【文档说明】高考数学(文数)一轮复习考点通关练第3章《三角函数、解三角形与平面向量》22 (含详解).ppt，共(50)页，585.000 KB，由MTyang资料小铺上传

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高考总复习首选用卷·文科数学第一部分考点通关练第三章三角函数、解三角形与平面向量考点测试22简单的三角恒等变换第1步狂刷小题·练基础一、基础小题1．已知tanα＝2，则sin2αcos2α的值为()A．2B．3C．4D．6解析sin2αcos2α＝2sinα

cosαcos2α＝2tanα＝4，故选C.2．已知cosα＝13，α∈(π，2π)，则cosα2等于()A．63B．－63C．33D．－33解析∵cosα＝13，α∈(π，2π)，∴α2∈

π2，π.∴cosα2＝－1＋cosα2＝－1＋132＝－63.3.sin180°＋2α1＋cos2α·cos2αcos90°＋α等于()A．－sinαB．－cosαC．sinαD．cosα解析原式＝－sin2α·cos2α1＋cos2α

·－sinα＝2sinα·cosα·cos2α2cos2α·sinα＝cosα.4．cos20°cos40°cos80°的值为()A．12B．14C．18D．116解析cos20°·cos40°·cos80°＝8sin20°cos20°cos40°cos80°8sin

20°＝sin160°8sin20°＝18.5．已知sinα＋cosα＝2，则tanα＋cosαsinα的值为()A．－1B．－2C．12D．2解析依题意得(sinα＋cosα)2＝1＋2sinαcosα＝2，所以2sinαcosα＝1，从而tanα

＋cosαsinα＝1sinαcosα＝22sinαcosα＝2，因此选D.6．若tan20°＋msin20°＝3，则m的值为________．4解析由于tan20°＋msin20°＝3，所以m＝3－t

an20°sin20°＝3cos20°－sin20°sin20°cos20°＝232cos20°－12sin20°12sin40°＝4sin60°－20°sin40°＝4.7．若cosα＝

－45，α是第三象限角，则1＋tanα21－tanα2＝________.－12解析解法一：由题意知，sinα＝－35，所以1＋tanα21－tanα2＝cosα2＋sinα2cosα2－sinα2＝

cosα2＋sinα22cos2α2－sin2α2＝1＋sinαcosα＝1－35－45＝－12.解法二：tanα2＝sinα2cosα2＝2sin2α22sinα2cosα2＝1－cosαsinα＝1＋45－35＝－3，所以1＋tanα21－tanα2＝－12.8

．设a＝12cos6°－32sin6°，b＝2tan13°1＋tan213°，c＝1－cos50°2，则a，b，c的大小关系为________．a<c<b解析a＝sin30°cos6°－cos30°sin6°＝sin24°，b＝2sin13°cos13°1＋sin213°

cos213°＝2sin13°cos13°＝sin26°，c＝1－1－2sin225°2＝sin25°，由于sinα在(0°，90°)上单调递增，故a，b，c的大小关系为a<c<b.二、高考小题9．[2015·重庆高考]若tanα＝13，tan(α

＋β)＝12，则tanβ＝()A.17B.16C.57D.56解析tanβ＝tan[(α＋β)－α]＝tanα＋β－tanα1＋tanα＋β·tanα＝12－131＋12×13＝17，故选A.10．[

2016·浙江高考]已知2cos2x＋sin2x＝Asin(ωx＋φ)＋b(A>0)，则A＝________，b＝________.2解析∵2cos2x＋sin2x＝1＋cos2x＋sin2x＝2sin

2x＋π4＋1，∴A＝2，b＝1.111．[2016·全国卷Ⅰ]已知θ是第四象限角，且sinθ＋π4＝35，则tanθ－π4＝________.－43解析解法一：∵sinθ＋π4＝22×(sinθ＋cosθ)＝35，∴sinθ＋co

sθ＝325，①∴2sinθcosθ＝－725.∵θ是第四象限角，∴sinθ<0，cosθ>0，∴sinθ－cosθ＝－1－2sinθcosθ＝－425，②由①②得sinθ＝－210，cosθ＝7210，∴tan

