【文档说明】新教材高一数学第二学期期末试卷一（原卷版+教师版）.doc，共(25)页，1.245 MB，由MTyang资料小铺上传

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新教材高一第二学期期末试卷数学本试卷共5页，22小题，满分150分．考试用时120分钟．第一部分选择题（共60分）一、单项选择题：本题共8道小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知

集合2|20Axxx=+−，2,1,0,1,2B=−−，则ABI=（）A.2,1,0−−B.1,0,1−C.1,0−D.0,12.若复数z满足()11zii−=+，则复数z在复平面内对应的点在（）A.

第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.设ar、br都是非零向量，下列四个条件中，使abab=rrrr成立的条件是（）A.ab=−rrB.//abrrC.2ab=rrD.//abrr且ab=rr4.在△ABC中，AB=3，BC=4

，∠ABC=120°，若把△ABC绕直线AB旋转一周，则所形成的几何体的体积是（）A.11πB.12πC.13πD.14π5.已知函数ayx=，xyb=，logcyx=的图象如图所示，则a，b，c的大小关系为（）A.abc

B.bacC.acbD.bca6.甲、乙两支田径队的体检结果为：甲队体重的平均数为60kg，方差为200，乙队体重的平均数为70kg，方差为300，又已知甲、乙两队的队员人数之比为1：4，那么甲、乙两队全部队员的平均体重和方差分别是（）A.65，280B.68，280C.65，296

D.68，2967.函数()fx的定义域为()(),11,−+U，且(1)fx+为奇函数，当1x时，()268fxxx=−+，则函数()fx的所有零点之和是（）A.2B.4C.6D.88.将函数()sin(0)fx

x=的图象向右平移12个单位长度得到函数()gx的图像，若函数()gx在区间0,2上是单调增函数，则实数的最大值为（）A.23B.1C.65D.2二、多项选择题：本题共4小题，每

小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的对2分，有选错的得0分.9.若0ab，则下列不等式成立的是（）A.abB.2211abC.22acbc

D.11abab−−10.口袋里装有1红、2白、3黄共6个形状相同的小球，从中任取2球，事件A=“取出的两球同色”，B=“取出的2球中至少有一个黄球”，C=“取出的2球中至少有一个白球”，D=“取出的两球不同色”，E=“

取出的2球中至多有一个白球”，下列判断中正确的是（）A.事件A与D为对立事件B.事件B与C是互斥事件C.事件C与E为对立事件D.事件()1PCE=U11.ABCV中，2A=，2ABAC==，则下列结论中正确的是（）A.若G为ABCV的重心，则2233AGABAC=+uuruuruuu

rB.若P为BC边上的一个动点，则()APABAC+uuuruuuruuur为定值4C.若M、N为BC边上的两个动点，且2MN=则AMANuuuuruuur的最小值为32D.已知Q是ABCV内部（含边

界）一点，若1=AQ，且AQABAC=+uuuruuuruuur，则+的最大值是112.已知三棱锥PABC−的每个顶点都在球O的球面上，2ABBC==，5PAPC==，ABBC⊥，过B作平面ABC的垂线BQ，且BQAB=，3PQ=，P与Q都在平面ABC的同侧，则（）A.三棱锥PABC

−的体积为23B.PAAB⊥C.//PCBQD.球O的表面积为9第二部分非选择题（共90分）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知()0qpÎ，，1sincos5+=−，tan=_______.14.某办公室团建抽奖，已知

5张奖券中只有2张是一等奖，甲先抽1张（不放回），乙再抽1张，则甲中一等奖乙中一等奖的概率为________.15.已知函数()13fxxx=+−−，若对xR，不等式()fxm恒成立，则实数m的取值范围是______.16.已知正数a，b满足148abab+−−=，则ab+的最小值是_

___.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.在ABCV中，角A，B，C对应的边分别是a，b，c，已知23cb=，sin3cosBAba=，（1）求A的值；（2

）若3b=，求ABCV外接圆的面积.18.为响应十九大报告中提出的“绿水青山就是金山银山”的号召，某市旅游局投入若干经费对全市各旅游景区的环境进行综合治理，并且对各旅游景区收益的增加值做了初步的估计，根据旅游局的治理规划方案，针对各旅游景区在治理后收益的增加值绘制出如下频

