【文档说明】2021年人教版高中数学必修第二册6.2.3《向量的数乘运算》学案 (含详解).doc，共(8)页，164.000 KB，由MTyang资料小铺上传

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【新教材】6.2.3向量的数乘运算（人教A版）1．掌握实数与向量的积的定义以及实数与向量的积的三条运算律，会利用实数与向量的积的运算律进行有关的计算；2．理解两个向量平行的充要条件，能根据条件判断两个向量是否平行；3．通过对实数与向量的积的学习培养学生的观察、

分析、归纳、抽象的思维能力，了解事物运动变化的辩证思想.1.数学抽象：向量数乘概念；2.逻辑推理：向共线的充要条件及其应用；3.数学运算：向量的线性运算；4.数学建模：用已知量表示未知量中从实际问题抽象出数学模型，数形结

合，运用向量加法解决实际问题.重点：实数与向量的积的定义、运算律，向量平行的充要条件；难点：理解实数与向量的积的定义，向量平行的充要条件.一、预习导入阅读课本13-16页，填写。1、定义实数λ与向量a的积是一个_________，记作________

_.它的长度和方向规定如下：（1）||||||λaλa=.（2）0λ>时，λa的方向与a的方向_________；当0λ<时，λa的方向与a的方向_________；特别地，当0λ=或0a=时，0λa=.2、实数与向量的积的运算律设a、b为任意向量，λ

、μ为任意实数，则有：（1）()λμaλaμa+=+；（2）()()λμaλμa=；（3）()λabλaλb+=+.3、向量平行的充要条件：向量b与非零向量a平行的充要条件是___________________________.1．

判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)a的方向与a的方向一致．()(2)共线向量定理中，条件a≠0可以去掉．()(3)对于任意实数m和向量a，b，若ma＝mb，则a＝b.()2．若

|a|＝1，|b|＝2，且a与b方向相同，则下列关系式正确的是()A．b＝2aB．b＝－2aC．a＝2bD．a＝－2b3．在四边形ABCD中，若AB―→＝－12CD―→，则此四边形是()A．平行四边形B．菱形C．梯形D．矩形4．化简：2(3a＋4b

)－7a＝______.题型一向量的线性运算例1化简下列各式：(1)2(3a－2b)＋3(a＋5b)－5(4b－a)；(2)16[2(2a＋8b)－4(4a－2b)]．跟踪训练一1、设向量a＝3i＋2j，b＝2i－j，求13a－b－a－23b＋(2b－a)．2、已知a与b

，且5x＋2y＝a,3x－y＝b，求x，y.题型二向量线性运算的应用例2如图所示，四边形ABCD是一个等腰梯形，AB∥DC，M，N分别是DC，AB的中点，已知AB―→＝a，AD―→＝b，DC―→＝c，试用a，b，c表示

BC―→，MN―→.跟踪训练二1、如图所示，D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点，M，N分别是DE，BC的中点，已知BC―→＝a，BD―→＝b，试用a，b分别表示DE―→，CE―→，MN―→.题型三共

线定理的应用例3已知非零向量e1，e2不共线．(1)如果AB→＝e1＋e2，BC→＝2e1＋8e2，CD→＝3(e1－e2)，求证：A，B，D三点共线；(2)欲使ke1＋e2和e1＋ke2共线，试确定实数k的值．跟踪训练三1、已知e1，e2是两个不共线的向量，若AB

→＝2e1－8e2，CB→＝e1＋3e2，CD→＝2e1－e2，求证：A，B，D三点共线；2、已知A，B，P三点共线，O为直线外任意一点，若OP→＝xOA→＋yOB→，求x＋y的值．1.1312（2a＋8b）－（4a－2b）等于()A．2a－bB．2b－aC．b－aD．a－b

2．已知m，n是实数，a，b是向量，则下列命题中正确的为()二、①m(a－b)＝ma－mb；②(m－n)a＝ma－；③若ma＝mb，则a＝b；④若ma＝na，则m＝n.A．①④B．①②C．①③D．③④3.如图，△ABC中，AB→＝a，AC→＝b，DC→＝3

