【文档说明】北师大版（2019）高中数学必修第一册：2.3《函数的单调性和最值》PPT课件（共38页）.pptx，共(36)页，1.737 MB，由baby熊上传

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北师大版高中数学课件函数的单调性和最值（第一课时）初中学习了一次函数𝑦=𝑘𝑥+𝑏的图象和性质当𝑘>0时，直线向右上，即函数值𝑦随𝑥的增大而当𝑘<0时，直线向右下，即函数值𝑦随𝑥的增大而增大减小思考讨论：(1)如图，是某

位同学从高一到高三上学期的考试成绩的统计图，从图中，你可以得出该同学成绩是怎样变化的呢？提示：高一时成绩在下降，高一下期期末降到最低名次32名，以后各次考试成绩逐步提高，到高三上期时已经进入前五名思考讨论：如图，是函数

𝑓𝑥(𝑥∈−6，9)的图象，说出在各个区间函数值𝑓𝑥随𝑥的值的变化情况.在区间−6，−5、−2，1、3，4.5、[7，8]上，函数值𝑓𝑥都是随𝑥的值的增大而增大；在区间−5，−2、1，3、4.5，7、[8，9]上，函数值𝑓𝑥都是随𝑥的值的增大而减小.一般地，在函数𝑦=

𝑓𝑥定义域内的一个区间𝐴上，如果对于任意的𝑥1，𝑥2∈𝐴，当𝑥1<𝑥2时，都有𝑓(𝑥1)<𝑓(𝑥2)，那么就称函数𝑦=𝑓𝑥在区间𝐴上是增函数或递增的；如果对于任意的𝑥1，𝑥2∈𝐴，当𝑥1<𝑥2时，都有𝑓(𝑥1)>𝑓(𝑥2)，那么就称函数�

�=𝑓𝑥在区间𝐴上是减函数或递减的。注意：①函数𝑦=𝑓𝑥在区间𝐴上是增函数（减函数），那么就称函数在区间𝐴上是单调函数，或称在区间𝐴上具有单调性，区间𝐴称为函数𝑦=𝑓𝑥的单调区间。如：一元二

次函数𝑓𝑥=𝑥2在区间[0，+∞)上是单调增函数（单调递增），区间[0，+∞)是函数𝑓𝑥=𝑥2的单调增区间注意：②增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的；③“函数在区间𝐴上单增”与“函数的单增区间是𝐴”两种叙述含义是不同的

.如：函数𝑓𝑥=𝑥2−2𝑎𝑥−1的单调递增区间为[2，+∞)，则对称轴𝑎=2；函数𝑓𝑥=𝑥2−2𝑎𝑥−1在区间[2，+∞)上单调递增，则对称轴𝑎≤2.注意：④函数𝑦=1𝑥的定义域为−∞，0∪(0，+∞)，由函数图象可知，在

两个区间上函数都是单调递减的，但不能说成“函数在定义域内递减”或“函数的单调递减区间是−∞，0∪(0，+∞)”，而只能说“函数在区间−∞，0和区间(0，+∞)上都是递减的”.试一试例1.设𝑓𝑥=1𝑥(𝑥<0)，画出函数𝑓𝑥+

3(𝑥<−3)的图象，并通过图象直观判断它的单调性.解：函数𝑓𝑥+3=1𝑥+3(𝑥<−3)，其图象是函数𝑓𝑥=1𝑥的图象向左平移3个单位得到，如图，该函数在区间(−∞，−3)上单调递减。试一试例2.根据函数图象直观判断𝑦=|𝑥−1|的单调性解：函数𝑦=|𝑥−

1|=1−𝑥𝑥≤1𝑥−1𝑥>1，画出该函数的图象，如图，函数在区间(−∞，1]上是减函数，在区间[1，+∞)上是增函数.试一试例3.判断函数𝑓𝑥=−3𝑥+2的单调性，并给出证明.解：画出函数𝑓𝑥=−3𝑥+2的图象，如图，可以看出函数在𝑅上是减函数.下面用定义证明

