【文档说明】北师大版（2019）高中数学必修第一册：5.1.1《利用函数性质判定方程解的存在性》教案.docx，共(5)页，73.025 KB，由baby熊上传

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利用函数性质判定方程解的存在性【教学目标】1．学习函数零点的概念，领会方程的根与函数零点之间的关系，提升直观想象素养。2．通过结合图像与解函数零点问题，培养数学抽象、数学运算素养。【教学重难点】1．了解函数零点的概念，领会方程的根与函数零点之间的关系。(

易混点)2．掌握函数零点存在的判定方法。(重点)3．能结合图像求解零点问题。(难点)【教学过程】一、基础铺垫1．函数的零点：①定义：函数f(x)的图像与横轴的交点的横坐标称为这个函数的零点。②方程的根、函数的图像、函数

的零点三者之间的联系。2．函数零点的判定定理：若函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的图像是连续曲线，并且在区间端点的函数值符号相反，即f(a)·f(b)<0，则在区间(a，b)内，函数y＝f(x)至少有一个零点，即相应的方程f(x)

＝0在区间(a，b)内至少有一个实数解。思考：(1)函数的零点是点吗？(2)若f(a)·f(b)>0，则y＝f(x)在区间(a，b)内一定没有零点吗？[提示](1)不是点，是数。(2)不一定，如y＝x2－1，在区间(－2，2)上有两

个零点。二、新知探究1．求函数的零点【例1】判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出。(1)f(x)＝x＋3x；(2)f(x)＝x2＋2x＋4；(3)f(x)＝2x－3；(4)f(x)＝1－log3x。[解](1)令x＋3x＝0，解得x＝－3，所以函数f(x)＝x＋3x的零点

是－3．(2)令x2＋2x＋4＝0，由于Δ＝22－4×4＝－12<0，所以方程x2＋2x＋4＝0无解，所以函数f(x)＝x2＋2x＋4不存在零点。(3)令2x－3＝0，解得x＝log23，所以函数f(x)＝2x－

3的零点是log23．(4)令1－log3x＝0，解得x＝3，所以函数f(x)＝1－log3x的零点是3．【教师小结】函数零点的求法，求函数y＝f(x)的零点通常有两种方法：其一是令y＝f(x)＝0，根

据解方程y＝f(x)＝0的根求得函数的零点；其二是画出函数y＝y＝f(x)的图像，图像与x轴的交点的横坐标即为函数的零点。2．判断零点所在的区间【例2】(1)已知函数f(x)的图像是连续不断的，有如下x，f(x)的对应值表：x12345

6f(x)1510－76－4－5则函数f(x)在区间[1，6]上的零点至少有()A．2个B．3个C．4个D．5个(2)函数f(x)＝lnx－2x的零点所在的大致区间是()A．(1，2)B．(2，3)C．1，1e和(3，4)D．(e，＋∞)(1)B(

2)B[(1)由已知数表可知f(2)·f(3)＝10×(－7)＜0，f(3)·f(4)＝(－7)×6＜0，f(4)×f(5)＝6×(－4)<0，故函数f(x)在(2，3)，(3，4)，(4，5)上分别存在零点，故至少有3个零点。(2)∵f(1)＝－2＜0

，f(2)＝ln2－1＜0，∴在(1，2)内f(x)无零点，A错；又f(3)＝ln3－23＞0，∴f(2)·f(3)＜0，∴f(x)在(2，3)内有零点。]【母题探究】1．(变条件)已知函数f(x)＝x3－x－1仅有一个正零点，则此零点所在区间是()A．(3，4)B．(2，3)C．(

1，2)D．(0，1)C[因为f(1)＝－1<0，f(2)＝5>0，所以f(1)·f(2)<0，所以f(x)在区间(1，2)内至少有一个零点，又f(x)仅有一个正零点，故选C．]2．(变结论)探究1中，函数y＝

f(x)有负零点吗？[解]当x≤－1时，f(x)＝x3－x－1＝x(x2－1)－1<－1，当－1<x<0时，f(x)＝x3－x－1＝x3－(x＋1)<－(x＋1)<0，综上知，当x<0时，f(x)<0，因此，f(x