θ＝－17，∴tanθ－π4＝tanθ－11＋tanθ＝－43.解法二：∵θ＋π4＋π4－θ＝π2，∴sinθ＋π4＝cosπ4－θ＝35，又2kπ－π

2<θ<2kπ，k∈Z，∴2kπ－π4<θ＋π4<2kπ＋π4，k∈Z，∴cosθ＋π4＝45，∴sinπ4－θ＝45，∴tanπ4－θ＝sin

π4－θcosπ4－θ＝43，∴tanθ－π4＝－tanπ4－θ＝－43.12．[2014·全国卷Ⅱ]函数f(x)＝sin(x＋2φ)－2sinφcos(x＋φ)的最大值为________．1解析由三角恒等变换公式得f(x)

＝sin(x＋2φ)－2sinφcos(x＋φ)＝sin(x＋2φ)－2sinφ(cosxcosφ－sinxsinφ)＝sin(x＋2φ)－cosxsin2φ－sinxcos2φ＋sinx＝sin(x＋2φ)－sin(x＋2φ)＋sinx＝sinx，故函数f(x)的最大值为1.三、模拟小题13．

[2016·沈阳三模]已知θ∈－π2，π2且sinθ＋cosθ＝a，其中a∈(0,1)，则tanθ的可能取值是()A．－3B．3或13C．－13D．－3或－13解析解法一：由sinθ＋cosθ＝a可得2sinθ·cosθ＝a2－1，由a∈(

0,1)及θ∈－π2，π2，得sinθ·cosθ<0且|sinθ|<|cosθ|，θ∈－π4，0，从而tanθ∈(－1,0)，故选C.解法二：用单位圆中三角函数线的知识可知θ∈－π4，0，从而tanθ∈(－1,0)，故选C.14．[201

6·烟台模拟]已知cosα＝35，cos(α＋β)＝－513，α，β都是锐角，则cosβ＝()A．－6365B．－3365C．3365D．6365解析∵α，β是锐角，∴0<α＋β<π，又cos(α＋β)＝－513，∴sin(α＋β)＝1213，sinα＝45.又cosβ＝cos(

α＋β－α)＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα＝－513×35＋1213×45＝3365.15．[2017·济南模拟]已知sinα＋π6－cosα＝13，则cos

2α－π3＝()A．－518B．518C．－79D．79解析由sinα＋π6－cosα＝13，得32sinα＋12cosα－cosα＝sinα－π6＝13，得cos2α－π3＝1－2sin

2α－π6＝1－29＝79.16．[2017·西安模拟]sin2α－π6＋sin2α＋π6－sin2α＝()A．－12B．－32C．12D．32解析解法一：原式＝1－cos

2α－π32＋1－cos2α＋π32－sin2α＝1－12cos2α－π3＋cos2α＋π3－sin2α＝1－cos2αcosπ3－sin2α＝1－c

os2α2－1－cos2α2＝12.解法二：令α＝0，则原式＝14＋14＝12.17．[2017·衡水调研]已知sinα－sinβ＝63，cosα－cosβ＝33，则cosα－β2＝________.32解析由题意得sinα－sinβ＝63①，cosα－cosβ＝3

3②，①2＋②2得，2－2(sinαsinβ＋cosαcosβ)＝1，即cos(α－β)＝12，∴cos2α－β2＝1＋cosα－β2＝34，∴cosα－β2＝32.18

．[2016·湖北随州质检]已知α∈0，π2，且2sin2α－sinαcosα－3cos2α＝0，则sinα＋π4sin2α＋cos2α＋1＝________.268解析由2sin2α－sinαcosα－3cos2α＝

0，得(2sinα－3cosα)·(sinα＋cosα)＝0，∵α∈0，π2，∴sinα＋cosα>0，∴2sinα＝3cosα，又sin2α＋cos2α＝1，∴cosα＝213，sinα＝313，∴sinα＋π4sin2α＋cos2α＋1＝22

sinα＋cosαsinα＋cosα2＋－sin2α＋cos2α＝268.第2步精做大题·练能力一、高考大题1．[2014·江苏高考]已知α∈π2，π，sinα＝55.(1)求sinπ4＋α的值；(2)求cos

5π6－2α的值．解(1)因为α∈π2，π，sinα＝55，所以cosα＝－1－sin2α＝－255.故sinπ4＋α＝sinπ4cosα＋cosπ4sinα＝22×

－255＋22×55＝－1010.(2)由(1)知sin2α＝2sinαcosα＝2×55×－255＝－45，cos2α＝1－2sin2α＝1－2×552＝35，所以cos5π6－2α＝cos5π6c

os2α＋sin5π6sin2α＝－32×35＋12×－45＝－4＋3310.2．[2014·广东高考]已知函数f(x)＝Asinx＋π3，x∈R，且f5π12＝322.(1)求A的值；(2)若f(θ)－f(－θ)＝3，θ

∈0，π2，求fπ6－θ.解(1)由f5π12＝322，得Asin5π12＋π3＝322⇒Asin3π4＝322⇒22A＝322⇒A＝3.

