【文档说明】新教材高一数学第二学期期末试卷七（原卷版+教师版）.doc，共(23)页，1.400 MB，由MTyang资料小铺上传

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新教材高一数学第二学期期末试卷一、单选题：（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知复数115iz=−，复平面内复数1z与3z所对应的点关于原点对称，3z与2z所对应的点关于实轴对称，则12zz=（）A.26−B.26C.25−D

.252.在等边ABCV中，点E在中线CD上，且6CEED=，则AE=uuur（）A.1377ACAB+uuuruuurB.13377ACAB−uuuruuurC.3177ACAB+uuuruuurD.31377ACAB−uuu

ruuur3.在发生公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间内没有发生大规模群体感染的标志为“连续7天，每天新增疑似病例不超过5人”.过去7日，甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据信息如下，则不

一定符合该标志的是（）甲地：总体平均数1x，且中位数为1；乙地；总体平均数为2，且标准差2s；丙地：总体平均数3x，且极差2c；丁地：众数为1，且极差4c.A.甲地B.乙地C.丙地D.丁地4.设l，m是两条不同的直线，是一

个平面，则下列命题不正确的是（）A.若l∥m，l⊥，则m⊥B.若l∥m，l∥，则m∥C.若l∥，m⊥，则l⊥mD.若,lm⊥，则l⊥m5.已知πsin2sin2=+，π0,2，则tan的值为（

）A.3B.33C.33−D.3−6.一次物理测验中，同学们得分的频率分布直方图如图所示，则此次测验中物理得分的90%分位数是（）A.85B.90C.86D.807.已知函数()cos2(0)6fxx=−的最小正周期为2，将()f

x的图象向左平移6个单位长度，再把得到的曲线上各点的横坐标伸长到原来的2倍，得到函数()gx的图象，则下列结论不正确的是（）A.(0)0g=B.()gx的图象关于点,02对称C.()gx的图象关于4x

=−对称D.()gx在,123−上的最大值是18.节分端午自谁言，万古传闻为屈原；路漫漫其修远兮，吾将上下而求索；亦余心之所善兮，虽九死其尤未悔LL.端午节是传统节日中富有刚健气息的节日.习近平总书记曾在多个场合引用屈原诗作名句阐述思想

､寄情言志.辛丑端午，让我们重温这些名言隽句，感悟总书记深沉的家国情怀.端午节吃粽子，赛龙舟寄寓了对屈原的怀念.粽子主要材料是糯米､馅料，用籍叶包裹而成，形状多样，主要有尖角状､四角状等.四川流行四角状的粽子，其形状可

以看成一个正四面体，现需要在粽子内部放入一个肉丸，肉丸的形状近似地看成球，当这个肉丸的体积最大时，其半径与该正四面体的高的比值为（）A.12B.13C.14D.15二、多选题（4小题每小题5分，共20分.全对得5分，部分选对得2分，选错得

0分.）9.下列关于复数21iz=−的命题，其中正确的是（）A.2z=B.21izz−=+C.方程2i0xz+−=的根为iD.z的虚部为110.某地在2020年采用旧高考模式（即分文科和理科，理科必选物理，

文科不选物理），在2021年实行了新高考改革，采用新高考模式（即“3＋1＋2”模式，“1”指物理和历史必选其一）．图1是某地2020年高考理科学生总分分布扇形图，图2是某地2021年高考物理类学生（选择物理的学生

）总分分布条形图．由于新高考改革，该地2021年选择物理的学生人数较2020年理科学生人数下降了13%，则下列说法正确的有（）A.该地2020年高考理科学生总分在350分至450分段的学生人数占30%B.该地2021年高考物理类学生总分在550分至650分段的学生人数是2020年高

考理科学生总分同分段学生人数的2倍C.该地2020年高考理科学生总分和2021年高考物理类学生总分的中位数均在450分至550分段D.相比2020年高考理科学生总分不低于450分的人数，新高考模式下高考物理类学生总分不低于450分的人数占比增加1

1.在ABCV中，2,sin2sinABBA==，则（）A.当3C=时，233BC=B.ABCV不可能是直角三角形C.A的最大值为3D.ABCV面积的最大值为4312.如图，平面四边形ABCD中，BCD△是等边三角形，ABBD⊥且2,ABBDM==是