这一单调性.任取𝑥1，𝑥2∈𝑅，且𝑥1<𝑥2，则𝑥1−𝑥2<0𝑓𝑥1)−𝑓(𝑥2=−3𝑥1+2−−3𝑥2+2=−3𝑥1−𝑥2>0，即𝑓𝑥1)>𝑓(𝑥2所以函数𝑓𝑥=−3𝑥+2在𝑅上是减函数.思考讨论（综合练习）：(1)二次函数𝑓𝑥=𝑥2+2�

�𝑥+2在区间[1，2]上单调，则实数𝑎的取值范围；(2)设函数𝑓𝑥=𝑥2+1−𝑎𝑥，证明：当𝑎≥1时，函数𝑓𝑥在区间[0，+∞)上是减函数；(3)已知𝑎>0，函数𝑓𝑥=𝑥3−𝑎𝑥是区间[1，+∞)上的单调函数，求实数𝑎的取值范围；(4)设实数𝑡∈�

�，函数𝑓𝑥=𝑥2−2𝑥−1在区间[𝑡，𝑡+1]上的最小值是𝑔(𝑡)，求𝑔(𝑡)并画出𝑦=𝑔(𝑡)的图象.(1)二次函数𝑓𝑥=𝑥2+2𝑎𝑥+2在区间[1，2]上单调，则实数𝑎

的取值范围；提示：二次函数𝑓𝑥=𝑥2+2𝑎𝑥+2，图象抛物线开口向上，对称轴𝑥=−𝑎函数在区间[1，2]上单调，则−𝑎≤1或−𝑎≥2，所以𝑎的取值范围为𝑎≤−2或𝑎≥−1.(2)设函数𝑓𝑥=𝑥2+1−𝑎𝑥，证明：当𝑎≥1时，函数𝑓𝑥在区间

[0，+∞)上是减函数；提示：设𝑥1，𝑥2∈[0，+∞)，且𝑥1<𝑥2𝑓𝑥1−𝑓𝑥2=𝑥12+1−𝑎𝑥1−𝑥22+1−𝑎𝑥2=𝑥12+1−𝑥22+1−𝑎𝑥1−𝑥2=𝑥12−𝑥22𝑥12+1+𝑥22+1−𝑎𝑥1−𝑥

2=𝑥1−𝑥2(𝑥1+𝑥2𝑥12+1+𝑥22+1−𝑎).因为𝑥1<𝑥2，所以𝑥1−𝑥2<0，𝑥12+1+𝑥22+1>𝑥1+𝑥2，𝑥1+𝑥2𝑥12+1+𝑥22+1<1，𝑎≥1，所以𝑥1+𝑥2𝑥12+1+𝑥22+1−𝑎<0.𝑓𝑥1−𝑓�

�2>0.即𝑓𝑥1>𝑓𝑥2，函数𝑓𝑥在区间[0，+∞)上是减函数.(3)已知𝑎>0，函数𝑓𝑥=𝑥3−𝑎𝑥是区间[1，+∞)上的单调函数，求实数𝑎的取值范围；提示：任取𝑥1<𝑥2，且�

�1，𝑥2∈[1，+∞)𝑓𝑥1−𝑓𝑥2=𝑥13−𝑎𝑥1−𝑥23−𝑎𝑥2=𝑥13−𝑥23−𝑎𝑥1−𝑥2=𝑥1−𝑥2(𝑥12+𝑥22+𝑥1𝑥2−𝑎).𝑥1，𝑥2∈[1，+∞)，得𝑥12+𝑥22+𝑥1𝑥2>3根据题意，𝑥12+

𝑥22+𝑥1𝑥2−𝑎的符号恒正或恒负，故𝑎≤3所以实数𝑎的取值范围是(0，3].(4)设实数𝑡∈𝑅，函数𝑓𝑥=𝑥2−2𝑥−1在区间[𝑡，𝑡+1]上的最小值是𝑔(𝑡)，求𝑔(𝑡