率分布直方图，由于版式设置不当导致打印时图中横轴的数据丢失，但可以确实横轴是从0开始计数的.（1）利用频率分布直方图估算收益增加值的第90百分位数；（2）利用频率分布直方图估算全市旅游景区收益增加值的平均数x和方差2s（以各

组的区间中点值代表该组的取值）.19.在一次猜灯谜活动中，共有20道灯谜，两名同学独立竞猜，甲同学猜对了12个，乙同学猜对了8个，假设猜对每道灯谜都是等可能的，试求：（1）任选一道灯谜，恰有一个人猜对的概率；（2）任选一道灯谜，甲、乙都没有猜对的概率．20.已知点()()11

,Axfx，()()22,Bxfx是函数()()2sinfxx=+0,02−图象上的任意两点，且角的终边经过点()1,3P−，当12()()4fxfx−=时，12xx−的最小值为3.（1）求函数()fx的单调

减区间;（2）求函数()fx在4,99x内的值域;（3）若方程()23()0fxfxm−+=在4,99x内有两个不相等的实数解，求实数m的取值范围.21.如图，矩形ABCD所在的平面与半圆弧»CD所在的平面垂直，

22,,2ABAD==M是»CD上异于C，D的动点.（1）证明：平面AMD⊥平面BMC;（2）设BM和平面ABCD所成角为，求sin的最大值.22.给定函数()()2222,,fxxxaagxxxaaaR=+++=−+−．且,x

R用()Mx表示()fx，()gx的较大者，记为()()()=max,Mxfxgx．（1）若1a=，试写出()Mx的解析式，并求()Mx的最小值；（2）若函数()Mx的最小值为3，试求实数a的值．新教材高一第二学期期末试卷数学本试卷共5页，22小题，满分150分．考试用时

120分钟．第一部分选择题（共60分）一、单项选择题：本题共8道小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合2|20Axxx=+−，2,1,0,1,2B=−−，则ABI=（）A.2,1

,0−−B.1,0,1−C.1,0−D.0,1【答案】C【解析】【分析】解不等式可得集合A，即可求交集.【详解】由()()2|20|120|21Axxxxxxxx=+−=−+=−，

2,1,0,1,2B=−−，所以1,0AB=−，故选：C.2.若复数z满足()11zii−=+，则复数z在复平面内对应的点在（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】D【解析】【分析】先求出复数z，进而得到其对应点所在象限.【详解】()11,zi

i−=+Q()211112iiiziii++=+=+=−,∴复数z在复平面内对应的点（2，-1）在第四象限，故选：D3.设ar、br都是非零向量，下列四个条件中，使abab=rrrr成立的条件是（）A.ab=−rrB.//abrrC.2a

b=rrD.//abrr且ab=rr【答案】C【解析】【详解】若使abab=rrrr成立，则选项中只有C能保证，故选C[点评]本题考查的是向量相等条件模相等且方向相同.学习向量知识时需注意易考易错零向量，其模为0且方向任意.4.在△ABC中，A

B=3，BC=4，∠ABC=120°，若把△ABC绕直线AB旋转一周，则所形成的几何体的体积是（）A.11πB.12πC.13πD.14π【答案】B【解析】【详解】试题分析：△ABC绕直线AB旋转一周，所形成的几何体是两个底面半径均为以C到A

B的距离CO为半径，高之差为AB的圆锥的组合体，代入圆锥体积公式，可得答案．解：△ABC绕直线AB旋转一周，所形成的几何体是：两个底面半径均为以C到AB的距离CO为半径，高之差为AB的圆锥的组合体，∵

BC=4，∠ABC=120°，∴CO=2，∴几何体的体积V==12π，故选B考点：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．5.已知函数ayx=，xyb=，logcyx=的图象如图所示，则a，b，c的大小关系为（）A.abcB.bacC.acbD.bca【答案】A【解析】【分析】根

据指对幂函数的图像性质判断,,abc的范围即可.【详解】由图,当1x=时,()1,2yb=,当1y=时()1log2,3cxxc==,又幂函数ayx=为增函数且上凸,故()0,1a.故abc.故选：A【点睛】本题主要考查了指对幂函

数的图像分析,属于基础题型.6.甲、乙两支田径队的体检结果为：甲队体重的平均数为60kg，方差为200，乙队体重的平均数为70kg，方差为300，又已知甲、乙两队的队员人数之比为1：4，那么甲、乙两队全部队员的平均体重和方差分别是（）A.65，280B.68，2

