【文档说明】高考数学(文数)一轮复习考点通关练第3章《三角函数、解三角形与平面向量》23 (含详解).ppt，共(47)页，528.500 KB，由MTyang资料小铺上传

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高考总复习首选用卷·文科数学第一部分考点通关练第三章三角函数、解三角形与平面向量考点测试23正弦定理和余弦定理第1步狂刷小题·练基础一、基础小题1．在△ABC中，C＝60°，AB＝3，BC＝2，那么A等于()A．135°B

．105°C．45°D．75°解析由正弦定理知BCsinA＝ABsinC，即2sinA＝3sin60°，所以sinA＝22，又由题知0°<A<120°，所以A＝45°，故选C.2．在△ABC中，“sinA<sinB”是“A<B”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充

分也不必要条件解析根据正弦定理，“sinA<sinB”等价于“a<b”，根据“大边对大角”，得“a<b”等价于“A<B”．3．在△ABC中，根据下列条件解三角形，其中有两个解的是()A．b＝10，A＝45°，C＝60°B．a＝6，c＝5，B＝6

0°C．a＝14，b＝16，A＝45°D．a＝7，b＝5，A＝60°解析由条件解三角形，其中有两解的是已知两边及其一边的对角．C中，sinB＝bsinAa＝16×sin45°14＝427<1，b>a，B>A，角B有两个解，选C.4．在△ABC中，AB＝23，AC＝2，C＝π3，则BC＝()

A．2B．4C．11＋3D．11－3解析设BC＝x，由余弦定理，AB2＝AC2＋BC2－2·AC·BC·cosC，得12＝4＋x2－2×2×x×12，x2－2x－8＝0，x＝4或x＝－2(舍去)．5．在△ABC中，若sin2A＋sin2B<sin2C，则△ABC的形状是()A．锐角三

角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不能确定解析由正弦定理得a2＋b2<c2，所以cosC＝a2＋b2－c22ab<0，所以C是钝角，故△ABC是钝角三角形．6．在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，若A＝60°，a＝3，b＋c＝3，则△

ABC的面积为()A．32B．34C．3D．2解析由余弦定理可得a2＝b2＋c2－2bccosA＝(b＋c)2－2bc－2bccosA，∴代入已知可得3＝9－3bc，从而解得bc＝2，∴S△ABC＝1

2bcsinA＝12×2×32＝32，故选A.7.如图，在△ABC中，∠B＝45°，D是BC边上一点，AD＝5，AC＝7，DC＝3，则AB的长为()A．32B．532C．562D．56解析在△ADC中，∵AD＝5，AC＝7，DC＝3，∴cos∠ADC

＝AD2＋DC2－AC22AD·DC＝－12，∴∠ADC＝120°，∠ADB＝60°，在△ABD中，AD＝5，∠B＝45°，∠ADB＝60°，由正弦定理ABsin∠ADB＝ADsinB，得AB＝562.8．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且acosC＋32c＝b，则A＝_

_______.π6解析由余弦定理得cosC＝a2＋b2－c22ab，将其代入acosC＋32c＝b中得，a×a2＋b2－c22ab＋32c＝b，化简整理得b2＋c2－a2＝3bc，于是cosA＝b2＋c2－a22bc＝32，所以A＝π6.二、高考小

题9．[2016·全国卷Ⅰ]△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知a＝5，c＝2，cosA＝23，则b＝()A.2B.3C．2D．3解析由余弦定理，得5＝22＋b2－2×2bcosA，∵cosA＝23，∴3b2－8b－3＝0，∴

b＝3b＝－13舍去.故选D.10．[2016·山东高考]△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c.已知b＝c，a2＝2b2(1－sinA)，则A＝()A.3π4B.π3C.π4D.π6解析在△ABC中，由b＝c，得cosA＝b2

＋c2－a22bc＝2b2－a22b2，又a2＝2b2(1－sinA)，所以cosA＝sinA，即tanA＝1，又知A∈(0，π)，所以A＝π4，故选C.11．[2015·广东高考]设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝2，c＝23，cosA＝