)并画出𝑦=𝑔(𝑡)的图象.提示：画出函数𝑓𝑥=𝑥2−2𝑥−1的图象，如图，抛物线对称轴为𝑥=1当𝑡+1<1时（𝑡<0），函数在区间[𝑡，𝑡+1]上单调递减，𝑓𝑥𝑚𝑖𝑛=𝑔𝑡=𝑓𝑡+1=𝑡2−2；当𝑡≤1且𝑡+

1≥1时（0≤𝑡≤1），函数在区间[𝑡，𝑡+1]上的最小值为𝑓𝑥𝑚𝑖𝑛=𝑔𝑡=𝑓1=−2；当𝑡>1时，函数在区间[𝑡，𝑡+1]上单调递增，𝑓𝑥𝑚𝑖𝑛=𝑔𝑡=𝑓𝑡=𝑡2−2𝑡−1.综上，𝑔𝑡=𝑡2−2，𝑡<0−2

，0≤𝑡≤1𝑡2−2𝑡−1，𝑡>1，𝑔𝑡=𝑡2−2，𝑡<0−2，0≤𝑡≤1𝑡2−2𝑡−1，𝑡>1，画出函数图象如图：方法点拨：函数的单调性是函数的重要性质之一，它反映了函数的变化趋势，通过函数图象，可以直观、定性地进行初步判断，要精确地判断函数的单调性，还是要根据定义

证明，今后还要学习其他方法（导数等）判断函数的单调性。在函数的很多问题中（求值域、求极值等）都要用到函数的单调性。练习教材P60，练习1、2、3.作业教材P62，习题2—3：A组第1、2、3、4题北师大版高中数学课件函数的单调性和最值（第二课时）思考讨论：(

1)增函数和减函数的定义是什么？(2)如果有两个函数𝑦=𝑓𝑥和𝑦=𝑔𝑥，在同一个区间𝐼上都是单增（单减）函数，那么函数𝑦=𝑓𝑥+𝑔𝑥的具有怎样的单调性？能不能判断函数𝑦=𝑓𝑥−𝑔𝑥的单调性呢？在函数𝑦=𝑓𝑥

定义域内的一个区间𝐴上，如果对于任意的𝑥1，𝑥2∈𝐴，当𝑥1<𝑥2时，都有𝑓(𝑥1)<𝑓(𝑥2)，就称函数𝑦=𝑓𝑥在区间𝐴上是增函数；如果都有𝑓(𝑥1)>𝑓(𝑥2)，就称函数𝑦=𝑓𝑥在区间𝐴上是减函数。函数

𝑦=𝑓𝑥+𝑔𝑥也是单增（单减）函数，函数𝑦=𝑓𝑥−𝑔𝑥的单调性不确定。试一试例4.判断函数𝑓𝑥=𝑥的单调性，并给出证明.解：画出函数的图象，可以看出，函数在定义域内是增函数.下面给出

证明：设𝑥1，𝑥2∈[0，+∞)，且𝑥1<𝑥2，则𝑥1−𝑥2<0𝑓𝑥1)−𝑓(𝑥2=𝑥1−𝑥2=𝑥1−𝑥2𝑥1+𝑥2，∵𝑥1+𝑥2>0，∴𝑓𝑥1)−𝑓(𝑥2<0即𝑓𝑥1)<

𝑓(𝑥2，所以函数𝑓𝑥=𝑥在定义域[0，+∞)上是增函数.试一试例5.试用定义证明：函数𝑓𝑥=𝑥+1𝑥在区间(0，1]上是减函数，在区间[1，+∞)上是增函数.解：设𝑥1，𝑥2∈(0，1]，且𝑥1<𝑥2，则𝑥1−𝑥2<0𝑓𝑥1)−𝑓(𝑥2=𝑥1

