【文档说明】新教材高一数学第二学期期末试卷五（原卷版+教师版）.doc，共(19)页，972.000 KB，由MTyang资料小铺上传

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新教材高一数学第二学期期末试卷一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.某学校有高中学生2000人，其中高一年级、高二年级、高三年级的人数分别为70

0，660，640.为调查学生参加“社区志愿服务”的意向，现采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为100的样本，那么应抽取高二年级学生的人数为（）A.32B.33C.64D.662.已知集合()2log1Axyx==+，2230Bxxx=+−，则集

合AB=I（）A.()1,−+B.3,1−C.(1,1−D.(1,3−3.若直线l与平面α相交，则()A.平面α内存在直线与l异面B.平面α内存在唯一一条直线与l平行C.平面α内存在唯一一条直线与l垂直D

.平面α内的直线与l都相交4.复数2izi=+（i是虚数单位），则z在复平面内对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限5.在ABCV中，已知1sin,,336ABAC===，则BC=（）A.3B.2C.32D.926.

在ABC中，内角,,ABC所对的边分别是,,abc，“AB”是“sinsinAB”的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件7.设0.3log2a=，0.3log3b=，0.33c

=，30.3d=，则这四个数的大小关系是（）A.abcdB.badcC.bacdD.dcab8.如图，角的始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点()11,Axy，角23=+的始边与角的始边重合，且终边与单位圆交于点()2

2,Bxy，记()12fyy=−.若角为锐角，则()f的取值范围是（）A.13,22−B.13,22−C.3,221−D.33,22−二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目

要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列函数为偶函数且在()0,+上是增函数的是（）A.()2logfxx=B.21()1fxx=−C.()22xfxx=+D.()2fxxx=+10.下列各式中，值为12的是（）A.212sin

15−B.2sin15cos15C.3tan15223tan15−+D.22cos601−11.已知向量()3,1a=r，()cos,sinb=r，0,2，则下列结论正确的有（）A.1b=r

B.若abrr∥，则6=C.abrr的最大值为2D.ab−rr的最小值为312.如图，正方体1111ABCDABCD−的棱长为1，线段11BD上有两个动点E，F，且12EF=，则下列结论中正确的是（）A.ACAF⊥B.EF∥平面ABCDC.三棱锥ABEF−的体积为定值D.AEF

V的面积与BEFV的面积相等三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.若()1xfxx=−，则()3f−=_________.14.从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是_____.15

.已知A，B，C是单位圆O上的三点，且OAOBOC=+uuuruuuruuur，则ABAC=uuuruuur_________.16.对实数a、b定义一个运算：11aababbab−=−，设函数22()(2)()fxxx

x=−−（xR），若函数()yfxc=−的图象与x轴恰有两个公共点，则实数c的取值范围是__________．四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知向量()2,3a=−r，()1,1b=r，()2,1c=−r，tR.（1）若

atb−rr与cr共线，求实数t；（2）求atb+rr的最小值及相应的t值.18.已知()sin(2)sin22fxxx=−++.（1）化简()fx并求函数()fx图象的对称轴方程；（2）当3,44x

时，求函数()fx的最大值和最小值.19.移动支付为人民群众的生活带来极大的方便.为了解某地区居民移动支付的使用情况，随机调查了该地区100名居民在一星期内使用移动支付的相关情况，列表如下：支付次数x015x1530x3045x4560x60x人数a3025

b10已知这100名居民中一星期内使用移动支付次数超过30次的占55%.（1）求a，b的值；（2）估计该地区居民在一星期内使用移动支付次数超过45次的概率.20.在ABCV中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，记ABCV的面积为S.已知

_________.从①2sintanaCcA=，②2cos2aBcb=−，③()22243Sbca=+−三个条件中选择一个填在上面的横线上，并解答下列问题.（注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分）（1）求角A的大小；（2）若边长

2a=，求ABCV的周长的取值范围.21.四棱锥ABCDE−的侧面ABC是等边三角形，EB⊥平面ABC，DC⊥平面ABC，1BE=，2BCCD==，F是棱AD的中点.（1）证明：EF∥平面ABC；（2）求四棱锥ABCDE−的体积.22.已知函数()()fxxxa=−.其中aR，且0a.

