【文档说明】新教材高一数学第二学期期末试卷六（原卷版+教师版）.doc，共(18)页，863.500 KB，由MTyang资料小铺上传

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新教材高一数学第二学期期末试卷一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知(1i)2z−=，其中i为虚数单位，则复数z在复平面内对应的点在（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.在ABCV中，角A，B

，C所对的边分别为a，b，c，45A=，30C=，2c=，则=a（）A.2B.22C.263D.3623.某单位有员工147人，其中女员工有63人.为做某项调查，拟采用分层抽样法抽取容量为21的样本，则男员工应选取的人数是A.8B.9C.10D.124.设e→为单位向量，||2a→=，当

ae→→，的夹角为3时，a→在e→上的投影向量为（）A.－12e→B.e→C.12e→D.32e→5.某小组有1名男生和2名女生，从中任选2名学生参加围棋比赛，事件“至少有1名男生”与事件“至少有1名女生”（）A.是对立事件B.都是不可能事件C.是互斥事件但不是对立事件D.不是互斥事件6.设m，

n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列说法错误的是（）A.若mn⊥，m⊥，n⊥，则⊥B.若//mn，m⊥，//n，则⊥C.若mn⊥，//m，//n，则//D.若//mn，m⊥，n⊥，则//7.如图所示，在正方形ABCD中，E为AB

的中点，F为CE的中点，则AF=uuur（）A.3144ABAD+uuuruuurB.1344ABAD+uuuruuurC.12ABAD+uuuruuurD.3142ABAD+uuuruuur8.在三棱锥P-ABC中，平面PAB⊥平面ABC.3PAPBAB===，90BAC=，2AC

=，则三棱锥P-ABC的外接球的表面积为（）A.5πB.16π3C.8πD.20π二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.复数z满足()()()2

3i23i32iz−=++，则下列说法正确的是（）A.z的实部为3B.z的虚部为2C.32iz=−+D.13z=10.2020年前8个月各月社会消费品的零售总额增速如图所示，则下列说法正确的有（）A.受疫情影响，1~2

月份社会消费品的零售总额明显下降B.社会消费品的零售总额前期增长较快，后期增长放缓C.与6月份相比，7月份社会消费品的零售总额名义增速回升幅度有所扩大D.与4月份相比，5月份社会消费品的零售总额实际增速回升幅度有所扩大11.用

平行于棱锥底面的平面去截棱锥，得到上､下两部分空间图形且上､下两部分的高之比为1:2，则关于上､下两部分空间图形的说法正确的是（）.A.侧面积之比为1:2B.侧面积之比为1:8C.体积之比为1:27D.体积之比为1:2612.在VABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列条件能判断

VABC是钝角三角形的有（）A.coscosaAbB=B.2ABBCa=uuuruuurC.sinsinsinabCcbAB−−++D.coscosbCcBb+=三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.若m为实数，复数()224i0zmm=−+−，则|z|

＝___．14.某圆柱的侧面展开图是面积为8的正方形，则该圆柱一个底面的面积为___________.15.已知甲､乙两人每次射击命中目标的概率分别为34和45，甲和乙是否命中目标互不影响，且各次射击是否命中目标也互不影响.若按甲､乙､甲､乙…的次序轮流

射击，直到有一人击中目标就停止射击，则停止射击时，甲､乙共射击了四次的概率是___________.16.如图，在ABCV中，3BCBABC==uuuruuur，点P为边BC上的一动点，则PAPCuuuruuur的最小值为_

__________.四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.（1）用掷两枚质地均匀的硬币做胜负游戏，规定：两枚硬币同时出现正面或同时出现反面算甲胜，一个正面、一个反面算乙胜．这个游戏是否公平？请通过计算说明．（2）若

投掷质地均匀的三枚硬币，规定：三枚硬币同时出现正面或同时出现反面算甲胜，其他情况算乙胜．这个游戏是否公平？请通过计算说明．18.已知向量()2,2a=r，()2,bx=−r.（1）若abrr∥，求x的值.（2）若

()2aab⊥−rrr，求ar与br的夹角的余弦值.19.在①使三棱锥PABC−体积取得最大值，②使3ABAC=uuuruuur这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答．如图1，ABCV是边长为2的等边三角形，P是BC

的中点，将ABP△沿AP翻折形成图2中的三棱锥，________，动点M在棱AC上．（1）证明：平面PAC⊥平面PMB；（2）求直线MB与平面PAC所成角的正切值的取值范围．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．2