+1𝑥1−𝑥2+1𝑥2=𝑥1−𝑥2−𝑥1−𝑥2𝑥1𝑥2=𝑥1−𝑥21−1𝑥1𝑥2=(𝑥1−𝑥2)(𝑥1𝑥2−1)𝑥1𝑥2，∵𝑥1，𝑥2∈(0，1]，∴0<𝑥1𝑥2<1，𝑥1𝑥2−1<0，又𝑥1−𝑥2<

0𝑓𝑥1)−𝑓(𝑥2>0，即函数𝑓𝑥=𝑥+1𝑥在区间(0，1]上是减函数.同理可证，函数𝑓𝑥=𝑥+1𝑥在区间[1，+∞)上是增函数.注意：①函数𝑦=𝑥+1𝑥在区间(0，1]上是减函数，在区间[1，+∞)上是增函数.𝑥∈(0，+∞)时，由

函数的单调性或由均值不等式𝑥+1𝑥≥2，可得当𝑥=1时，函数𝑦=𝑥+1𝑥取得最小值2，同理也可以得到𝑥∈(−∞，0)时函数的单调性。画出该函数的图象，如图，该函数又叫双曲函数.注意：形如𝑓𝑥=𝑎𝑥+𝑏𝑥(𝑎>0，𝑏>0)的函数，在区间(0，+∞)上也具有类似的性

质，根据均值不等式，可得当𝑥=𝑏𝑎时，函数取得最小值2𝑎𝑏，函数在区间(0，ba]上是减函数，在区间[𝑏𝑎，+∞)上是增函数；注意：②设𝑦是𝑢的函数𝑦=𝑓𝑢，𝑢是𝑥的函数𝑢=𝑔(𝑥)，其中函数𝑢=𝑔(𝑥)的值域是函数𝑦=𝑓𝑢的

定义域或子集，则函数𝑦=𝑓𝑔(𝑥)称为函数𝑦=𝑓𝑢与函数𝑢=𝑔(𝑥)的复合函数。如：函数𝑦=𝑥2+1，令𝑢=𝑥2+1，则𝑦=𝑢注意：复合函数单调性常采用分层分析的方法：如：函数𝑦=𝑥2+1，令𝑢=𝑥2+1，则𝑦=𝑢当𝑥∈

(−∞，0)时，𝑥↗，𝑢=𝑥2+1↘，𝑦=𝑢↘，所以函数𝑦=𝑥2+1在𝑥∈(−∞，0)时单减，当𝑥∈(0，+∞)时，𝑥↗，𝑢=𝑥2+1↗，𝑦=𝑢↗，所以函数𝑦=𝑥2+1在𝑥∈(−∞，0)时单增，（其中“↗”代表

增大，“↘”代表减小）.注意：③有些函数问题中（如求值域、求最值等），如果要用到函数的单调性，而又不需证明，可以通过分析的方法，得到函数的单调性.如：求函数𝑓𝑥=1−2𝑥𝑥−1在区间[2，3]上的最值.𝑓𝑥=1−2𝑥𝑥−1=21−�

�−1𝑥−1=−2−1𝑥−1，当𝑥∈[2，3]时，随着𝑥↗，−1𝑥−1↗，所以函数𝑓𝑥↗，即函数单增.所以𝑓𝑥𝑚𝑖𝑛=𝑓2=−3，𝑓𝑥𝑚𝑎𝑥=𝑓3=−52.此题的变形方法叫分离常数法解决分式型函数的常用方法思考讨论（综合练习）：(1)如

果函数𝑓𝑥=𝑥2+𝑏𝑥+𝑐，对任意实数𝑥都有𝑓2+𝑥=𝑓(2−𝑥)，试比较𝑓−3、𝑓2、𝑓3的大小；(2)函数𝑓𝑥=2𝑥+1𝑥≤0𝑎𝑥+𝑎−1𝑥>0在𝑅上单调递增，求实数𝑎的取值范围；(3)求函数𝑦=3−2𝑥−𝑥2的单调区间；(4)已知

