【文档说明】(新高考)高考数学二轮复习分层练习02《三角恒等变换与解三角形》（解析版）.doc，共(8)页，119.500 KB，由MTyang资料小铺上传

转载请保留链接：https://www.ichengzhen.cn/view-24233.html

以下为本文档部分文字说明：

解密02三角恒等变换与解三角形A组考点专练一、选择题1．若sinα＝13，则cos2α等于()A.89B.79C．－79D．－89【答案】B【解析】∵sinα＝13，∴cos2α＝1－2sin2α＝1－2×132＝79.2．t

an70°＋tan50°－3tan70°tan50°的值为()A.3B.33C．－33D．－3【答案】D【解析】因为tan120°＝tan70°＋tan50°1－tan70°tan50°＝－3，即tan70°

＋tan50°－3tan70°tan50°＝－3.3.已知sinα＝55，sin(α－β)＝－1010，α，β均为锐角，则β等于()A.5π12B.π3C.π4D.π6【答案】C【解析】由α，β为锐角，则－π2<α－β<

π2，由sin(α－β)＝－1010，得cos(α－β)＝31010，又sinα＝55，所以cosα＝255，所以sinβ＝sin[α－(α－β)]＝sinαcos(α－β)－cosαsin(α－β)＝55×31010－255×－1010＝22.所以β＝π4.4.在△ABC中，

角A，B，C的对边分别为a，b，c，acosB＋bcosA＝2ccosC，c＝7，且△ABC的面积为332，则△ABC的周长为()A．1＋7B．2＋7C．4＋7D．5＋7【答案】D【解析】在△ABC中，acosB＋bcosA＝2ccosC，则sinAcosB＋sinBcosA＝2sin

CcosC，即sin(A＋B)＝2sinCcosC，∵sin(A＋B)＝sinC≠0，∴cosC＝12，∴C＝π3，由余弦定理可得，a2＋b2－c2＝ab，即(a＋b)2－3ab＝c2＝7，又S＝12absinC＝34ab＝332，∴ab＝6，∴(a＋b)2＝7＋3ab＝2

5，a＋b＝5，∴△ABC的周长为a＋b＋c＝5＋7.5.(多选题)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a∶b∶c＝4∶5∶6，则下列结论正确的是()A.sinA∶sinB∶sinC＝4∶5∶6B.△ABC是钝角三角形C.△ABC的最大内角是

最小内角的2倍D.若c＝6，则△ABC的外接圆的半径为877【答案】ACD【解析】由a∶b∶c＝4∶5∶6，可设a＝4x，b＝5x，c＝6x，x>0.根据正弦定理可知sinA∶sinB∶sinC＝4∶5∶6，A正确.由c为最大边，cosC＝a2＋b2－c22ab＝16x2＋25x2

－36x22·4x·5x＝18>0，即C为锐角，得△ABC为锐角三角形，B不正确.a为最小边，cosA＝b2＋c2－a22bc＝25x2＋36x2－16x22·5x·6x＝34，则cos2A＝2cos2A－1＝2×916－1＝18＝cosC.由2A，C∈(0，π)，可得2A

＝C，C正确.若c＝6，则2R＝csinC＝61－164＝1677(R为△ABC的外接圆的半径)，则△ABC的外接圆的半径为877，D正确.故选ACD.二、填空题6.(2020·江苏卷)已知sin2π4＋α＝23，则sin2α的值是________.【答案】13【解析】因

为sin2π4＋α＝23，所以1－cosπ2＋2α2＝23，即1＋sin2α2＝23，所以sin2α＝13.7.(2019·全国Ⅱ卷)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若b＝6，a＝2c，B＝π3，则△ABC的

面积为________.【答案】63【解析】由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accosB.又∵b＝6，a＝2c，B＝π3，∴36＝4c2＋c2－2×2c2×12，∴c＝23，c＝－23(舍去)，∴a＝43，∴S△

ABC＝12acsinB＝12×43×23×32＝63.8.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，bcosC与ccosB的等差中项为acosB，则B＝________；若a＋c＝5，△ABC的面积S＝3，则b＝________.【答案】π313【解析】因为bcosC与ccosB的等差

中项为acosB，所以2acosB＝bcosB＋ccosB.由正弦定理可得2sinAcosB＝sinBcosC＋sinCcosB，即2sinAcosB＝sin(B＋C)＝sin(π－A)，即2sinAcosB＝sinA.因

为A∈(0，π)，所以sinA>0，所以cosB＝12.因为B∈(0，π)，所以B＝π3.因为△ABC的面积S＝3，所以12acsinB＝3，所以ac＝4.由余弦定理，得b＝a2＋c2－2accosB＝（a＋c）2－3ac＝25－12＝13.

三、解答题9.在①cosA＝35，cosC＝255；②csinC＝sinA＋bsinB，B＝60°；③c＝2，cosA＝18三个条件中任选一个填至横线上，并加以解答.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝3，

________，求△ABC的面积S.(注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分)【解析】选①.∵cosA＝35，cosC＝255，∴sinA＝45，sinC＝55，∴sinB＝sin(A＋C)＝s

inAcosC＋cosAsinC＝45×255＋35×55＝11525.由正弦定理，得b＝asinBsinA＝3×1152545＝33520，∴S＝12absinC＝12×3×33520×55＝9940.选②.∵csinC＝sinA＋bsinB，∴结合正弦定理，得c2＝a＋b2.∵

a＝3，∴b2＝c2－3.又∵B＝60°，∴b2＝c2＋9－2×3×c×12＝c2－3，∴c＝4，∴S＝12acsinB＝33.选③.∵c＝2，cosA＝18，∴结合余弦定理，得18＝b2＋22－322×b×2，即b2－b2

