【文档说明】高考数学(理数)一轮复习04《三角函数》单元测试 (含详解).doc，共(7)页，191.000 KB，由MTyang资料小铺上传

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一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．函数y＝cos2x－π6的最小正周期是()A.π2B．πC．2πD．4π解：函数y＝cos2

x－π6的最小正周期T＝2π2＝π.故选B.2．(2017·天津)设θ∈R，则“θ－π12＜π12”是“sinθ＜12”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解：根据条件，由

θ－π12＜π12得0＜θ＜π6，推出sinθ＜12，而当sinθ＜12时，取θ＝－π6，－π6－π12＝π4＞π12.故选A.3．(2016·江西三校联考)函数y＝sin2x的图象的一个对称中心为()A．(0，0)B.

π4，0C.π4，12D.π2，1解：因为y＝sin2x＝1－cos2x2，令2x＝π2＋kπ，k∈Z，所以x＝π4＋kπ2，k∈Z，所以函数y＝sin2x的图象的一个对称中心为π4，12.故选C.4．(2016·全国卷Ⅱ)函数f(x)＝cos2x＋6c

osπ2－x的最大值为()A．4B．5C．6D．7解：因为f(x)＝1－2sin2x＋6sinx＝－2sinx－322＋112，而sinx∈[－1，1]，所以当sinx＝1时，f(x)取最大值5.故选B.5．

已知函数f(x)＝cos2x＋π3－cos2x，其中x∈R，给出下列四个结论：①函数f(x)是最小正周期为π的奇函数；②函数f(x)图象的一条对称轴是直线x＝2π3；③函数f(x)图象的一个对称中心为5π12，0；

④函数f(x)的递增区间为kπ＋π6，kπ＋2π3，k∈Z.则正确结论的个数是()A．1B．2C．3D．4解：f(x)＝cos2x＋π3－cos2x＝cos2xcosπ3－sin2xsinπ3－cos2x＝－sin2x＋π6，不是奇函数，①错；f2π3＝－

sin4π3＋π6＝1，②正确；f5π12＝－sinπ＝0，③正确；令2kπ＋π2≤2x＋π6≤2kπ＋3π2，k∈Z，得kπ＋π6≤x≤kπ＋23π，k∈Z，④正确．综上知正确结论的个数为3.故选C.6．(2018届湖南永州第三次联考)将函数f(x)＝sin(2x＋φ)

|φ|<π2的图象向左平移π6个单位后的图象关于原点对称，则函数f(x)在0，π2上的最小值为()A.32B.12C．－12D．－32解：将函数f(x)＝sin(2x＋φ)|φ|<π2的图象向左平移π6个单位后为g(x)＝s

in2x＋π6＋φ＝sin(2x＋π3＋φ)的图象，因为它的图象关于原点对称，所以g(0)＝sin(π3＋φ)＝0，则π3＋φ＝kπ(k∈Z)，φ＝kπ－π3(k∈Z)．依题意，φ＝－π3，所以f(x)＝sin

2x－π3.当x∈0，π2时，－π3≤2x－π3≤2π3，所以当x＝0时，函数f(x)在0，π2上有最小值为－32.故选D.7．已知sinα＋π3＋sinα＝－435，－π2＜α＜0，则cosα＋2π3＝()A．－45B．－35C.45D.35解：

因为sinα＋π3＋sinα＝32sinα＋32cosα＝－435，所以32sinα＋12cosα＝－45.所以cosα＋2π3＝cosαcos2π3－sinαsin2π3＝－12cosα－32sinα＝45.故选C.8．(2016·湖南师大附中二模)

设f(x)＝1＋cos2x＋sin2x2sinπ2＋x＋asinx＋π4的最大值为3，则常数a＝()A．1B．1或－5C．－2或4D．±7解：f(x)＝2cos2x＋2sinxcosx2cosx＋asinx＋π4＝2cosx＋2sinx＋asinx＋π

4＝2sinx＋π4＋asinx＋π4＝(a＋2)sinx＋π4，则|a＋2|＝3，所以a＝1或a＝－5.故选B.9．(2016·南开模拟)△ABC中三个内角为A，B，C，若关于x的方程x2－xcosAc

osB－cos2C2＝0有一根为1，则△ABC一定是()A．直角三角形B．等腰三角形C．锐角三角形D．钝角三角形解：依题意，可得1－cosAcosB－cos2C2＝0，因为cos2C2＝1＋cosC2＝1－cos（A＋B）2＝1－co

sAcosB＋sinAsinB2，所以1－cosAcosB－1－cosAcosB＋sinAsinB2＝0，整理得：cos(A－B)＝1，又A，B为△ABC的内角，所以A＝B，所以△ABC一定为等腰三角形．故选B

