【文档说明】新教材高一数学第二学期期末试卷三（原卷版+教师版）.doc，共(22)页，1.157 MB，由MTyang资料小铺上传

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新教材高一数学第二学期期末试卷一､单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求.1.复数213i+的虚部为（）A.35B.15C.15−D.35-2.如图是一个长方体的展开图，如果将它还原为长方体，那么线段A

B与线段CD所在的直线（）A.平行B.相交C.是异面直线D.可能相交，也可能是异面直线3.某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识.为了解讲座效果，随机抽取10位社区居民，让他们在讲座前和讲座后各回答一份

垃圾分类知识问卷，这10位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如图，则（）A.讲座前问卷答题的正确率的中位数小于70%B.讲座后问卷答题的正确率的中位数大于85%C.讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差D.讲座

后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差4.已知m，n，l是三条不同的直线，，，是三个不同的平面，则下列命题正确的是（）A.若mn⊥，nl⊥，则ml⊥B.若⊥，⊥，则⊥C.若m∥，⊥，则m∥D.若m⊥，nm∥，n⊥，

则∥5.在ABCV中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，6a=，2b=，π4A=，则cosB=（）A.63B.63−或63C.33D.33−或336.若随机事件,AB满足()16PAB=，()23P

A=，()14PB=，则事件A与B的关系是（）A.互斥B.相互独立C.互为对立D.互斥且独立7.在长方体1111ABCDABCD−中，已知1BD与平面ABCD和平面11AABB所成的角均为30°，则（）A.2ABAD=B.AB与平面11ABCD所成的角为30°C.1ACCB=D.1BD与平面1

1BBCC所成的角为458.如图，在△ABC中，23AFAB=uuuruuur，12AEAC=uuuruuur，BE交CF于点P，APxAByAC=+uuuruuuruuur，则xy=（）A.2B.32C.

23D.12二､多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9.已知复数(1i)iz=−+（i为虚

数单位），对于复数z的以下描述，正确的有（）A.||2z=B.22iz=C.z的共轭复数为1i+D.z在复平面内对应的点在第三象限10.已知点O，N在△ABC所在平面内，且||||||OAOBOC==uuuruuuruuur，0NANBNC++=uuuruuuruuurr

，则点O，N分别是△ABC的（）A.外心B.内心C.重心D.垂心11.一个袋子中装有除颜色外完全相同的5个球，其中有3个红球，2个白球，每次从中随机摸出1个球，则下列结论中正确的是（）A.若不放回的摸球3次，则恰有2次摸到红球的概率为35B.若不放回的摸球2次，则第一次摸到

红球的概率为310C.若不放回的摸球2次，则在第一次摸到红球的条件下第二次摸到红球的概率为12D.若有放回的摸球3次，仅有前2次摸到红球的概率为1812512.在正方体ABCD—1111DCBA中，12AA=，点P在线段1BC上运动，点Q在线段

1AA上运动，则下列说法中正确的有()A.当P为1BC中点时，三棱锥P-1ABB的外接球半径为2B.线段PQ长度的最小值为2C.三棱锥1D-APC的体积为定值D.平面BPQ截该正方体所得截而可能为三角形、四边形、五边形三､填空题：本题共4小题，每小

题5分，共20分.13.已知向量()1,3a=−r，则向量ar的单位向量的坐标是___________.14.为了解某地居民的月收入情况，一个社会调查机构调查了20000人，并根据所得数据画出样本的频率分布直方图如图所示（最后一组

包含两端值，其他组包含最小值，不包含最大值）.现按月收入分层，用分层随机抽样的方法在这20000人中抽出200人进一步调查，则月收入在[3000，4000）（单位：元）内的应抽取________人.15.正

四面体相邻两侧面所成二面角的正弦值是________16.某市为了缓解交通压力，实行机动车限行政策，每辆机动车每周一到周五都要限行一天，周六和周日不限行.某公司有A，B，C，D，E五辆车，每天至少有四辆车可以上路行驶.已知E车周四限行，B车昨天限行，从今天算起，A，C两车连续四天都能上路行驶，

E车明天可以上路，由此可推测出今天是星期___________.四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.已知()1,2a=r，()3,1b=−r（1）设ar，br的夹角为，求cos的值；（

