【文档说明】高考数学(理数)一轮复习学案10．2《二项式定理》(含详解).doc，共(8)页，290.000 KB，由MTyang资料小铺上传

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110．2二项式定理1．二项式定理(a＋b)n＝_______________________(n∈N*)，这个公式所表示的规律叫做二项式定理．(a＋b)n的二项展开式共有____________项，其中各项的系数____________(k∈{0，1，2，„

，n})叫做二项式系数，式中的____________叫做二项展开式的通项，用Tk＋1表示，即__________________．通项为展开式的第__________项．2．二项式系数的性质(1)对称性在二项展开

式中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即C0n＝Cnn，C1n＝Cn－1n，C2n＝Cn－2n，„，____________，„，Cnn＝C0n．(2)增减性与最大值二项式系数Ckn，当____________时，二项式系数是递增的；当____________时，

二项式系数是递减的．当n是偶数时，中间的一项____________取得最大值．当n是奇数时，中间的两项____________和____________相等，且同时取得最大值．(3)各二项式系数的和(a＋b)n的展开

式的各个二项式系数的和等于________，即C0n＋C1n＋C2n＋„＋Crn＋„＋Cnn＝________．二项展开式中，偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即C1n＋C3n＋C5n＋„＝C0n＋C2n＋

C4n＋„＝________．自查自纠：1．C0nan＋C1nan－1b＋„＋Cknan－kbk＋„＋Cnnbnn＋1CknCknan－kbkTk＋1＝Cknan－kbkk＋12．(1)Ckn＝Cn－k

n(2)k＜n＋12k＞n＋122Cnn12Cnn12Cnn(3)2n2n2n－1(2017·全国卷Ⅰ)1＋1x2(1＋x)6展开式中x2的系数为()A．15B．20C．30D．35解：(1＋x)6展开

式的通项Tr＋1＝Cr6xr，所以1＋1x2(1＋x)6的展开式中x2的系数为1×C26＋1×C46＝30，故选C．(2018·全国卷Ⅲ)(x2＋2x)5的展开式中x4的系数为()A．10B．20C．40D．80解：由

题可得Tr＋1＝Cr5(x2)5－r(2x)r＝Cr5·2r·x10－3r，令10－3r＝4，则r＝2，所以x4的系数为C25×22＝40．故选C．(2017·全国卷Ⅲ)(x＋y)(2x－y)5的展开式中x3y3的系数为()A．－80B．－40C．40D．80解：原题即求(2x－y

)5中x2y3与x3y2系数的和，即为C35·22·(－1)3＋C25·23·(－1)2＝40．故选C．(2016·全国卷Ⅰ)(2x＋x)5的展开式中，x3的系数是____________．(用数字填写答案)解：展开式的通项为Tr＋1＝25－rCr552rx，令5－r2＝3，得r＝4，故所求系

数为2C45＝10．故填10．(2016·天津)x2－1x8的展开式中x7的系数为________．(用数字作答)解：二项式展开式通项为Tr＋1＝Cr8(x2)8－r－1xr＝(－1)rCr8x16－3r

，令16－3r＝7，r＝3，所以x7的系数为(－1)3C38＝－56．故填－56．类型一求特定项(1)(2018·长沙四县联考)已知(x－2ax)5的展开式中含x32的项的系数为30，则实数a＝________．解：

(x－ax)5的展开式的通项为Tr＋1＝Cr5(x)5－r·(－ax)r＝(－a)rCr5·x5－2r2．依题意，令5－2r＝3，得r＝1，所以(－a)1·C15＝30，解得a＝－6．故填－6．(2)(x2＋2)(1x2－1)5的展开式的常

数项是()A．－3B．－2C．2D．3解：第一个因式取x2，第二个因式取1x2得：1×C15(－1)4＝5；第一个因式取2，第二个因式取(－1)5得：2×(－1)5＝－2．展开式的常数项是5＋(－2)＝3．故选

D．(3)(2017·浙江)已知多项式(x＋1)3(x＋2)2＝x5＋a1x4＋a2x3＋a3x2＋a4x＋a5，则a4＝________，a5＝________．解：a4为含x的项的系数，根据二项式定理，a4＝C23

×12×C22×22＋C33×13×C12×2＝16，a5是常数项，a5＝C33×13×C22×22＝4．故填16；4．点拨：求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略：①求展开式中的特定项．可依据条件写出第

r＋1项，再由特定项的特点求出r值即可．②已知展开式的某项，求特定项的系数．可由某项得出参数项，再由通项写出第r＋1项，由特定项得出r值，最后求出其系数．(1)x＋ax2x－1x5的展开式中各

