【文档说明】高考数学(理数)三轮冲刺强化练习第1讲《函数与方程的思想》（解析版）.doc，共(9)页，100.500 KB，由MTyang资料小铺上传

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第1讲函数与方程的思想「思想方法解读」函数思想是指用函数的观点、方法去分析问题、转化问题和解决问题．如求数列中的项或最值、求不等式中的参量、求解析几何中距离或面积的最值等相关的非函数问题，往往都可利用函数思想，构建函数将其转化为函数问题．方程思想是从问题的数量关系入手，运用数

学语言将问题中的条件转化为方程或方程组去分析问题和解决问题．如变量的取值范围、直线与圆锥曲线的位置关系、数列中的基本量、二项式中的系数等问题.热点题型探究热点1函数与方程思想在不等式中的应用例1(1)(新疆昌吉市教育共同体高三月考)若关于x的不等式1＋acosx≥23si

nπ2＋2x在R上恒成立，则实数a的最大值为()A．－13B．13C．23D．1答案B解析1＋acosx≥23sinπ2＋2x＝23(2cos2x－1)，令cosx＝t∈[－1,1]，并代入不等

式，则问题转化为不等式4t2－3at－5≤0在t∈[－1,1]上恒成立，即4＋3a－5≤0，4－3a－5≤0⇒－13≤a≤13.故选B.(2)已知f(x)＝log2x，x∈[2,16]，对于函数f(x)值域内的任意实数m，使x2＋mx＋4＞2m＋4x恒成立的实数x的取

值范围为()A．(－∞，－2]B．[2，＋∞)C．(－∞，－2]∪[2，＋∞)D．(－∞，－2)∪(2，＋∞)答案D解析因为x∈[2,16]，所以f(x)＝log2x∈[1,4]，即m∈[1,4]．不等式x2＋mx

＋4＞2m＋4x恒成立，即为m(x－2)＋(x－2)2＞0恒成立．构造函数g(m)＝(x－2)m＋(x－2)2，则此函数在区间[1,4]上恒大于0，所以g1＞0，g4＞0，即x－2＋x－22＞0，4x－2＋x－22＞0，解得x＜

－2或x＞2.(3)(山东省烟台市高三一模)若函数f(x)＝ex－e－x＋sin2x，则满足f(2x2－1)＋f(x)>0的x的取值范围为()A.－1，12B．(－∞，－1)∪12，＋∞C.－12，1D．－∞，－12∪(1，＋∞)答案B解析函数

f(x)＝ex－e－x＋sin2x的定义域为R，且满足f(－x)＝e－x－ex＋sin(－2x)＝－(ex－e－x＋sin2x)＝－f(x)，∴f(x)为R上的奇函数；又f′(x)＝ex＋e－x＋2cos2

x≥2＋2cos2x≥0恒成立，∴f(x)为R上的单调增函数；又f(2x2－1)＋f(x)>0，得f(2x2－1)>－f(x)＝f(－x)，∴2x2－1>－x，即2x2＋x－1>0，解得x<－1或x>12，所以x的取值范围是(－∞，－1)∪12，＋∞.故选B.函数与不等

式的相互转化，把不等式问题转化为函数问题，借助函数的图象和性质可解决相关的问题．常涉及不等式恒成立问题、比较大小问题．一般利用函数思想构造新函数，从而研究函数性质破解问题．1．若2x＋5y≤2－y＋5－x，则有()A．x＋y≥0B．x＋y≤0C．x－

y≤0D．x－y≥0答案B解析把不等式变形为2x－5－x≤2－y－5y，构造函数f(t)＝2t－5－t，其为R上的增函数，所以有x≤－y，故选B.2．已知a，b，c依次为方程2x＋x＝0，log2x＝2和log12x＝x的实根，则a，b，c的大小关系为

()A．a＞b＞cB．b＞a＞cC．c＞b＞aD．b＞c＞a答案D解析由log2b＝2，得b＝4，由2x＋x＝0，log12x＝x，得2x＝－x，log2x＝－x，在同一坐标系中分别作出函数y＝2x，y＝－x，y＝log2x的图象(图略)，观察交点的横坐标，可得b＞c＞a.3．(宁夏银川一中高三二

模)已知不等式xy≤ax2＋2y2对于x∈[1,2]，y∈[2,3]恒成立，则a的取值范围是()A．[1，＋∞)B．[－1,4)C．[－1，＋∞)D．[－1,6]答案C解析不等式xy≤ax2＋2y2对于x∈[1,2]，y∈[2,3]恒成立，等价于a≥yx－2yx2，对于x∈[1,2]，

y∈[2,3]恒成立，令t＝yx，则1≤t≤3，∴a≥t－2t2在[1,3]上恒成立，令s＝－2t2＋t＝－2t－142＋18，∴t＝1时，smax＝－1，∴a≥－1，a的取值范围是[－1，＋∞)，故选C.热点2函数与方程思想在数列中的应用例2(1)(衡水市第十三中学高三质