定义在区间(0，+∞)上的函数𝑓𝑥，满足：i)对任意𝑥，𝑦∈(0，+∞)，都有𝑓𝑥𝑦=𝑓𝑥+𝑓(𝑦)；ii）当0<𝑥<1时，𝑓𝑥>0.①判断并证明𝑓𝑥在区间(0，+∞)上的单调性

；②解关于𝑎的不等式𝑓1−2𝑎−𝑓4−𝑎2>0.(1)如果函数𝑓𝑥=𝑥2+𝑏𝑥+𝑐，对任意实数𝑥都有𝑓2+𝑥=𝑓(2−𝑥)，试比较𝑓−3、𝑓2、𝑓3的大小；(2)函数𝑓𝑥=2𝑥+1𝑥≤0𝑎𝑥+𝑎−1𝑥>0在

𝑅上单调递增，求实数𝑎的取值范围；提示：(1)根据题意，对任意实数𝑥都有𝑓2+𝑥=𝑓(2−𝑥)，则二次函数图象的对称轴为𝑥=2，抛物线开口向上，所以离对称轴距离越远的自变量，对应的函数值越大，所以𝑓−3>𝑓3>𝑓2.(2)函数在𝑅上单调递增，则

在𝑥>0时单增，且在分界点𝑥=0处，右侧函数值不小于左侧函数值，即𝑎>0且𝑎−1≥1，得𝑎≥2，所以实数𝑎的取值范围为𝑎≥2.(3)求函数𝑦=3−2𝑥−𝑥2的单调区间；提示：函数有意义，则3−2

𝑥−𝑥2≥0，得−3≤𝑥≤1，所以函数定义域为[−3，1]设𝑢=3−2𝑥−𝑥2，函数对称轴为𝑥=−1，𝑦=𝑢当𝑥∈[−3，−1]时，𝑥↗，𝑢↗，𝑦=𝑢↗，函数单调递增区间为[−3，−1]；当𝑥∈[−1，1]时，𝑥↗，𝑢↘，𝑦=𝑢↘，函数单调递减区间为

−1，1.所以，函数单调递增区间为[−3，−1]；单调递减区间为−1，1.(4)已知定义在区间(0，+∞)上的函数𝑓𝑥，满足：i)对任意𝑥，𝑦∈(0，+∞)，都有𝑓𝑥𝑦=𝑓𝑥+𝑓(𝑦)；ii）当0<𝑥<1

时，𝑓𝑥>0.①判断并证明𝑓𝑥在区间(0，+∞)上的单调性；②解关于𝑎的不等式𝑓1−2𝑎−𝑓4−𝑎2>0.提示：①：设𝑥1，𝑥2∈(0，+∞)，且𝑥1<𝑥2𝑓𝑥1−𝑓𝑥2=𝑓𝑥1𝑥2∙𝑥2−𝑓𝑥2=𝑓𝑥1𝑥2+𝑓𝑥2−𝑓𝑥2=𝑓𝑥

1𝑥2.因𝑥1<𝑥2，故0<𝑥1𝑥2<1，得𝑓𝑥1𝑥2>0，𝑓𝑥1−𝑓𝑥2>0，函数在区间(0，+∞)上单减.②不等式𝑓1−2𝑎−𝑓4−𝑎2>0即𝑓1−2𝑎>𝑓4−𝑎2由函数的定义域和单调递减，得1−2𝑎>04−𝑎2>01−2𝑎<4−𝑎2，解得

−1<𝑎<12.方法点拨：函数的单调性是函数的一个重要性质，有关函数的很多问题中，均以函数的单调性为基础，比如求函数的值域、求函数的极值等等，大家在掌握定义法证明函数单调性同时，也要掌握分析函数单调性的

方法。练习教材P62，练习1、2、3.作业教材P62，习题2—3：A组第5题B组第1、2、3、4题