【文档说明】北师大版（2019）高中数学必修第一册：3.1《指数幂的拓展》PPT课件（共17页）.pptx，共(16)页，1.884 MB，由baby熊上传

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北师大版高中数学课件指数幂的拓展初中，学习了整数指数幂的运算及性质𝑎𝑛=𝑎∙𝑎∙𝑎∙⋯∙𝑎𝑛个𝑎,𝑎0=1,𝑎−𝑛=1𝑎𝑛𝑎𝑚∙𝑎𝑛=𝑎𝑚+𝑛,𝑎𝑚𝑛=𝑎𝑚𝑛,

𝑎∙𝑏𝑛=𝑎𝑛∙𝑏𝑛思考讨论：薇甘菊是热带、亚热带地区危害最严重的杂草之一，它侵害田地的面积𝑆(单位：hm2)与年数𝑡（年）的关系式为𝑆=𝑆0∙1.057𝑡.其中𝑆0为侵害面积的初

始值如果求15.5年后侵害的面积，就需要计算𝑆=𝑆0∙1.05715.5，这个指数运算与初中所学的指数运算有什么差异呢？指数是分数.思考讨论：(2)对于分数指数幂，该如何运算呢？如312=？.提示：(312)2=312×2=3，又(3)2=3，可见312=3.1、给定正数𝑎和正整数𝑚,

𝑛(𝑛>1,且𝑚,𝑛互素)，若存在唯一的正数𝑏，使得𝑏𝑛=𝑎𝑚，则称𝑏为𝑎的𝑚𝑛次幂.记作𝑏=𝑎𝑚𝑛，这就是正分数指数幂.例如：𝑏5=2，则𝑏=215；𝑡6=513，

则𝑡=5136注意：①当𝑘是正整数时，分数指数幂𝑎𝑚𝑛满足：𝑎𝑚𝑛=𝑎𝑘𝑚𝑘𝑛②与312=3类似，当底数𝑎>0时，𝑎𝑚𝑛=𝑎𝑚𝑛，其中𝑎𝑚𝑛读作“𝑛次根号下𝑎𝑚”，也叫根式运算.例如：812=8=22，2723=272

3=9；注意：③根据分数指数幂𝑎𝑚𝑛的定义，分数指数幂的条件是：底数𝑎>0.虽然−273=−3，但不能写成(−27)13=−3.分数指数幂的底数必须是正数哦！试一试例1把下列各式中的正数𝑏写成正分数指数幂的形式

：（1）𝑏5=20；（2）𝑏4=25；（3）𝑏𝑛=3𝑚𝑚,𝑛∈𝑁+；（4）𝑏3𝑛=𝜋9𝑚𝑚,𝑛∈𝑁+.解：(1)𝑏=2015；(2)𝑏=254；(3)𝑏=3𝑚𝑛；(4)𝑏=𝜋9𝑚3𝑛=𝜋3𝑚𝑛2、类似负整数指

数幂的定义，给定𝑎>0，正整数𝑚,𝑛(𝑛>1,且𝑚,𝑛互素)，定义𝑎−𝑚𝑛=1𝑎𝑚𝑛=1𝑎𝑚𝑛.至此，指数运算的指数已经扩充到有理数了.那么，指数是无理数的情况呢？以102为例说明如下因为2=1.4

14213⋯，所以1.4<1.41<1.414<⋯<2<⋯<1.415<1.42<1.5上式2左边的数称为2的不足近似值，右边的数称为2的过剩近似值101.4<101.41<101.414<⋯<102<⋯<101.415<101.42<101.5借助计算器，可算出102越来越趋近于同

一个数，即102=25.954⋯一般的，给定正数𝑎，对任意无理数𝛼，𝑎𝛼都是一个确定的实数.同理𝑎−𝛼=1𝑎𝛼这样，指数运算的指数已经扩充到全体实数了.注意：①给定一个正数𝑎，对任意实数𝛼，指数幂𝑎𝛼都大于0；②0的任意正实数幂都等于0；③0的0指数幂和负实

数指数幂都没有意义。试一试例2.计算：（1）432；（2）27−13；（3）(116)−32.解：(1)432=(22)32=23=8；(2)27−13=(33)−13=3−1=13；(3)(116)−32=(2−4)−32=26=64思考讨论（综合练习）：(

1)计算下列各式：①932+(12)−2；②(279)0.5−0.1−2+21027−13+100𝜋0.(2)用分数指数幂表示下列各式（字母均表示正实数）.①𝑎∙𝑎3②𝑎𝑏3𝑎𝑏5(1)计算下列各式：①932+(12)−2；②(279)0.5−0.1−2+21027−

13+100𝜋0.提示：(1)①932+(12)−2=(32)32+22=31.②(279)0.5−0.1−2+21027−13+100𝜋0=[(53)2]12−110−2+[(43)3]−13+100=53+34=2912．(2)用

分数指数幂表示下列各式（字母均表示正实数）.①𝑎∙𝑎3②𝑎𝑏3𝑎𝑏5提示：(2)①𝑎∙𝑎3=(𝑎∙𝑎12)13=(𝑎32)13=𝑎12.②𝑎𝑏3𝑎𝑏5=(𝑎𝑏3∙𝑎12𝑏52)12=(𝑎

32𝑏112)12=𝑎34𝑏114方法点拨：（1）负数的分数指数幂，在某些情况下是没有意义的，如(−2)12=−2，但(−2)24=(−2)24却是有意义的，避免情况过于复杂，所以对分数指数幂的底数统一要求为正数，这也是后面指数函数底数要求为正数的原因。（2

）为了便于指数幂的运算，一般都将根式化成分数指数进行运算，这样便于利用指数运算律进行指数幂的运算。