【文档说明】高考数学(文数)一轮复习考点通关练第3章《三角函数、解三角形与平面向量》27 (含详解).ppt，共(56)页，809.500 KB，由MTyang资料小铺上传

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高考总复习首选用卷·文科数学第一部分考点通关练第三章三角函数、解三角形与平面向量考点测试27平面向量的数量积及应用第1步狂刷小题·练基础一、基础小题1．已知向量a＝(－2，－1)，b＝(m,1)，m∈R，若a⊥b，则m的值为()A．－12B．12C．2D．－

2解析由a⊥b，得a·b＝0，即－2m－1＝0，则m＝－12.故选A.2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，则AB→·AC→等于()A．－16B．－8C．8D．16解析因为cosA＝|AC→||AB→|，故AB→

·AC→＝|AB→||AC→|cosA＝|AC→|2＝16，故选D.3．已知向量a＝(2,7)，b＝(x，－3)，且a与b的夹角为钝角，则实数x的取值范围为()A．x<212B．－67<x<212C．x<67D．x<212且x≠－67解析由a·b＝2x－21<

0，得x<212.当a与b共线时，2x＝7－3，则x＝－67.故x的取值范围为x<212且x≠－67.选D.4．已知|a|＝3，|b|＝5且a·b＝12，则a在b方向上的投影为()A.125B．3C．4D．5解析向量a在b方向上的投影为|a|cos〈a，b〉＝a·

b|b|＝125，故选A.5．已知△ABC为等边三角形，AB＝2.设点P，Q满足AP→＝λAB→，AQ→＝(1－λ)AC→，λ∈R.若BQ→·CP→＝－32，则λ等于()A.12B.1±22C.1±102D.－3±222解析以点A为坐标原点，AB所在直线为x轴

建立平面直角坐标系，则B(2,0)，C(1，3)，由AP→＝λAB→，得P(2λ，0)，由AQ→＝(1－λ)AC→，得Q(1－λ，3(1－λ))，所以BQ→·CP→＝(－λ－1，3(1－λ))·(2λ－1，－3)＝－(λ＋1)(2λ－1)－3×3(1－λ)＝－32

，解得λ＝12.6．已知向量a，b夹角为45°，且|a|＝1，|2a－b|＝10，则|b|＝________.32解析由题意得(2a－b)2＝4|a|2＋|b|2－4a·b＝4＋|b|2－4×1×|b|cos45°＝10，即|b|2

－22|b|－6＝0，解得|b|＝32.7．已知|a|＝|b|＝2，(a＋2b)·(a－b)＝－2，则向量a与b的夹角为________．解析由|a|＝|b|＝2，(a＋2b)·(a－b)＝－2，得a·b＝2，cos〈a，b〉＝a·b|a||b|＝22×2＝12，所以〈a，b〉

＝π3.π38．在平行四边形ABCD中，∠A＝π3，边AB，AD的长分别为2,1.若M，N分别是边BC，CD上的点，且满足|BM→||BC→|＝|CN→||CD→|，则AM→·AN→的取值范围是_____

___．[2,5]解析如图，以点A为坐标原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，则B(2,0)，C52，32，D12，32，设M(x1，3(x1－2))，Nx2，32，由条件可得2|BM→|＝|CN→|，代入坐标化简得4x1＋x

2＝212，得x2＝212－4x1，所以AM→·AN→＝(x1，3(x1－2))·x2，32＝x1212－4x1＋32(x1－2)＝－4x21＋12x1－3，x1∈

2，52.由二次函数的图象可知y＝－4x21＋12x1－3在x1∈2，52上是减函数，所以AM→·AN→的取值范围是[2,5]．二、高考小题9．[2016·全国卷Ⅲ]已知向量BA→＝

12，32，BC→＝32，12，则∠ABC＝()A．30°B．45°C．60°D．120°解析cos∠ABC＝BA→·BC→|BA→|·|BC→|＝32，所以∠ABC＝30°，故选A.10．[2016·山东高