)没有负零点。【教师小结】（1）确定函数零点、方程解所在的区间，通常利用函数零点的存在性定理，转化为确定区间两端点对应的函数值的符号是否相反。（2）若要判断零点(或根)的个数，还需结合函数的其他性质，如单调性。3．函数零点个数的判定【例3】(1)函数f(x)＝x

2＋2x－3，x≤0，－2＋lnx，x>0的零点个数为()A．3B．2C．1D．0(2)函数f(x)＝lnx＋x2－3的零点的个数是________。(1)B(2)1[(1)当x≤0时，令x2＋2x＋3＝0，解得x＝－3；当x>0时，令－2＋lnx＝0，解得x＝e2，所以已知函数有两个零

点，故选B．(2)因为f(1)＝－2，f(2)＝ln2＋1>0；所以f(1)·f(2)<0.又f(x)＝lnx＋x2－3的图像在(1，2)上是不间断的，所以f(x)在(1，2)上必有零点。又f(x)在(0，＋∞)上是递增的，所以零点只有1个。]【教师小结】判断函数零点个数的三种方

法（1）方程法：若方程y＝f(x)＝0的解可求或能判断解的个数，可通过方程的解来判断函数是否存在零点或判定零点的个数。（2）图像法：由y＝f(x)＝y＝g(x)-h(x)＝0，得g(x)=h(x)，在同一平面直角坐标系内作出y1＝g(x)和y2＝h(x)的图像

，根据两个图像交点的个数来判定函数零点的个数。（3）定理法：函数y＝f(x)的图像在区间[a，b]上是一条连续不断的曲线，由f(a)·f(b)<0即可判断函数y＝y＝f(x)在区间a，b内至少有一个零点。若函数y＝f(x)在区间a，b上是单调函数，则函数y＝f(x)在区间a，b内只有一个零点。

三、课堂总结1．在函数零点存在定理中，要注意三点：(1)函数图像在区间[a，b]上是连续的；(2)定理不可逆；(3)在区间(a，b)内，函数至少存在一个零点。2．方程f(x)＝g(x)的根是函数f(x)与g(x)的

图像交点的横坐标，也是函数y＝f(x)－g(x)的图像与x轴交点的横坐标。3．函数与方程有着密切的联系，有些方程问题可以转化为函数问题求解，同样，函数问题有时可以转化为方程问题，这正是函数与方程思想的基础。四、课堂检测1．思考辨析(1)零点即函数y＝f(x)的图像与x轴的交点。()(2)若方程f

(x)＝0有两个不等实根x1，x2，则函数y＝f(x)有两个零点。()(3)若函数y＝f(x)在区间(a，b)上有零点，则一定有f(a)·f(b)＜0.()[答案](1)×(2)√(3)×2．y＝x＋1的图像与x轴的交点坐标及其零点分别是()A．－1，(－1，0)B．(－1，0)，0C．(

－1，0)，－1D．－1，－1C[由y＝x＋1＝0，得x＝－1，故交点坐标为(－1，0)，零点是－1．]3．若函数f(x)唯一的零点在区间(1，3)或(1，4)或(1，5)内，则①函数f(x)的零点在(1，2)或(2，3)内；②函数f(x)在(3，5)内无零点；③函数f(x)在(2，5

)内有零点；④函数f(x)在(2，4)内不一定有零点；⑤函数f(x)的零点必在(1，5)内。以上说法错误的是________(将序号填在横线上)。①②③[由于三个区间是包含关系，而(1，5)范围最大，零点位置

可能在区间(1，5)的任何一个子区间内，①②③错误。]4．判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出。(1)y＝2x＋1；(2)y＝x2－2x＋4；(3)y＝1－log5x。[解](1)令y＝0，得2x＋1＝0，无解。故函数不存在零点。(2)令

y＝0，得x2－2x＋4＝0，Δ＝4－4×4＝－12<0.故函数不存在零点。(3)令y＝0，得1－log5x＝0，log5x＝1，解得x＝5．故函数的零点为5．