0.在△ABC中，已知角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2cos2cos2sincAaCbaB+=+.（1）求角A；（2）若△ABC的面积为12，求a的最小值.21.在如图所示的几何体中，四边形ABCD是正方形，平面ABCD⊥平面PAB，E，F分别是线段AD，PB的中点，

PAAB=.证明：（1）EF∥平面PDC；（2）PB⊥平面DEF.22.2022年2月4日，第24届冬季奥林匹克运动会开幕式在北京国家体育场（鸟巢）举行，某调研机构为了了解人们对“奥运会”相关知识的认知程

度，针对本市不同年龄和不同职业的人举办了一次“奥运会”知识竞赛，满分100分（95分及以上为认知程度高），结果认知程度高的有m人，按年龄分成5组，其中第一组)20,25，第二组)25,30，第三组

)30,35，第四组)35,40，第五组40,45，得到如图所示的频率分布直方图，已知第一组有10人.（1）根据频率分布直方图，估计这m人的平均年龄和第80百分位数；（2）现从以上各组中用分层随机抽样的方法

选取20人，担任本市的“奥运会”宣传使者.（i）若有甲（年龄38），乙（年龄40）两人已确定入选，现计划从第四组和第五组被抽到的使者中，再随机抽取2名作为组长，求甲､乙两人至少有一人被选上的概率；（ii）若第四组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为36和52，第五组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为

42和1，据此估计这m人中35~45岁所有人的年龄的方差.新教材高一数学第二学期期末试卷一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知(1i)2z−=，其中i为虚数单位，则复数z在复平面内对应的点在（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】A【解析】【分析】由复数除法求得z后可得其对应点坐标，从而得出正确选项．【详解】由题意22(1)2(1)11(1)(1)2iiziiii++====+−+−，对应点为(1,1)，在第一象限．故选：A2.在ABCV

中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，45A=，30C=，2c=，则=a（）A.2B.22C.263D.362【答案】B【解析】【分析】根据正弦定理，可直接计算，求得答案.【详解】在ABCV中，由正弦定理得：sinsinacAC=,则sin2sin4522

sinsin30cAaC===oo，故选：B3.某单位有员工147人，其中女员工有63人.为做某项调查，拟采用分层抽样法抽取容量为21的样本，则男员工应选取的人数是A.8B.9C.10D.12【答案】D【解析】【详解】男员工

84人，女员工63人，所以当样本容量为21人时，男员工为842112147=，故选D．4.设e→为单位向量，||2a→=，当ae→→，的夹角为3时，a→在e→上的投影向量为（）A.－12e→B.e→C.12e→D.32e→【答案】B【解析】【分析】直接利用向量的投影向量的公式求解.【详

解】解：由题意，a→在e→上的投影向量为||cos3aee→→→=．故选：B．5.某小组有1名男生和2名女生，从中任选2名学生参加围棋比赛，事件“至少有1名男生”与事件“至少有1名女生”（）A.是对立事件B.都是不可能事件C.是互斥事件

但不是对立事件D.不是互斥事件【答案】D【解析】【分析】根据对立事件、互斥事件的定义判断即可判断.【详解】事件“至少有1名男生”与事件“至少有1名女生”能同时发生，即两名学生正好一名男生，一名女生，故两事件既不是对立事件也不是互斥事件.故选：D

.6.设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列说法错误的是（）A.若mn⊥，m⊥，n⊥，则⊥B.若//mn，m⊥，//n，则⊥C.若mn⊥，//m，//n，则//

D.若//mn，m⊥，n⊥，则//【答案】C【解析】【分析】利用线面垂直的判定性质、面面垂直的判定推理判断A，B；举例说明判断C；利用线面垂直的判定性质判断D作答.【详解】对于A，因mn⊥，m⊥，当n时，而n⊥，则

⊥，当n时，在直线m上取点P，过P作直线//nn，则mn⊥，过直线,mn的平面l=，如图，由m⊥得ml⊥，于是得////lnn，而n⊥，则l⊥，而l，所以⊥，A正确；对于B，若//mn，m⊥，则n⊥，又/

/n，则存在过直线n的平面，使得c=，则有直线//cn，即有c⊥，所以⊥，B正确；对于C，如图，在长方体1111ABCDABCD−中，平面ABCD为平面，直线11AB为直线m，平面11ADDA为平面，直线11BC为直线n，满足mn⊥，//m，//n，而AD