AD的中点．沿BD将BCD△翻折，折成三棱锥CABD−，翻折过程中下列结论正确的是（）A.存在某个位置，使得CM与BD所成角为锐角B.棱CD上总恰有一点N，使得MN//平面ABCC.当三棱锥CABD−的体积最

大时，ABBC⊥D.当二面角ABDC−−为直角时，三棱锥CABD−的外接球的表面积是28π3三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.甲､乙两支羽毛球队体检结果如下：甲队的体重的平均数为60

kg，方差为100，乙队体重的平均数为64kg，方差为200，又已知甲､乙两队的队员人数之比为1:3，那么甲､乙两队全部队员的方差等于___________.14.圆台的两个底面半径分别为2、4，截得这个圆台的圆锥

的高为6，则这个圆台的体积是_____________．15.已知在边长为2的正三角形ABC中，M、N分别为边BC、AC上的动点，且CNBM=，则AMMNuuuuruuuur的最大值为_________．16.奋进新时代，扬帆

新航程.在南海海域的某次海上阅兵上，一大批国产先进舰船和军用飞机接受了党和人民的检阅.歼-15舰载飞机从辽宁舰航空母舰上起飞，以3002千米/小时的速度在同一水平高度向正东方向飞行，在阅兵舰“长沙号”导弹驱逐舰上第一次观察到歼-15舰载飞机在北偏西3方向，1分钟后第二次观察到歼-15舰载飞

机在北偏东512方向，仰角为6，则歼-15飞机飞行高度为_______千米（结果保留根号）.四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知复数()()11izmmm=−+−，mR．（

1）当复数z为纯虚数时，求实数m的值；（2）若2m=，z的共轭复数为z，计算复数1izz−+．18.已知函数()22cos23sincossinfxxxxx=+−．（1）若()0,x，求()fx的单调递增区间；（2）若()65f=，且263，求sin2

的值．19.为实现绿色发展，避免浪费能源，某市政府计划对居民用电采用阶梯收费的办法，为此相关部门在该市随机调查了200位居民的户月均用电量（单位：千瓦时）得到了频率分布直方图，如图：（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表，精确到个位）（1）试估

计该地区居民的户月均用电量平均值；（2）如果该市计划实施3阶的阶梯电价，使75%用户在第一档（最低一档），20%用户在第二档，5%用户在第三档（最高一档）.①试估计第一档与第二档的临界值，第二档与第三档的临界值；②市政府给出的阶梯电

价标准是：第一档0.4元/千瓦时，第二档0.55元/千瓦时，第三档0.8元/千瓦时，即：设用户的用电量是x千瓦时，电费是()fx元，则()()()()0.4,0.40.55,0.40.550.8,xxfxxxxx=+−+−+−

，试估计该地区居民的户月均电费平均值.20.已知在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝∠BAD＝2，AB＝BC＝2AD＝4，E，F分别是AB，CD上的点，EF∥BC，AE＝2，沿EF将梯形ABCD翻折，使平面AEFD⊥平面EBCF（如图）．（1）证明：EF⊥平面ABE；（2）求二面角D﹣B

F﹣E的余弦值．21.在梯形ABCD中，AB//CD，33CDAB==．（1）若CACD=，且6cos6ABC=−，求ABCV的面积S；（2）若2cos4DAC=，3cos4ACD=，求BD的长．22.如图，A

B是圆O的直径，点P在圆O所在平面上的射影恰是圆O上的点C，且2ACBC=，点D是PA的中点，PO与BD交于点,E点F是PC上的一个动点.（1）求异面直线BC和PA所成角的大小；（2）若//EF平面ABC，求PCFC的值；（3）若点F为PC的中点，且2PCAB==，求

三棱锥PBEF−的体积.新教材高一数学第二学期期末试卷一、单选题：（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知复数115iz=−，复平面内复数1z与3z所对应的点关于原点对称，3z与2z所对应的点关

于实轴对称，则12zz=（）A.26−B.26C.25−D.25【答案】A【解析】【分析】根据给定条件，利用复数的几何意义求出复数2z，再利用复数乘法计算作答.【详解】复数115iz=−对应的点为1Z(1,5)−，1Z关于原点对称的点为3(1,5)