考]已知非零向量m，n满足4|m|＝3|n|，cos〈m，n〉＝13.若n⊥(tm＋n)，则实数t的值为()A．4B．－4C．94D．－94解析因为n⊥(tm＋n)，所以tm·n＋n2＝0，所以m·n＝－n2t，又4|m|＝3|n|，所以cos〈m，n〉＝m·n|

m|·|n|＝4m·n3|n|2＝－43t＝13，所以t＝－4.故选B.11．[2016·天津高考]已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D，E分别是边AB，BC的中点，连接DE并延长到点F，使得DE＝2EF，则AF→·BC→的值为()A．－58B．18C．14D．1

18解析建立平面直角坐标系，如图．则B－12，0，C12，0，A0，32，所以BC→＝(1,0)．易知DE＝12AC，则EF＝14AC＝14，因为∠FEC＝60°，所以点F的

坐标为18，－38，所以AF→＝18，－538，所以AF→·BC→＝18，－538·(1,0)＝18.故选B.12．[2016·全国卷Ⅰ]设向量a＝(x，x＋1)，b＝(1,2)，且a⊥b，则x＝___

_____.解析因为a⊥b，所以x＋2(x＋1)＝0，解得x＝－23.－2313．[2016·浙江高考]已知平面向量a，b，|a|＝1，|b|＝2，a·b＝1.若e为平面单位向量，则|a·e|＋|b·e|的最大

值是________．7解析解法一：由已知易得a，b所成角为60°，如图．设向量e与a所成角为α，e与b所成角为β，则α与β的关系为β＝60°－α(e在区域Ⅰ)或β＝60°＋α(e在区域Ⅱ)或β＝300°－α(e在区域Ⅲ)或β＝α－60°(e在区域Ⅳ)．当β＝60°－α(e在区域Ⅰ)时

，|a·e|＋|b·e|＝cosα＋2cosβ＝2cosα＋3sinα＝7sin(α＋φ)，其中tanφ＝233，则φ>30°，∵φ≤α＋φ≤60°＋φ，∴|a·e|＋|b·e|的最大值为7.同理可得另三种情况下所求最大值均为

7.故|a·e|＋|b·e|的最大值为7.解法二：∵|a·e|＋|b·e|＝a·e|e|＋b·e|e|，即a在e方向上投影的绝对值与b在e方向上投影的绝对值的和，∴当e与a＋b平行时，|a·

e|＋|b·e|取得最大值，|a·e|＋|b·e|的最大值＝|a＋b|＝|a|2＋|b|2＋2a·b＝7.14.[2016·江苏高考]如图，在△ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点，BA→·CA→＝4，BF→·CF→＝－1，则BE→·CE→的值是________．78解析由已

知可得BE→＝BD→＋DE→＝12BC→＋23DA→＝12BC→－23AD→＝12(AC→－AB→)－13(AB→＋AC→)＝16AC→－56AB→，CE→＝CD→＋DE→＝12CB→＋23DA→＝12CB→－23AD→＝12(AB→－A

C→)－13(AB→＋AC→)＝16AB→－56AC→，BF→＝BD→＋DF→＝12BC→＋13DA→＝12(AC→－AB→)－16(AB→＋AC→)＝13AC→－23AB→，CF→＝CD→＋DF→＝12CB→＋13DA→＝12(AB→－

AC→)－16(AB→＋AC→)＝13AB→－23AC→，因为BA→·CA→＝4，所以AB→·AC→＝4，则BF→·CF→＝13AC→－23AB→·13AB→－23AC→＝19AB→·AC→－29AB→2－29AC→2＋49AB→·AC→＝59AB→·AC→－2

9(AB→2＋AC→2)＝59×4－29(AB→2＋AC→2)＝－1，所以AB→2＋AC→2＝292，从而BE→·CE→＝16AC→－56AB→·16AB→－56AC→＝－536AB→2－536AC→2＋2636AB

→·AC→＝－536(AB→2＋AC→2)＋2636AB→·AC→＝－536×292＋2636×4＝6372＝78.三、模拟小题15．[2017·安徽皖江名校联考]在△ABC中，已知向量AB→＝(2,2)，|AC→|＝2，AB→·AC→＝－4，则△AB

