(4，＋∞)D．(3，＋∞)解：f′(x)＝－ex＋(4－x)ex＝ex(3－x)，令f′(x)<0，由于ex>0，所以3－x<0，解得x>3.故选D.3．设函数f(x)是R上以5为周期的可导偶函数，则曲线y＝f(x)在x＝5处的切线的斜率为()A．－15B．0C.15D．5解：因为f(x)是R上的可导偶函数，所以f(x)的图象关于y轴对称，所以f(x)在x＝0处取得极值，即f′(0)＝0，又f(x)的周期为5，所以f′(5)＝0，即曲线y＝f(x)在x＝5处的切线的斜率为0.故选B.4．已知函数f(x)＝－x3＋ax2－x－1在R上是单调函数，则实数a的取值范围是()A�

专题复习检测A卷1．(山东烟台期末)函数f(x)＝2x＋3x的零点所在的一个区间是()A．(－2，－1)B．(－1,0)C．(0,1)D．(1,2)【答案】B【解析】函数f(x)＝2x＋3x是定义在R上的单调递增函数，f(－2)＝2－2－6<0，f(－1)＝2－1－3<0，f(0)＝1>0，所以函数f(x)的零点所在的一个区间是(－1,0)．故选B．2．函数f(x)＝exx的图象大致为()ABCD【答案】B【解析】f(x)＝exx的定义域为{x|x≠0}，排除A；当x＞0时，f(x)>0，当x<0时，f(x)<0，排除C，D．故选B．3．(广西梧州模拟)已知函数f(x)＝x2＋x＋c，若f(0)＞0，f(p)＜0，则必有()A．f(p＋1)＞0B．f(p＋1)＜0C．f(p＋1)＝0D．f(p＋1)的符号不能确定【答案】A【解析】由题意知f(0)＝c＞0，函数图象的对称轴为x＝－12，则f(－1)＝f(0)＞0.设f(x)＝0的两根分别为x1，x2(x1＜x2)，则－1＜x1＜x2＜0.根据图象知x1＜p＜x2，故p＋1＞0，f(p＋1)＞0.4．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋(a

110．3随机事件的概率1．随机事件和确定事件(1)在条件S下，一定会发生的事件，叫做相对于条件S的____________．(2)在条件S下，一定不会发生的事件，叫做相对于条件S的____________．必然事件与不可能事件统称为相对于一定条件S的确定事件．(3)在条件S下可能发生也可能不发生的事件，叫做相对于条件S的__________．(4)____________和____________统称为事件，一般用大写字母A，B，C，„表示．2．频率与概率(1)在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的________，称事件A出现的比例fn(A)＝____________为事件A出现的频率．(2)对于给定的随机事件A，如果随着试验次数的增加，事件A发生的____________fn(A)稳定在某个常数上，把这个____________记作P(A)，称为事件A的____________．(3)在一次试验中几乎不可能发生的事件称为___

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．函数y＝cos2x－π6的最小正周期是()A.π2B．πC．2πD．4π解：函数y＝cos2x－π6的最小正周期T＝2π2＝π.故选B.2．(2017·天津)设θ∈R，则“θ－π12＜π12”是“sinθ＜12”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解：根据条件，由θ－π12＜π12得0＜θ＜π6，推出sinθ＜12，而当sinθ＜12时，取θ＝－π6，－π6－π12＝π4＞π12.故选A.3．(2016·江西三校联考)函数y＝sin2x的图象的一个对称中心为()A．(0，0)B.π4，0C.π4，12D.π2，1解：因为y＝sin2x＝1－cos2x2，令2x＝π2＋kπ，k∈Z，所以x＝π4＋kπ2，k∈Z，所以函数y＝sin2x的图象的一个对称中心为�

解密04数列求和及综合问题A组考点专练一、选择题1.已知Tn为数列2n＋12n的前n项和，若m>T10＋1013恒成立，则整数m的最小值为()A.1026B.1025C.1024D.1023【答案】C【解析】因为2n＋12n＝1＋12n，所以Tn＝n＋1－12n，则T10＋1013＝11－1210＋1013＝1024－1210，又m>T10＋1013，所以整数m的最小值为1024.2.在等差数列{an}中，a3＋a5＝a4＋7，a10＝19，则数列{ancosnπ}的前2020项的和为()A.1009B.1010C.2019D.2020【答案】D【解析】设{an}的公差为d，则有2a1＋6d＝a1＋3d＋7，a1＋9d＝19，解得a1＝1，d＝2，∴an＝2n－1，设bn＝ancosnπ，则b1＋b2＝a1cosπ＋a2cos2π＝2，b3＋b4＝a3cos3π＋a4cos4π＝2，„，∴数列{ancosnπ}的前2020项的和S2020＝(b1＋b2)＋(b3＋b4)＋„＋(b2019＋b2020)＝2×1010＝2020.3.数列{an}满足a1＝1，对任意n∈N*，都有an＋1＝1＋an＋n，则1a1＋1a2＋„＋1a99＝()A.9998B.2C.9950D

专题复习检测A卷1．(福建泉州模拟)若a>b>c，ac<0，则下列不等式一定成立的是()A．ab>0B．bc<0C．ab>acD．b(a－c)>0【答案】C【解析】由a>b>c，ac<0，可得a>0>c，b的正负无法确定，故A，B，D不一定成立，C一定成立．故选C．2．(浙江)若实数x，y满足约束条件x－3y＋4≥0，3x－y－4≤0，x＋y≥0，则z＝3x＋2y的最大值是()A．－1B．1C．10D．12【答案】C【解析】作出可行域如图，由z＝3x＋2y，得y＝－32x＋12z.平移y＝－32x＋12z，由图可知当直线y＝－32x＋12z过点A(2,2)时，直线在y轴上的截距最大，此时z有最大值3×2＋2×2＝10.故选C．3．(广东深圳调研)关于x的不等式(mx－1)(x－2)>0，若此不等式的解集为x1m<x<2，则m的取值范围为()A．(－∞，0)B．(－∞，1)C．(0，＋∞)D．(1，＋∞)【答案】A【解析】∵不等式(mx－1)(x－2)>0的解集为x1m<x<2�

110．4古典概型1．基本事件在一次试验中，我们常常要关心的是所有可能发生的基本结果，它们是试验中不能再分的最简单的随机事件，其他事件可以用它们来描绘，这样的事件称为____________．2．基本事件的特点(1)任何两个基本事件是____________的．(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成____________的和．3．古典概型具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型：(1)试验中所有可能出现的基本事件只有__________个．(2)每个基本事件出现的可能性____________．4．古典概型的概率公式对于古典概型，其计算概率的公式为____________．自查自纠：1．基本事件2．(1)互斥(2)基本事件3．(1)有限(2)相等4．P(A)＝A包含的基本事件的个数基本事件的总数(2016·全国卷Ⅲ)小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是M，I，N中的一个字母，

1一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(2018·全国卷Ⅱ)i(2＋3i)＝()A．3－2iB．3＋2iC．－3－2iD．－3＋2i解：i(2＋3i)＝2i＋3i2＝－3＋2i．故选D．2．(2016·山东)若复数z＝21－i，其中i为虚数单位，则z＝()A．1＋iB．1－iC．－1＋iD．－1－i解：易知z＝1＋i，所以z＝1－i．故选B．3．已知向量a＝(1，m)，b＝(m，2)，若a∥b，则实数m等于()A．－2B．2C．－2或2D．0解：由a∥b知1×2－m2＝0，所以m＝±2．故选C．4．已知点A(1，3)，B(4，－1)，则与向量AB→方向相反的单位向量是()A．－35，45B．－45，35C．35，－45D．45，－35解：AB→＝(4，－1)－(1，3)＝(3，－4)，|AB→|＝32＋（－4）2＝5．所以与向量AB→方向相反的单位向量为－AB→|AB→|＝－（3，－4）5＝－35，45．

解密09概率、随机变量及其分布列A组考点专练一、选择题1.【2020新课标Ⅱ卷】在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压.为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作.已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为0.05.志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者()A.10名B.18名C.24名D.32名【答案】B【解析】由题意，第二天新增订单数为500＋1600－1200＝900，设需要志愿者x名，则50x900≥0.95，x≥17.1，故需要志愿者18名.2.【2020新高考全国卷】某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又