Z−，3Z关于实轴对称的点为2(1,5)Z−−，则点2Z对应的复数为215iz=−−，所以12(15i)(15i)26zz=−−−=−.故选：A2.在等边ABCV中，点E在中线CD上，且6CEED=，则AE=uu

ur（）A.1377ACAB+uuuruuurB.13377ACAB−uuuruuurC.3177ACAB+uuuruuurD.31377ACAB−uuuruuur【答案】A【解析】【分析】利用向量的加、减以及

数乘运算即可求解.【详解】因为66()77AEACCEACCDACADAC=+=+=+−uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuur，12ADAB=uuuruuur，所以1377AEACAB=+uuuruuuru

uur.故选：A3.在发生公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间内没有发生大规模群体感染的标志为“连续7天，每天新增疑似病例不超过5人”.过去7日，甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据信息如下，则不一定符

合该标志的是（）甲地：总体平均数1x，且中位数为1；乙地；总体平均数为2，且标准差2s；丙地：总体平均数3x，且极差2c；丁地：众数为1，且极差4c.A.甲地B.乙地C.丙地D.丁地【答案】B【解析】【分析】

根据条件，举例说明乙地，根据极差的概念，说明每天新增疑似病例的最大值，判断甲地、丙地和丁地.【详解】甲地：满足总体平均数1x，且中位数为1，则最大值4，则符合该标志；乙地：若7天新增疑似病例为1，1，1，1，2，2，6，满足平均数

为2，标准差()()()2224122226227s−+−+−=，但不符合该标志；丙地：由极差2c可知，若新增疑似病例最多超过5人，比如6人，那么最小值不低于4人，那么总体平均数3x就不正确，故每天新增疑似病例低

于5人，故丙地符合该标志；丁地：因为众数为1，且极差4c，所以新增疑似病例的最大值5，所以丁地符合该标志.故选：B4.设l，m是两条不同的直线，是一个平面，则下列命题不正确的是（）A.若l∥m，l⊥，则m⊥B

.若l∥m，l∥，则m∥C.若l∥，m⊥，则l⊥mD.若,lm⊥，则l⊥m【答案】B【解析】【分析】利用线面平行、垂直的判定及性质对各选项逐一分析判断即可作答.【详解】对于A，由直线与平面垂直的判定知，A正确；对于B，当l∥m，l∥

时，m可以在内，此时m与不平行，B不正确；对于C，l∥，过l的平面交于直线n，于是有l∥n，而m⊥，则有m⊥n，l⊥m，C正确；对于D，由线面垂直的定义知，D正确.故选：B5.已知πsin2sin2=+，π0,2，则tan的值为（）A.3B.3

3C.33−D.3−【答案】B【解析】【分析】利用倍角的正弦公式和诱导公式化简可得1sin2=，再求tan．【详解】∵πsin22sincos,sincos2=+=，则2sincoscos=又∵π0,2，则cos0∴1sin2=，

即π6=，则3tan3=故选：B．6.一次物理测验中，同学们得分的频率分布直方图如图所示，则此次测验中物理得分的90%分位数是（）A.85B.90C.86D.80【答案】A【解析】【分析】先利用频率分布直方图求得a，然后由百分位数求解.【详解】由图知各组

的频率为分组[40,50)[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]频率0.10.30.410a0.110a所以0.005a=，则第四组[70,80)的频率为0.05，前四组的频率之和为0.85，所以这次测验中物理得分的90%

分位数是在第五组内，且为0.90.858010850.950.85−+=−.故选：A7.已知函数()cos2(0)6fxx=−的最小正周期为2，将()fx的图象向左平移6个单位长度，再把得到的曲线上各点的横坐标伸长到原来的2

倍，得到函数()gx的图象，则下列结论不正确的是（）A.(0)0g=B.()gx的图象关于点,02对称C.()gx的图象关于4x=−对称D.()gx在,123−上的最大值是1【答案】D【解析

】【分析】首先根据函数的周期和图象变换得到()sin2gxx=−，再依次判断选项即可.【详解】因为222T==，所以2=，()cos46fxx=−.将()fx的图象向左平移6个单位长度，得到cos4sin466yxx=+−=−，

再把得到的曲线上各点的横坐标伸长到原来的2倍，得到()sin2gxx=−.对选项A，()0sin00g=−=，故A正确.对选项B，sin02g=−=，所以()gx的图象关于点,02对称，故B正确.对选项C，sin142g=−=−，所以()gx的图

象关于4x=−对称.故C正确.对选项D，,123x−，22,63x−，所以1sin212x−，所以()112gx−，故()gx在,123−上的最大值是12，故D错误.故选：D8.