80C.65，296D.68，296【答案】D【解析】【分析】根据题意按比例设甲、乙队的人数，再求平均数；再根据甲、乙的各自方差求出甲乙两队全部队员的方差。总体根据平均数和方差的定义求解即可.【详解】设甲队有a人，甲、乙两队的队员人数之比为1：4，则乙队有4a人，因为甲队体重的平均数为60，乙队体

重的平均数为70，则甲、乙两队全部队员的平均体重为60704685aaxa+==，甲队体重的方差2222121[(60)(60)(60)]200asxxxa=−+−++−=L甲222212121[()60260()]aaxxxaxxxa=++++−+++LL2222121[()6

0260(60)]200axxxaaa=++++−=L则22221220060axxxaa+++=+L乙队体重的方差为22221241[(70)(70)(70)]3004asyyya=−+−++−=L乙22221241241[()470270()]4

aayyyayyya=++++−+++LL22221241[()470270(704)]3004ayyyaaa=++++−=L则22221243004470ayyyaa+++=+L甲、乙两队全部队员体重的方差为222222212124

[(68)(68)(68)][(68)(68)(68)]5aaxxxyyysa−+−++−+−+−++−=LL222212121[()68268()]5aaxxxaxxxa=++++−+++LL+22221241241[()468268()]5a

ayyyayyya++++−+++LL221[(20060)68268(60)]5aaaaa=++−+221[(3004470)468268(704)]5aaaaa++−264129629655=+=故选：B.7.函数()fx的定义域为()(),11,−

+U，且(1)fx+为奇函数，当1x时，()268fxxx=−+，则函数()fx的所有零点之和是（）A.2B.4C.6D.8【答案】B【解析】【分析】根据题意可知()fx图象关于点()1,0中心对称，由()fx的解析式求出1x时的零点，根据对称性即可求出1x时的零点

，即可求解.【详解】因为(1)fx+为奇函数，所以函数(1)fx+的图象关于点()0,0中心对称，将(1)fx+的图象向右平移1个单位可得()fx的图象，所以()fx图象关于点()1,0中心对称，当1x时，()268fxxx=−+，令()

2680fxxx=−+=解得：12x=或24x=，因为函数()fx图象关于点()1,0中心对称，则当1x时，()0fx=有两解，为30x=或42x=−，所以函数()fx的所有零点之和是()24024+++−=，故选：B.8.将函数()sin(0)fxx=

的图象向右平移12个单位长度得到函数()gx的图像，若函数()gx在区间0,2上是单调增函数，则实数的最大值为（）A.23B.1C.65D.2【答案】C【解析】【分析】根据图象的平移得函数()ygx=的

解析式，再利用函数的单调性列不等式组即可求得的取值范围，即可求解.【详解】函数()sin(0)fxx=的图象向右平移12个单位长度得到函数()gx的图象，所以()sin(0)12fxx=−，因为0,2x

，所以5,121212x−−，由于函数()gx在区间0,2上是单调增函数，所以1225122−−解得：506，所以实数的最大值为65，故选：C

.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的对2分，有选错的得0分.9.若0ab，则下列不等式成立的是（）A.abB.2211abC.22acbcD.11abab−−【答案】AD【解析】【分析】

利用不等式的性质逐一判断四个选项的正误即可得正确选项.【详解】对于A：由0ab可得ab，故选项A正确；对于B：由0ab可得220ab，所以2211ab，故选项B不正确；对于C：当0c=时，由0ab可得22acbc=，故选

项C不正确；对于D：由0ab可得11ab，所以11ab−−，所以11abab−−，故选项D正确；故选：AD.10.口袋里装有1红、2白、3黄共6个形状相同的小球，从中任取2球，事件A=“取出的两球同色”，B=“取出的2球中至少有一个黄球”，C=“取出

的2球中至少有一个白球”，D=“取出的两球不同色”，E=“取出的2球中至多有一个白球”，下列判断中正确的是（）A.事件A与D为对立事件B.事件B与C是互斥事件C.事件C与E为对立事件D.事件()1PC

E=U【答案】AD【解析】【分析】根据对立事件和互斥事件的概念，逐项验证得出答案.【详解】Q口袋里装有1红，2白，3黄共6个形状相同小球，从中取出2球，事件A=“取出的两球同色”，B=“取出的2球中至少有一个黄球”，C=“取出的2球至少有一个白球”，D=“取出的两球不同