=，C不正确；对于D，若//mn，m⊥，则n⊥，又n⊥，于是得//，D正确.故选：C7.如图所示，在正方形ABCD中，E为AB的中点，F为CE的中点，则AF=uuur（）A.3144ABAD+uuuruu

urB.1344ABAD+uuuruuurC.12ABAD+uuuruuurD.3142ABAD+uuuruuur【答案】D【解析】【分析】由平面向量的线性运算逐步转化即可得解.【详解】AF=uuur1122EFABAECE+=+uuuruuuruuuruuur11()22ABEBBC+=

+uuuruuuruuur111222ABABBC++=uuuruuuruuur=3142ABAD+uuuruuur.故选：D．8.在三棱锥P-ABC中，平面PAB⊥平面ABC.3PAPBAB===，90BAC=，2AC=，

则三棱锥P-ABC的外接球的表面积为（）A.5πB.16π3C.8πD.20π【答案】C【解析】【分析】由面面垂直可得线面垂直，进而可确定球心的位置在DO上，根据勾股定理即可求解.【详解】如图，取AB的中点E，BC的中点D，连接PE，△

PAB是等边三角形，则PEAB⊥.因为平面PAB⊥平面ABC，平面PAB平面ABCAB=，PE平面PAB，所以PE⊥平面ABC，又ED平面ABC，所以PEED⊥.过D作OD⊥平面ABC，则ODPE∥.因为90CAB=，所以三棱锥P-ABC的外接球的球

心在DO上，设球心为O，连接OB，OP，设外接球半径为R，由已知33322PE==，()2223BC=+7=.72BD=，274ODR=−，在直角梯形PEDO中，112EDAC==，222237124RR=+−−，2R=，所以三棱锥P-ABC外接球的表面积()

224π4π28πSR===.故选:C.二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.复数z满足()()

()23i23i32iz−=++，则下列说法正确的是（）A.z的实部为3B.z的虚部为2C.32iz=−+D.13z=【答案】BD【解析】【分析】根据已知求出32iz=−+，即可判断各个选项的真假.【详解】解：由

于()()()23i23i32iz−=++，可得()()()()()()23i32i13i23i13ii23i32i23i23i23i23iz+++====+=−+−−−+，所以z的实部为－3，虚部为2，所以32iz=−−，()223213z=−+=．故选：BD．10

.2020年前8个月各月社会消费品的零售总额增速如图所示，则下列说法正确的有（）A.受疫情影响，1~2月份社会消费品的零售总额明显下降B.社会消费品的零售总额前期增长较快，后期增长放缓C.与6月份相比，7月份社会消

费品的零售总额名义增速回升幅度有所扩大D.与4月份相比，5月份社会消费品的零售总额实际增速回升幅度有所扩大【答案】AB【解析】【分析】根据图象和图中的数据逐个分析判断即可【详解】对于选项A：由图可知，1~2月份社会消费品的零售总额名义增速和实际增速都小于0，所以1~2月份社会消费品的零售总额明显

下降，故选项A正确；对于选项B：由图可知，社会消费品的零售总额前期增长较快，后期增长较缓，所以选项B正确；对于选项C：由图可知，6月份社会消费品的零售总额名义增速回升幅度为()()1.82.81−−=，7月份社会消费品的零售总额名义增速回升幅度为()()1.11.80.7−−−=，所以选项C错误

；对于选项D：由图可知，4月份社会消费品的零售总额实际增速间升幅度为()()9.118.19−−−=，5月份社会消费品的零售总额实际增速回升幅度为()()3.79.15.4−−−=，所以选项D错误.故选：AB.11.用平行于棱锥底面的平面去截棱锥，得到上､下两部分空间图形且上､下两

部分的高之比为1:2，则关于上､下两部分空间图形的说法正确的是（）.A.侧面积之比为1:2B.侧面积之比为1:8C.体积之比为1:27D.体积之比为1:26【答案】BD【解析】【分析】利用平行于棱锥底面的平面去截棱锥，得到上､下两部分的高、底面边长对应比值相等，上下

底面面积之比等于对应高的平方比，进行判断求解.【详解】依题意知，上部分为小棱锥，下部分为棱台，所以小棱锥与原棱锥的底面边长之比为1:3，高之比为1:3，所以小棱锥与原棱锥的侧面积之比为1:9，体积之比为1:27，即小