节分端午自谁言，万古传闻为屈原；路漫漫其修远兮，吾将上下而求索；亦余心之所善兮，虽九死其尤未悔LL.端午节是传统节日中富有刚健气息的节日.习近平总书记曾在多个场合引用屈原诗作名句阐述思想､寄情言志.辛丑端午，让我们重温这些名言隽句，感悟总书记深沉的家国情怀.端午节吃粽子，赛龙舟寄寓了

对屈原的怀念.粽子主要材料是糯米､馅料，用籍叶包裹而成，形状多样，主要有尖角状､四角状等.四川流行四角状的粽子，其形状可以看成一个正四面体，现需要在粽子内部放入一个肉丸，肉丸的形状近似地看成球，当这个肉丸的体积最大时，其半径与该正四面体的高的比值为（）A.12B.13C.

14D.15【答案】C【解析】【分析】根据题意可知：当这个肉丸的体积最大时，肉丸所在的球面与正四面体内切，根据等体积法计算内切球的半径，最后求比值即可.【详解】由题意：当这个肉丸的体积最大时，肉丸所在的球面与正四面体内切，画出示意图：设正四面体ABCD−的棱长为a，由正四棱锥的对称性

可知：A点在底面的投影落在BCD△的中心位置，设为点G，则该四棱锥高22223633AGADDGaaa=−=−=，则正四面体ABCD−的体积为：31161323332212BCDVAGSaaaa===V,设正四面体ABCD−的内切球的球心为O，半径为r，根据等体积

法可知：OBCDOABCOACDOABDVVVVV−−−−=+++,由于正四棱锥各个面都是全等的等边三角形，所以2141334433223OBCDBCDVVrSraara−====V，所以2332312raa=，解得：612ra=，综上：内切球的半径与该正四面体A

BCD−的高的比值为6112463arAGa==，故选：C.二、多选题（4小题每小题5分，共20分.全对得5分，部分选对得2分，选错得0分.）9.下列关于复数21iz=−的命题，其中正确的是（）A.2z=B.2

1izz−=+C.方程2i0xz+−=的根为iD.z的虚部为1【答案】ACD【解析】【分析】运用复数的除法运算化简得=1+iz，再检验选项得解.【详解】22(1+i)==1+i1-i(1-i)(1+i)z=，D正确，所以2z=，A正确；2221i(1i)1i12iii

1zz−=+−+=+−−−=−+，B错误；222i1ii10xzxx+−=++−=+=，zi=，C正确；故选：ACD10.某地在2020年采用旧高考模式（即分文科和理科，理科必选物理，文科不选物理），在2021年实行了新高考改革，采用新高

考模式（即“3＋1＋2”模式，“1”指物理和历史必选其一）．图1是某地2020年高考理科学生总分分布扇形图，图2是某地2021年高考物理类学生（选择物理的学生）总分分布条形图．由于新高考改革，该地2021年选择物理的学生人数较2020年理科学生人数下降了13%，则下列说法正确的有（）A.该地20

20年高考理科学生总分在350分至450分段的学生人数占30%B.该地2021年高考物理类学生总分在550分至650分段的学生人数是2020年高考理科学生总分同分段学生人数的2倍C.该地2020年高考理科学生总分和2021年高考物

理类学生总分的中位数均在450分至550分段D.相比2020年高考理科学生总分不低于450分的人数，新高考模式下高考物理类学生总分不低于450分的人数占比增加【答案】ACD【解析】【分析】对A，由频率之和为1可计算总分在350分至450分段的学生人数比例；对B，通过

对分数段在)550,650内的人数比例计算可判断错误；通过频率累计和可判断C、D项正确.【详解】对A，2020年高考理科学生总分在350分至450分的学生人数占比为11.4%10.3%39.9%16.8%1.6%30%−−−−−=，故A项正确；对B，由于2021年选择物理的学生人数较

2020年理科学生人数下降了13%，假设2020年理科学生人数为单位1，则分数在)550,650内的人数为0.168，2021年选择物理且分数在)550,650内的人数为()1113%33.6%0.29232−=，0.292320.16820.336