2）若向量akb+rr与akb−rr互相垂直，求k的值18.在ABCV中，coscos2cosaBbAcC+=．（1）求C；（2）若6b=，ABCV的面积为6，求c的值．19.圆柱OP如图所示，AC为下底面圆的直径，DE为上底面圆的直径，BD⊥底面ABC，2AB=，ADA

E=，ACBD=.（1）证明：BP∥面AEC.（2）求圆柱OP的体积.20.《中国制造2025》是中国实施制造强国战略第一个十年的行动纲领，制造业是国民经济的主体，是立国之本、兴国之器、强国之基．发展制造业的基本方针为质量为先，坚持把质量作为建设制造强国的生命线某电子产品制造企业为

了提升生产效率，对现有的一条电子产品生产线进行技术升级改造，为了分析改造的效果，该企业质检人员从该条生产线所生产的电子产品中随机抽取了1000件，检测产品的某项质量指标值，根据检测数据得到下表（单位：件）质量指标值)25,35)35,45)45,55)55,65)65,75

)75,85)85,95产品6010016030020010080（1）估计产品的某项质量指标值的70百分位数.（2）估计这组样本的质量指标值的平均数x和方差2s（同一组中的数据用该组区间中点值作代表）；（3）设x表示不大于x的最大

整数，x表示不小于x的最小整数，s精确到个位，55nxnsa−=，55nxnsb+=，nN，根据检验标准，技术升级改造后，若质量指标值有65%落在11,ab内，则可以判断

技术改造后的产品质量初级稳定；若有95%落在22,ab内，则可以判断技术改造后的产品质量稳定，可认为生产线技术改造成功．请问：根据样本数据估计，是否可以判定生产线的技术改造是成功的？（参考数据：17113，24116）21.下图

，直线DE与ABCV的边AB，AC分别相交于点D，E.设ABc=，BCa=，=CAb，ADE=，请用向量方法证明：()()coscoscosaBbAc−++=.22.重庆是我国著名的“火炉”城市之一，如图，重庆某避暑山

庄O为吸引游客，准备在门前两条小路OA和OB之间修建一处弓形花园，使之有着类似“冰淇淋”般的凉爽感，已知π6AOB=，弓形花园的弦长23AB=，记弓形花园的顶点为M，π6MABMBA==，设OBA=.（1）将OA、OB用含有的关系式表示

出来；（2）该山庄准备在M点处修建喷泉，为获取更好的观景视野，如何设计OA、OB的长度，才使得喷泉M与山庄O的距离的值最大.新教材高一数学第二学期期末试卷一､单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求.1.复数213i+的

虚部为（）A.35B.15C.15−D.35-【答案】D【解析】【分析】利用复数的除法运算法则即可求解.【详解】由已知得()()()213i226i13i13i13i13i1055−−===−++−，则复数13i55−的虚部为3

5-，故选：D.2.如图是一个长方体的展开图，如果将它还原为长方体，那么线段AB与线段CD所在的直线（）A.平行B.相交C.是异面直线D.可能相交，也可能是异面直线【答案】C【解析】【分析】将展开图还原成长方体，即可判断【详解】如图，将展开图还原成长方体，易得线段

AB与线段CD是异面直线，故选：C3.某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识.为了解讲座效果，随机抽取10位社区居民，让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷，这10位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如图，则（）A.讲座前问卷答题的正确率的中位数小于70%

B.讲座后问卷答题的正确率的中位数大于85%C.讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差D.讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差【答案】B【解析】【分析】对于AB，根据中位数的定义求解判

断，对于C，根据数据的集中程度判断，对于D，根据极差的定义判断【详解】对于A，10名社区居民在讲座前问卷答题的正确率分别为65%，60%，70%，60%，65%，75%，90%，85%，80%，95%，从小到大排列为60%，60%，65%，65%，70%，75%，80%，8

5%，90%，95%，所以其中位数为70%75%72.5%70%2+=，所以A错误，对于B，10名社区居民在讲座后问卷答题的正确率分别为90%，85%，80%，90%，85%，85%，95%，100%

，85%，100%，则从小到大排列为80%，85%，85%，85%，85%，90%，90%，95%，100%，100%，所以其中位数为85%90%87.5%85%2+=，所以B正确，对于C，因为讲座前问卷答题的正确率比讲座后问卷答题的正确率的数据分散，所以讲座前问卷答题的正确

