【文档说明】北师大版（2019）高中数学必修第一册：2.4.1《函数的奇偶性》PPT课件（共20页）.pptx，共(19)页，1.151 MB，由baby熊上传

转载请保留链接：https://www.ichengzhen.cn/view-83673.html

以下为本文档部分文字说明：

北师大版高中数学课件函数的奇偶性在日常生活中，我们经常会看到一些具有对称性的图片，如美丽的蝴蝶、精彩的剪纸等等上列各图，分别是怎样的对称图形？第1、2图为轴对称图形，第3、4图为中心对称图形.思考讨论：在我们学习的函数中，有些函数的图象也具有对称性，请举出几

个这样的函数；例1.画出函数𝑓𝑥=𝑥3的图象，并观察它的对称性.解：先列表𝒙⋯-2-1−𝟏𝟐0𝟏𝟐12⋯𝒇𝒙=𝒙𝟑⋯⋯描点、连线，得函数图象-8-1180−1818思考讨论：上例函数

的图象是关于原点中心对称的，你能说出函数解析式是怎样体现这个性质的吗？提示：对于定义域中任一个自变量的取值𝑥0，都有函数值𝑓−𝑥0=−𝑓(𝑥0).一般地，设函数𝑦=𝑓𝑥定义域为𝐴.如果当𝑥∈𝐴时,有−𝑥∈𝐴，且𝑓−𝑥=−𝑓(𝑥)，那么就

称函数𝑦=𝑓𝑥为奇函数；如果当𝑥∈𝐴时,有−𝑥∈𝐴，且𝑓−𝑥=𝑓(𝑥)，那么就称函数𝑦=𝑓𝑥为偶函数。如：函数𝑓𝑥=𝑥2、𝑓𝑥=2𝑥等等注意：①当函数𝑦=𝑓𝑥是奇函数或偶函数时，称函数𝑓𝑥具

有奇偶性。奇函数图象关于原点中心对称，反之亦然；偶函数图象关于𝒚轴对称,反之亦然。②函数具有奇偶性的前提是：定义域关于原点对称；注意：③若奇函数𝑦=𝑓𝑥是在𝑥=0处有定义，则有𝑓0=0；④如果已知了一个函数的奇偶性，

那么在研究它的性质时，可以先研究其在非负区间,0,+∞)上的性质，然后利用对称性可得在𝑦轴另一侧函数的性质.试一试例2.根据定义，判断下列函数的奇偶性：（1）𝑓𝑥=−2𝑥5；（2）𝑔𝑥=𝑥4+2；（3）𝑕𝑥=1𝑥2；（4）𝑚𝑥=1𝑥

+2.解：(1)函数𝑓𝑥=−2𝑥5定义域为𝑅，对任意𝑥∈𝑅，有𝑓−𝑥=−2−𝑥5=2𝑥5，−𝑓𝑥=2𝑥5.得𝑓−𝑥=−𝑓𝑥，所以函数为奇函数.(2)函数𝑔𝑥=𝑥4

+2定义域为𝑅，对任意𝑥∈𝑅，有𝑔−𝑥=−𝑥4+2=𝑥4+2，得𝑔−𝑥=𝑔𝑥，所以函数为偶函数.试一试例2.根据定义，判断下列函数的奇偶性：（3）𝑕𝑥=1𝑥2；（4）𝑚𝑥=1𝑥+2.解：(3)函数𝑕𝑥=1𝑥2定义域为*𝑥|𝑥≠

0+，对任意𝑥∈*𝑥|𝑥≠0+，有𝑕−𝑥=1(−𝑥)2=1𝑥2，得𝑕−𝑥=𝑕𝑥，所以函数为偶函数.(4)函数𝑚𝑥=1𝑥+2定义域为*𝑥|𝑥≠−2+，定义域不关于原点对称，所以

函数既不是奇函数也不是偶函数.思考讨论（综合练习）：(1)根据定义，判断下列函数的奇偶性：①𝑓𝑥=1−𝑥2+𝑥2−1②𝑓𝑥=𝑥2+𝑥𝑥≤0−𝑥2+𝑥𝑥>0③𝑓𝑥=1−𝑥2𝑥+2−2④𝑓𝑥=𝑥2+1+𝑥−1𝑥2+1+𝑥+1(2)已知函数𝑓𝑥是定义在�

�上的奇函数，且当𝑥>0时，𝑓𝑥=−𝑥2+2𝑥+1.①求函数𝑓𝑥的解析式；②若函数在−1,𝑎−2上单调递增，求实数𝑎的取值范围.思考讨论（综合练习）：(1)根据定义，判断下列函数的奇