=，故2021年高考物理类学生总分在550分至650分段的学生人数小于2020年高考理科学生总分同分段学生人数的2倍，故B项错误；对C，2020年高考理科学生总分小于450分的人数占比为1.4%10.3%30%41.7%50%++=，小于550分的人数占比为1.4%10.3%30%39.9

%81.6%50%+++=，故中位数应该在450分至550分段．同理，2021年高考物理类学生总分分数小于450分的人数占比为0.4%4.2%17.4%22%50%++=，小于550分的人数占比为4.2%17.4%41.4%63.4%5%0.4%0++=+，故

中位数应该在450分至550分段，C项正确；对D，2020年高考理科学生总分不低于450分的人数占141.7%58.3%−=，2021年高考物理类学生总分不低于450分的人数占122%78%−=．故高考物理类学生总分不低于450分的人数占比增加，故D项正确.故选：ACD11.在ABCV中，2,s

in2sinABBA==，则（）A.当3C=时，233BC=B.ABCV不可能是直角三角形C.A的最大值为3D.ABCV面积的最大值为43【答案】AD【解析】【分析】A选项结合正弦定理边化角，然后利用余弦定理即可判

断；B选项，举出反例即可判断；C选择结合余弦定理表示出cosA，然后利用均值不等式即可求出最值；D选项利用余弦定理表示出cosC，进而表示出2sinC，结合三角形的面积公式，利用函数求最值即可.【详解】在ABCV中，设内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．由sin2sinBA=，可得2b

a=，又2222coscababC=+−，当3C=时，224422cos3aaaa=+−，解得233a=，A正确；当3C=时，2343,33ab==，满足222bac=+，ABCV为直角三角形，B错误；222313c

os2822bcaaAbca+−==+…，当且仅当233a=时等号成立，所以A的最大值为6，C错误；2222254cos24abcaCaba+−−==，设ABCSS=V，()222222242421154sin(2

)sin1cos1244aSabCaaCaCaa−===−=−()242219201694016161699aaa=−+−=−−+，当2209a=时，S取最大值，且最大值为

43，D正确．故选：AD12.如图，平面四边形ABCD中，BCD△是等边三角形，ABBD⊥且2,ABBDM==是AD的中点．沿BD将BCD△翻折，折成三棱锥CABD−，翻折过程中下列结论正确的是（）A.存在某个位置，使得C

M与BD所成角为锐角B.棱CD上总恰有一点N，使得MN//平面ABCC.当三棱锥CABD−的体积最大时，ABBC⊥D.当二面角ABDC−−为直角时，三棱锥CABD−的外接球的表面积是28π3【答案】BCD【解析】【分析】证明CMBD⊥判断A；取CD的中点N，由//MNA

C推理判断B；三棱锥CABD−的体积最大时确定点C位置判断C；求出三棱锥CABD−的外接球半径计算判断D作答.【详解】取BD中点E，连接CE，ME，如图，因BCD△是正三角形，有CEBD⊥，而M是AD的中点，有//MEAB，而ABBD⊥，则MEBD⊥，CEMEE=，,

CEME平面CME，于是得BD⊥平面CME，CM平面CME，所以CMBD⊥，A不正确；取CD的中点N，连MN，因M是AD的中点，则//MNAC，AC平面ABC，MN平面ABC，所以MN//平面ABC，B正确；因122ABDSABDB==V，要三棱锥CABD−的

体积最大，当且仅当点C到平面ABD距离最大，由选项A知，点C到直线BD的距离3CE=，CEM是二面角ABDC−−的平面角，当90CEM=o时，CE⊥平面ABD，即当C到平面ABD距离最大为3CE=时，三棱锥CABD−的体积最大，此时CEME⊥，有CEAB⊥，而ABBD⊥，CEBDE=I，,CE

BD平面BCD，则有AB⊥平面BCD，BC平面BCD，所以ABBC⊥，C正确；三棱锥CABD−的外接球被平面BCD所截小圆圆心1O是正BCD△的中心，133=OE，被平面ABD所截小圆圆心为点M，设球心为O，连1,OOOM，则1OO⊥平面BCD，OM⊥平

面ABD，当二面角ABDC−−为直角时，由选项C知，CE⊥平面ABD，ME⊥平面BCD，有11//,//OMOEOOME，四边形1OOEM为矩形，133OMOE==，连AO，在RtAOM△中，222237(2)()3

