【文档说明】高考数学(理数)一轮复习课件：第二章 函数的概念与基本初等函数Ⅰ 第二节 函数的单调性与最值 (含详解).ppt，共(40)页，557.500 KB，由MTyang资料小铺上传

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第二节函数的单调性与最值本节主要包括2个知识点：1.函数的单调性；2.函数的最值.突破点(一)函数的单调性基础联通抓主干知识的“源”与“流”1．单调函数的定义增函数减函数一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对

于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1，x2定义当x1<x2时，都有_________，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数当x1<x2时，都有________，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数图象描述自左向右看图象是_____的自左向右看图象是__

__的f(x1)<f(x2)f(x1)>f(x2)上升下降2.单调区间的定义若函数y＝f(x)在区间D上是_______或_______，则称函数y＝f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做函数y＝f(x)的单调区间．增函数减函数考点贯通抓高考命题的“形”

与“神”判断函数的单调性1．复合函数单调性的规则若两个简单函数的单调性相同，则它们的复合函数为增函数；若两个简单函数的单调性相反，则它们的复合函数为减函数．即“同增异减”．2．函数单调性的性质(1)若f(x)，g(x)均为区间A上的增(减)函数，则f(x)＋g(x)也是区间A

上的增(减)函数，更进一步，即增＋增＝增，增－减＝增，减＋减＝减，减－增＝减；(2)若k>0，则kf(x)与f(x)单调性相同；若k<0，则kf(x)与f(x)单调性相反；(3)在公共定义域内，函数y＝f(x)(f(x)≠0)与y＝－f(x)，y＝1fx单调性相反；(4)在公共定义域内，函

数y＝f(x)(f(x)≥0)与y＝fx单调性相同；(5)奇函数在其关于原点对称的区间上单调性相同，偶函数在其关于原点对称的区间上单调性相反．[例1](1)下列四个函数中，在(0，＋∞)上为增函数的是()A．f(x)＝3－xB．f(x)＝x2－3xC．f(x)＝－1x＋

1D．f(x)＝－|x|[解析](1)当x>0时，f(x)＝3－x为减函数；当x∈0，32时，f(x)＝x2－3x为减函数，当x∈32，＋∞时，f(x)＝x2－3x为增函数；当x

∈(0，＋∞)时，f(x)＝－1x＋1为增函数；当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝－|x|为减函数．[答案]C[解析]设t＝x2－2x－3，由t≥0，即x2－2x－3≥0，解得x≤－1或x≥3.所以函数的定义域为(－∞，－1]∪[3，＋∞)．因为函数t＝x2－

2x－3的图象的对称轴为x＝1，所以函数t在(－∞，－1]上单调递减，在[3，＋∞)上单调递增．所以函数f(x)的单调递增区间为[3，＋∞)．[答案]B(2)已知函数f(x)＝x2－2x－3，则该函数的单调

递增区间为()A．(－∞，1]B．[3，＋∞)C．(－∞，－1]D．[1，＋∞)[易错提醒](1)单调区间是定义域的子集，故求单调区间时应树立“定义域优先”的原则．(2)单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单

调区间应分开写，不能用并集符号“∪”连接，也不能用“或”连接．(3)函数的单调性是函数在某个区间上的“整体”性质，所以不能仅仅根据某个区间内的两个特殊变量x1，x2对应的函数值的大小就判断函数在该区间的单调性，必须保证这两个变量是区间内的任意两个自变量．函数单调性的应用应用(

一)比较函数值或自变量的大小[例2]已知函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，当x2>x1>1时，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)<0恒成立，设a＝f－12，b＝f(2)，c＝f(e)，则a，b，c的大小关系为

()A．c>a>bB．c>b>aC．a>c>bD．b>a>c[解析]由f(x)的图象关于直线x＝1对称，可得f－12＝f52.由x2>x1>1时，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)<0恒成立，知f(x)在(1，＋∞)上单调递减．

∵1<2<52<e，∴f(2)>f52>f(e)，∴b>a>c.[答案]D应用(二)解函数不等式[例3]f(x)是定义在(0，＋∞)上的单调增函数，满足f(xy)＝f(x)＋f(y)，f(3)

＝1，当f(x)＋f(x－8)≤2时，x的取值范围是()A．(8，＋∞)B．(8,9]C．[8,9]D．(0,8)[解析]2＝1＋1＝f(3)＋f(3)＝f(9)，由f(x)＋f(x－8)≤2，可得f[x(x－8)]≤f(9)，因为f(x

)是定义在(0，＋∞)上的增函数，所以有x>0，x－8>0，xx－8≤9，解得8<x≤9.[答案]B[方法技巧]用单调性求解与抽象函数有关不等式的策略(1)在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性