项系数的和为2，则该展开式中的常数项为()A．－40B．－20C．20D．40解：令x＝1，可得a＋1＝2，a＝1，2x－1x5的展开式中1x项的系数为C3522(－1)3，x项的系数为C25

23，所以x＋1x(2x－1x)5的展开式中常数项为C3522(－1)＋C2523＝40．故选D．(2)(x－y)(x＋y)8的展开式中x2y7的系数为________．(用数字填写答案)解：(x＋y)8展开式的通项为Tr＋1＝Cr8x8－ryr(r＝0，1，„，8)，所

以T8＝C78xy7＝8xy7，T7＝C68x2y6＝28x2y6．所以(x－y)(x＋y)8的展开式中x2y7的项为x·8xy7－y·28x2y6＝－20x2y7，故系数为－20．故填－20．(3)(x2＋x＋y)5的展开式中

，x5y2的系数为()A．10B．20C．30D．60解：在(x2＋x＋y)5的5个因式中，2个取x2，剩余的3个因式中1个取x，其余因式取y，故x5y2的系数为C25C13C22＝30，故选C．类型二展开式的系数和问题在(2x－3y)10的展开式中，求：(1)二项式系数的和；(2)各项系数的

和；(3)奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和；(4)奇数项系数和与偶数项系数和；(5)x的奇次项系数和与x的偶次项系数和．解：设(2x－3y)10＝a0x10＋a1x9y＋a2x8y2＋„＋a10y10，(*)各项系数和为a0＋a1＋„＋a10，奇数项

系数和为a0＋a2＋„＋a10，偶数项系数和为a1＋a3＋a5＋„＋a9，x的奇次项系数和为a1＋a3＋a5＋„＋a9，x的偶次项系数和为a0＋a2＋a4＋„＋a10．由于(*)是恒等式，故可用“赋值法”求出相关的系数和．(1

)二项式系数的和为C010＋C110＋„＋C1010＝210．(2)令x＝y＝1，各项系数和为(2－3)10＝(－1)10＝1．(3)奇数项的二项式系数和为C010＋C210＋„＋C1010＝29，偶数项的二项式系数和为C110＋C310＋„＋C910＝29．(4)令

x＝y＝1，得a0＋a1＋a2＋„＋a10＝1，①令x＝1，y＝－1(或x＝－1，y＝1)，得a0－a1＋a2－a3＋„＋a10＝510，②①＋②得2(a0＋a2＋„＋a10)＝1＋510，所以奇数项系数

和为1＋5102；①－②得2(a1＋a3＋„＋a9)＝1－510，所以偶数项系数和为1－5102．(5)x的奇次项系数和为a1＋a3＋a5＋„＋a9＝31－5102；x的偶次项系数和为a0＋a2＋a4＋„＋a10＝1＋5102．点拨：①“赋值法”普遍运用于恒等

式，是一种处理二项式相关问题比较常用的方法．对形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b，c∈R)的式子求其展开式各项系数之和，只需令x＝1即可；对形如(ax＋by)n(a，b∈R)的式子求其展开式各项系数之和，只需令x＝y＝1即可．②若f(x)

＝a0＋a1x＋a2x2＋„＋anxn，则f(x)展开式中各项系数之和为f(1)，奇数项系数之和为a0＋a2＋a4＋„＝f（1）＋f（－1）2，偶数项系数之和为a1＋a3＋a5＋„＝f（1）－f（－1

）2．(1)(2018·岳阳模拟)若二项式(3x2－1x)n的展开式中各项系数的和是512，则展开式中的常数项为()A．－27C39B．27C39C．－9C49D．9C49解：令x＝1得2n＝512，所以n＝9，故(3x2－1x)9的展开式的通项为Tr＋1＝Cr9

(3x2)9－r(－1x)r＝(－1)rCr9·39－r·x18－3r，令18－3r＝0得r＝6，所以常数项为T7＝(－1)6C69·33＝27C39．故选B．(2)(1－3x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，则|a0|＋|a1|＋|a2|＋|a3|＋|a4|＋|a

5|＝()A．1024B．243C．32D．24解：令x＝－1得a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＝|a0|＋|a1|＋|a2|＋|a3|＋|a4|＋|a5|＝[1－(－3)]5＝45＝1024．故选A．(3)

设22＋x2n＝a0＋a1x＋a2x2＋„＋a2nx2n，则(a0＋a2＋a4＋„＋a2n)2－(a1＋a3＋a5＋„＋a2n－1)2＝___________________________________

