【文档说明】北师大版（2019）高中数学必修第一册：4.2.2《换底公式》学案.docx，共(4)页，65.089 KB，由baby熊上传

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换底公式【学习目标】1．通过对数换底公式的推导，提升逻辑推理素养。2．通过用对数换底公式进行化简求值，培养数学运算素养。【学习重难点】1．能推导出对数的换底公式。(重点)2．会用对数换底公式进行化简与求值。(难点、易混点)【学习过程】一、预习提问

思考：换底公式的作用是什么？[提示]换底公式的主要作用是把不同底的对数化为同底的对数，再运用对数的性质进行运算。二、合作探究利用换底公式化简求值【例1】计算：log1627log8132．[思路探究]在两个式子中，底数、真数都不相同，因而要用换底公式进行换底以便于计算求值。[解]l

og1627log8132＝lg27lg16·lg32lg81＝lg33lg24·lg25lg34＝3lg34lg2·5lg24lg3＝1516。用已知对数表示其他对数【例2】已知log189＝a，18b＝5，用a，b表示log3645．[解]法一：因为

log189＝a，所以9＝18a，又5＝18b，所以log3645＝log2×18(5×9)＝log2×1818a＋b＝(a＋b)·log2×1818．又因为log2×1818＝1log18＝11＋log182＝11＋log18189＝11＋1－log189＝12－a，所以原式＝

a＋b2－a。法二：∵18b＝5，∴log185＝b，∴log3645＝log1845log1836＝log18log18＝log185＋log1892log182＋log189＝a＋b2log18189＋log189＝a＋b

2－2log189＋log189＝a＋b2－a。法三：∵log189＝a，18b＝5，∴lg9＝alg18，lg5＝blg18，∴log3645＝lg1829＝lg9＋lg52lg18－lg9＝alg18＋blg182lg18－alg18＝a＋b2－a。对数的实际应

用[探究问题]1．光线每通过一块玻璃板，其强度要损失10%，把几块这样的玻璃板重叠起来，设光线原来的强度为a，通过x块玻璃板以后的强度值为y。试写出y关于x的函数关系式。提示：依题意得y＝a

1－110x＝a910x，其中x≥1，x∈N。2．探究1中的已知条件不变，求通过多少块玻璃以后，光线强度减弱到原来强度的12以下？(根据需要取用数据lg3≈0.4771，lg2≈0.3010)提示：依题意得a910x≤a×12⇒910x≤

12⇒x(2lg3－1)≤－lg2⇒x≥0.30101－2×0.4771≈6．572，∴xmin＝7．即通过7块以上(包括7块)的玻璃板后，光线强度减弱到原来强度的12以下。【例3】某城市现有人口数为100万，如果年自然增长率为1．2%，试解答下面的问题。(1)写出该城市x年后的人口总数y(

万人)与年数x(年)的函数关系式；(2)计算大约多少年以后，该城市人口将达到120万？(精确到1年)(lg1．012≈0.0052，lg1．2≈0.0792)[思路探究]先利用指数函数知识列出y与x的函数关系式，再利用对数求值。[解](1)由题意y＝10

0(1＋1．2%)x＝100·1．012x(x∈N＋)。(2)由100·1．012x＝120，得1．012x＝1．2，∴x＝log1．0121．2＝lg1.2lg1.012≈0.07920.0052≈16，故大约16年以后，该城市人口将达到120万。【学

习小结】换底公式：logbN＝logaNlogab(a，b＞0，a，b≠1，N＞0)。特别地，logab·logba＝1，logba＝【精炼反馈】1．思考辨析(1)logab＝lgblga＝lnblna。()(2)log52＝log－2log－5。()(

3)logab·logbc＝logaC．()2．若lg3＝a，lg5＝b，则log53等于()A．baB．abC．abD．ba3．log332·log227＝________。4．一种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年剩留的质量是原来的84%，

估计约经过多少年，该物质的剩留量是原来的一半。(结果保留1个有效数字)【答案】1．思考变形(1)√(2)×(3)√2．B[log53＝lg3lg5＝ab。]3．15[log332·log227＝lg32lg3·lg27lg2＝5lg2lg3·3lg3lg2＝15．]

4．[解]设最初的质量是1，经过x年，剩留量是y，则y与x的关系式为y＝0.84x。依题意得0.84x＝0.5，化为对数式，得log0.840.5＝x，由换底公式知x＝ln0.5ln0.84，用科学计算器计算得x≈3．98，即约经过4年，该物质的剩留量是原

来的一半。