棱锥与棱台的侧面积之比为1:8，体积之比为1:26.故选：BD.12.在VABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列条件能判断VABC是钝角三角形的有（）A.coscosaAbB=B.2ABBCa=uuuruuurC.s

insinsinabCcbAB−−++D.coscosbCcBb+=【答案】BC【解析】【分析】对于A，由coscosaAbB=，利用正弦定理和二倍角正弦公式判断；对于B，由cos2ABBCacBa=−=uuuruuur判断；对于C，利用正弦定理和余弦定理判断；对于D，由

coscosbCcBb+=，利用正弦定理和两角和的正弦公式判断.【详解】对于A，由coscosaAbB=及正弦定理，可得sincossincosAABB=，即sin2sin2AB=，所以22AB=或22AB+=，所以AB=或2AB+=，所以VABC是等腰三角形或直角三角

形，故A不能判断；对于B，由cos2ABBCacBa=−=uuuruuur，得cos0B，则B为钝角，故B能判断；对于C，由正弦定理abccbab−=++，得222bcabc+−=−，则1cos2A=−，2

3A=，故C能判断；对于D，由coscosbCcBb+=及正弦定理化边为角．可知sincossincossinBCCBB+=，即sinsinAB=，因为A，B为VABC的内角，所以A＝B，所以VABC是等腰三角形，故D不能判断．故选：BC．三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.若m为实数，复数()224i0zmm=−+−，则|z|＝___．【答案】0【解析】【分析】根据题意可得()224imm−+−为实数，从而可求得m，即可得解.【详解】解：因为复数不能比较大小，所以()224imm−+−为实数，可得24020mm−=−，解得2m=，所以0z=，则00

z==．故答案为：0.14.某圆柱的侧面展开图是面积为8的正方形，则该圆柱一个底面的面积为___________.【答案】2【解析】【分析】根据圆柱的侧面展开图可知底面圆的周长等于正方形的边长，即可求出底面圆的半径，进而可求面积.【详解】因为圆柱的

侧面展开图是面积为8的正方形，所以该圆柱的底面圆的周长为其侧面展开图正方形的边长22，该圆柱底面圆半径为2π，故该圆柱一个底面的面积2222ππ×=ππSr==.故答案为：2π15.已知甲､乙两人每次射击

命中目标的概率分别为34和45，甲和乙是否命中目标互不影响，且各次射击是否命中目标也互不影响.若按甲､乙､甲､乙…的次序轮流射击，直到有一人击中目标就停止射击，则停止射击时，甲､乙共射击了四次的概率是___________.【答案】1100##0.01【解析】【分析】设事件A表示“甲射击一次命中目

标”，事件B表示“乙射击一次命中目标”，则A，B相互独立，分析试验过程利用相互独立事件事件的概率公式直接求概率.【详解】设事件A表示“甲射击一次命中目标”，事件B表示“乙射击一次命中目标”，则A，B相互独立，停止射击时甲､乙共射击了四次，说明甲､乙第一次

射击都未命中，甲第二次射击未命中，乙第二次射击命中，此时的概率()313111114545100BABPA=−−−=.故停止射击时，甲､乙共射击了四次的概率是1100.故答案为：110016.如图，在ABCV中，3BCBABC=

=uuuruuur，点P为边BC上的一动点，则PAPCuuuruuur的最小值为___________.【答案】1−【解析】【分析】设BPBC=uuuruuur，0,1，用BCuuur、BAuuur表示PAuuur、PCuuur，再计算PAPCuu

uruuur的最小值．【详解】由题意，设BPBC=uuuruuur，0,1，所以PAPBBABPBABCBA=+=−+=−+uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuur，()1PCBC=−uuuruuur.又3BC=，3BABC=uuuruuur，所以(

)()()()2111PAPCBCBABCBCBABC=−+−=−−+−uuuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuur()()229319123=−+−=−+22913=−−，当23=时，PAP

Cuuuruuur取得最小值1−.故答案为：1−.四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.（1）用掷两枚质地均匀的硬币做胜负游戏，规定：两枚硬币同时出现正面或

同时出现反面算甲胜，一个正面、一个反面算乙胜．这个游戏是否公平？请通过计算说明．（2）若投掷质地均匀的三枚硬币，规定：三枚硬币同时出现正面或同时出现反面算甲胜，其他情况算乙胜．这个游戏是否公平？请通过计算说明．【答案】（1）这个游戏公