32且b<c，则b＝()A．3B．22C．2D.3解析由余弦定理b2＋c2－2bccosA＝a2，得b2－6b＋8＝0，解得b＝2或b＝4，∵b<c＝23，∴b＝2.选C.12．[2016·北京高考]在△ABC中，∠A＝2π3，a＝3c，则bc＝________.1解析在△ABC中，a2＝b

2＋c2－2bccosA，将∠A＝2π3，a＝3c代入，可得(3c)2＝b2＋c2－2bc·－12，整理得2c2＝b2＋bc.∵c≠0，∴等式两边同时除以c2，得2＝b2c2＋bcc2，即2＝bc2＋bc.令t＝bc(t>

0)，有2＝t2＋t，即t2＋t－2＝0，解得t＝1或t＝－2(舍去)，故bc＝1.13．[2015·重庆高考]设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝2，cosC＝－14，3sinA

＝2sinB，则c＝________.4解析由3sinA＝2sinB及正弦定理，得3a＝2b，又a＝2，所以b＝3，故c2＝a2＋b2－2abcosC＝4＋9－2×2×3×－14＝16，所以c＝4.三、模拟小题14．[2016·九江月考]已知△ABC中，内角A，B，C所对边长分

别为a，b，c，若A＝π3，b＝2acosB，c＝1，则△ABC的面积等于()A．32B．34C．36D．38解析由正弦定理得sinB＝2sinAcosB，故tanB＝2sinA＝2sinπ3＝3，又B∈(0，π)，所

以B＝π3，又A＝B＝π3，则△ABC是正三角形，所以S△ABC＝12bcsinA＝12×1×1×32＝34.15．[2016·四川成都调研]若△ABC的内角A，B，C满足6sinA＝4sinB＝3sinC，则cosB＝()A．154B．34C．31516D．1116解析

6sinA＝4sinB＝3sinC，即6a＝4b＝3c，可设a＝2k，b＝3k，c＝4k，(k>0)由余弦定理得cosB＝a2＋c2－b22ac＝1116.16．[2016·大庆一模]若满足条件AB＝3，C＝π3的三角形ABC

有两个，则边长BC的取值范围是()A．(1，2)B．(2，3)C．(3，2)D．(2，2)解析设BC＝a，∵C＝π3，AB＝3，∴由正弦定理ABsinC＝BCsinA，得332＝asinA，∴sinA＝a2.由题意得，当A∈

π3，2π3且A≠π2时，满足条件的△ABC有两个，∴32<a2<1，解得3<a<2，则边长BC的取值范围是(3，2)．17．[2017·长沙模拟]在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a2＋b2＝4a＋2b－5且a2＝b2＋c2－bc，则

sinB的值为()A．32B．34C．22D．35解析由a2＋b2＝4a＋2b－5可知(a－2)2＋(b－1)2＝0，故a＝2且b＝1.又a2＝b2＋c2－bc，所以cosA＝b2＋c2－a22bc＝bc2bc＝12，故sinA＝32.根据正弦定理有asinA＝bsinB，所以sinB＝322

＝34，故选B.18．[2016·长春二模]在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2asinA＝(2sinB＋sinC)b＋(2c＋b)sinC，则A＝________.120°解析由已知，根据正弦定理得2a2＝(2b＋c)b＋(2c＋b)c，即a2＝b

2＋c2＋bc.由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA，故cosA＝－12，又A为三角形的内角，故A＝120°.第2步精做大题·练能力一、高考大题1．[2016·天津高考]在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知as

in2B＝3bsinA.(1)求B；(2)若cosA＝13，求sinC的值．解(1)在△ABC中，由asinA＝bsinB，可得asinB＝bsinA，又由asin2B＝3bsinA，得2asinBcosB＝3bsinA＝3asinB，所以

cosB＝32，得B＝π6.(2)由cosA＝13，可得sinA＝223，则sinC＝sin[π－(A＋B)]＝sin(A＋B)＝sinA＋π6＝32sinA＋12cosA＝26＋16.2．[2015·全国卷Ⅰ]已知a，b，c分别为△AB