.10．(2018·广州调研改编)如图所示，某炮兵阵地位于地面A处，两观察所分别位于地面C处和D处，已知CD＝6000m，∠ACD＝45°，∠ADC＝75°，目标出现于地面B处时测得∠BCD＝30°，∠BDC＝15°，则炮兵阵地到目标的距离是()A．200042

mB．100042mC．30002mD．20006m解：在△ACD中，因为∠ACD＝45°，∠ADC＝75°，所以∠CAD＝60°，由正弦定理可得ADsin45°＝CDsin60°，所以AD＝6000³2232＝20006(m

)．在△BCD中，由正弦定理得BDsin30°＝CDsin135°，所以BD＝12³600022＝30002(m)，在Rt△ABD中，由勾股定理可得AB2＝BD2＋AD2，所以AB＝（30002）2＋（200

06）2＝100042(m)．故选B.11．(2018·山西太原高三第三次联考)已知函数f(x)＝2cos(πx3＋φ)的一个对称中心是(2，0)，且f(1)>f(3)，要得到函数f(x)的图象，可将函数y＝2cosπx3的图象()A．向右

平移12个单位长度B．向右平移π6个单位长度C．向左平移12个单位长度D．向左平移π6个单位长度解：函数f(x)＝2cosπx3＋φ的一个对称中心是(2，0)，即f(2)＝0，所以2cos

2π3＋φ＝0，2π3＋φ＝π2＋kπ(k∈Z)，φ＝－π6＋kπ(k∈Z)，f(x)＝2cosπx3－π6＋kπ.因为f(1)>f(3)，所以2cosπ6＋kπ>2cos5π6＋k

π，故不妨取k＝0，φ＝－π6，f(x)＝2cosπx3－π6＝2cosπ3x－12，可将函数y＝2cosπx3的图象向右平移12个单位长度．故选A.12．若tanα＝2tanπ5，则cosα－3π10sinα－π5＝()A．1

B．2C．3D．4解：cosα－3π10sinα－π5＝cosαcos3π10＋sinαsin3π10sinαcosπ5－cosαsinπ5＝cos3π10＋tanαsin3π10tanαcosπ5－sinπ5＝cos3π10＋2tanπ5sin3π102t

anπ5cosπ5－sinπ5＝cosπ5cos3π10＋2sinπ5sin3π10sinπ5cosπ5＝cosπ5cos3π10＋sinπ5sin3π10＋cosπ2－π5sin3π1012sin2π5＝3cosπ10cosπ10＝3.故选C.二、填空题

：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知sinα＝13，则sin(2019π－α)＝________.解：sin(2019π－α)＝sin(π－α)＝sinα＝13.故填13.14．cos43°cos

77°＋sin43°cos167°的值为________．解：cos43°cos77°＋sin43°cos167°＝cos43°cos77°＋sin43°(－sin77°)＝cos120°＝－12.故填－12.15．(2017·北京)在平面直角坐标系xOy中

，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称．若sinα＝13，则sinβ＝________.解：如图，作出单位圆，假设角α与角β终边与单位圆的交点分别为A，B，根据sinα＝13，得A的纵坐标为13.

α，β的终边关于y轴对称，则B的纵坐标为13，所以sinβ＝sinα＝13.故填13.16．在△ABC中，若AB→²AC→＝7，|AB→－AC→|＝6，则△ABC的面积的最大值为________．解：设角A，B，C的对边分别为a，b，c，则由已知条件可知bccosA＝7，a＝6.由余弦定理可知

36＝b2＋c2－14，故b2＋c2＝50，2bc≤b2＋c2＝50，故bc≤25.S△ABC＝12bcsinA＝12bc1－cos2A＝12bc1－49（bc）2＝12（bc）2－49≤12252－49＝12，当b＝c＝5时等号成立，故所求

的最大值为12.故填12.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(10分)(2017·江苏)已知向量a＝(cosx，sinx)，b＝(3，－3)，x∈[0，π]．(1)若a∥b，求x的值；(2

)记f(x)＝a·b，求f(x)的最大值和最小值以及对应的x的值．解：(1)因为a＝(cosx，sinx)，b＝(3，－3)，a∥b，所以－3cosx＝3sinx.若cosx＝0，则sinx＝0，与sin2x＋cos2x

＝1矛盾，故cosx≠0.于是tanx＝－33.又x∈[0，π]，所以x＝5π6.(2)f(x)＝a·b＝(cosx，sinx)·(3，－3)＝3cosx－3sinx＝23cosx＋π6.因为

x∈[0，π]，所以x＋π6∈π6，7π6，从而－1≤cosx＋π6≤32.于是，当x＋π6＝π6，即x＝0时，f(x)取到最大值3；当x＋π6＝π，即x＝5π6时，f(x)取到最小值

－23.18．(12分)(2017·天津)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知a＞b，a＝5，c＝6，sinB＝35.(1)求b和sinA的值；(2)求sin2A＋π4的值．解：(1)在△ABC中，因为a＞b，故由sinB＝35，可得cosB＝45.由已知及