3AOAMOM=+=+=，所以三棱锥CABD−的外接球的表面积228π4π3SAO==，D正确.故选：BCD【点睛】关键点睛：几何体的外接球的表面积、体积计算问题，借助球的截面小圆性质确定出球心位置是解题的关键.三、填空题：本大题共4小

题，每小题5分，共20分.13.甲､乙两支羽毛球队体检结果如下：甲队的体重的平均数为60kg，方差为100，乙队体重的平均数为64kg，方差为200，又已知甲､乙两队的队员人数之比为1:3，那么甲､乙两队全部队员的方差等于___________.【答案】178【解析】【分析】先求出甲、乙两

队队员所有队员中人数所占权重，然后利用平均数与方差的计算公式求解即可．【详解】解：由题意可知甲队的平均数为60kg，乙队体重的平均数为64kg，甲队队员在所有队员中人数所占权重为11134=+，乙队队员在所有队

员中人数所占权重为33134=+，则甲、乙两队全部队员的平均体重为4136064634xkg=+=，甲、乙两队全部队员体重的方差为22213[100(6063)][200(6463)]17844s=+−++−=．故答案为178．14.圆台的两个底

面半径分别为2、4，截得这个圆台的圆锥的高为6，则这个圆台的体积是__________．【答案】28π【解析】【分析】求出圆台的高，结合圆台的体积公式即得解.【详解】解：设这个圆台的高为h，画出圆锥圆台的轴截面，可得2646h−=，解得h=3，所以这个圆台的体

积是222213(2244)283++=.故答案为：28π15.已知在边长为2的正三角形ABC中，M、N分别为边BC、AC上的动点，且CNBM=，则AMMNuuuuruuuur的最

大值为_________．【答案】43−【解析】【分析】如图建立直角坐标系，设BMtBC=uuuuruuur（01t），则tCNCA=uuuruuur（01t），然后表示出AMMNuuuuruuuur可求

得其最大值【详解】如图建系，则(10)B−，、()10C，、()03A，，则(2,0),(1,3)BCCA==−uuuruuur，，设BMtBC=uuuuruuur（01t），则tCNCA=uuuruuur（01t），则()210Mt−，，(

)13Ntt−，，∴(21,3),(23,3)AMtMNtt=−=−uuuuruuuur，∴2214(21)(23)(3)(3)6426()33MNtttttAtM=−−+−=−+−=−−−uu

uruuuuur，当13t=时，AMMNuuuuruuuur取最大值43−．故答案为：43−16.奋进新时代，扬帆新航程.在南海海域的某次海上阅兵上，一大批国产先进舰船和军用飞机接受了党和人民的检阅.歼-15舰载飞机从辽宁舰航空母舰上起飞，以3002千米/

小时的速度在同一水平高度向正东方向飞行，在阅兵舰“长沙号”导弹驱逐舰上第一次观察到歼-15舰载飞机在北偏西3方向，1分钟后第二次观察到歼-15舰载飞机在北偏东512方向，仰角为6，则歼-15飞机飞行高度为_______千米（结果保留根号）.【答案】53

3【解析】【分析】作出图形，用点,AB表示歼-15舰载飞机，用点C表示阅兵舰，然后由正弦定理求得CF，再在直角三角形中求得FB．【详解】如图，C是阅兵舰，,AB是歼-15舰载飞机被观察的起始位置，,EF是飞机在地面上的射影，由已知130025260AB

==千米，52EFAB==，CD是正北方向，因此3DCE=，512DCF=，6FCB=，533124ECF=+=，236CED=−=，由正弦定理sinsinEFCFECFCEF=，即523sinsin46CF=，解得5CF=，在直角三角形BFC中

，53tan5tan63BFCFBCF===．故答案为：533．四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知复数()()11izmmm=−+−，mR．（1）当复数z为纯虚数时，求实数m的值；（2）若2m=，z的共轭复数为z，计算复数1izz−+．【

答案】（1）0m=；（2）11i22−．【解析】【分析】（1）根据纯虚数的定义进行求解；（2）先求解共轭复数，代入计算，化简即可.【详解】（1）由复数()()11izmmm=−+−为纯虚数，则()1010mmm−=−，0m=；（2）当2m=时，复