______．解：设f(x)＝22＋x2n，则(a0＋a2＋a4＋„＋a2n)2－(a1＋a3＋a5＋„＋a2n－1)2＝(a0＋a2＋a4＋„＋a2n－a1－a3－a5－„－a2n－1)(a0＋a2＋a4＋„＋a2n＋a1

＋a3＋a5＋„＋a2n－1)＝f(－1)·f(1)＝22－12n·22＋12n＝－122n＝14n．故填14n．类型三系数最大项问题已知(3x＋x2)2n的展开式的二项式系数和比(3x－1)n的展开式的二

项式系数和大992．(1)求2x＋1x2n的二项式系数最大的项；(2)求2x＋1x2n的展开式系数最大的项．解：由题意知，22n－2n＝992，即(2n－32)(2n＋31)＝0，所以2n＝32(负值舍去)，解得n＝5．(1)由二项式系数的性质知，2x＋1x10的展开式中

第6项的二项式系数最大，即C510＝252．所以T6＝C510(2x)51x5＝C51025＝8064．(2)设第r＋1项的系数最大，因为Tr＋1＝Cr10(2x)10－r1xr＝Cr10210－rx10－2r，解得83≤r≤11

3，因为r∈N，所以r＝3．故系数最大的项是第4项，第4项为T4＝C31027x4＝15360x4．点拨：求二项式系数最大项，如果n是偶数，则中间一项第n2＋1项的二项式系数最大；如果n是奇数，则中间两项(第n＋12项与第n＋

12＋1项)的二项式系数相等并最大．求展开式系数最大项，如求(a＋bx)n(a，b∈R)的展开式系数最大的项，一般是采用待定系数法，列出不等式组Ar≥Ar－1，Ar≥Ar＋1，从而解出r，4即得展

开式系数最大的项．已知()x23＋3x2n的展开式中第3项与第4项的二项式系数相等．(1)求展开式中二项式系数最大的项；(2)求展开式中系数最大的项．解：(1)易知n＝5，故展开式共有6项，其中二项式系数最大的项为第三、第四两项．所以T3

＝C25()x233·(3x2)2＝90x6，T4＝C35()x232·(3x2)3＝270x223．(2)设展开式中第r＋1项的系数最大．Tr＋1＝Cr5·(x23)5－r·(3x2)r＝Cr5·3r·x10＋4r3

，即3r≥16－r，15－r≥3r＋1．解得72≤r≤92．因为r∈N，所以r＝4，即展开式中第5项的系数最大．T5＝C45·x23·(3x2)4＝405x263．类型四整除问题与求近似值问题(1)(2018·临沂

模拟)487被7除的余数为a(0≤a<7)，则a的值为_________________．解：487＝(49－1)7＝C07497－C17496＋„＋C67·49－1，由于C07497，C17496，„，C6749都能被7整除，所以487被7除的余数为－1＋7＝6，即a＝6．故填6．(

2)1．028的近似值为_________________．(精确到小数点后三位)解：1．028＝(1＋0．02)8≈C08＋C18·0．02＋C28·0．022＋C38·0．023≈1．172．故填1．172．点拨：①利用二项式定理解决整除问题的关键是巧妙地构造二项式，

其基本思路是：要证明一个式子能被另一个式子整除，只需证明这个式子按二项式定理展开后的各项均能被另一个式子整除．因此，一般将被除式化为含有相关除式的二项式，然后再展开，此时常采用“配凑法”“消去法”结合整

除的有关知识来处理．注意：0≤余数<除数．②整除问题和求近似值是二项式定理中两类常见的应用问题，整除问题中要关注展开式的最后几项，而求近似值则应关注展开式的前几项．(1)(2018·新乡模拟)使得多项式

81x4＋108x3＋54x2＋12x＋1能被5整除的最小自然数x为()A．1B．2C．3D．4解：81x4＋108x3＋54x2＋12x＋1＝(3x＋1)4，所以上式能被5整除的最小自然数为x＝3．故选C．(2)设n∈N*，n≠1，求证33n－26n－1能被

676整除．证明：33n－26n－1＝27n－26n－1＝(26＋1)n－26n－1＝26n＋C1n26n－1＋C2n26n－2＋„＋Cn－2n262＋Cn－1n26＋Cnn－26n－1类型五特殊“三

项式”(可化为二项式)的展开式|x|＋1|x|－23展开式中的常数项为_________________．解法一：原式＝（|x|2－2|x|＋1）3|x|3＝（|x|－1）6|x|3，所以(1－|x|)6的展开式中|x|3的系数

