【文档说明】2021年人教版高中数学选择性必修第二册随堂重点练习4.4《数学归纳法》(含答案).doc，共(6)页，166.500 KB，由MTyang资料小铺上传

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4.4数学归纳法重点练一、单选题1．用数学归纳法证明“5n-2n能被3整除”的第二步中,n=k+1时,为了使用假设,应将5k+1-2k+1变形为（）A．(5k-2k)+4×5k-2kB．5(5k-2k)+3×2kC．(5-2)(5k-2k)D．2(5k-2k)

-3×5k2．已知1+2×3+3×32+4×33+…+n×3n-1=3n(na-b)+c对一切n∈N+都成立,则a,b,c的值为（）A．a=12,b=c=14B．a=b=c=14C．a=0,b=c=14D．不存

在这样的a,b,c3．用数学归纳法证明不等式*111111,223422nnnnN…(2,*nNn)时，以下说法正确的是（）A．第一步应该验证当1n时不等式成立B．从“nk到1nk”左边需要增加的代数式是12kC．从“nk到1nk”左边需要增加

2k项D．从“nk到1nk”左边需要增加的代数式是kkk21221121114．已知数列na满足101a，142nnnatatRa，若对于任意*nN，都有103nnaa，则t的取值范围是（）A．1,3

B．0,3C．3,8D．8,二、填空题5．用数学归纳法证明“当n∈N+时,1+2+22+23+…+25n-1是31的倍数”,当n=1时,原式为,从k到k+1时需增添的项是.6．已知函数11xfxx

，对于*Nn，定义11nnfxffx，则2019fx的解析式为________.三、解答题7．1·22+2·32+3·42+…+n·(n+1)2=(1)12nn·(an2+bn+c)对于

一切正整数n都成立?并说明你的结论.参考答案1．【答案】B【解析】假设当n=k时,5k-2k能被3整除,当n=k+1时,作如下变形:5k+1-2k+1=5×5k-2×2k=5×5k-5×2k+3×2k=5(5k-2k)+3×2k,

就可以应用假设.故选B.故选B2．【答案】A【解析】∵等式对一切n∈N+都成立,∴当n=1,2,3时等式成立,将其分别代入等式,得22313(-),1233(2-),123333(3-),abcabcabc解得a=12,b=c=14.故选A

3．【答案】D【解析】第一步应该验证当2n时不等式成立,所以A不正确；因为11111111111111()2342234221222kkkkk，所以从“nk到1nk”左边需要增加的代数式是1111121222k

kk，所以B不正确；所以从“nk到1nk”左边需要增加12k项，所以C不正确。故选D4．【答案】B【解析】用排除法：当3t时，1432nnnaaa，明显有0na，下面用数学归纳法证明3na，

当1n时，1013a，成立；假设当nk时，3ka成立，则当1nk时，143554432232kkkkaaaa，所以当1nk时，13ka成立，综上：对任意*

nN，都有3na；另外21(3)1434320222nnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaa，所以1nnaa，所以当3t时，103nnaa恒成立，排除CD；当12t时，14212nnnaaa，若1n，

则1214122aaa，因为101a，此时20a是有可能的，故排除A，故选B.5．【答案】1+2+22+23+24，25k+25k+1+25k+2+25k+3+25k+4【解析】∵当n=1时,原式应加到25×1-1=24,∴原

式为1+2+22+23+24.从k到k+1时需添上25k+25k+1+…+25(k+1)-1.故填1+2+22+23+24，25k+25k+1+25k+2+25k+3+25k+46．【答案】20191xx【

解析】函数对于*nN，定义11()[()]nnfxffx，21111()[()]12111xxxxfxffxfxxxx．312121()[()]2111213xxxfxffxfxxxxx

，41313131()[()]11431fxxxxxxxfxxxff，由此可以猜想1nxfxnx以下用数学归纳法证明：当1n时，11xfxx，显然成立；假

设nk时成立，即1kxfxkx，则1nk时，11111()[()1]1kkxxkxxxkxkxfffx也成立故1nxfxnx201920191xfxx故填20191xx．7．【答案】存在a=3,b=11,c

=10使等式对一切正整数n都成立，证明略【解析】假设存在常数a,b,c,使等式对于一切正整数n成立,令n=1,2,3得14(),6122(42),27093,abcabcabc整理

得24,4244,9370,abcabcabc解得3,11,10.abc令Sn=1·22+2·32+3·42+…+n·(n+1)2.于是对于n=1,2,3,等式Sn=(1)12n

n(3n2+11n+10)成立.用数学归纳法证明等式对于一切n∈N+都成立,过程如下:①当n=1时,已得等式成立.②假设n=k(k≥1,k∈N+)时,等式成立,即Sk=(1)12kk(3k2+11k+10),则n=k+1时,Sk+1=Sk+(k+1)(k+2)2=(

1)12kk(3k2+11k+10)+(k+1)(k+2)2=(1)12kk(k+2)(3k+5)+(k+1)(k+2)2=(1)(2)12kk[k(3k+5)+12(k+2)]=(1)(2)12kk[3(k+1)2+11(k+1)+10],∴当n=k+1时,等式也成立.根据

①②可以断定,对于一切n∈N+等式都成立,即存在a=3,b=11,c=10使等式对一切正整数n都成立.