数2iz=+，()()()()2i1i112ii1i1i1i22zz+−−=−−=−++−．18.已知函数()22cos23sincossinfxxxxx=+−．（1）若()0,x，求()fx的单调递增区间；（2）若()65f=，且263

，求sin2的值．【答案】（1）单调递增区间为0,6，2,3（2）43310+【解析】【分析】（1）首先化简函数()2sin26fxx=+，再求函数的单调递增区间；

（2）由（1）的结果求得3sin265+=，再利用角的变换sin2sin266+−=，结合两角差的正弦公式，即可求解.【小问1详解】()cos23sin2=+f

xxx2sin26x=+，令222262kxk−+++，kZ，则36kxk−++，kZ，因()0,x，所以()fx的单调递增区间为0,6，2,3.【小问2详解】因为()65f=，所以3sin265+

=．因为263，所以32262+，所以4cos265+=−，所以sin2sin266+−=sin2coscos2sin6666=+−+334143352

5210+=+=.19.为实现绿色发展，避免浪费能源，某市政府计划对居民用电采用阶梯收费的办法，为此相关部门在该市随机调查了200位居民的户月均用电量（单位：千瓦时）得到了频率分布直方图，如图：（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表，精确到个位）（1）试估计该地

区居民的户月均用电量平均值；（2）如果该市计划实施3阶的阶梯电价，使75%用户在第一档（最低一档），20%用户在第二档，5%用户在第三档（最高一档）.①试估计第一档与第二档的临界值，第二档与第三档的临界值；②市

政府给出的阶梯电价标准是：第一档0.4元/千瓦时，第二档0.55元/千瓦时，第三档0.8元/千瓦时，即：设用户的用电量是x千瓦时，电费是()fx元，则()()()()0.4,0.40.55,0.40.550.8,xxfxxxxx=+−+−+−

，试估计该地区居民的户月均电费平均值.【答案】(1)67；(2)①76=,=90；②27.14.【解析】【分析】（1）根据同一组中的数据用该组区间的中点值作代表进行求解即可；（2）①利用频率分布直方图中的频率

分别列式求解即可；②利用平均数的计算方法求解即可.【详解】（1）设户月均用电量的平均值为x，则450.1550.2650.375x=+++0.25850.1950.0567++=；（2）①因为前三组的

频率为()0.010.020.03100.6++=，第四组的频率为0.025100.25=，所以在[70,80)，则有()0.025700.750.6−=−，解得76=，区间[40,80)的频率为0

.60.250.085+=，区间[80,90)的频率为0.1，所以=90；②设该地区居民户月均电费的平均值为w，依题意得0.4(450.1550.2650.3750.25)w=+++0.4760.10.5590.10.4760.05+++0.

55140.050.850.0527.14++=.20.已知在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝∠BAD＝2，AB＝BC＝2AD＝4，E，F分别是AB，CD上的点，EF∥BC，AE＝2，沿EF将梯形AB

CD翻折，使平面AEFD⊥平面EBCF（如图）．（1）证明：EF⊥平面ABE；（2）求二面角D﹣BF﹣E的余弦值．【答案】（1）证明见解析1414【解析】【分析】（1）根据题意，利用线面垂直的判定定理即可求证；（2）在平面AEFD中，过D作DG⊥EF交EF于G，在平面DBF中，过D作D

H⊥BF交BF于H，连接GH，可得二面角D﹣BF﹣E的平面角∠DHG，计算∠DHG的余弦值即可.【小问1详解】证明：在直角梯形ABCD中，因为2ABCBAD==，故DA⊥AB，BC⊥AB，因为EF∥BC，故EF⊥AB．所以在折叠后的几何体中，有EF⊥AE，EF⊥BE，而AE∩BE＝E，故

EF⊥平面ABE．【小问2详解】解：如图，在平面AEFD中，过D作DG⊥EF交EF于G．在平面DBF中，过D作DH⊥BF交BF于H，连接GH．因为平面AEFD⊥平面EBCF，平面AEFD∩平面EBCF＝EF，DG⊂平面AEFD，故DG⊥

平面EBCF，因为BF⊂平面EBCF，故DG⊥BF，而DG∩DH＝D，故BF⊥平面DGH，又GH⊂平面DGH，故GH⊥BF，所以∠DHG为二面角D﹣BF﹣E的平面角，在平面AEFD中，因为AE⊥EF，DG⊥EF，故AE∥DG，又在直角梯形ABCD中，EF∥BC且EF＝12（BC+A