（1）求函数()fx的单调区间；（2）求函数()fx在1,12−上的最小值.新教材高一数学第二学期期末试卷一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.某学校有高中学生2000人，其中高一年级、高二年级、高三年级的人数分别为700，660，640.为调查学生参加“社区志愿服务”的意向，现采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为100的样本，那么应抽取高二年级学生的人数为（）A.32B.33C.64D.66【答案】B【解析】

【分析】根据分层抽样的定义求出在各层中的抽样比，即样本容量比上总体容量，按此比例求出在各年级中抽取的人数.【详解】解：根据题意得，用分层抽样在各层中的抽样比为1001200020=，则高二年级抽取的人数是1

6603320=人，故选:B．2.已知集合()2log1Axyx==+，2230Bxxx=+−，则集合AB=I（）A.()1,−+B.3,1−C.(1,1−D.(1,3−【答案】C【解析】【分析】求出集合A、B，利用交集的定义即可求

解.【详解】解：()()2log1101,Axyxxx==+=+=−+Q，2303,12Bxxx=−=−+Q，所以，(1,1AB=−I.故选：C.3.若直线l与平面α相交，则()A.平面α内存在直线与l异面B.平面α内存在唯一一条直线与l平行C.平面α内存在唯一一条直线与

l垂直D.平面α内的直线与l都相交【答案】A【解析】【详解】当直线l与平面α相交时，这条直线与该平面内任意一条不过交点的直线均为异面直线，故A正确；该平面内不存在与直线l平行的直线，故B错误；该平面内

有无数条直线与直线l垂直，所以C错误，平面α内的直线与l可能异面，故D错误，故选A.4.复数2izi=+（i是虚数单位），则z在复平面内对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】A【解析

】【分析】化简复数z，再求复数对应复平面的点所在的象限.【详解】()()()22112222555iiiiziiii−+====+++−，则z在复平面内对应的点是12,55，位于第一象限.故选：A【点睛】本题考查复数的除法计算，以及复数的几何意义，属于基础题型.5.在AB

CV中，已知1sin,,336ABAC===，则BC=（）A.3B.2C.32D.92【答案】B【解析】【分析】直接由正弦定理即可得到答案【详解】由正弦定理sinsinBCACAB=，得2BC=．故选：B6.在ABC中，内角,,AB

C所对的边分别是,,abc，“AB”是“sinsinAB”的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件【答案】C【解析】【详解】由AB，则ab，据正弦定理sinsinBabA=知，sinsinAB；由sinsinA

B，据正弦定理sinsinBabA=，则ab，得AB，所以AB是sinsinAB的充分必要条件．故本题答案选C.7.设0.3log2a=，0.3log3b=，0.33c=，30.3d=，则这四个数的大小关系是（）A.abcdB.badcC.bacdD.dcab

【答案】B【解析】【分析】利用同底的对数函数单调性及指数函数性质比较出大小关系即可.【详解】解：∵0.30.30.3log3log2log10=，∴0ba，又0.3003331,10.30.30==，∴0cd，故badc.故选：B.8

.如图，角的始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点()11,Axy，角23=+的始边与角的始边重合，且终边与单位圆交于点()22,Bxy，记()12fyy=−.若角为锐角，则()f的取值范围是（）A.13,22−B.13,22

−C.3,221−D.33,22−【答案】D【解析】【分析】根据三角函数的定义，可得12,yy表达式，根据两角和的正弦公式、辅助角公式，可得()f的解析式，

根据的范围，结合正弦函数的性质，即可得答案.【详解】由题意得11sinyyOA==，22sinyyOB==，23=+所以()12213sinsinsinsinsinsincos322fyy=−

=−=−+=−−+33sincos3sin226=−=−，因为0,2，所以,663−−，则13sin,622−−.所以()f的取值范围是33,22−.故选：D.

二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列函数为偶函数且在()0,+上是增函数的是（）A.()2logfxx=B.21()1fxx=−C.()22xfxx=+D.(

)2fxxx=+【答案】AD【解析】【分析】根据各函数的性质直接判断即可【详解】对A，()2logfxx=为偶函数且在()0,+上是增函数，故A正确；对B，21()1fxx=−为偶函数且在()0,+上是减函数，故B错误；对C，()22xfxx=+不为偶函数，故C错误；对D，(

)2fxxx=+为偶函数且在()0,+上是增函数，故D正确故选：AD10.下列各式中，值为12的是（）A.212sin15−B.2sin15cos15C.3tan15223tan15−+D.22cos601−【答案】BC【解析】【分析】根据二倍角的正

弦公式、余弦公式，两角差的正切公式，逐一化简计算，即可得答案.【详解】对于A：()23cos212sin1515cos302===−，故A错误对于B：()1sin2si2n15cos151sin3025