色”，E=“取出的2球中至多有一个白球”，由对立事件定义得A与D为对立事件，故选项A正确；B与C有可能同时发生，故B与C不是互斥事件，故选项B错误；C与E有可能同时发生，不是对立事件，故选项C错误；P（C）631

=155=−，P（E）1415=，8()15PCE=，从而()PCEP=U(C)P+(E)()1PCE−=，故选项D正确故选：AD．11.ABCV中，2A=，2ABAC==，则下列结论中正确的是（）A.若G为ABCV的重心，则2233AGAB

AC=+uuruuruuurB.若P为BC边上的一个动点，则()APABAC+uuuruuuruuur为定值4C.若M、N为BC边上的两个动点，且2MN=则AMANuuuuruuur的最小值为32D.已知Q是ABCV内

部（含边界）一点，若1=AQ，且AQABAC=+uuuruuuruuur，则+的最大值是1【答案】BC【解析】【分析】以A为坐标原点，分别以,ABAC所在的直线为,xy轴建立平面直角坐标系，求出,,,ABCG的坐标即可判断A

；将APuuur用基底,ABACuuuruuur表示，再利由数量积运算计算()APABAC+uuuruuuruuur可判断B；不妨设M靠近点B，BMx=，则02x，用x表示,MN两点坐标，计算AMANuuuuruuur求最值，可判断

C；设(),Pxy，0,4PBA=，可得2cossinxy=−=，利用向量相等，坐标相等可得,xy与,的关系，将+表示为关于的函数，即可求最值判断D，进而可得正确选项.【详解】如图：以A为坐标原点，分别以,ABAC所在的直线为,xy轴建立平面直角坐标系

，则()0,0A，()2,0B，()0,2C，()2,0AB=uuur，()0,2AC=uuur，对于A：由重心坐标公式可得22,33G所以22,33AG=uuur，而2244,3333ABAC+=uuuruuur，所以2233AGABAC+uu

uruuuruuur，故选项A不正确；对于B：设()01BPtBCt=uuuruuur，则()APABBPABtBCABtACAB=+=+=+−uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuur()1

tACtAB=+−uuuruuur，所以()()()1APABtACtABACABAC++=−+uuuruuuuruuuruuuruuuuurruuur()()22144104tACtABABACtt+−+

=+−+==uuuruuuruuuruuur，故选项B正确；对于C：不妨设M靠近点B，BMx=，则02x，可得222,22Mxx−，()()222222,21,12222Nxxxx

−++=−+，则22222211222222AMANxxxxxx=−−++=−+uuuuruuur，当22x=时，AMANuuuuruuur取得最小值为32，故选项C正确；对于D：设(),Pxy

，由AQABAC=+uuuruuuruuur可得()()()(),2,00,22,2xy=+=，所以22xy==，设0,4PBA=，所以2cossinxy=−=，112sinco

s1sin1222224xy+=+=−+=−+，由0,4可得2sin,042−−，所以21sin1,1242−+，此时无最大值，

故选项D不正确，故选：BC.12.已知三棱锥PABC−的每个顶点都在球O的球面上，2ABBC==，5PAPC==，ABBC⊥，过B作平面ABC的垂线BQ，且BQAB=，3PQ=，P与Q都在平面ABC的同侧，则（）A.三棱锥PABC−的体积为23B.PAAB⊥C.//PCBQD.球O的表面积为9

【答案】ABD【解析】【分析】把三棱锥PABC−放在长方体中，长方体的高为1，底面是边长为2的正方形，可得三棱锥PABC−的体积可判断A；计算出PB验证22PAAB+是否等于2PB可判断B；由已知得//BQPD，假设//PCBQ，则PC//PD，与PD与PC相交于P矛盾可

判断C；三棱锥PABC−的外接球即长方体DG的外接球，求出其半径为R可判断D.【详解】如图，长方体的高为1，底面是边长为2的正方形，满足2ABBC==，5PAPC==，ABBC⊥，三棱锥PABC−的体积为112221

323=，故A正确；222222222213PBPDBDPDABAD=+=++=++=，满足222PAABPB+=，可得PAAB⊥，故B正确；BQ⊥平面ABC，PD⊥平面ABC，则//BQPD，假设//P