率的标准差大于讲座后正确率的标准差，所以C错误，对于D，讲座前问卷答题的正确率的极差为95%60%35%−=，讲座后问卷答题的正确率的极差100%80%20%−=，所以讲座后问卷答题的正确率的极差小于讲座前正确率的极差，所以D错误，故选：B4.已知m，n，l是三条不同的直线，，，是三个不同

的平面，则下列命题正确的是（）A.若mn⊥，nl⊥，则ml⊥B.若⊥，⊥，则⊥C.若m∥，⊥，则m∥D.若m⊥，nm∥，n⊥，则∥【答案】D【解析】【分析】根据每项所提供的条件，思考可能的图像，或者推理，逐项分析.【详解】对于A，即,nmnl⊥⊥，若m和l

在一个平面内，并且相交，则n垂直于m，l所确定的平面，即m与l的夹角可以不等于90，故A错误；对于B，若α⊥β，β⊥γ，如图：则α与γ可平行，可相交，故B错误；对于C，若m∥，β⊥γ，则m与γ平行或相交，或m⊂γ，故C错误；对D，若m⊥a，nm∥，则n⊥α，又n⊥β，则

∥，故D正确；故选：D.5.在ABCV中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，6a=，2b=，π4A=，则cosB=（）A.63B.63−或63C.33D.33−或33【答案】A【解析】【分析】利用正弦定理求出sinB，再求cosB.【详解】由正弦定

理得62sinsin4B=，得3sin3B=，则6cos3B=；因为ab，则AB，故coscosAB，则6cos3=B，所以A正确.故选：A.6.若随机事件,AB满足()16PAB=，()23PA=，()14PB=，则事件A与B的关系是（）A.互斥B.相互独立C

.互为对立D.互斥且独立【答案】B【解析】【分析】利用独立事件，互斥事件和对立事件的定义判断即可【详解】解：因为()23PA=，()14PB=，又因为()106PAB=，所以有()()()PABPAPB=，所以事件A与B相互独立，不互斥也不对立故选：B.7.在长方体1111ABCDAB

CD−中，已知1BD与平面ABCD和平面11AABB所成的角均为30°，则（）A.2ABAD=B.AB与平面11ABCD所成的角为30°C.1ACCB=D.1BD与平面11BBCC所成的角为45【答案】D【解

析】【分析】根据线面角的定义以及长方体的结构特征即可求出．【详解】如图所示：不妨设1,,ABaADbAAc===，依题以及长方体的结构特征可知，1BD与平面ABCD所成角为1BDB，1BD与平面11AABB所成角为1

DBA，所以11sin30cbBDBD==o，即bc=，22212BDcabc==++，解得2ac=．对于A，ABa=，ADb=，2ABAD=，A错误；对于B，过B作1BEAB⊥于E，易知BE⊥平面11ABCD，所以AB与平面11ABCD所成角为BAE，因为2tan2cBAEa==，

所以30BAEo，B错误；对于C，223ACabc=+=，2212CBbcc=+=，1ACCB，C错误；对于D，1BD与平面11BBCC所成角为1DBC，112sin22CDaDBCBDc===，而1090DB

Co，所以145DBC=o．D正确．故选：D．8.如图，在△ABC中，23AFAB=uuuruuur，12AEAC=uuuruuur，BE交CF于点P，APxAByAC=+uuuruuuruuur，则xy=（）A.2B.32C.23D.12【答案

】A【解析】【分析】由三点共线的性质得出xy.【详解】因为,,BPE三点共线，所以1(1)(1)2APABAEABAC=+−=+−uuuruuuruuuruuuruuur因为,,FPC三点共线，所以2(1)(1)3APtAFt

ACtABtAC=+−=+−uuuruuuruuuruuuruuur所以2311122tt=−=−，解得13,24t==，23131,134244xy===−=1422xy==故选：A二､多项选

择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9.已知复数(1i)iz=−+（i为虚数单位），对于复数z的以下描述，正确的有（）A.||2z=B.22iz=C.

z的共轭复数为1i+D.z在复平面内对应的点在第三象限【答案】BD【解析】【分析】先由(1i)iz=−+求出复数z，然后逐个分析判断即可【详解】2(1i)iii1iz=−+=−+=−−，对于A，22(1)(1)2z=−+−=，所以A错误，对于B，