将“f”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解．此时应特别注意函数的定义域．(2)有时，在不等式一边没有符号“f”时，需转化为含符号“f”的形式．如若已知f(a)＝0，f(x－b)<0，则f(x－b)<f(a)．应用(三)求参数的取值范围[例4](1

)如果函数f(x)＝ax2＋2x－3在区间(－∞，4)上是单调递增的，则实数a的取值范围是()A.－14，＋∞B.－14，＋∞C.－14，0D.－14，0[解析]当a＝0时，f(x)＝2x－3，在定义域R上是单调递增的，故在(－∞，4)上单调递增；当

a≠0时，二次函数f(x)的对称轴为x＝－1a，因为f(x)在(－∞，4)上单调递增，所以a<0，且－1a≥4，解得－14≤a<0.综上所述得－14≤a≤0.[答案]D[解析]作出函数f(x)的图象如图所示，由图象可知f(x)在(a，a＋1)上单调递增，需

满足a≥4或a＋1≤2，即a≤1或a≥4，故选D.[答案]D(2)设函数f(x)＝－x2＋4x，x≤4，log2x，x>4.若函数y＝f(x)在区间(a，a＋1)上单调递增，则实数a的取值范

围是()A．(－∞，1]B．[1,4]C．[4，＋∞)D．(－∞，1]∪[4，＋∞)[易错提醒](1)若函数在区间[a，b]上单调，则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的．(2)对于分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值．能力练通抓应用体验的“得”与“失”1．[考点一

]函数f(x)＝|x－2|x的单调减区间是()A．[1,2]B．[－1,0]C．[0,2]D．[2，＋∞)解析：由于f(x)＝|x－2|x＝x2－2x，x≥2，－x2＋2x，x<2.结合图象(图略)可知函数的单调减区间是

[1,2]．答案：A2．[考点二·应用(一)]已知函数y＝f(x)是R上的偶函数，当x1，x2∈(0，＋∞)，x1≠x2时，都有(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]<0.设a＝ln1π，b＝(lnπ)2，c＝ln

π，则()A．f(a)>f(b)>f(c)B．f(b)>f(a)>f(c)C．f(c)>f(a)>f(b)D．f(c)>f(b)>f(a)解析：由题意可知f(x)在(0，＋∞)上是减函数，且f(a)＝f(|a|)，f(b)＝f(|b|)，f(c)

＝f(|c|)，又|a|＝lnπ>1，|b|＝(lnπ)2>|a|，|c|＝12lnπ，且0<12lnπ<|a|，故|b|>|a|>|c|>0，∴f(|c|)>f(|a|)>f(|b|)，即f(c)>f(a)>f(b)．答案

：C3．[考点二·应用(二)](2017·太原模拟)定义在R上的奇函数y＝f(x)在(0，＋∞)上单调递增，且f12＝0，则满足flog19x>0的x的集合为________．解析：由题意，y＝f(

x)为奇函数且f12＝0，所以f－12＝－f12＝0，又y＝f(x)在(0，＋∞)上单调递增，则y＝f(x)在(－∞，0)上单调递增，于是log19x>0，flog19x>f12或log19x<0，flog19x>f

－12，即log19x>0，log19x>12或log19x<0，log19x>－12，解得0<x<13或1<x<3.答案：0，13∪(1,3)4．已知f(x)＝2－ax＋1，x<1，ax，x≥1，满足

对任意x1≠x2，都有fx1－fx2x1－x2>0成立，那么a的取值范围是________．解析：由已知条件得f(x)为增函数，∴2－a>0，a>1，2－a×1＋1≤a，解得32≤a＜2，∴a的取值范

围是32，2.答案：32，2[考点二·应用(三)]5．用定义法讨论函数f(x)＝x＋ax(a>0)的单调性．解：函数的定义域为{x|x≠0}．任取x1，x2∈{x|x≠0}，且x1<x2，则f(

x1)－f(x2)＝x1＋ax1－x2－ax2＝x1－x2x1x2－ax1·x2＝(x1－x2)1－ax1x2.令x1＝x2＝x0,1－ax20＝0可得到x0＝±a，这样就把f(x)的定义域分为(－∞，－a]，[－a，0)，(0

，a]，[a，＋∞)四个区间，下面讨论它的单调性．[考点一]若0<x1<x2≤a，则x1－x2<0,0<x1x2<a，所以x1x2－a<0.所以f(x1)－f(x2)＝x1＋ax1－x2－ax2＝x1－x

2x1x2－ax1·x2>0，即f(x1)>f(x2)，所以f(x)在(0，a]上单调递减．同理可得，f(x)在[a，＋∞)上单调递增，在(－∞，－a]上单调递增，在[－a，0)上单调递减．故函数f(x)在(－∞，－a]和[a，＋∞)上单