余弦定理，有b2＝a2＋c2－2accosB＝13，所以b＝13.由正弦定理asinA＝bsinB，得sinA＝asinBb＝31313.所以，b的值为13，sinA的值为31313.(2)由(1)及a＜c，得cosA＝21313，所以sin2A＝2sinAcosA＝12

13，cos2A＝1－2sin2A＝－513.故sin2A＋π4＝sin2Acosπ4＋cos2Asinπ4＝7226.19．(12分)(2018·哈师大附中高三三模)已知a＝(2sinωx，sinω

x＋cosωx)，b＝(cosωx，3(sinωx－cosωx))，0<ω<1，函数f(x)＝a·b，直线x＝5π6是函数f(x)图象的一条对称轴．(1)求函数f(x)的解析式及单调递增区间；(2)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知f

(A)＝0，c＝3，a＝13，求b.解：(1)f(x)＝a·b＝sin2ωx－3cos2ωx＝2sin2ωx－π3.因为直线x＝5π6是函数f(x)图象的一条对称轴，所以f5π6＝±2，即2³5π6ω－π

3＝kπ＋π2，k∈Z，所以ω＝3k5＋12，k∈Z，因为ω∈(0，1)，所以k＝0，ω＝12，所以f(x)＝2sinx－π3.由2kπ－π2≤x－π3≤2kπ＋π2，得2kπ－π6≤x≤2kπ＋5π6，k∈Z，所以f(x)＝2sin

x－π3，且单调递增区间为2kπ－π6，2kπ＋5π6，k∈Z.(2)因为f(A)＝2sinA－π3＝0，所以A－π3＝kπ，所以A＝kπ＋π3，k∈Z，因为A∈(0，π)，所以A＝π3.在△ABC中，由余弦定理cosA

＝b2＋c2－a22bc，得b2＋c2－a2－2bccosA＝0，所以b2＋32－13－2b³3³12＝0，所以b2－3b－4＝0，所以(b－4)(b＋1)＝0，因为b>0，所以b＝4.20．(12分)

(2017·全国卷Ⅲ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知sinA＋3cosA＝0，a＝27，b＝2.(1)求c；(2)设D为BC边上一点，且AD⊥AC，求△ABD的面积．解：(1)由已知可得tanA＝－3，所

以A＝2π3.在△ABC中，由余弦定理得28＝4＋c2－4ccos2π3，即c2＋2c－24＝0.解得c＝－6(舍去)，或c＝4.(2)由题设可得∠CAD＝π2，所以∠BAD＝∠BAC－∠CAD＝π6.故△ABD面积与△ACD面积的比值为12

AB·AD·sinπ612AC·AD＝1.又△ABC的面积为12³4³2sin∠BAC＝23，所以△ABD的面积为3.21．(12分)已知函数f(x)的图象是由函数g(x)＝cosx的图象经如下变换得到：先将g(x)图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不

变)，再将所得到的图象向右平移π2个单位长度．(1)求函数f(x)的解析式，并求其图象的对称轴方程；(2)已知关于x的方程f(x)＋g(x)＝m在[0，2π)内有两个不同的解α，β，求实数m的取值范围．解：(

1)将g(x)＝cosx的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)得到y＝2cosx的图象，再将y＝2cosx的图象向右平移π2个单位长度后得到y＝2cosx－π2的图象，故f(x)＝2sinx，从而函数f(x)＝2sinx图

象的对称轴方程为x＝kπ＋π2(k∈Z)．(2)f(x)＋g(x)＝2sinx＋cosx＝525sinx＋15cosx＝5sin(x＋φ)(其中sinφ＝15，cosφ＝25)．依题意，sin(x＋φ)＝m5在区间[0，2π)内有两个不同的

解α，β，当且仅当m5＜1，故m的取值范围是(－5，5)．22．(12分)设f(x)＝sinxcosx－cos2x＋π4.(1)求f(x)的单调区间；(2)在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若fA2

＝0，a＝1，求△ABC面积的最大值．解：(1)由题意知f(x)＝sin2x2－1＋cos2x＋π22＝sin2x2－1－sin2x2＝sin2x－12.由－π2＋2kπ≤2x≤π2＋2kπ，k∈Z，可得－π4＋kπ≤x≤π4＋kπ，k∈Z；由π2＋2kπ≤2x

≤3π2＋2kπ，k∈Z，可得π4＋kπ≤x≤3π4＋kπ，k∈Z.所以函数f(x)的单调递增区间是－π4＋kπ，π4＋kπ(k∈Z)；单调递减区间是π4＋kπ，3π4＋kπ(k∈Z)．(2)

由fA2＝sinA－12＝0，得sinA＝12，由题意知A为锐角，所以cosA＝32.由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA，可得1＋3bc＝b2＋c2≥2bc，即bc≤2＋3，当且仅当b＝c时等号成立．所以S△ABC

＝12bcsinA≤2＋34.所以△ABC面积的最大值为2＋34.