222(1i)12ii2iz=−−=++=，所以B正确，对于C，因为1iz=−−，所以1iz=−+，所以C错误，对于D，因为1iz=−−，所以z在复平面内对应的点在第三象限，所以D正确，故选：BD10.已知点O，N在△ABC所在平面内，且||||||OAOBOC==uuuruuuruu

ur，0NANBNC++=uuuruuuruuurr，则点O，N分别是△ABC的（）A.外心B.内心C.重心D.垂心【答案】AC【解析】【分析】分析出点O到三角形的三个顶点的距离相等，所以O为ABCV的外心；先证明点N在AB边的中线上，同理可得点N在其他边的中线上，所以点N为ABCV的重心.【详解

】因为||||||OAOBOC==uuuruuuruuur，所以点O到三角形的三个顶点的距离相等，所以O为ABCV的外心；由0NANBNC++=uuuruuuruuur，得NANBNCCN+=−=uuuruuuruuuruuur，由中线

的性质可知点N在AB边的中线上，同理可得点N在其他边的中线上，所以点N为ABCV的重心.故选：AC.11.一个袋子中装有除颜色外完全相同的5个球，其中有3个红球，2个白球，每次从中随机摸出1个球，则下列结论中正确的是（）A.若不放回的摸球3次，则恰有2次摸到红球的概率为35B

.若不放回的摸球2次，则第一次摸到红球的概率为310C.若不放回的摸球2次，则在第一次摸到红球的条件下第二次摸到红球的概率为12D.若有放回的摸球3次，仅有前2次摸到红球的概率为18125【答案】ACD【解析】【分析】根据给定条件，用古典概型的概率公式判

断ABD，用条件概率公式判断C即可【详解】对于A，若不放回的摸球3次，则恰好2次摸到红球的概率为213235CC3C5=，所以A正确，对于B，因为装有除颜色外完全相同的5个球，其中有3个红球，所以不放回的摸球2次，

则第一次摸到红球的概率35，所以B错误，对于C，设事件A为第一次摸到红球，事件B为第二次摸到红球，则3()5PA=，323P(AB)5410==，所以3()110()3()25PABPBAPA===，所以若不放回的摸球2次，则在第一次摸到红球的条件下第二次摸到红球的

概率为12，所以C正确，对于D，若有放回的摸球3次，仅有前2次摸到红球的概率为33218555125=，所以D正确，故选：ACD12.在正方体ABCD—1111DCBA中，12AA=，点P在线段1BC上运动，点Q在线段1AA上运动，则下列说法中正确的有()A.当P为1BC中点时，三棱锥P-1

ABB的外接球半径为2B.线段PQ长度的最小值为2C.三棱锥1D-APC的体积为定值D.平面BPQ截该正方体所得截而可能为三角形、四边形、五边形【答案】ABC【解析】【分析】A：易知三棱锥P-1ABB的外接球

球心为1AB中点，据此即可求解判断；B：根据几何图形即可判断线段PQ长度的最小值为AB；C：易知11DAPCPACDVV−−=为定值；D：作出平面BPQ与正方体各个面的交线即可判断其形状．【详解】对于A，当P为1BC中点时，∵11BCCB是正方形，∴11BP

BC⊥，∵AB⊥平面11BCCB，1BP平面11BCCB，∴AB⊥1BP，∵AB∩1BC=B，AB、1BC平面ABP，∴1BP⊥平面ABP，∵1BP平面AP1B，∴平面AP1B⊥平面ABP，易知Rt△ABP外接圆圆心为AP中点，Rt△A

P1B外接圆圆心为1AB中点，则过Rt△ABP外接圆圆心作平面ABP的垂线，过Rt△AP1B外接圆圆心作平面AP1B的垂线，易知两垂线交点为1AB中点，则三棱锥P-1ABB的外接球球心即为1AB中点，外接球半径即为122AB

=，故A正确；对于B，如图过P作PG⊥BC于G，过Q作QE⊥PG于E，易知PQ≥QE=AG≥AB，故线段PQ长度的最小值为AB=2，故B正确；对于C，∵1BC∥1AD，1AD平面1ACD，1BC平面1ACD，∴1BC∥平面1ACD，∵P∈1BC，故P到平面1