C内角A，B，C的对边，sin2B＝2sinAsinC.(1)若a＝b，求cosB；(2)设B＝90°，且a＝2，求△ABC的面积．解(1)由题设及正弦定理，可得b2＝2ac.又a＝b，可得b＝2c，a＝2c.由余弦定理可得cosB＝a2＋c2－b22a

c＝14.(2)由(1)知b2＝2ac.因为B＝90°，由勾股定理得a2＋c2＝b2.故a2＋c2＝2ac，得c＝a＝2.所以△ABC的面积为1.二、模拟大题3．[2017·厦门质检]在△ABC中，点D在BC边上，已知cos∠

CAD＝255，cosC＝31010.(1)求∠ADC；(2)若AB＝10，CD＝6，求BD.解(1)在△ADC中，∠CAD，∠C∈(0，π)，又∵cos∠CAD＝255，cosC＝31010，∴sin∠CAD＝55，sinC

＝1010，∴cos∠ADC＝－cos(∠CAD＋∠C)＝－cos∠CADcosC＋sin∠CADsinC＝－255×31010＋55×1010＝－22.所以∠ADC＝3π4.(2)在△ADC中，由正弦定理，得AD＝DC·sinCsin∠CAD＝32.在△AB

D中，∠ADB＝π－∠ADC＝π4.由余弦定理，得10＝BD2＋18－2×32×BD×22，化简得BD2－6BD＋8＝0，解得BD＝4或BD＝2.综上所述，BD＝4或BD＝2.4．[2017·广东适应考试]已知顶点在单位圆上的△ABC中，

内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2acosA＝ccosB＋bcosC.(1)cosA的值；(2)若b2＋c2＝4，求△ABC的面积．解(1)2acosA＝ccosB＋bcosC，由正弦定理得2si

nA·cosA＝sinCcosB＋sinBcosC，即2sinA·cosA＝sin(B＋C)＝sinA.又∵0<A<π，∴sinA≠0，∴2cosA＝1，cosA＝12.(2)由cosA＝12，得sinA＝32.由正弦定理asinA＝2R＝2(R为外接圆的半径，外接圆为单位圆

)，得a＝2sinA＝3.由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccosA，即bc＝b2＋c2－a2＝4－3＝1.∴S△ABC＝12bcsinA＝12×1×32＝34.5．[2017·邯郸模拟]在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满

足acosB＋bcosA＝2ccosC.(1)求C；(2)若△ABC的面积为23，a＋b＝6，求∠ACB的角平分线CD的长度．解(1)已知acosB＋bcosA＝2ccosC，由正弦定理，得sinAcosB＋sinBcosA＝2

sinCcosC，所以sin(A＋B)＝2sinCcosC，即sinC＝2sinCcosC.因为0<C<π，所以cosC＝12，故C＝π3.(2)解法一：由已知，得S＝12absinC＝34ab＝23，所以ab＝8.又a＋b＝6，解得a＝2，b＝4或a＝

4，b＝2.当a＝2，b＝4时，由余弦定理，得c2＝4＋16－2×2×4×12＝12，所以c＝23.所以b2＝a2＋c2，△ABC为直角三角形，∠B＝π2.因为CD平分∠ACB，所以∠BCD＝π6.在Rt△BCD中，CD＝2cosπ6＝4

33.当a＝4，b＝2时，同理可得CD＝2cosπ6＝433.解法二：在△ABC中，因为CD平分∠ACB，所以∠ACD＝∠BCD＝π6.因为S△ABC＝S△ACD＋S△BCD，所以S△ABC＝

12b·CD·sinπ6＋12a·CD·sinπ6＝12CD·sinπ6·(a＋b)＝14(a＋b)·CD.因为S△ABC＝23，a＋b＝6，即23＝14×6·CD，解得CD＝433.6．[2016·

兰州诊断]在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a3cosA＝csinC.(1)求A的大小；(2)若a＝6，求b＋c的取值范围．解(1)∵a3cosA＝csinC＝asinA，∴3c

osA＝sinA，∴tanA＝3，∵0<A<π，∴A＝π3.(2)∵asinA＝bsinB＝csinC＝6sinπ3＝43，∴b＝43sinB，c＝43sinC，∴b＋c＝43sinB＋43sinC＝43[sinB＋sin(

π－A－B)]＝43sinB＋sinπ3＋B＝12sinB＋π6，∵π6<B＋π6<5π6，∴6<12sinB＋π6≤12，即b＋c∈(6,12]．