C36(－1)3＝－20就是原式展开式中的常数项．解法二：将原式化为|x|－1|x|6，利用二项式定理求解．解法三：将原式看成三个|x|＋1|x|－2相乘，常数项只可能由|x|·1|x|·(－2

)和(－2)3构成，可利用计数原理分成两类再求和．故所求为C13·C12·(－2)＋5C33·(－2)3＝－20．故填－20．点拨：三项式的展开式问题，通常可用解法二化为二项式问题，或者用解法三化为计数问题．若(x2＋ax＋1)6(a>0)的展开式中x2的系数是66，则0asinxdx的

值为____________．解：由题意可得(x2＋ax＋1)6的展开式中x2的系数为C16＋C26a2，故C16＋C26a2＝66，所以a＝2或a＝－2(舍去)．故0asinxdx＝(－cosx)|20＝1－cos2．故填1－c

os2．1．二项展开式的通项主要用于求二项式的指数、项和系数，在运用公式时要注意以下几点：(1)Cknan－kbk是第k＋1项，而不是第k项．(2)求展开式的一些特殊项，通常都是由题意列出方程求出k，再求所需的某项(有时需先

求n)．计算时要注意n，k的取值范围及它们的大小关系．(3)求展开式的某一项的系数，先要准确地写出通项，特别要注意符号问题，然后将通项中的系数和字母分离．2．要注意二项展开式中二项式系数与某一项系数的区别．在(a＋b)n的展开式中，系数最大的项是中间项；但当a，b的系数不是1

时，系数最大的项的位置就不一定在中间，需要利用通项公式，根据系数的增减性具体讨论而定．3．对三项或三项以上的展开问题，应根据式子的特点，转化为二项式来解决(有些题目也可转化为计数问题解决)，转化的方法通常为集项、配方、因式

分解，集项时要注意项与项结合的合理性和简捷性．4．二项式定理的应用方法(1)“赋值法”和“构造法”是解决二项展开式中“系数和”问题的基本思路，也是证明有关组合数恒等式的重要方法．(2)“配凑法”和“消去法”

是解决“整除性问题”或“余数问题”的重要方法．(3)整除问题要关注的是展开式的最后几项，求近似值问题关注的是展开式的前几项．(4)有些不等式的证明问题，也常借助二项式定理进行“放缩”处理．(5)要注意二项式定理的逆用，它常用于有关化简和求值问题．1

．(2016·四川)设i为虚数单位，则(x＋i)6的展开式中含x4的项为()A．－15x4B．15x4C．－20ix4D．20ix4解：由题可知，含x4的项为C26x4i2＝－15x4．故选A．2．已知(1＋x)n的展开式中第4项与第8项

的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为()A．29B．210C．211D．212解：由题意，C3n＝C7n，解得n＝10．则奇数项的二项式系数和为2n－1＝29．故选A．3．(x＋ax)(2x－1x)5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中的常数项为()A．

－40B．－20C．20D．40解：在(x＋ax)(2x－1x)5中，令x＝1，得(1＋a)(2－1)5＝2，即a＝1．原式＝x·(2x－1x)5＋1x(2x－1x)5，故常数项为x·C35(2x)2(－1x)3＋1x·C25(2x)3·(－1x)2＝－40＋80＝40．故选D

．4．(2016·贵州模拟)在二项式(x2＋x＋1)(x－1)5的展开式中，含x4项的系数是()A．－25B．－5C．5D．25解：因为(x2＋x＋1)(x－1)＝x3－1，所以原式可化为(x3－1)(x－1)4．故展开式中，含x4项的系数为C34(－1)3－C04＝－4－1＝－5．故选B

．5．设复数x＝2i1－i(i是虚数单位)，则C12019x＋C22019x2＋C32019x3＋„＋C20192019x2019＝()A．iB．－iC．－1＋iD．－1－i解：x＝2i1－i＝2i（1＋i）（1－i）（1＋i）＝－1＋

i，由于C12019x＋C22019x2＋C32019x3＋„＋C20192019x2019＝(1＋x)2019－1＝(1－1＋i)2019－1＝i2019－1＝－i－1．故选D．6．从4x＋1x20的展开式

中任取一项，则取到有理项的概率为()6A．521B．27C．310D．37解：4x＋1x20的展开式的通项公式为Tk＋1＝Ck20(4x)20－k1xk＝Ck20354kx，其中k＝0，1，2，„，20．而当k＝0，4，8，12，16，2