平的；答案见解析；（2）这个游戏不公平；答案见解析．【解析】【分析】利用列举法结合古典概型的概率公式求解即可，若概率相同，则游戏公平，否则不公平【详解】（1）抛掷两枚质地均匀的硬币，所有情况有：{（正正），（正反），（反正），（反反）}．记事件A，B分别为“甲胜”，“乙胜

”，则1()()2PAPB==，这个游戏公平的．（2）拋掷三枚质地均匀的硬币，所以有情况有：{（正正正），（正正反），（正反正），（正反反），（反正正），（反正反），（反反正），（反反反）}．记事件A，B分别为“甲胜”，“乙胜”，则21()84PA==，3()4PB=．这个游

戏不公平．18.已知向量()2,2a=r，()2,bx=−r.（1）若abrr∥，求x的值.（2）若()2aab⊥−rrr，求ar与br的夹角的余弦值.【答案】（1）2−（2）1010【解析】【分析】对于第小问1，根据向量平行的坐标运算公式

，求解x的值.对于第小问2，由题意，先计算x的值，得到br的坐标，再由向量的夹角公式，求其余弦值.【小问1详解】平面向量()2,2a=r，()2,bx=−r，若abrr∥，则()2220x−−=，解2x=−.【

小问2详解】若()2aab⊥−rrr，则()2220aabaab−=−=rrrrrr，即()()22222240x+−−=，解4x=,∴()2,4b=−，∴ar与br的夹角的余弦值为：()222410cos,1044416ababab−+==

=++rrrrrr.19.在①使三棱锥PABC−体积取得最大值，②使3ABAC=uuuruuur这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答．如图1，ABCV是边长为2的等边三角形，P是BC的中点，将ABP△沿AP翻折形成图2中的三棱锥，________，动点M在

棱AC上．（1）证明：平面PAC⊥平面PMB；（2）求直线MB与平面PAC所成角的正切值的取值范围．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【答案】选择见解析（1）证明见解析；（2）323,33.【解

析】【分析】（1）若选择①，利用PABCBAPCVV−−=分析可证PB⊥平面PAC．从而得证；若选择②，由向量数量积结合余弦定理以及勾股定理可以证明PBPC⊥，进而可以证明PB⊥平面PAC，从而得证；（2）先确定直线MB与平面PAC所成的角，然后结合图形

分析求解即可【详解】（1）证明：若选择①PABCBAPCVV−−=，由于APC△的面积为定值，所以当B到平面APC距离最大时，三棱锥BAPC−体积最大，即当BP⊥平面APC时，体积有最大值．因为BP平面PMB，所以平面PMB⊥平面PAC．若选择②因为||||cos22cos3AB

ACABACCABCAB===uuuruuuruuuruuur，所以3cos4CAB=．在ABCV中，2222cos2BCABACABACCAB=+−=，所以2BC=．因为222PBPCBC+=，所以PBPC⊥．因为P

BPA⊥，PAPCP=I且,PAPC平面PAC，所以PB⊥平面PAC．因为BP平面PMB，所以平面PMB⊥平面PAC．（2）解：因为BP⊥平面PAC，所以BMP就是直线MB与平面PAC所成的角．记BMP

=，则tanBPPM=，又1BPCP==，3AP=．当3PMPA==时，PM最大，tan最小，此时13tan33BPPM===；当PMAC⊥时，PM最小，tan最大，此时13322PM==，则123tan332BPPM===．所

以直线MB与平面PAC所成角的正切值的取值范围是323,33．20.在△ABC中，已知角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2cos2cos2sincAaCbaB+=+.（1）求角A；（2）若△ABC的面积为12，求a的最小值.【答案】（1）6或56

（2）31−【解析】【分析】（1）运用正弦定理和两角和的正弦公式，化简整理，即可得到角A；（2）运用余弦定理和面积公式，结合基本不等式，可得a的最小值．【小问1详解】由正弦定理得()2sincoscossinsin2sinsinCACABAB+=+，∴()2sinsin2sinsinCABA

B+=+.∵ABC++=，∴()sinsinCAB+=.∴sin2sinsinBAB=.在△ABC中，sin0B，∴1sin2A=，又0A，∴6A=或56.【小问2详解】∵△ABC的面积为12