CBQ，则PC//PD，与PD与PC相交于P矛盾，故C错误；三棱锥PABC−的外接球即长方体DG的外接球，设其半径为R，则22222213R=++=，即32R=，可得球O的表面积为23492=，故D正确.故选：ABD.第二部分非选择题（共90分）

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知()0qpÎ，，1sincos5+=−，tan=_______.【答案】34−【解析】【分析】将已知条件两边平方结合同角三角函数基本关系可得sincos的值，再计算sincos−的值，即可得sin和cos的值，由s

intancos=即可求解.【详解】因为1sincos5+=−，所以()21sincos25+=即221sincos2sincos25++=，所以112sincos25+=，解得：12sincos025=−，因为()0q

pÎ，，所以2，，所以sin0，cos0，所以()2221249sincossincos2sincos122525−=+−=−−=，所以7sincos5−=，由1sincos57sincos5+=−−=

可得：3sin54cos5==−，所以sin3tancos4==−，故答案为：34−.14.某办公室团建抽奖，已知5张奖券中只有2张是一等奖，甲先抽1张（不放回），乙再抽1张，则甲中一等奖乙中一等奖的概率为________.【答案】110【解析】【分析】求出总的

基本事件的件数和甲中一等奖乙中一等奖包含的基本事件的个数，利用古典概型的概率公式即可求解.【详解】甲先抽1张（不放回），乙再抽1张基本事件有5420=个，甲中一等奖乙中一等奖包含的基本事件有212=

个，所以甲中一等奖乙中一等奖的概率为212010=，故答案为：110.15.已知函数()13fxxx=+−−，若对xR，不等式()fxm恒成立，则实数m的取值范围是______.【答案】)4,+【解析】【分析

】去绝对值将()fx转化为分段函数，求出其最大值，max()mfx即可.【详解】因为xR，不等式()fxm恒成立，则max()mfx，()()()13,14,1()1313,1322,1313,34,3xxxxfxxxxxxxxxxxx−−−−−−−=+−−=+−−−

=−−+−−，作出函数()fx的图象如图：由图知：()fx的最大值为4，所以4m≥，所以实数m的取值范围是)4,+，故答案为：)4,+16.已知正数a，b满足148abab+−−=，则ab+的最小值是____.【答案】9【解析】【分析】设abx+=，则148

xab+=−，计算()14abab++利用基本不等式可得最小值，即可得()8xx−的最小值，解不等式可得x的最小值，即ab+的最小值.【详解】因为0a，0b则0ab+，设abx+=，则()1488abxab+=+−=−，由()()144

485529babaxxabababab−=++=+++=，当且仅当1484ababbaab+−−==即36ab==时等号成立，由()89xx−即2890xx−−，解得：9x或1x−（舍）所以9ab+

，ab+的最小值是9，故答案为：9.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.在ABCV中，角A，B，C对应的边分别是a，b，c，已知23cb=，sin3cosBAba=，（1）求A的值；（2）

若3b=，求ABCV外接圆的面积.【答案】（1）3A=；（2）73.【解析】【分析】（1）利用正弦定理化边为角可得tanA的值，结合0A即可得角A的值；（2）根据已知条件求出c，再由余弦定理求出a，利用正弦定理可得ABC

V外接圆的半径，由圆的面积公式即可求外接圆的面积.【详解】（1）因为sin3cosBAba=，由正弦定理可得sin3cossinsinBABA=，即31tanA=，所以tan3A=，因为0A，所以3A=.（2）若3b=，则223cb==，

由（1）知：3A=，在ABCV中由余弦定理可得22212cos9423272abcbcA=+−=+−=，所以7a=，所以ABCV外接圆的半径为11772sin23sin3aA==，所以ABCV外

接圆的面积为27733=.18.为响应十九大报告中提出的“绿水青山就是金山银山”的号召，某市旅游局投入若干经费对全市各旅游景区的环境进行综合治理，并且对各旅游景区收益的增加值做了初步的估计，根据旅游局的治理规划方案，针对各旅游景区在治理后收益的增加值绘制出如下频率分布

直方图，由于版式设置不当导致打印时图中横轴的数据丢失，但可以确实横轴是从0开始计数的.（1）利用频率分布直方图估算收益增加值的第90百分位数；（2）利用频率分布直方图估算全市旅游景区收益增加值的平均数x和