(2)由f(θ)－f(－θ)＝3，得3sinθ＋π3－3sin－θ＋π3＝3，即3sinθ＋π3＋3sinθ－π3＝3，化简整理得6sinθcosπ3

＝3，∴3sinθ＝3，∴sinθ＝33.∵θ∈0，π2，∴cosθ＝63，∴fπ6－θ＝3sinπ6－θ＋π3＝3sinπ2－θ＝3cosθ＝6.二、模拟大题

3．[2016·广东六校联考]已知函数f(x)＝sinx＋π12，x∈R.(1)求f－π4的值；(2)若cosθ＝45，θ∈0，π2，求f2θ－π3.解(1)f－π4＝sin－π4＋π12＝s

in－π6＝－12.(2)f2θ－π3＝sin2θ－π3＋π12＝sin2θ－π4＝22(sin2θ－cos2θ)．因为cosθ＝45，θ∈

0，π2，所以sinθ＝35，所以sin2θ＝2sinθcosθ＝2425，cos2θ＝cos2θ－sin2θ＝725，所以f2θ－π3＝22(sin2θ－cos2θ)＝22×2425－725＝

17250.4．[2017·黄山月考]设sinα＝－35，sinβ＝1213，且α∈π，3π2，β∈π2，π，求sin(α－β)，cos2α，tanβ2的值．解∵sinα＝－35，sinβ＝1213，且α∈

π，3π2，β∈π2，π，∴cosα＝－1－－352＝－45，cosβ＝－1－12132＝－513.∴sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ＝

－35×－513－－45×1213＝6365，cos2α＝1－2sin2α＝1－2×－352＝725，tanβ2＝sinβ1＋cosβ＝12131－513＝32.5．[2017·咸阳质检]已知角α的顶点在坐标原点，始边与x轴的正半轴重合，终边经

过点P(－3，3)．(1)求sin2α－tanα的值；(2)若函数f(x)＝cos(x－α)cosα－sin(x－α)sinα，求函数g(x)＝3fπ2－2x－2f2(x)在区间0，2π3上的取值范围．解(1)∵角α的终边经过点P(－3，3)

，∴sinα＝12，cosα＝－32，tanα＝－33.∴sin2α－tanα＝2sinαcosα－tanα＝－32＋33＝－36.(2)∵f(x)＝cos(x－α)cosα－sin(x－α)sinα＝cosx，x∈R，∴g(x)＝3cos

π2－2x－2cos2x＝3sin2x－1－cos2x＝2sin2x－π6－1，∵0≤x≤2π3，∴－π6≤2x－π6≤7π6.∴－12≤sin2x－π6≤1，∴－2≤2sin2x－π6－1≤1，故函数g(x)＝3f

π2－2x－2f2(x)在区间0，2π3上的取值范围是[－2,1]．6．[2017·南昌调研]已知函数f(x)＝cosxsinx＋π3－3sinx＋π2＋34.(1)若fθ2

＋5π12＝310，0<θ<π2，求tanθ的值；(2)求f(x)的最小正周期及函数g(x)＝f－x2的单调增区间．解f(x)＝cosxsinx＋π3－3sinx＋π2＋34＝cosx

12sinx＋32cosx－3cosx＋34＝cosx12sinx－32cosx＋34＝12sinxcosx－32cos2x＋34＝14sin2x－34cos2x－34＋34＝14sin2x－34cos2x

＝12sin2x－π3.(1)由于fθ2＋5π12＝310，所以12sinθ＋5π6－π3＝310，即12cosθ＝310，所以cosθ＝35.又θ∈0，π2，所以sinθ＝1－cos2

θ＝45，从而tanθ＝sinθcosθ＝43.(2)f(x)的最小正周期T＝2π2＝π.又g(x)＝f－x2＝12sin－x－π3＝－12sinx＋π3，令2kπ＋π2≤x＋π3≤2kπ＋3π2，得2kπ＋π6

≤x≤2kπ＋7π6，k∈Z，故g(x)的单调增区间是2kπ＋π6，2kπ＋7π6(k∈Z)．