0时，5－34k为整数，对应的项为有理项，所以从4x＋1x20的展开式中任取一项，取到有理项的概率为P＝621＝27．故选B．7．(2017·山东)已知(1＋3x)n的展开式中含有x2项的系数是54，则n＝_________

______．解：(1＋3x)n的展开式的通项为Tr＋1＝Crn(3x)r，令r＝2，得T3＝9C2nx2，由题意得9C2n＝54，解得n＝4．故填4．8．在(1＋x)6(1＋y)4的展开式中，记xmy

n项的系数为f(m，n)，则f(3，0)＋f(2，1)＋f(1，2)＋f(0，3)＝_______________．解：在(1＋x)6的展开式中，xm的系数为Cm6，在(1＋y)4的展开式中，yn的系数为Cn4，故f(m，n)＝Cm6·Cn4．所以f(3，0)＋f

(2，1)＋f(1，2)＋f(0，3)＝C36C04＋C26C14＋C16C24＋C06C34＝120．故填120．9．求证：32n＋2－8n－9能被64整除(n∈N*)．证明：因为32n＋2－8n－9＝32·32n－8n－9＝9·9n－8n－9＝9(8＋1)n－8n－9＝9(C0n8n＋C

1n8n－1＋„＋Cn－1n·8＋Cnn·1)－8n－9＝9(8n＋C1n8n－1＋„＋Cn－2n82)＋9·8n＋9－8n－9＝9×82(8n－2＋C1n8n－3＋„＋Cn－2n)＋64n＝64[9(8n－

2＋C1n8n－3＋„＋Cn－2n)＋n]．所以32n＋2－8n－9能被64整除．10．已知二项式12＋2xn．(1)若展开式中第5项，第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大的项的系数；(2)若展开式前三项的二项式系数和等于79，求展开式中系数最大的项

．解：(1)因为C4n＋C6n＝2C5n，所以n2－21n＋98＝0，所以n＝7或n＝14．当n＝7时，展开式中二项式系数最大的项是T4和T5．所以T4的系数为C37×124×23＝352，T5的系数为C47×123×24＝70．当n＝14时，展开式

中二项式系数最大的项是T8．所以T8的系数为C714×127×27＝3432．(2)因为C0n＋C1n＋C2n＝79，所以n2＋n－156＝0，所以n＝12或n＝－13(舍去)．设第k＋1项的系数最大，因为

12＋2x12＝1212(1＋4x)12，所以k＝10．所以展开式中系数最大的项为第11项，且T11＝C1012·122·210·x10＝16896x10．11．(1)已知(1－x＋x2)3(1－2x2)4＝a0＋a1x＋a2x2＋„＋a14x14

，求a1＋a3＋a5＋„＋a13的值．(2)已知(x＋1)2(x＋2)2014＝a0＋a1(x＋2)＋a2(x＋2)2＋„＋a2016(x＋2)2016，求a12＋a222＋a323＋„＋a201622016的值．解：(1)设f(x)＝(1－x＋x2)3(1－2x2)4．令x分

别取1，－1，则f(1)＝a0＋a1＋a2＋„＋a13＋a14＝1；f(－1)＝a0－a1＋a2－„－a13＋a14＝27．a1＋a3＋a5＋„＋a13＝f（1）－f（－1）2＝1－272＝－13．(2)依题意令x＝－32，得－32＋12

－32＋22014＝a0＋a1－32＋2＋a2－32＋22＋„＋a2016－32＋22016，令x＝－2得a0＝0，则a12＋a222＋a323＋„＋a201622016＝

122016．(2017·九江模拟)(x2－x＋1)10展开式中x3项的系数为()7A．－210B．210C．30D．－30解法一：(x2－x＋1)10是10个(x2－x＋1)相乘，乘后各项(未合并)为(x2)a(－x)b·1c，其中a，b，c是自然数，且均小于等于10，和为1

0．又x3＝x2·x＝x·x·x，故(a，b，c)＝(1，1，8)或(0，3，7)时为x3项．故所求为C110·C19(－1)·C88＋C310(－1)3·C77＝－210．解法二：(x2－x＋1)10＝[(x2－x)＋1]10的展开式的通项公式为Tr＋1＝Cr10(x

2－x)10－r，(x2－x)10－r的通项公式为Tr′＋1＝(－1)r′Cr′10－rx20－2r－r′．令20－2r－r′＝3，根据0≤r′≤10－r，r，r′∈N，解得r＝8，r′＝1或r＝7，r′＝3

，所以(x2－x＋1)10展开式中x3项的系数为C810C12(－1)＋C710C33(－1)＝－90－120＝－210．故选A．8