方差2s（以各组的区间中点值代表该组的取值）.【答案】（1）8.5；（2）5x=，27.04s=.【解析】【分析】（1）计算出组距，利用百分位数的定义可求得第90百分位数；（2）将频率直方图中每个矩形底边的中点值乘以对应矩形的面积，再将所得结果全

加可得x的值，利用方差公式可求得2s的值.【详解】（1）设组距为a，则有()0.080.10.140.120.040.021a+++++=，解得2a=，所以，横轴上的数据分别为0、2、4、6、8、10、12，前4个矩形的面积之和为()0.080.10.140.1220.88+++

=，前5个矩形的面积之和为0.880.0420.96+=，所以，第90百分位数在区间()8,10，设第90百分位数为x，则()0.8880.040.9x+−=，解得8.5x=；（2）由频率分布直方图可得10.1630.250.2870.2490.08110.04

5x=+++++=，2160.1640.200.2840.24160.08360.047.04s=+++++=.19.在一次猜灯谜活动中，共有20道灯谜，两名同学独立竞猜，甲同学猜对了12个，乙同学猜对了8个，假设猜对每道灯谜都是等可能的，试求：（1）任选一道灯谜，恰有一个

人猜对的概率；（2）任选一道灯谜，甲、乙都没有猜对的概率．【答案】（1）1325．（2）625【解析】【分析】（1）设事件A表示“甲猜对”，事件B表示“乙猜对”，求出()pA，()pB，任选一道灯谜，恰有

一个人猜对的概率为：()()()()()PABABPAPBPAPB+=+，由此能求出结果．（2）任选一道灯谜，甲、乙都没有猜对的概率为()()()PABPAPB=，由此能求出结果.【详解】（1）设事件A表示“甲猜对”，事件B表示“乙猜对”，则P（A）123205==，P（B）

82205==，∴任选一道灯谜，恰有一个人猜对的概率为：P（ABAB+）＝P（A）P（B）+P（A）P（B）32155=−+（135-）213525=．（2）任选一道灯谜，甲、乙都没有

猜对的概率为：P（AB）＝P（A）P（B）＝（135-）（125−）625=【点睛】本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.20.已知点()()11,Axfx，()()22,Bxfx是函数()()2sinfxx

=+0,02−图象上的任意两点，且角的终边经过点()1,3P−，当12()()4fxfx−=时，12xx−的最小值为3.（1）求函数()fx的单调减区间;（2）求函数()fx在4,99x内的值域;（3）若方程()23()0fxfxm−+

=在4,99x内有两个不相等的实数解，求实数m的取值范围.【答案】（1）()52112,183183kkkZ++；（2）(0,2；（3）112或(1

0,0−【解析】【分析】（1）利用三角函数的定义求出的值，由题意知223T==可得的值，进而可得()fx的解析式，利用整体代入法以及正弦函数的单调性即可求解；（2）由x的范围求出33x−的范围，利用正弦函数的性质即可求解；（3）设()(0,2fxt=，将问题转化为ym

=−与(23,0,2yttt=−的图象只有一个交点，数形结合可得112m−=−或010m−，即可求解.【详解】（1）因为角的终边经过点()1,3P−，所以tan3=−，因为02−，所以3=−，因为当1

2()()4fxfx−=时，12xx−的最小值为3，所以223T==，可得：3=，所以()2sin33fxx=−，令()3232232kxkkZ+−+解得：()52112183183kkxkZ++，所以函数()fx的单调减区间为()52

112,183183kkkZ++（2）当4,99x时，033x−，所以0sin313x−，所以()02sin323fxx=−，

所以函数()fx在4,99x内的值域为(0,2，（3）设()(0,2fxt=，因为方程()23()0fxfxm−+=在4,99x内有两个不相等的实数解，则230ttm−+=在(0,2t内有一根或两个相等的实根，因为23mtt−=−，所以ym=

−与(23,0,2yttt=−的图象只有一个交点，作出ym=−与(23,0,2yttt=−的图象，由图知：当16t=时211136612y=−=−；当0=t时，0y=；当2t=时，232210y=−=，所以112m

−=−或010m−直线ym=−与(23,0,2yttt=−的图象只有一个交点，当10m−=时，2t=，此时方程()2sin323fxx=−=只有一解，不符合题意，所以112m−=−或010m−，即方程()23()0fxfxm−+=在4,9