.∴1111sin2222SbcAbc===，∴2bc=.由余弦定理得222222cos4cos24cos44cosabcbcAbcAbcAA=+−=+−−=−≥（当且仅当bc=时取等号）.①若6A=，则()2244cos42331aA−=−=−≥（当且仅当2bc==时取

等号）；②若56A=，则()2244cos42331aA−=+=+≥（当且仅当2bc==时取等号）.综上，a的最小值为31−21.在如图所示的几何体中，四边形ABCD是正方形，平面ABCD⊥平面PAB，E，F分别是线段AD，PB的中点，PAAB=.证明：（

1）EF∥平面PDC；（2）PB⊥平面DEF.【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据平行四边形可证明EFDM∥，利用线面平行判定定理求解即可；（2）根据面面垂直的性质可得AD⊥平面PAB，可得ADPB⊥，再由⊥AFP

B即可得证.【小问1详解】取PC的中点M，连接DM，MF.∵M，F分别是PC，PB的中点，∴MFCB∥，12MFCB=.∵E为DA的中点，四边形ABCD为正方形，∴DECB∥，12DECB=，∴MFDE∥，MFDE=，∴四边形DE

FM为平行四边形.∴EFDM∥，∵EF平面PDC，DM平面PDC.∴EF∥平面PDC.【小问2详解】∵四边形ABCD为正方形，∴ADAB⊥.又平面ABCD⊥平面PAB，平面ABCDI平面PABAB=，AD平面ABCD，∴AD⊥平面PAB.∵PB平面PAB，∴ADPB⊥.连接AF

，∵PAAB=，F为PB中点，∴⊥AFPB.又ADAFA=I，AD，AF平面DEF，∴PB⊥平面DEF.22.2022年2月4日，第24届冬季奥林匹克运动会开幕式在北京国家体育场（鸟巢）举行，某调研机构为了了解人们对“奥运会”

相关知识的认知程度，针对本市不同年龄和不同职业的人举办了一次“奥运会”知识竞赛，满分100分（95分及以上为认知程度高），结果认知程度高的有m人，按年龄分成5组，其中第一组)20,25，第二组)25,30，第三组)30,35，第四组)35

,40，第五组40,45，得到如图所示的频率分布直方图，已知第一组有10人.（1）根据频率分布直方图，估计这m人的平均年龄和第80百分位数；（2）现从以上各组中用分层随机抽样的方法选取20人，担任本市的

“奥运会”宣传使者.（i）若有甲（年龄38），乙（年龄40）两人已确定入选，现计划从第四组和第五组被抽到的使者中，再随机抽取2名作为组长，求甲､乙两人至少有一人被选上的概率；（ii）若第四组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为36和52，

第五组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为42和1，据此估计这m人中35~45岁所有人的年龄的方差.【答案】（1）31.75（岁），37.5（2）（i）35；（ii）10【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图中平均数的公式以及百分位数的计算即

可求解.（2）用列举法列出所有的基本事件，根据古典概型的公式即可求解所求事件的概率，根据方差的公式即可求解.【小问1详解】设这m人的平均年龄为x，则22.50.127.50.3532.50.2537.50.242.50.131.75x=+

+++=（岁）.设第80百分位数为a，方法一：由()50.0240)0.040.2a+−=，解得37.5a=.方法二：由()0.10.350.25350.040.8a+++−=，解得37.5a=.【小问2详解】（i）由题

意得，第四组应抽取4人，记为A,B,C，甲，第五组抽取2人，记为D，乙，对应的样本空间为Ω={（A，B），（A，C），（A，甲），（A，乙），（A，D），（B，C），（B，甲），（B，乙），（B，D），（C，

甲），（C，乙），（C，D），（甲，乙）（甲，D），（乙，D）}，共15个样本点.设事件M=“甲､乙两人至少一人被选上”，则M={（A，甲），（A，乙），（B，甲），（B，乙），（C，甲），（C，乙），（甲，乙），（甲，D），（乙，D）}，共有9个样

本点.所以，()()()35nMPMn==.（ii）设第四组､第五组的宣传使者的年龄的平均数分别为4x，5x，方差分别为24s，25s，则436x=，542x=，2452s=，251s=.设第四组和第五组所有宣传使者的年龄平均数为z

，方差为2s.则45424362423866xxz++===，()()()()22222224545115424363821423810662ssxzsxz=+−++−=+−++−=

，因此第四组和第五组所有宣传使者的年龄方差为10.据此可估计这m人中年龄在35~45岁的所有人的年龄方差约为10.