【文档说明】高考数学(文数)一轮复习考点通关练第3章《三角函数、解三角形与平面向量》26 (含详解).ppt，共(55)页，790.500 KB，由MTyang资料小铺上传

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高考总复习首选用卷·文科数学第一部分考点通关练第三章三角函数、解三角形与平面向量考点测试26平面向量基本定理及坐标表示第1步狂刷小题·练基础一、基础小题1．已知向量a＝(2,1)，b＝(－4，m)，若a＝－12b，则m

＝()A．－2B．2C．－12D．12解析由向量的坐标运算可得1＝－12m，解得m＝－2.2．下列各组向量中，可以作为基底的是()A．e1＝(0,0)，e2＝(1，－2)B．e1＝(5,7)，e2＝(1，－2)C．e1＝(3,4)，e2＝(6,8)D．e1

＝(2,3)，e2＝－12，－34解析A、C、D三个选项中两向量均共线，由平面向量基本定理知，基底不能共线，故选B.3．若向量BA→＝(1，－3)，CA→＝(3，－8)，则2BC→＝()A．(－4,10)B．(－2,5)C

．(4,5)D．(8,10)解析BC→＝BA→＋AC→＝(1，－3)＋(－3,8)＝(－2,5)，故2BC→＝(－4,10)．4．已知点A(1，－2)，若向量AB→与向量a＝(2,3)同向，且|AB→|＝13，则点B的坐标为()A．(2,3)B．(

－2,3)C．(3,1)D．(3，－1)解析设AB→＝(x，y)，则AB→＝ka(k>0)，即x＝2k，y＝3k，由|AB→|＝13得k＝1，故OB→＝OA→＋AB→＝(1，－2)＋(2,3)＝(3,1

)．故选C.5．已知向量a＝(1,1)，2a＋b＝(4,3)，c＝(x，－2)且b∥c，则x的值为()A．4B．－4C．2D．－2解析由2a＝(2,2)及2a＋b＝(4,3)，得b＝(2,1)．由b∥c，得x＋4＝0，得x＝－4.6．已知向量OA→＝(k,12

)，OB→＝(4,5)，OC→＝(10，k)，当A、B、C三点共线时，实数k的值为()A．3B．11C．－2D．－2或11解析因为AB→＝OB→－OA→＝(4－k，－7)，BC→＝OC→－OB→＝(6，k－5)，且AB

→∥BC→，所以(4－k)(k－5)－6×(－7)＝0，解得k＝－2或11.7．已知平面直角坐标系内的两个向量a＝(1,2)，b＝(m,3m－2)，且平面内的任一向量c都可以唯一地表示成c＝λa＋μb(λ、μ为实数)，则实数m的取值范围是()A．(－∞，2)B．(2，＋∞)C．(－∞，＋

∞)D．(－∞，2)∪(2，＋∞)解析由题意知向量a，b不共线，故2m≠3m－2，即m≠2.8．已知向量AC→，AD→和AB→在正方形网格中的位置如图所示，若AC→＝λAB→＋μAD→，则λμ＝()A．－3B．3C．－4D．4解析建

立如图所示的平面直角坐标系xAy，则AC→＝(2，－2)，AB→＝(1,2)，AD→＝(1,0)，由题意可知(2，－2)＝λ(1,2)＋μ(1,0)，即2＝λ＋μ，－2＝2λ，解得

λ＝－1，μ＝3，所以λμ＝－3.故选A.9．已知向量a＝(－3,2)，b＝(－1,0)，λa＋b与a－2b垂直，则实数λ的值为()A．－17B．17C．－16D．16解析由条件得，λa＋b＝(－3λ－1,2λ)，a－2b＝(－1,2)，

因两者垂直，所以3λ＋1＋4λ＝0，解得λ＝－17.10．设A1，A2，A3，A4是平面上给定的4个不同点，则使MA1→＋MA2→＋MA3→＋MA4→＝0成立的点M的个数为()A．0B．1C．2D．4解析解法一：设M(x，y)，Ai＝(xi，yi)(i＝1,2,3,4

)，则MAi→＝(xi－x，yi－y)，由i＝14MAi→＝0，得x1＋x2＋x3＋x4－4x＝0，y1＋y2＋y3＋y4－4y＝0，即x＝14x1＋x2＋x3＋x4，y＝14y1＋y2＋y3