检)已知定义域为R的函数f(x)满足f(x)＝4f(x＋2)，当x∈[0，2)时，f(x)＝－x2＋x＋1，x∈[0，1，12|x－32|，x∈[1，2，设f(x)在[2n－2,2n)上的最大值

为an(n∈N*)，且{an}的前n项和为Sn，若Sn<k对任意的正整数n均成立，则实数k的取值范围为()A.53，＋∞B．53，＋∞C．[2，＋∞)D．43，＋∞答

案B解析由题意，得当x∈[0,1)时，1≤f(x)≤54；当x∈[1,2)时，22≤f(x)≤1，所以当x∈[0,2)时，f(x)的最大值为54；又由f(x＋2)＝14f(x)，所以当x∈[2,4)时，f(x)的最大值为54×14；当x∈[4,6)时，f(x)的最大值为54×

142，…，所以当x∈[2n－2,2n)时，f(x)的最大值an＝54×14n－1，由等比数列的前n项和公式，得Sn＝541－14n1－14＝53－53×14n<53.若Sn<k对任意的

正整数n均成立，则k≥53，故选B.(2)(南京师范大学附属中学高三模拟)设数列{an}的前n项和为Sn，且an＝4＋－12n－1，若对于任意的n∈N*都有1≤x(Sn－4n)≤3恒成立，则实数x的取值范围是________．答案[2,3]解析由题设可得Sn＝4n＋

1－－12n1－－12＝4n＋23－23－12n，则Sn－4n＝23－23－12n，不等式1≤x(Sn－4n)≤3可化为1≤x23－23－12n≤3，即32×11－－

12n≤x≤92×11－－12n，则问题转化为求－12n的最大值和最小值．由于n∈N*，所以－12n的最大值和最小值分别为14和－12，则32×11－14≤x≤92×11－－12，即2≤x≤3.(3)等差数列{an}的前

n项和为Sn，已知S10＝0，S15＝25，则数列{an}的公差d＝________，nSn的最小值为________．答案23－49解析由题意知10a1＋45d＝0,5a1＋60d＝25，解得d＝23，a1＝－3，所以nSn＝nna1＋nn－12d＝n3－

10n23，设f(x)＝x3－10x23(x＞0)，则f′(x)＝13x(3x－20)，令f′(x)＝0，解得x＝203(x＝0舍去)，当x∈0，203时，f(x)单调递减，当x∈203，＋∞时，f(x)单调递增

．所以当x＝203时，f(x)取得极小值．取n＝6，得f(6)＝－48，取n＝7，得f(7)＝－49，故nSn的最小值为－49.数列的通项与前n项和是自变量为整数的函数，可用函数的观点去处理数列问题．常涉及最值问题或参数范围问题，解决问题的关键是利用函数的单调性来研究最值问题．1．(广

东省天河区高三年级摸底考试)已知数列{an}是以1为首项，2为公差的等差数列，{bn}是以1为首项，2为公比的等比数列，设cn＝abn，Tn＝c1＋c2＋…＋cn(n∈N*)，则当Tn<2019时，n的最大值是()A．9B．10

C．11D．12答案A解析∵{an}是以1为首项，2为公差的等差数列，∴an＝2n－1，∵{bn}是以1为首项，2为公比的等比数列，∴bn＝2n－1，∴Tn＝c1＋c2＋…＋cn＝ab1＋ab2＋…＋abn＝a1＋a2＋a4＋…

＋a2n－1＝(2×1－1)＋(2×2－1)＋(2×4－1)＋…＋(2×2n－1－1)＝2(1＋2＋4＋…＋2n－1)－n＝2×1－2n1－2－n＝2n＋1－n－2，∵Tn<2019，∴2n＋1－n－2<2019，得n≤9.则当Tn<2019时，n的最大值是

9.故选A.2．(郑州市高三第三次质量检测)已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an＋1，若集合M＝{n|n(n＋1)≥t(an＋1)，n∈N*}中有3个元素，则实数t的取值范围是________．答案1＜t≤54解析由题意，因为数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an＋

1，所以an＋1＋1＝2(an＋1)，即数列{an＋1}是以2为首项，公比为2的等比数列，所以an＋1＝2n，得an＝2n－1.因为n(n＋1)≥t(an＋1)，化简可得t≤nn＋12n，记f(x)＝xx＋12x，f′(x)＝2x＋12x－x2＋x2xl

n22x2＝[2x＋1－x2＋xln2]2x.当x≥3时，f′(x)＜0，此时f(x)是单调递减的．故当n≥3时，f′(n)＜0，此时f(n)也是单调递减的；f(1)＝1，f(2)＝32，f(3)＝32，f

(4)＝54；当n≥5，f(n)＜54.因为集合M＝{n|n(n＋1)≥t(an＋1)，n∈N*}中有3个元素，故只需找出f(n)＝nn＋12n中最大的三个数，而f(2)，f(3)，f(4)是最大的三个数