BD→，AE→＝2EC→，则DE→＝()A．－13a＋34bB.512a－34bC.34a＋13bD．－34a＋512b4．对于向量a，b有下列表示：①a＝2e，b＝－2e；②a＝e1－e2，b＝－2e1＋2e2；③a＝4e1－25e2，b＝e1－110e2

；④a＝e1＋e2，b＝2e1－2e2.其中，向量a，b一定共线的有()A．①②③B．②③④C．①③④D．①②③④5．已知e1，e2是两个不共线的向量，而a＝k2e1＋1－52ke2与b＝2e1＋3e2是两个共线向量，则实数k＝________．6．如图，在△ABC中

，D，F分别是BC，AC的中点，AE＝23AD，＝a，＝b.(1)用a，b分别表示向量(2)求证：B，E，F三点共线．答案小试牛刀1.(1)×(2)×(3)×2．A.3．C.4.－a＋8b.自主探究例1【答案】(1)14a－9b.(2)－2a＋4b.【解析】(1)原式＝6a

－4b＋3a＋15b－20b＋5a＝14a－9b.(2)原式＝16(4a＋16b－16a＋8b)＝16(－12a＋24b)＝－2a＋4b.跟踪训练一【答案】1、－53i－5j.2、x＝111a＋211b，y＝

311a－511b.．【解析】1、原式＝13a－b－a＋23b＋2b－a＝13－1－1a＋－1＋23＋2b＝－53a＋53b＝－53(3i＋2j)＋53(2i－j)＝－53i－5j.2、联立方程组5x＋2y

＝a，3x－y＝b，解得x＝111a＋211b，y＝311a－511b.例2【答案】BC―→－a＋b＋c.MN―→＝12a－b－12c.【解析】BC―→＝BA―→＋AD―→＋DC―→＝－a＋b＋c.∵MN―→＝MD―→＋DA―→＋AN―→，

又MD―→＝－12DC―→，DA―→＝－AD―→，AN―→＝12AB―→，∴MN―→＝12a－b－12c.跟踪训练二1、【答案】DE―→＝12a.CE―→＝－12a＋b.MN―→＝14a－b.【解析】由三角形中位线定理，知DE平行且等于12BC，故D

E―→＝12BC―→，即DE―→＝12a.CE―→＝CB―→＋BD―→＋DE―→＝－a＋b＋12a＝－12a＋b.MN―→＝MD―→＋DB―→＋BN―→＝12ED―→＋DB―→＋12BC―→＝－14a－b＋12a＝14a－b.例3【答案】（1）见解析，（2）k＝±1.【解析】(1)证

明：∵AB→＝e1＋e2，BD→＝BC→＋CD→＝2e1＋8e2＋3e1－3e2＝5(e1＋e2)＝5AB→.∴AB→，BD→共线，且有公共点B．∴A，B，D三点共线．(2)∵ke1＋e2和e1＋ke2共线，

∴存在实数λ，使ke1＋e2＝λ(e1＋ke2)，即(k－λ)e1＝(K－1)e2.∵e1与e2不共线，∴k－λ＝0，λk－1＝0，解得k＝±1.跟踪训练三【答案】1、见解析.2、x＋y＝1.【解析】1、证明：∵CB→＝e1＋3e2，CD→＝2e1－e2，∴BD→＝CD→－CB→＝e1

－4e2.又AB→＝2e1－8e2＝2(e1－4e2)，∴AB→＝2BD→，∴AB→∥BD→.∵AB与BD有公共点B，∴A，B，D三点共线．2、解由于A，B，P三点共线，所以向量AB→，AP→在同一直线上，由向量共线定理可知，必定存在实数λ使AP→＝λ

AB→，即OP→－OA→＝λ(OB→－OA→)，所以OP→＝(1－λ)OA→＋λOB→，故x＝1－λ，y＝λ，即x＋y＝1.当堂检测1-4.BBDA5.－2或136．【答案】见解析.【解析】