9x内有两个不相等的实数解，所以：112m=或100m−所以实数m的取值范围为：112或(10,0−21.如图，矩形ABCD所在的平面与半圆弧»CD所在的平面垂直，22,,2ABAD==M是»CD上异于C，D的动点.（1

）证明：平面AMD⊥平面BMC;（2）设BM和平面ABCD所成角为，求sin的最大值.【答案】（1）证明见解析，（2）22【解析】【分析】（1）利用面面垂直的性质定理证明BC⊥平面CMD，进一步证明DM⊥平面BMC，

由面面垂直的判定定理证明即可；（2）过点M作MHCD⊥于H，连接,HBMC，由面面垂直的性质定理可得MH⊥平面ABCD，则由线面角的定义可得，MBH为BM和平面ABCD所成角，即MBH=，设(02)HCxx=，利用边角关系求出22222sin1

22MHxxMBx−==+，然后利用换元法，令1192,222xy+=，结合基本不等式求解最值即可【详解】（1）证明：因为平面CMD⊥平面ABCD，平面CMDI平面ABCDCD=，BCCD⊥，BC平面ABCD，所以BC⊥平面CM

D，因为DM平面CMD，所以BCDM⊥，因为M是»CD上异于C，D的动点，CD为直径，所以DMCM⊥,因为BCCMC=I，,BCCM平面BMC，所以DM⊥平面BMC，因为DM平面AMD，所以平面AMD⊥平面BMC，（2）解：过点M作MHCD⊥于H，连接,HBMC，因为平面CMD⊥

平面ABCD，平面CMDI平面ABCDCD=，所以MH⊥平面ABCD，则MBH为BM和平面ABCD所成角，即MBH=，设(02)HCxx=，所以2DHx=−，则由射影定理可得22(2)2MHxxxx=−=−，因为22222122HBxx=+=+

，所以222122MBMHHBx=+=+，所以22222sin122MHxxMBx−==+，令1192,222xy+=，所以221122259591sin244164416

2yyyyyyy−−−==−+−=，当且仅当9416yy=，即32y=（12x=）时取等号，所以sin的最大值为2222.给定函数()()2222,,fxxxaagxxxaaaR=+++=−+−．且,xR

用()Mx表示()fx，()gx的较大者，记为()()()=max,Mxfxgx．（1）若1a=，试写出()Mx的解析式，并求()Mx的最小值；（2）若函数()Mx的最小值为3，试求实数a的值．【答案】（1）()222,1,1xxxMxxxx++−=−−，()min74Mx=；（

2）1142a−=或1412a−=．【解析】【分析】由()Mx的定义可得()()(),=,fxxaMxgxxa−−，（1）将1a=代入，写出解析式，结合分段区间，求()fx，()gx的最小

值并比较大小，即可得()Mx的最小值；（2）结合()Mx的解析式及(),()fxgx对称轴，讨论12a、1122a−≤、12a−分别求得对应()Mx最小值关于a的表达式，结合已知求a值.【详解】由题意，当()()fxgx时，2222()22(()0)xxafxgxaxxa

axa+++−−+−=+=−，当()()fxgx时，2222()22(()0)xxafxgxaxxaaxa+++−−+−=+=−，∴()()()()(),=max,,fxxaMxfxgxgxxa−=−（1）当1a=时，(

)222,1,1xxxMxxxx++−=−−，∴当1x−时，()()22Mxfxxx==++，此时()min1724fxf=−=，当1x−时，()()2Mxgxxx==−，此时()()min12gxg=−=，()()minmin1724Mxfxf==−=

.（2）()()(),=,fxxaMxgxxa−−，且(),()fxgx对称轴分别为11,22xx=−=，①当12a−−时，即12a时，()Mx在1,2−−单调递减，1,2−+单调递增；()()minmin132Mx

fxf==−=，即21304aa+−=，1412a−=（1142a+=−舍去），②当1122a−−，即1122a−≤时，()Mx在(),a−−单调递减，(),a−+单调递增；()()2min23Mxfaa=−==，有611[,)222a

=−，故此时a无解.③当12a−，即12a−时，()Mx在1,2−单调递减，1,2+单调递增；()()minmin132Mxgxg===，即21304aa−−=，1142a−=（114

2a+=舍去）综上，得：1142a−=或1412a−=.【点睛】关键点点睛：写出()Mx的解析式，第二问需结合各分段上的函数性质-对称轴，讨论参数范围求最小值关于参数的表达式，进而求参数值.