===，故B正确对于C：()3tan15tan60tan15111tan(6015tan4521tan60tan15222223tan1)5−−==−++==，故C正确；对于D：()212cos601cos260

cos1202−===−，故D错误；故选：BC11.已知向量()3,1a=r，()cos,sinb=r，0,2，则下列结论正确的有（）A.1b=rB.若abrr∥，则6=C.abrr的最大值为2D.ab−rr的最小值为3【

答案】ABC【解析】【分析】先利用平面向量的基本运算得到三角关系，再利用三角函数运算逐一判断即可.【详解】对于A，22cossin1b=+=r，A正确；对于B，若//abrr，则3sincos0−=，3tan3=，又0,2，故6=，B正确；对

于C，3cossin2sin3ab=+=+rr，0,2，5,336+，所以当32+=时最大值为2，C正确；对于D，22||(3cos)(1sin)52sin23cos54sin3ab−

=−+−=−−=−+rr因为0,2，所以5,336+，则1sin,132+，当sin13+=时，min5411ab−=−=rr，D错误.故

选：ABC.12.如图，正方体1111ABCDABCD−的棱长为1，线段11BD上有两个动点E，F，且12EF=，则下列结论中正确的是（）A.ACAF⊥B.EF∥平面ABCDC.三棱锥ABEF−的体积为定值D.AEFV的面积与BEFV的面积相等【答案】BC【解析】【分析】证明A

C⊥平面11BBDD，可判断A选项的正误；利用面面平行的性质可判断B选项的正误；利用锥体的体积公式可判断C选项的正误；利用三角形的面积公式可判断D选项的正误.【详解】对于A选项，连接AC、BD，因为四边形ABCD为正方形，则ACBD⊥，1BB⊥Q平面ABCD，AC平面ABCD，1A

CBB⊥∴，1BDBBB=Q，所以，AC⊥平面11BBDD，因为AF平面11BBDD，AF平面11ABD,平面11BBDD平面111ABDBD=因此，,ACAF不垂直，A选项错误；对于B选项，因为平面1111//

ABCD平面ABCD，EF平面1111DCBA，故//EF平面ABCD，B选项正确；对于C选项，因为BEFV的面积为11124BEFSEFBB==△，点A到平面BEF的距离为定值，故三棱锥ABEF−的体积为定值，C选项正确；对于D选项，设ACBDO=I，取11BD的中点M，

连接OM、AM，由A选项可知，AC⊥平面11BBDD，即AO⊥平面11BBDD，11BDQ平面11BBDD，则11AOBD⊥，因为11//BBDD且11BBDD=，故四边形11BBDD为平行四边形，则11//BDB

D且11//BDBD，因为M、O分别为11BD、BD的中点，故1//DODM且1DODM=，所以，四边形1DDMO为平行四边形，1DD⊥Q平面ABCD，DO平面ABCD，所以，1DDDO⊥，故四边形1DDMO为矩形，所以，11OMBD⊥，AOO

MO=QI，所以，11BD⊥平面AOM，AMQ平面AOM，11AMBD⊥，2211AMAOOMDDBB=+=Q，所以，11122AEFBEFSEFAMEFBBS==△△，D选项错误.故选：BC.

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.若()1xfxx=−，则()3f−=_________.【答案】-1.5【解析】【分析】根据所给解析式，代入数据，即可得答案.【详解】由题意得()3321(3)3f−=−=−−−.故答案为：32−1

4.从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是_____.【答案】710.【解析】【分析】先求事件的总数，再求选出的2名同学中至少有1名女同学的事件数，最后根据古典

概型的概率计算公式得出答案.【详解】从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿服务，共有2510C=种情况.若选出的2名学生恰有1名女生，有11326CC=种情况，若选出的2名学生都是女生，有221C=种情况，所以所求的概率为6171010+=.【点睛】计数原理是高考考查的重点内容

，考查的形式有两种，一是独立考查，二是与古典概型结合考查，由于古典概型概率的计算比较明确，所以，计算正确基本事件总数是解题的重要一环.在处理问题的过程中，应注意审清题意，明确“分类”“分步”，根据顺序有无，明确“排列”“组合”.15.已知A，B

，C是单位圆O上的三点，且OAOBOC=+uuuruuuruuur，则ABAC=uuuruuur_________.【答案】0.5−【解析】【分析】根据OAOBOC=+uuuruuuruuur两边平方化简可得1cos2BOC=−，从而23BOC=，【详

解】因为OAOBOC=+uuuruuuruuur，故2222cosOAOBOCOBOBCCO+=+uuruuuruuuruuuruuur，解得1cos2BOC=−，又0,BOC，故23BOC=.故,OABOB