ACD的距离为定值，又1ACDSV为定值，则11DAPCPACDVV−−=为定值，故C正确；对于D，易知，截面BPQ与平面11BCCB的交线始终为1BC，连接1AD，易知1BC∥1AD，过Q作QF∥1AD交11AD于F，连接1FC、QB，则1BQFC即

为截面，其最多为四边形：当Q与1A重合，P与1C重合，此时截面BPQ为三角形：平面BPQ截该正方体所得截面不可能为五边形，故D错误﹒故选：ABC﹒【点睛】本题综合考察空间中的点、线、面的关系，A选项的关键是找到外接球球心，B选项利用几何关系即可判断，C选项利用三棱锥等体积法即可判断，D选项需充

分利用空间里面的平行关系作出截面形状进行判断.三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知向量()1,3a=−r，则向量ar的单位向量的坐标是___________.【答案】13,22−【解析】【分析】现根据22axy=+r求ar，再代入向量a

r的单位向量为aarr运算求解．【详解】()1,3a=−r，则()()22132a=−+=r∴向量ar的单位向量为13,22aa=−rr故答案为：13,22−．14.为了解某地居民的月收入情况，一个社会调查机构调查了20000人，并根据所得数据画出样本的频率分布

直方图如图所示（最后一组包含两端值，其他组包含最小值，不包含最大值）.现按月收入分层，用分层随机抽样的方法在这20000人中抽出200人进一步调查，则月收入在[3000，4000）（单位：元）内的应抽取________人.【答案】40【解析】【分析】根据频率分布直方图求出[3000，4000

）的频率，从而可求出应抽取的人数【详解】月收入在[3000，4000）的频率为1－（0.0001＋0.00025×2＋0.00015＋0.00005）×1000＝0.2，故应抽取200×0.2＝40（人）.故答案为：4015.正四面体相邻两侧面所成二面角的正弦值是________【答案】223

【解析】【分析】由已知中正四面体的所有面都是等边三角形，取CD的中点E，连接AE，BE，由等腰三角形“三线合一”的性质，易得∠AEB即为相邻两侧面所成二面角的平面角，解三角形ABE即可得到正四面体（所有面都是等边三角形的三棱

锥）相邻两侧面所成二面角的余弦值和正弦值．【详解】取CD的中点E，连接AE，BE，如下图所示：设四面体的棱长为2，则AE=BE=3，且AE⊥CD，BE⊥CD，则∠AEB即为相邻两侧面所成二面角的平面角，在△ABE中，cos∠AEB=

2222AEBEABAEBE+−=13，故正四面体（所有面都是等边三角形的三棱锥）相邻两侧面所成二面角的正弦值是223.故答案为：223【点睛】(1)本题主要考查二面角的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)二面角的求法方法一：（几何法）找→作（定义法、三垂线法、垂面法）→

证（定义）→指→求（解三角形）.方法二：（向量法）首先求出两个平面的法向量,mnurr；再代入公式•cosmnmn=vvvv（其中,mnurr分别是两个平面的法向量，是二面角的平面角.）求解.（注意先通过观察二面角的大小选择“”号）16.某市为了缓解交通压力，实行机动车限行政策，

每辆机动车每周一到周五都要限行一天，周六和周日不限行.某公司有A，B，C，D，E五辆车，每天至少有四辆车可以上路行驶.已知E车周四限行，B车昨天限行，从今天算起，A，C两车连续四天都能上路行驶，E车明天可以上

路，由此可推测出今天是星期___________.【答案】四【解析】【分析】从,AC考虑，它们只能在前三天限行，考虑到昨天B行，还有,AC的限制，今天是周四．【详解】由题意，,AC只能在每周前三天限行，又昨天B限行,E车明天可以上路，因此今天不能是一周的前3天，因此今

天是周四．这样周一、周二,AC限行，周三B限行，周四E限行，周五D限行．满足题意．故答案为：四．四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.已知()1,2a=r，()3,1b=−r（1）设ar，br的夹角为，求cos的值；（2）若

向量akb+rr与akb−rr互相垂直，求k的值【答案】（1）210−；（2）22k=．【解析】【分析】（1）根据平面向量的夹角公式即可解出；（2）根据平面向量的坐标运算以及垂直的坐标表示即可解出．【小问1详解】因为cosabab=rrrr，所以()()22221321