－5＝0，解得b＝52或b＝－2(舍去).又∵sinA＝1－cos2A＝378，∴S＝12bcsinA＝12×52×2×378＝15716.10.(2020·全国Ⅱ卷)△ABC中，sin2A－sin2B－sin2C＝sinBsinC.(1)求A；(2)若BC＝3，求△ABC周长的最大值.【解析

】(1)由正弦定理和已知条件得BC2－AC2－AB2＝AC·AB.①由余弦定理得BC2＝AC2＋AB2－2AC·ABcosA.②由①②得cosA＝－12.因为0<A<π，所以A＝2π3.(2)由正弦定理及(1

)得ACsinB＝ABsinC＝BCsinA＝23，从而AC＝23sinB，AB＝23sin(π－A－B)＝3cosB－3sinB.故BC＋AC＋AB＝3＋3sinB＋3cosB＝3＋23sinB＋π3.又0<B<π3，所以当B＝π6时，△A

BC周长取得最大值3＋23.B组专题综合练11.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，A＝60°，b＝3c，角A的平分线交BC于点D，且BD＝7，则cos∠ADB的值为()A.－217B.217

C.277D.±217【答案】B【解析】法一如图，因为∠BAC＝60°，AD为∠BAC的平分线，所以∠CAD＝∠BAD＝30°.又b＝3c，所以CDBD＝S△CADS△DAB＝12b·AD·sin30°12AD·csin30°＝bc＝

3.因为BD＝7，所以CD＝37，所以a＝CB＝47.因为a2＝b2＋c2－2bccos∠CAB，所以16×7＝9c2＋c2－2·3c·c·12，解得c＝4.在△ABD中，由正弦定理，知BDsin∠BAD＝csin∠ADB，即712＝4

sin∠ADB，所以sin∠ADB＝27.因为b＝3c>c，所以B>C.因为∠ADB＝30°＋C，∠ADC＝30°＋B，所以∠ADB<∠ADC，又∠ADB＋∠ADC＝180°，所以∠ADB为锐角，所以cos∠ADB＝1－sin2∠ADB＝1－

47＝37＝217.故选B.法二因为∠BAC＝60°，AD为∠BAC的平分线，所以∠CAD＝∠BAD＝30°.又b＝3c，所以CDBD＝S△CADS△DAB＝12b·AD·sin30°12AD·csin

30°＝bc＝3.因为BD＝7，所以CD＝37，所以a＝CB＝47.因为a2＝b2＋c2－2bccos∠BAC，所以16×7＝9c2＋c2－2·3c·c·12，解得c＝4.由余弦定理，得cos∠BAD＝AD2＋c2－BD22A

D·c，即32＝AD2＋16－78AD，所以AD2－43AD＋9＝0，所以(AD－3)(AD－33)＝0.所以AD＝33或AD＝3.因为b＝3c>c，所以B>C.又B＋C＝120°，所以B>60°>∠BAD，所以AD>BD＝7，所以AD＝33，所以cos∠ADB＝DA2

＋DB2－AB22DA·DB＝27＋7－162×33×7＝217.故选B.12.(2020·江苏卷)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知a＝3，c＝2，B＝45°.(1)求sinC的值；(2)在边BC上取一点D，使得cos∠ADC＝－45，求tan∠DAC的值.【解

析】(1)在△ABC中，因为a＝3，c＝2，B＝45°，由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB，得b2＝9＋2－2×3×2cos45°＝5，所以b＝5.在△ABC中，由正弦定理bsinB＝csinC，得5sin45°＝2sinC，所以sinC

＝55.(2)在△ADC中，因为cos∠ADC＝－45，所以∠ADC为钝角.而∠ADC＋C＋∠CAD＝180°，所以C为锐角.故cosC＝1－sin2C＝255，则tanC＝sinCcosC＝12.因为cos∠ADC＝－45，所以sin∠ADC＝1－cos2∠ADC＝35，所以

tan∠ADC＝sin∠ADCcos∠ADC＝－34.从而tan∠DAC＝tan(180°－∠ADC－C)＝－tan(∠ADC＋C)＝－tan∠ADC＋tanC1－tan∠ADC×tanC＝－－34＋121－

－34×12＝211.13．已知向量a＝(2sin2x，2cos2x)，b＝(cosθ，sinθ)|θ|<π2，若f(x)＝a·b，且函数f(x)的图象关于直线x＝π6对称．(1)求函数f(x)的解析式，并求f(x)的单调递减区间；(2)在△ABC中

，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f(A)＝2，且b＝5，c＝23，求△ABC外接圆的面积．【解析】(1)f(x)＝a·b＝2sin2xcosθ＋2cos2xsinθ＝2sin(2x＋θ)，∵函数f(x)的图象关于直线x＝π6对称，∴

2×π6＋θ＝kπ＋π2，k∈Z，∴θ＝kπ＋π6，k∈Z，又|θ|<π2，∴θ＝π6.∴f(x)＝2sin2x＋π6.由2kπ＋π2≤2x＋π6≤2kπ＋3π2，k∈Z，得kπ＋π6≤x≤kπ＋2π3

，k∈Z.∴f(x)的单调递减区间为kπ＋π6，kπ＋2π3，k∈Z.(2)∵f(A)＝2sin2A＋π6＝2，∴sin2A＋π6＝1.又∵A∈(0，π)，∴2A＋π6∈π6，13π6，∴2A＋π6＝π2，∴

A＝π6.在△ABC中，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA＝25＋12－2×5×23cosπ6＝7，∴a＝7.设△ABC外接圆的半径为R，由正弦定理得asinA＝2R＝712＝27，∴R＝7，∴△ABC外接圆的面积S＝πR2＝7π.