，故集合M中的这三个元素只能是2,3,4.所以1＜t≤54.3．已知数列{an}满足a1＝33，an＋1－an＝2n，则ann的最小值为________．答案212解析根据数列的递推关系式an＋1－an＝2n，可利用累加法求解其通项公式，a

n＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝2[1＋2＋…＋(n－1)]＋33＝n2－n＋33.所以ann＝33n＋n－1，设f(x)＝33x＋x－1，令f′(x)＝－33x2＋1＞0

，则f(x)在(33，＋∞)上是单调递增的，在(0，33)上是单调递减的，因为n∈N*，所以当n＝5或6时，ann有最小值．又因为a55＝535，a66＝636＝212，所以ann的最小值为a66＝212.热点3函数与方程思想在解析几何中的应用例3(河南省天一大联考高三阶段性测试)已知椭

圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)上的点到右焦点F(c,0)的最大距离是2＋1，且1，2a,4c成等比数列．(1)求椭圆的方程；(2)过点F且与x轴不垂直的直线l与椭圆交于A，B两点，线段AB的中垂线交x轴于点M(m,0)，求实数m的取值范围．解(1)由已知，得

a＋c＝2＋1，1·4c＝2a2，a2＝b2＋c2，解得a＝2，b＝1，c＝1.所以椭圆的方程为x22＋y2＝1.(2)由题意得F(1,0)，设直线AB的方程为y＝k(x－1)．与椭圆方程联立得x2＋2y2－2＝0，y＝kx－1，

消去y可得(1＋2k2)x2－4k2x＋2k2－2＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝4k21＋2k2，y1＋y2＝k(x1＋x2)－2k＝－2k1＋2k2.可得线段AB的中点为N2k21＋2k2，－k

1＋2k2.当k＝0时，直线MN为y轴，此时m＝0；当k≠0时，直线MN的方程为y＋k1＋2k2＝－1kx－2k21＋2k2，化简得ky＋x－k21＋2k2＝0.令y＝0，得m＝k21＋2k2.所以m＝k21＋2k2

＝11k2＋2∈0，12.综上所述，实数m的取值范围为0，12.解析几何中的范围问题是高考的热点，在圆锥曲线的综合问题中经常出现，求解此类问题的关键是抓住函数关系，将目标量表示为一个(或者多个)变量的函数，然后借助于函数的性质来使问题得以解决．(衡水中学高三

一调)已知焦点在y轴上的抛物线C1过点(2,1)，椭圆C2的两个焦点分别为F1，F2，其中F2与C1的焦点重合，过点F1与C2的长轴垂直的直线交C2于A，B两点，且|AB|＝3，曲线C3是以坐标原点O为圆心，以|OF2|为半径的圆．(1)求C2与C3的标准方程；(2)若动直线l与

C3相切，且与C2交于M，N两点，求△OMN的面积S的取值范围．解(1)由已知，设抛物线C1的方程为x2＝2py(p>0)，则4＝2p，解得p＝2，即C1的标准方程为x2＝4y.则F2(0,1)，不妨设椭圆C2的方程为y2a2＋x2b2＝1(a>b>0)，由

y2a2＋x2b2＝1，y＝－1，得x＝±b2a，所以|AB|＝2b2a＝3，又a2＝b2＋1，所以a＝2，b＝3，故C2的标准方程为y24＋x23＝1.易知|OF2|＝1，所以C3的标准方程为x2＋y2＝1.(2)因为直线l与C3

相切，所以圆心O到直线l的距离为1.所以S＝12×|MN|×1＝|MN|2.当直线l的斜率不存在时，其方程为x＝±1，易知两种情况所得到的△OMN的面积相等．由y24＋x23＝1，x＝1得y＝±263.不妨设M1，263，N1，－263，则|MN|＝

463，此时S＝|MN|2＝263.当直线l的斜率存在时，设其方程为y＝kx＋m，则|m|1＋k2＝1，即m2＝k2＋1.由y24＋x23＝1，y＝kx＋m得(3k2＋4)x2＋6kmx＋3m2－12＝0，所以Δ＝36k2m2－

4(3k2＋4)(3m2－12)＝48(4＋3k2－m2)＝48(2k2＋3)>0恒成立．设M(xM，yM)，N(xN，yN)，则xM＋xN＝－6km3k2＋4，xMxN＝3m2－123k2＋4.所以S＝|MN|2＝121＋k2xM＋xN2－4xMxN＝121＋k

2－6km3k2＋42－4×3m2－123k2＋4＝121＋k2·482k2＋33k2＋4＝231＋k22k2＋33k2＋4.令3k2＋4＝t(t≥4)，则k2＝t－43，所以S＝2332t2－t－1t2＝233－1t2－1t＋2，令1t＝m′，则m′∈0

，14，易知y＝－m′2－m′＋2在区间0，14上单调递减，所以32≤S<263.综上，△OMN的面积S的取值范围为32，263.