12cos105101231abab−+−====−+−+rrrr.【小问2详解】由()1,2a=r，()3,1b=−r可得()()()1,23,113,2akbkkk+=+−=−+rr，()()()1,23,113,2akbkkk−=−−=+−rr，因为向量ak

b+rr与akb−rr互相垂直，所以()()()()()()1313220akbakbkkkk+−=−+++−=rrrr，即221k=，解得：22k=.18.在ABCV中，coscos2cosaBbAcC+=．（1）求C；（2）若6b=，ABCV的面积为6，求c

的值．【答案】（1）4C=（2）25c=【解析】【分析】（1）结合正弦定理以及两角和的正弦公式化简整理可得2cos2C=，进而结合特殊角的三角函数值即可求出结果；（2）利用三角形的面积公式可以求出边a，进而结合余弦定理即可求出结

果.【小问1详解】∵coscos2cosaBbAcC+=，结合正弦定理可得sincossincos2sincos+=ABBACC，即()sinsin2sincosABCCC+==，又()0,C，sin0C，故2cos2C=，∴4C=．【小问2详解】由6b=，ABC

V的面积为6，∴112sin66222ABCSabCa===V，故22a=，由22222cos8362226202cababC=+−=+−=，可得25c=．19.圆柱OP如图所示，AC为下底面圆的直径，DE为上底面圆的直径，BD⊥底面ABC，2AB=，ADAE=，

ACBD=.（1）证明：BP∥面AEC.（2）求圆柱OP的体积.【答案】（1）见解析（2）42π【解析】【分析】（1）连接BO，OE，OP，根据面面垂直的性质，可得OPBD∥，证明四边形OPDB为平行四边形，从而可得PEOB∥，再证明

四边形PEOB为平行四边形，可得PBOE∥，再根据线面平行的判定定理即可得证；（2）连接AP，证明DE⊥平面APO，从而可得BOAC⊥，即可求得圆柱的底面圆的半径和高，再根据圆柱的体积公式即可得解.【小问1详解】证明：连接BO，OE，OP，可得OP⊥平面ABC，∵BD⊥平面ABC，∴O

PBD∥，∵OPBD=，∴四边形OPDB为平行四边形，∴DPOB∥，∴PEOB∥且PEOB=，∴四边形PEOB为平行四边形，∴PBOE∥，∵OE平面AEC，BP平面AEC，∴BP∥平面AEC；【小问2详解】解：连接AP，∵ADAE=，∴APDE⊥，∵OP垂直上底面，∴O

PDE⊥，∵AP，OP平面APO，APOPP=，∴DE⊥平面APO，又AO平面APO，∴DEAO⊥，∵DEBO∥，∴BOAC⊥，∴ABCV为等腰直角三角形，22ACBD==，∴圆柱OP的体积为22242=.20.《中国制造2025》是中国实施制造强国战略第一个十年的行动纲领，制造

业是国民经济的主体，是立国之本、兴国之器、强国之基．发展制造业的基本方针为质量为先，坚持把质量作为建设制造强国的生命线某电子产品制造企业为了提升生产效率，对现有的一条电子产品生产线进行技术升级改造，为了分析改造的效果，该企业质检人员从该条生产线所生产的电子产品中随机抽取了1000件，检测产

品的某项质量指标值，根据检测数据得到下表（单位：件）质量指标值)25,35)35,45)45,55)55,65)65,75)75,85)85,95产品6010016030020010080（1）估计产品的某项质量指

标值的70百分位数.（2）估计这组样本的质量指标值的平均数x和方差2s（同一组中的数据用该组区间中点值作代表）；（3）设x表示不大于x的最大整数，x表示不小于x的最小整数，s精确到个位，55nxnsa−=，55nxnsb+=

，nN，根据检验标准，技术升级改造后，若质量指标值有65%落在11,ab内，则可以判断技术改造后的产品质量初级稳定；若有95%落在22,ab内，则可以判断技术改造后的产品质量稳定，可认为生产线技术改造成功．请问：根据样本数据估计，是否可以判定生产线的技术改造是成功