偶性：①𝑓𝑥=1−𝑥2+𝑥2−1②𝑓𝑥=𝑥2+𝑥𝑥≤0−𝑥2+𝑥𝑥>0提示：(1)①函数有意义，则1−𝑥2≥0𝑥2−1≥0，即定义域为*−1,1+，有𝑓𝑥=0，此时既有𝑓−𝑥=−𝑓𝑥，又有𝑓−𝑥=𝑓𝑥，所以函数既是奇函数又是偶函数.②函

数定义域为𝑅，𝑓0=0若𝑥>0，则−𝑥<0，有𝑓−𝑥=(−𝑥)2+−𝑥=𝑥2−𝑥，−𝑓𝑥=𝑥2−𝑥，有𝑓−𝑥=−𝑓𝑥若𝑥<0，则−𝑥>0，有𝑓−𝑥=−−𝑥2+−

𝑥=−𝑥2−𝑥，−𝑓𝑥=−𝑥2−𝑥，仍有𝑓−𝑥=−𝑓𝑥所以函数为奇函数．思考讨论（综合练习）：(1)根据定义，判断下列函数的奇偶性：③𝑓𝑥=1−𝑥2𝑥+2−2④𝑓𝑥=𝑥2+1+𝑥−1𝑥2+1+𝑥

+1提示：③函数有意义，则1−𝑥2≥0𝑥+2−2≠0，即定义域为,−1,0)∪(0,1-，函数即为𝑓𝑥=1−𝑥2𝑥，易得𝑓−𝑥=−𝑓𝑥，所以函数为奇函数．④函数定义域为𝑅，对任意𝑥∈𝑅，有𝑓−𝑥+𝑓𝑥=𝑥2+1−𝑥−1𝑥2+1−𝑥+1+𝑥2+

1+𝑥−1𝑥2+1+𝑥+1=−2𝑥+2𝑥(𝑥2+1−𝑥+1)(𝑥2+1+𝑥+1)=0.即𝑓−𝑥=−𝑓𝑥，所以函数为奇函数．思考讨论（综合练习）：(2)已知函数𝑓𝑥是定义在𝑅上的奇函数，且当𝑥>0时，𝑓𝑥=−𝑥

2+2𝑥+1.①求函数𝑓𝑥的解析式；②若函数在−1,𝑎−2上单调递增，求实数𝑎的取值范围.提示：(2)①函数𝑓𝑥是定义在𝑅上的奇函数，设𝑥<0，则−𝑥>0𝑓−𝑥=−(−𝑥)2+2−𝑥+1=−𝑥2−2𝑥+1.又函数为奇函数，

𝑓−𝑥=−𝑓𝑥，上式即为−𝑓𝑥=−𝑥2−2𝑥+1得𝑓𝑥=𝑥2+2𝑥−1，所以函数𝑓𝑥=−𝑥2+2𝑥+1𝑥>00𝑥=0𝑥2+2𝑥−1𝑥<0思考讨论（综合练习）：(2)已知函数𝑓𝑥是定义在𝑅上的奇函数，且当𝑥>0时，𝑓𝑥=

−𝑥2+2𝑥+1.①求函数𝑓𝑥的解析式；②若函数在−1,𝑎−2上单调递增，求实数𝑎的取值范围.提示：(2)②函数在−1,𝑎−2上单调递增，画出函数图象，如图则𝑎−2>−1𝑎−2≤1，解得1<𝑎≤3所以

实数𝑎的取值范围为1<𝑎≤3.注意：①奇偶性的定义是判断函数奇偶性的基本方法，某些函数，如果不易直接看出𝑓−𝑥与𝑓𝑥的关系，可以通过验证𝑓−𝑥+𝑓𝑥=0或𝑓−𝑥−𝑓𝑥=0来判断

函数的奇偶性；②奇函数如果在𝑥=0处有定义，必有𝑓0=0；③函数𝑓𝑥在定义域内，如果满足𝑓𝑎+𝑥=𝑓(𝑎−𝑥)，则函数图象关于直线𝑥=𝑎对称；如果满足𝑓𝑎+𝑥=𝑓(𝑏−𝑥)，则函数图象关于直线𝑥=𝑎+𝑏2对称.方法点拨

：分析函数的性质，一般首先考察函数的定义域，然后考察函数的奇偶性等，如果可能，再画出函数的图象，这样函数的其他性质，比如单调性、值域、最值等等，就很容易得到了。所以奇偶性是函数最基本的性质之一，如果函

数具备奇偶性，在考察其性质或图象时，就可以只考虑𝑦轴一侧的情况，从而事半而功倍。练习教材P66，练习1、2、3.作业教材P67，习题2—4：A组第1、2、3题