C的面积为()A．4B．5C．2D．3解析∵AB→＝(2,2)，∴|AB→|＝22＋22＝22.∵AB→·AC→＝|AB→|·|AC→|cosA＝22×2cosA＝－4，∴cosA＝－22，∵0<A<π，∴sinA＝

22，∴S△ABC＝12|AB→|·|AC→|sinA＝2.故选C.16．[2016·江西赣南五校二模]△ABC的外接圆的圆心为O，半径为1,2AO→＝AB→＋AC→且|OA→|＝|AB→|，则向量BA→在BC→方向上的投影为()A．12B．32C．－12D．－32解析由2AO→＝AB→＋AC→可

知O是BC的中点，即BC为△ABC外接圆的直径，所以|OA→|＝|OB→|＝|OC→|，由题意知|OA→|＝|AB→|＝1，故△OAB为等边三角形，所以∠ABC＝60°.所以向量BA→在BC→方向上的投影为|BA→|cos∠ABC＝1×cos60°＝12.故选A.17.[2016·昆明三中模拟

]如图，在等腰直角△ABO中，设OA→＝a，OB→＝b，OA＝1，OB＝1，C为AB上靠近点A的四等分点，过C作AB的垂线l，设P为垂线上任一点，OP→＝p，则p·(b－a)＝()A．－12B．12C．－32D．32解析OP→·(OB→－OA→)＝OP→·AB→＝(OA→

＋AC→＋CP→)·AB→＝OA→＋14AB→＋CP→·AB→＝OA→·AB→＋14AB→2＋CP→·AB→＝1×2×cos3π4＋14(2)2＋0＝－12.∴p·(b－a)＝－12.18．[2016·滨州模拟]向量a＝(2,0)，b＝(x，y)，若b与b－a的夹角等于π

6，则|b|的最大值为()A．2B．23C．4D．433解析由题意可知a，b不共线且|a|＝2，由a＝b－(b－a)，则有|a|2＝|b－a|2＋|b|2－2|b－a|·|b|cosπ6，即4＝|b－a|2＋|b|2－2|b|·|b－a|×32，即|b

－a|2－3|b|·|b－a|＋|b|2－4＝0，则判别式Δ＝(3|b|)2－4(|b|2－4)≥0，即3|b|2－4|b|2＋16≥0，∴|b|2≤16，即|b|≤4，∴|b|的最大值为4.19．[2017·福建福州一中模拟]已知非零向量a，b，c满

足|a|＝|b|＝|a－b|，〈c－a，c－b〉＝2π3，则|c||a|的最大值为________．233解析设OA→＝a，OB→＝b，则BA→＝a－b.∵非零向量a，b，c满足|a|＝|b|＝|a－b|，∴△OAB是等边三角形．设OC→＝c，则AC→＝c－a，BC→＝c－b.∵〈c－a，c－b

〉＝2π3，∴点C在△ABC的外接圆上，∴当OC为△ABC的外接圆的直径时，|c||a|取得最大值，为1cos30°＝233.20．[2017·河北石家庄模拟]已知向量a，b，c满足|a|＝2，|b|＝a·b＝3，若(c－2a)·(2b－3c)＝0，则|b－c|的最大值是________．2

＋1解析设a与b的夹角为θ，则a·b＝|a||b|cosθ，∴cosθ＝a·b|a||b|＝32×3＝22，∵θ∈[0，π]，∴θ＝π4.设OA→＝a，OB→＝b，c＝(x，y)，建立如图所示的平面直

角坐标系．则A(1,1)，B(3,0)，∴c－2a＝(x－2，y－2)，2b－3c＝(6－3x，－3y)，∵(c－2a)·(2b－3c)＝0，∴(x－2)·(6－3x)＋(y－2)·(－3y)＝0，即(

x－2)2＋(y－1)2＝1，故点C在以(2,1)为圆心，1为半径的圆上．又知b－c＝(3－x，－y)，∴|b－c|＝x－32＋y2≤3－22＋0－12＋1＝2＋1，即|b－c|的最大值为2＋1.第2步精做大题·练能力一、高考大题1．[2014·陕西高考]在直角坐标系xOy中，已知点A