的？（参考数据：17113，24116）【答案】（1）69（2）平均数61和方差241（3）不能判定生产线技术改造成功【解析】【分析】（1）由60100160300200(65)0.71000100010001000100010x++++−=可求得结果；（2）根据平均值

和方差公式求解即可得解；（3）根据定义求出1122,,,abab，再根据频率分布表可求出结果.【小问1详解】设产品的某项质量指标值的70百分位数为x，则60100160300200(65)0.7100010001000100

0100010x++++−=，解得69x=.所以估计产品的某项质量指标值的70百分位数为69.【小问2详解】由题，可知300.06400.1500.16600.3700.2800.1900.0861x=

++++++=．()()()()()()222222230610.0640610.150610.1660610.370610.28061s=−+−+−+−+−+−()20.190610.08241+

−=．【小问3详解】由2241s=知，16s，则161165455a−==，161165755b+==，该抽样数据落在45,75内的频率约为0.160.30.266%65%++=；又2612165305a−

==，2612165905b+==，该抽样数据落在30,90内的频率约为10.030.040.9393%95%−−==，∴可以判断技术改造后的产品质量初级稳定，但不能判定生产线技术改造成功．21.下图，直线DE与ABCV的边AB，AC分别相交于点D，

E.设ABc=，BCa=，=CAb，ADE=，请用向量方法证明：()()coscoscosaBbAc−++=.【答案】证明见详解【解析】【分析】根据图形易得BABCCA=+uuuruuuruuur，结合数量积可得DEBADEBCDECA=+uuuru

uuruuuruuuruuuruuur，根据数量积的定义cosabab=rrrr代入运算整理即可，注意向量夹角的分析理解．【详解】∵BABCCA=+uuuruuuruuur，则()DEBADEBCCA=+uuuruuuruuuruuuruuur，即DEBADEBCDE

CA=+uuuruuuruuuruuuruuuruuur又∵coscosDEBADEBAEDAcDE==uuuruuuruuuruuuruuur()()coscosDEBCDEBCBaDEB=−=−uuuruuuruuuruuuruuur()()c

oscosDECADECAAbDEA=+=+uuuruuuruuuruuuruuur∴()()coscoscoscDEaDEBbDEA=−++uuuruuuruuur即()()coscoscosaBbAc−++=22.

重庆是我国著名的“火炉”城市之一，如图，重庆某避暑山庄O为吸引游客，准备在门前两条小路OA和OB之间修建一处弓形花园，使之有着类似“冰淇淋”般的凉爽感，已知π6AOB=，弓形花园的弦长23AB=，记弓形花园的顶点为M，π6MABMBA==，设OBA=.

（1）将OA、OB用含有的关系式表示出来；（2）该山庄准备在M点处修建喷泉，为获取更好的观景视野，如何设计OA、OB的长度，才使得喷泉M与山庄O的距离的值最大？【答案】（1）43sinOA=，43sin6OB=+；（2）当632OAOB==

+时，OM取最大值423+.【解析】【分析】（1）本题可通过正弦定理得出43sinOA=、43sin6OB=+；（2）本题首先可根据题意得出2AMBM==，然后通过余弦定理得出2222cos6

OMOBBMOBBM=+−+，通过转化得出22163sin2283OM=−++，最后通过50,6以及正弦函数的性质即可求出最值.【详解】（1）因为sinsinsinOAOBABOABAOB==，π6AO

B=，23AB=，所以56OAB=−，43sinOA=，543sin43sin66OB=−=+.（2）因为23AB=，π6MABMBA==，所以2AMBM==，在OMB△中，由余弦定理易知2222cos6OM

OBBMOBBM=+−+，即2248sin4163sincos666OM=++−++248sin242883sin224cos283sin2286333

=+−+−+=−+−++312163cos2sin228163sin22823233=−++++=−++

，因为50,6，所以2272,333+，23sin21,32+−，当2sin213+=−，即512=时，2OM取最大值28163+，OM取最大值423+，此时543sin43sin6321264OA

==+=+，543sin43sin63212643OB=+=+=+，故当632OAOB==+时，OM取最大值423+.【点睛】关键点点睛：本题考查解三角形的实际应用，考查正弦定

理与余弦定理的应用，考查三角恒等变换，考查根据正弦函数的性质求最值，考查化归与转化思想，体现了综合性，是难题.