【文档说明】北师大版（2019）高中数学必修第一册：4.3.2《对数函数y=log2x的图象和性质》学案.docx，共(7)页，212.192 KB，由baby熊上传

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对数函数y＝log2x的图象和性质【学习目标】通过对数函数y＝log2x的图象研究函数的性质，培养直观想象素养。【学习重难点】会画具体对数函数的图象。【学习过程】一、预习提问思考：(1)指数函数y＝2x与对数函数x＝log2y的图

象有什么关系？(2)指数函数y＝2x的图象与对数函数y＝log2x的图象有什么关系？[提示](1)重合。(2)关于直线y＝x对称。二、合作探究4．函数y＝log2x的图象和性质完成下列问题。图象特征函数性质过点(1，0)当x＝1时，y＝0在y轴的右侧定义

域是(0，＋∞)向上、向下无限延伸值域是R在直线x＝1右侧，图象位于x轴上方；在直线x＝1左侧，图象位于x轴下方若x＞1，则y＞0；若0＜x＜1，则y＜0函数图象从左到右是上升的在(0，＋∞)上是增函数1．函数y＝logax的图象如图所示，则a的值可以是()A．12B．2C．eD．10

2．函数y＝log2(x－2)的定义域是________。3．函数y＝log2(x2＋1)的值域是________。4．对数函数f(x)的图象经过点19，2，则f(3)＝________。【答案】1．A[y＝logax的图象是下降的，故a可以是12。故选A．]2．(2，＋

∞)[由x－2>0，得x>2，所以其定义域是(2，＋∞)。]3．[0，＋∞)[由x2＋1≥1，得y≥0，所以，其值域是[0，＋∞)。]4．－1[设f(x)＝logax(a>0，且a≠1)，因为对数函数f(x)的图象经过点19

，2，所以f19＝loga19＝2．所以a2＝19。所以a＝1912＝13212＝13。所以f(x)＝log13x。所以f(3)＝log133＝log1313-2＝－1．]对数函

数的概念【例1】下列函数中，哪些是对数函数？(1)y＝logax(a>0，且a≠1)；(2)y＝log2x＋2；(3)y＝8log2(x＋1)；(4)y＝logx6(x>0，且x≠1)；(5)y＝log6x。【答案】(1)中真数不是自变量x，不是对数函数。(2)中对数式后加2，所以不是对数

函数。(3)中真数为x＋1，不是x，系数不为1，故不是对数函数。(4)中底数是自变量x，而非常数，所以不是对数函数。(5)中底数是6，真数为x，系数为1，符合对数函数的定义，故是对数函数。1．若函数f(x)＝

(a2－a＋1)log(a＋1)x是对数函数，则实数a＝________。【答案】1[由a2－a＋1＝1，解得a＝0或a＝1．又底数a＋1>0，且a＋1≠1，所以a＝1．]求函数的反函数【例2】求下列函数的反函数。(1)y＝10x；(2)y＝

45x；(3)y＝log13x；(4)y＝log2x。【答案】(1)由y＝10x，得x＝lgy，∴其反函数为y＝lgx；(2)由y＝45x，得x＝log45y，∴其反函数为y＝log45x；(3)由y＝log1

3x，得x＝13y，∴其反函数为y＝13x；(4)由y＝log2x，得x＝2y，∴其反函数为y＝2x。2．(1)已知函数y＝g(x)的图象与函数y＝log3x的图象关于直线y＝x对称，则g(2)的值为()A．9B．3C

．2D．log32(2)若函数y＝f(x)是函数y＝ax(a>0，且a≠1)的反函数，其图象经过点(a，a)，则f(x)＝()A．log2xB．log12xC．2－xD．x2【答案】(1)A(2)B[(1)y＝g(x)与y＝log3x互为反函数，故g(x)＝

3x，故g(2)＝32＝9．(2)由题意知(a，a)在y＝ax上，可得aa＝a＝a12，即a＝12。因为y＝12x的反函数为y＝log12x，所以f(x)＝log12x。]函数y＝log2x的图象与性质[探究问题]1．求函数y＝lo

g2|x|的定义域，并画出它的图象。2．画出函数y＝|log2x|的图象，并写出它的单调区间。【例3】根据函数f(x)＝log2x的图象和性质求解以下问题：(1)若f(x－1)>f(1)，求x的取值范围；(2)求y＝log2(2x－1)在x∈34，52上的最值。1．提示：函数的定义

域为{x|x≠0，x∈R}。函数解析式可化为y＝log2x，x>0，log2－x，x<0，其图象如图所示。(其特征是关于y轴对称)。2．提示：y＝|log2x|＝－log2x，0<x≤1，log2x，x>1

，其图象如图所示，增区间为[1，＋∞)，减区间为(0，1)。例3[思路探究]可依据y＝log2x的图象，借助函数的单调性解不等式，求最值。[解]作出函数y＝log2x的图象如图。(1)由图象知y＝log2x在(0，＋∞)上是增函数。因

为f(x－1)>f(1)，所以x－1>1，解得x>2，所以x的取值范围是(2，＋∞)。(2)∵34≤x≤52，∴12≤2x－1≤4，∴log212≤log2(2x－1)≤log24，所以－1≤log2(2x－1)≤2，故函数y＝log2(2x－1)在x∈

34，52上的最小值为－1，最大值为2．【母体探究】1．(变结论)将例题中的条件不变，试比较log245与log234的大小。2．(变结论)将例题中的条件不变，解不等式log2(2－x)>0.【答案】1．[解]函数f(x)＝log2x在(0，＋∞)

上为增函数，又∵45>34，∴log245>log234。2．[解]log2(2－x)>0，即log2(2－x)>log21，∵函数y＝log2x为增函数，∴2－x>1，∴x<1．∴x的取值范围是(－∞，1)。【规律方法】函数f（x）＝log2x是最基

本的对数函数，它在（0，＋∞）上是单调递增的，利用单调性可以解不等式，求函数值域，比较对数值的大小。【课堂小结】1．解与对数有关的问题，首先要保证在定义域范围内解题，即真数大于零，底数大于零且不等于1，函数定义域的结果一定要写成集合或区间的形式。2．指数

函数y＝ax(a>0且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0且a≠1)互为反函数，它们定义域与值域相反，图象关于直线y＝x对称。3．应注意数形结合思想在解题中的应用。1．思考辨析(1)函数y＝2log2x是对数函数。()(2

)函数y＝3x的反函数是y＝13x。()(3)对数函数y＝log2x在(0，＋∞)上是增函数。()2．函数f(x)＝lg(2－3x)的定义域是________。3．函数y＝log12x的反函数是________。4．求函数y＝log2(3＋2x－x2)的定义域和值域。【答案】1

．(1)×(2)×(3)√2．－∞，23[由2－3x>0，得x<23，所以，f(x)的定义域是－∞，23。]3．y＝12x[由y＝log12x，得x＝12y，所以，其反函数为y＝12x。]4．[解]由3＋2x－x2>0，

得x2－2x－3<0，∴－1<x<3，∴其定义域为(－1，3)u＝3＋2x－x2＝4－(x－1)2≤4，又y＝log2u是增函数。∴y≤log24＝2，∴其值域为(－∞，2]。