＋y4，故点M只有1个．解法二：取特殊值，令A1(0,0)，A2(0,1)，A3(1,1)，A4(1,0)，则满足MA1→＋MA2→＋MA3→＋MA4→＝0的条件的点有且仅有1个，即正方形A1A2A3A4的中心．11．若

α，β是一组基底，向量γ＝xα＋yβ(x，y∈R)，则称(x，y)为向量γ在基底α，β下的坐标．现已知向量a在基底p＝(1，－1)，q＝(2,1)下的坐标为(－2,2)，则向量a在另一组基底m＝(－1,1)，n＝(1,

2)下的坐标为________．(0,2)解析∵向量a在基底p，q下的坐标为(－2,2)，∴a＝－2p＋2q＝(2,4)，令a＝xm＋yn＝(－x＋y，x＋2y)，故－x＋y＝2，x＋2y＝4，即x＝0，y＝2，

故向量a在基底m，n下的坐标为(0,2)．12．已知O为坐标原点，B，D分别是单位圆与x轴正半轴，y轴正半轴的交点，点P为劣弧BD上一点，若OB→＋OD→＝xDB→＋yOP→，∠BOP＝π3，则x＋y＝________.3解析如图，∵DB→＝OB→－OD→，∴O

B→＋OD→＝x(OB→－OD→)＋yOP→.∴yOP→＝(1－x)OB→＋(1＋x)OD→①.∵∠BOP＝π3，∴OP→＝12OB→＋32OD→，∴yOP→＝y2OB→＋3y2OD→②，由①②得，1－x＝y2，1＋x＝3y2，解得x＝2－3，y＝23－2，∴x＋y＝3.二

、高考小题13．[2015·全国卷Ⅰ]已知点A(0,1)，B(3,2)，向量AC→＝(－4，－3)，则向量BC→＝()A．(－7，－4)B．(7,4)C．(－1,4)D．(1,4)解析根据题意得AB→＝(3,1)，∴BC→＝AC→－AB→＝(－4，－3)－(3,1)＝(－7，－4)．故选A

.14．[2014·福建高考]在下列向量组中，可以把向量a＝(3,2)表示出来的是()A．e1＝(0,0)，e2＝(1,2)B．e1＝(－1,2)，e2＝(5，－2)C．e1＝(3,5)，e2＝(6,10)D．e1＝(2，－3)，e2＝(－2,3)解析由平面向量基本定理可知，平面内任意

一个向量可用平面内两个不共线向量线性表示，A中，e1＝0·e2，B中，e1，e2为两个不共线向量，C中，e2＝2e1，D中，e2＝－e1.故选B.15．[2016·四川高考]已知正三角形ABC的边长为23，平面ABC内的动点P，M满足|AP→|＝1，PM→＝MC→，则|BM

→|2的最大值是()A．434B．494C．37＋634D．37＋2334解析以A为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，则A(0,0)，C(23，0)，B(3，3)．设P(x，y)，∵|AP→|＝1，∴x2＋y2＝1，∵PM→＝MC→，∴M为PC的

中点，∴Mx＋232，y2，∴|BM→|2＝x＋232－32＋y2－32＝x24＋y24－3y＋9＝14－3y＋9＝374－3y，又∵－1≤y≤1，∴当y＝－1时，|BM→|2取得最大值，且最大值为494

.16．[2015·湖南高考]已知点A，B，C在圆x2＋y2＝1上运动，且AB⊥BC.若点P的坐标为(2,0)，则|PA→＋PB→＋PC→|的最大值为()A．6B．7C．8D．9解析解法一：由圆周角定理及AB⊥BC，知AC为圆的直径．故PA→＋PC→＝2PO→＝(－4,0)(O为坐标原点)．设B(

cosα，sinα),∴PB→＝(cosα－2，sinα)，∴PA→＋PB→＋PC→＝(cosα－6，sinα)，|PA→＋PB→＋PC→|＝cosα－62＋sin2α＝37－12cosα≤37＋12＝7，当且仅当cosα＝－1时取等号，此时B(