D）＝3，故EF∥AD，故四边形AEGD为平行四边形，故DG＝AE＝2，GF＝1，在Rt△BEF中，2tan3BFE=，因为∠BFE为三角形的内角，故2sin13BFE=，故21sin13GHBFE==，故2tan13213DHG==

，因为∠DHG为三角形的内角，故14cos14DHG=．所以二面角D﹣BF﹣E的平面角的余弦值为1414．21.在梯形ABCD中，AB//CD，33CDAB==．（1）若CACD=，且6cos6ABC=−，求ABCV的面积S；（2）若2cos4DAC=，3cos4ACD=，

求BD的长．【答案】（1）52；（2）7BD=．【解析】【分析】（1）先求解出sinABC的值，再根据余弦定理求解出BC的长度，结合ABCV的面积公式1sin2SABBCABC=求解出结果；（2）根据已知条件在ABD△中结合

正弦定理可求解出AD的值，根据DACBACBAD+=结合两角和的余弦公式可求解出cosBAD的值，在ABD△中利用余弦定理可求解出BD的长.【详解】（1）如图，因为6cos6ABC=−，所以230sin1cos6ABCABC=−=，在ABCV中，1AB=，3ACCD==，由余弦

定理，知2222cosACABBCABBCABC=+−，所以26913BCBC=++，即236240BCBC+−=，解得6=BC或463BC=−（舍），所以ABCV的面积11305sin162262SABBCABC===．（2）在ADCV中，因为

2cos4DAC=，3cos4ACD=，所以214sin1cos4DACDAC=−=，27sin1cos4ACDACD=−=，由正弦定理sinsinCDADDACACD=，所以733242144AD==，又()coscoscoscossinsinBA

DDACACDDACACDDACACD=+=−3272216164=−=−，在ABD△中，由余弦定理知22293222cos127224BDABADABADBAD=+−=++=，所以7BD

=．【点睛】易错点睛：利用正、余弦定理解决几何图形问题的注意事项：（1）注意隐含条件的使用：ABC++=以及变形ABC+=−；（2）图形本身具备的性质：常见平面图形所具备的性质，主要是角度、长度、位置关系.

22.如图，AB是圆O的直径，点P在圆O所在平面上的射影恰是圆O上的点C，且2ACBC=，点D是PA的中点，PO与BD交于点,E点F是PC上的一个动点.（1）求异面直线BC和PA所成角的大小；（2）若//

EF平面ABC，求PCFC的值；（3）若点F为PC的中点，且2PCAB==，求三棱锥PBEF−的体积.【答案】（1）90；（2）3；（3）445.【解析】【分析】（1）结合BCPC⊥、BCAC⊥，即可得到BC⊥平面PAC，即可得出BCPA⊥.（2）由/

/EF平面ABC可知//.EFOC则PCFC=POEO.根据E为PAB△的重心即可得出答案.（3）11212233PBEFFPBECPBECPBOPBCOVVVVV−−−−−====,求出BOCS代入即可得出答案.【详解】（1）因

为点P在圆O所在平面上的射影恰是圆O上的点C，于是PC⊥平面.ABC因为BC平面,ABC所以.BCPC⊥又BCAC⊥，且,PCACC=I所以BC⊥平面PAC，又PA平面,PAC所以BCPA⊥，于是异面直线BC和PA所成角的大小为90.（2）因为//EF平面ABC，

EF平面,POC平面ABCI平面.POCOC=所以//.EFOC在PAB中，点D是PA的中点，点O是AB的中点，所以E为PAB的重心，从而3.POEO=在POC中，因为//,EFOC所以PCFC=3.POEO=所以PCFC的值为3.（3）在POC中，由（2）知E为PA

B的重心，所以2,3PEPO=又点F为PC的中点，所以1,2PFPC=于是211.323PEFPOCSS==所以1.3PBEFBPEFPEFPBOCBPOCPOCVVSVVS−−−−===在直角ABC中，2,AB=2ACBC=，所以12.25BOCABCSS==从而11242.

33515PBOCBOCVSPC−===所以14.345PBEFPBOCVV−−==所以三棱锥PBEF−的体积为445.