(1,1)，B(2,3)，C(3,2)，点P(x，y)在△ABC三边围成的区域(含边界)上，且OP→＝mAB→＋nAC→(m，n∈R)．(1)若m＝n＝23，求|OP→|；(2)用x，y表示m－n，并

求m－n的最大值．解(1)∵m＝n＝23，AB→＝(1,2)，AC→＝(2,1)，∴OP→＝23(1,2)＋23(2,1)＝(2,2)，∴|OP→|＝22＋22＝22.(2)∵OP→＝m(1,2)＋n(2,1)＝(m＋2n,2m＋n)，∴x＝m＋2n，y＝2m＋n，两式相减，得m－n

＝y－x.令y－x＝t，由图，当直线y＝x＋t过点B(2,3)时，t取得最大值1，故m－n的最大值为1.二、模拟大题2．[2017·无锡月考]如图，O是△ABC内一点，∠AOB＝150°，∠AOC＝120°，向量OA→，OB→，OC→的

模分别为2，3，4.(1)求|OA→＋OB→＋OC→|；(2)若OC→＝mOA→＋nOB→，求实数m，n的值．解(1)由已知条件易知OA→·OB→＝|OA→|·|OB→|·cos∠AOB＝－3，OA→·OC→＝|OA→|·|OC→|·cos∠AOC＝－4，OB→

·OC→＝0，∴|OA→＋OB→＋OC→|2＝OA→2＋OB→2＋OC→2＋2(OA→·OB→＋OA→·OC→＋OB→·OC→)＝9，∴|OA→＋OB→＋OC→|＝3.(2)由OC→＝mOA→＋nOB→，可得OA→·OC→＝mOA→2＋nOA→·OB→

，且OB→·OC→＝mOB→·OA→＋nOB→2，∴4m－3n＝－4，－3m＋3n＝0，∴m＝n＝－4.3．[2016·太原一模]已知向量AB→＝(6,1)，BC→＝(x，y)，CD→＝(－2，

－3)．(1)若BC→∥DA→，求x与y之间的关系式；(2)在(1)的条件下，若AC→⊥BD→，求x，y的值及四边形ABCD的面积．解(1)∵AD→＝AB→＋BC→＋CD→＝(x＋4，y－2)，∴DA→＝－AD→＝

(－x－4,2－y)．又BC→∥DA→且BC→＝(x，y)，∴x(2－y)－y(－x－4)＝0，即x＋2y＝0.①(2)由于AC→＝AB→＋BC→＝(x＋6，y＋1)，BD→＝BC→＋CD→＝(x－2，y－3)，又AC→⊥BD→，∴AC→·BD→＝0，即(x＋6)(x－2)＋(y＋1)

(y－3)＝0.②联立①②，化简得y2－2y－3＝0.解得y＝3或y＝－1.故当y＝3时，x＝－6，此时AC→＝(0,4)，BD→＝(－8,0)，∴S四边形ABCD＝12|AC→|·|BD→|＝16；当y＝－1时，x＝2，此时AC→＝(8,0)，BD→＝(0，－4)，∴S四边形A

BCD＝12|AC→|·|BD→|＝16.4．[2016·山西运城质检]已知向量a＝cos3x2，sin3x2，b＝cosx2，－sinx2，且x∈－π3，π4.(1)求a·b及|a

＋b|；(2)若f(x)＝a·b－|a＋b|，求f(x)的最大值和最小值．解(1)a·b＝cos3x2cosx2－sin3x2sinx2＝cos2x，x∈－π3，π4∵a＋b＝cos3x2＋cosx2，sin3x2－sinx2，∴|a＋b|＝c

os3x2＋cosx22＋sin3x2－sinx22＝2＋2cos2x＝2|cosx|.∵x∈－π3，π4，∴cosx>0，∴|a＋b|＝2cosx.(2)f(x)＝cos2x－2cosx＝2cos2

x－2cosx－1＝2cosx－122－32.∵x∈－π3，π4，∴12≤cosx≤1，∴当cosx＝12时，f(x)取得最小值－32；当cosx＝1时，f(x)取得最

大值－1.