－1,0)，故|PA→＋PB→＋PC→|的最大值为7.故选B.解法二：同解法一得PA→＋PC→＝2PO→(O为坐标原点)，又PB→＝PO→＋OB→，∴|PA→＋PB→＋PC→|＝|3PO→＋OB→|≤3|PO→|＋|OB→|＝3×2＋1＝7，当且仅当PO→

与OB→同向时取等号，此时B点坐标为(－1,0)，故|PA→＋PB→＋PC→|max＝7.故选B.17．[2016·全国卷Ⅱ]已知向量a＝(m,4)，b＝(3，－2)，且a∥b，则m＝________.－6解析因为a∥b，所以m3＝4－2，解得m

＝－6.18．[2015·江苏高考]已知向量a＝(2,1)，b＝(1，－2)，若ma＋nb＝(9，－8)，(m，n∈R)，则m－n的值为________．－3解析由a＝(2,1)，b＝(1，－2)，可得ma＋nb＝(2m，m)＋(n，－2n)＝(2m＋n，m－

2n)，由已知可得2m＋n＝9，m－2n＝－8，解得m＝2，n＝5，从而m－n＝－3.三、模拟小题19．[2016·杭州一模]已知e1，e2是表示平面内所有向量的一组基底，则下列四组向量中，不能作为一组基底的是()A．e1＋e2和e1－e2

B．3e1－2e2和4e2－6e1C．e1＋2e2和e2＋2e1D．e2和e1＋e2解析∵4e2－6e1＝－2(3e1－2e2)，∴3e1－2e2与4e2－6e1共线，又作为一组基底的两个向量一定不共线，∴它们不能作为一组

基底．20．[2016·银川一模]已知点A(6,2)，B(1,14)，则与AB→共线的单位向量为()A．1213，－513或－1213，513B．513，－1213C．－513，1213或513，－1213D．

－513，1213解析∵A(6,2)，B(1,14)，∴AB→＝(－5,12)，|AB→|＝13，则与AB→共线的单位向量为±AB→|AB→|＝±113(－5,12)＝±－513，1213.21．[2017·潍坊模拟]在△ABC中，P，Q分别是AB，BC的三等分点，

且AP＝13AB，BQ＝13BC，若AB→＝a，AC→＝b，则PQ→＝()A．13a＋13bB．－13a＋13bC．13a－13bD．－13a－13b解析由题意知PQ→＝PB→＋BQ→＝23AB→＋13BC→＝23AB→

＋13(AC→－AB→)＝13AB→＋13AC→＝13a＋13b，故选A.22．[2016·皖南八校联考]已知D是△ABC所在平面内一点，且满足(BC→－CA→)·(BD→－AD→)＝0，则△ABC是()A．等腰三角形B．直角三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形解析(BC→－CA→)·(B

D→－AD→)＝(BC→－CA→)·BA→＝0，所以BC→·BA→＝CA→·BA→，所以acosB＝bcosA，利用余弦定理化简得a2＝b2，即a＝b，所以△ABC是等腰三角形．23．[2017·广州模拟]已知在梯形ABCD中，AD∥BC，AD

＝4，BC＝6，若CD→＝mBA→＋nBC→(m，n∈R)，则mn＝()A．－3B．－13C．13D．3解析由题意得AD→＝23BC→，∴CD→＝CB→＋BA→＋AD→＝－BC→＋BA→＋23BC→＝BA→－13BC→，∵CD→＝mBA→＋nBC→，∴m＝1，n＝－

13，故mn＝－3.24．[2016·辽宁沈阳质检]在△ABC中，|AB→＋AC→|＝|AB→－AC→|，AB＝2，AC＝1，E，F为BC的三等分点，则AE→·AF→＝()A．89B．109C．259D．269解析由|AB→＋AC→|＝

|AB→－AC→|，化简得AB→·AC→＝0，又因为AB和AC为三角形的两条边，它们的长不可能为0，所以AB→与AC→垂直，所以△ABC为直角三角形．以AC所在直线为x轴，以AB所在直线为y轴建立平面直角坐标系，如图

所示，则A(0,0)，B(0,2)，C(1,0)．不妨令E为BC的靠近C的三等分点，则E23，23，F13，43，所以AE→＝23，23，AF→＝13，43，所以AE→·AF→＝23×13＋23×43＝109.25