CVV均为边长为1的正三角形.所以2111cos32ABAC==−uuuruuur故答案为：12−16.对实数a、b定义一个运算：11aababbab−=−，设函数22()(2)()fxxxx=

−−（xR），若函数()yfxc=−的图象与x轴恰有两个公共点，则实数c的取值范围是__________．【答案】3(,2](1,)4−−−−【解析】【详解】由()()2221xxx−−−可得：312x−，则：()2232,123,12xxfxxxxx−−

=−−或.据此有：()3111,24ff−=−=.当1x=−时，x-x2=-2,当32x=时，234xx−=−.函数y=f(x)-c的图象与x轴恰有两个公共点等价于函数y=f(x)与y=c的图象有两个交点.如图所示：函数y=c在

1y=−和34y=−之间及y=-2以下与函数f(x)有两个交点.据此可得：实数c的取值范围是(3,21,4−−−−点睛：本题的核心是考查函数零点的求解与判断方法：(1)直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数

在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．四、解答题：本大题

共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知向量()2,3a=−r，()1,1b=r，()2,1c=−r，tR.（1）若atb−rr与cr共线，求实数t；（2）求atb+rr的最小值及相应的t值.【答案】（1）43（2）当12t=−时取等号，atb+rr

取最小值为522【解析】【分析】（1）利用向量共线定理可得关于t的方程，解出即得t值；（2）利用求模公式表示出atb+rr，根据二次函数的性质可得其最小值及相应的t值即可；【小问1详解】∵()()()2,31,12,3

tttatb=−−=−−−−rr，又atb−rr与cr共线，()2,1c=−r，∴()()()21320tt−−−−−=，解得43t=.【小问2详解】由题意，()()()2,31,12,3atbttt+=−+=−++rr，∴()()2223atbtt+=−+++rr221252

552221322222ttt=++=++=，当且仅当12t=−时取等号，atb+rr取最小值为52218.已知()sin(2)sin22fxxx=−++.（1）化简()fx并求函数()fx图象的对称轴方程；（2）当3,44x

时，求函数()fx的最大值和最小值.【答案】（1）()2sin24fxx=+，(Z)28kxk=+；（2）最大值为1，最小值为2−.【解析】【分析】（1）利用三角函数诱导公式及辅助角公

式即可化简()fx，利用正弦函数的对称轴即可求解对称轴方程；（2）根据（1）的结果，整体带入求解正弦型函数的值域即可.【小问1详解】解:()sin(2)sin2sin2cos22sin224fxxxxxx

=−++=+=+,令2(Z)42xkk+=+，得(Z)28kxk=+，所以函数()fx图象的对称轴方程为：(Z)28kxk=+.【小问2详解】解：由（1）得()2sin24fxx=+，因为3,44x，故372,444x

+，所以21sin242x−+，所以2()1fx−，所以当3,44x时，函数()fx的最大值为1，最小值为2−.19.移动支付为人民群众的生活带来极大的方便.为了解某地区居民移动支付的使用情况，随机调查

了该地区100名居民在一星期内使用移动支付的相关情况，列表如下：支付次数x015x1530x3045x4560x60x人数a3025b10已知这100名居民中一星期内使用移动支付次数超过30次的占55%.（1）求a，b的值；（2）估计该地区居民在一星

期内使用移动支付次数超过45次的概率.【答案】（1）15,20ab==；（2）310【解析】【分析】（1）根据题意结合列表即可求解a，b的值；（2）结合列表可得100名居民中一星期内使用移动支付次数超过45次的人数为

30人，利用古典概型的概率公式即可求解.【小问1详解】解：由题意，一星期内使用移动支付次数超过30次的人数为2510b++人，故251055%100b++=，解得20b=，又302510100ab++++=，解得15a=，故15,20ab==.【小问2详解】解：由题可知，100名居民中一星期内使

用移动支付次数超过45次的人数为30人，故该地区居民在一星期内使用移动支付次数超过45次的概率为30310010P==.20.在ABCV中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，记ABCV的面积为S.已

知_________.从①2sintanaCcA=，②2cos2aBcb=−，③()22243Sbca=+−三个条件中选择一个填在上面的横线上，并解答下列问题.（注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分）（1）求角A的大小；（2）若边长2a=，求ABCV的周长的

取值范围.【答案】（1）无论选择①②③，3A=；（2）(4,6【解析】【分析】（1）若选①，由正弦定理边化角可得sinsin2sinsincosACACA=，整理可得1cos2A=，根据A的范围，可求得角A；若选②，正弦定理边化角，结合两角和的正

弦公式，可得sin2cossinBAB=整理可得1cos2A=，根据A的范围，可求得角A；若选③，根据余弦定理、面积公式，代入化简可得tan3A=根据A的范围，可求得角A；（2）根据（1）及正弦定理可得43(sinsin)3bcBC+=+，根据两角和的正弦公式、辅

助角公式，整理可得4sin6bcB+=+，根据角B的范围及正弦函数的性质，即可得答案.【小问1详解】若选①2sintanaCcA=，由正弦定理边化角可得sinsin2sinsincosACACA=，因为,(0,)

AC，所以sin0,sin0AC，所以1cos2A=，解得3A=；若选②2cos2aBcb=−，由正弦定理边化角可得2sincos2sinsinABCB=−，所以2sincossin2sin2sin()2(sincoscossin)ABBCABA

BAB+==+=+，所以sin2cossinBAB=，因为(0,)AB、，sin0B，所以1cos2A=，解得3A=；若选③()22243Sbca=+−，由余弦定理可得2222cosbcabcA+−=，所以14s

in32cos2bcAbcA=，所以sin3cosAA=，所以sintan3cosAAA==因为(0,)A，所以3A=【小问2详解】由（1）得3A=，由正弦定理得43sinsinsin3abcABC===，所以434324331(sinsin)sinsinsinc

ossin333322bcBCBBBBB+=+=+−=++4sin6B=+，因为20,3B，所以5,666B+，当62B+=时，4sin6bcB+=+有最大值为4，所以(2,4bc+，

所以ABCV的周长的取值范围为(4,621.四棱锥ABCDE−的侧面ABC是等边三角形，EB⊥平面ABC，DC⊥平面ABC，1BE=，2BCCD==，F是棱AD的中点.（1）证明：EF∥平面ABC；（2）求四棱锥ABCDE−的体积.【答案】（1）

证明见解析（2）3【解析】【分析】（1）取AC中点G，连接,GFGB，根据中位线的性质证明BEGF∥得到平行四边形BEFG，进而得到EF∥平面ABC；（2）取BC中点H，连接AH，易得AH⊥平面BCDE，进而求得四棱锥ABCDE−的体积即可

【小问1详解】取AC中点G，连接,GFGB，由中位线性质可得GFCD∥，又EB⊥平面ABC，DC⊥平面ABC，故EBCD∥.又12GFCD=，12BECD=，故EBCD=.所以平行四边形BEFG，所以∥BGEF.因为EF平面ABC，BG平面ABC，故EF∥平面

ABC；【小问2详解】取BC中点H，连接AH，因为EB⊥平面ABC，AH平面ABC，故EBAH⊥，又等边三角形ABC，故AHBC⊥，且3AH=.又BCBEB=I，故AH⊥平面BCDE，所以四棱锥ABCDE

−的体积()111223332ABCDEV−=+=22.已知函数()()fxxxa=−.其中aR，且0a.（1）求函数()fx的单调区间；（2）求函数()fx在1,12−上的最小值.【答案】（1）函数()fx的单调递增区间为(,0)−，(,)2a

+，单调递减区间为(0,)2a；（2）当502a时，min1()42afx=−−；当52a时，min()1fxa=−.【解析】【分析】（1）将函数()fx的解析式去掉绝对值，转化为分段函数，求单调区间时分别在0,0xx时结合二次函数求解其单调区间；（2）结合（1）中的单调区间确定函数在

区间1,12−上的单调性，从而求得函数的最小值.【小问1详解】解：由题知，函数22,0()(),0xaxxfxxxaxaxx−=−=−+，其中0a当0x时，222()()24aafxxaxx=

−=−−则函数()fx在区间(0,)2a单调递减，在区间(,)2a+单调递增；当0x时，222()()24aafxxaxx=−+=−−+，则函数()fx在区间(,0)−递增∴综上，函数()fx的单调递

增区间为(,0)−，(,)2a+，单调递减区间为(0,)2a.【小问2详解】解：因为0a，所以当12a即2a时，函数()fx在1[,0]2−递增，在(0,1]递减且11()242af−=−−，(1)1fa=

−，若1()(1)2ff−，即52a时，min()(1)1fxfa==−，若1()(1)2ff−，即522a时，min11()()242afxf=−=−−，当012a即02a时，函数()fx在1[,0]2

−递增，在(0,]2a递减，在(,1]2a递增，且11()242af−=−−，2()24aaf=−，而02a时，21424aa−−−，即1()()22aff−，所以02a时，min11()()242afxf=−=−−，∴综上所述，当502a时，m

in1()42afx=−−；当52a时，min()1fxa=−.