.[2017·东莞模拟]如图所示，A，B，C是圆O上的三点，CO的延长线与线段AB交于圆内一点D，若OC→＝xOA→＋yOB→，则()A．0<x＋y<1B．x＋y>1C．x＋y<－1D．－1<x＋y<0解析∵A，D，B三点共线，∴OD→＝λOA→＋(1－λ)OB→(0<λ<1)，设OC→

＝μOD→(μ<－1)，∴OC→＝μλOA→＋μ(1－λ)OB→，∴μλ＝x，μ1－λ＝y，∴xμ＋yμ＝1，∴x＋y＝μ<－1，故选C.26．[2016·广东茂名二模]已知向量a＝(3，－2

)，b＝(x，y－1)且a∥b，若x，y均为正数，则3x＋2y的最小值是()A．24B．8C．83D．53解析∵a∥b，∴－2x－3(y－1)＝0，即2x＋3y＝3，∴3x＋2y＝3x＋2y×13(2x＋3y)＝1

36＋9yx＋4xy＋6≥1312＋29yx·4xy＝8，当且仅当2x＝3y＝32时，等号成立．∴3x＋2y的最小值是8.故选B.27．[2016·陕西西安模拟]在△ABC中，已知D是AB边上一点，若AD→＝2DB→，CD→＝13CA→＋λCB→，则λ＝

________.23解析D、A、B三点共线，∴λ＋13＝1，λ＝23.28．[2017·河北衡水中学调研]如图，已知平面内有三个向量OA→、OB→、OC→，其中OA→与OB→的夹角为120°，OA→与OC→的夹角为30°，且|OA→

|＝|OB→|＝1，|OC→|＝23.若OC→＝λOA→＋μOB→(λ，μ∈R)，则λ＋μ的值为________．6解析以O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，则A(1,0)，B－12，

32，C(3，3)．由OC→＝λOA→＋μOB→，得3＝λ－12μ，3＝32μ，解得λ＝4，μ＝2.所以λ＋μ＝6.第2步精做大题·练能力一、高考大题本考点在近三年高考中未涉及此题型．二、模拟大题1．[20

16·福建质检]已知点O(0,0)，A(1,2)，B(4,5)，且OP→＝OA→＋tAB→.(1)t为何值时，P在x轴上？P在y轴上？P在第二象限？(2)四边形OABP能否成为平行四边形？若能，求出相应的t值；若不能，请说明理

由？解OA→＝(1,2)，AB→＝(3,3)，OP→＝(1,2)＋t(3,3)＝(1＋3t,2＋3t)(1)若P在x轴上，则有2＋3t＝0，∴t＝－23；若P在y轴上，则有1＋3t＝0，∴t＝－13；若P在第二象限，则有1＋3t<0，2＋3t>0，解得－23<t<－13.(2

)不能．理由：PB→＝OB→－OP→＝(3－3t,3－3t)，若四边形OABP是平行四边形，则有OA→＝PB→，即有3－3t＝1，且3－3t＝2这显然是不可能的，因此，四边形OABP不能成为平行四边形．2．[2017·湖北荆门调研]在如图所示的平面直角坐标系中

，已知点A(1,0)和点B(－1,0)，|OC→|＝1，且∠AOC＝x，其中O为坐标原点．(1)若x＝34π，设点D为线段OA上的动点，求|OC→＋OD→|的最小值；(2)若x∈0，π2，向量m＝BC→，n＝(1－cosx，sinx－2cosx)，求m·n的最小值及对应

的x值．解(1)设D(t,0)(0≤t≤1)，由题易知C－22，22，所以OC→＋OD→＝－22＋t，22，所以|OC→＋OD→|2＝12－2t＋t2＋12＝t2－2t＋1＝t－222＋12(0≤t≤1)，所以当t＝22时，|OC→＋OD

→|2最小，则|OC→＋OD→|最小，最小值为22.(2)由题意得C(cosx，sinx)，m＝BC→＝(cosx＋1，sinx)，则m·n＝1－cos2x＋sin2x－2sinxcosx＝1－cos2x－sin2x

＝1－2sin2x＋π4.因为x∈0，π2，所以π4≤2x＋π4≤5π4，所以当2x＋π4＝π2，即x＝π8时，sin2x＋π4取得最大值1，所以m·n的最小值为1－2，此时x＝π8.