调递增，在[－a，0)和(0，a]上单调递减．突破点(二)函数的最值基础联通抓主干知识的“源”与“流”1.函数的最值前提设函数f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足条件对于任意x∈I，都有_________；存在x0

∈I，使得_________对于任意x∈I，都有________；存在x0∈I，使得_________结论M为最大值M为最小值f(x)≤Mf(x)≥Mf(x0)＝Mf(x0)＝M2.函数最值存在的两条结论(1)闭区间上的连续

函数一定存在最大值和最小值．当函数在闭区间上单调时最值一定在端点处取到．(2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大或最小值．考点贯通抓高考命题的“形”与“神”求函数的最值(值域)1．利用函数的单调性求解函数最值的步骤(1)判断或证明函数的单调性；(2)计算端点处的函

数值；(3)确定最大值和最小值．2．分段函数的最值由于分段函数在定义域不同的子区间上对应不同的解析式，因而求其最值的常用方法是先求出分段函数在每一个子区间上的最值，然后取各区间上最大值中的最大者作为分段函数的最大值，各区间上最小值中的最小者作为分段函数的最小值．[解析](1)

法一：令t＝x－1，且t≥0，则x＝t2＋1，∴原函数变为y＝t2＋1＋t，t≥0.配方得y＝t＋122＋34，又∵t≥0，∴y≥14＋34＝1.故函数y＝x＋x－1的最小值为1.法二：因为函数y＝x和y＝x

－1在定义域内均为增函数，故函数y＝x＋x－1在其定义域[1，＋∞)内为增函数，所以当x＝1时y取最小值，即ymin＝1.[答案]1[典例](1)函数y＝x＋x－1的最小值为________．(2)函数y＝2x2－

2x＋3x2－x＋1的值域为________．[解析]y＝2x2－2x＋3x2－x＋1＝2x2－x＋1＋1x2－x＋1＝2＋1x2－x＋1＝2＋1x－122＋34.∵x－1

22＋34≥34，∴2<2＋1x－122＋34≤2＋43＝103.故函数的值域为2，103.[答案]2，103[解析]当x≥1时，函数f(x)＝1x为减函数，所以f(x)在x＝1处取得最大值，为f(1)＝1；当x<1

时，易知函数f(x)＝－x2＋2在x＝0处取得最大值，为f(0)＝2.故函数f(x)的最大值为2.[答案]2(3)函数f(x)＝1x，x≥1，－x2＋2，x<1的最大值为________．[方法技巧]求函数最值的五种常用方法方

法步骤单调性法先确定函数的单调性，再由单调性求最值图象法先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值基本不等式法先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值导数法先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值换元法对比较复杂的

函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值能力练通抓应用体验的“得”与“失”1．已知a>0，设函数f(x)＝2018x＋1＋20162018x＋1(x∈[－a，a])的最大值为M，最小值为N，那么M＋N＝()A．2016B

．2018C．4032D．4034解析：由题意得f(x)＝2018x＋1＋20162018x＋1＝2018－22018x＋1.∵y＝2018x＋1在[－a，a]上是单调递增的，∴f(x)＝2018－22018

x＋1在[－a，a]上是单调递增的，∴M＝f(a)，N＝f(－a)，∴M＋N＝f(a)＋f(－a)＝4036－22018a＋1－22018－a＋1＝4034.答案：D2．(2017·贵阳检测)定义新运算⊕：当a≥b时，a⊕b＝a；当a

<b时，a⊕b＝b2，则函数f(x)＝(1⊕x)x－2⊕x，x∈[－2，2]的最大值等于()A．－1B．1C．6D．12解析：由已知得当－2≤x≤1时，f(x)＝x－2，当1<x≤2时，f(x)＝x3－2，∵f(x)＝x－2，f(x)＝x3－2在定义域内都为增函数，

且1－2＝13－2＝－1.∴f(x)的最大值为f(2)＝23－2＝6.答案：C3．函数f(x)＝13x－log2(x＋2)在区间[－1,1]上的最大值为________．解析：∵y＝13x和y＝－log2(x＋2)

都是[－1,1]上的减函数，∴f(x)＝13x－log2(x＋2)在区间[－1,1]上是减函数，∴函数f(x)在区间[－1,1]上的最大值为f(－1)＝3.答案：34．(2017·益阳模拟)已知函数f(x)的值域为38，49，则函数g(x)＝f

(x)＋1－2fx的值域为________．解析：∵38≤f(x)≤49，∴13≤1－2fx≤12.令t＝1－2fx，则f(x)＝12(1－t2)13≤t≤12，令y＝g(x)，则y＝12(1－t2

)＋t，即y＝－12(t－1)2＋113≤t≤12.∴当t＝13时，y有最小值79；当t＝12时，y有最大值78.∴g(x)的值域为79，78.答案：79，785．对于任意实数a，b，定义min{a，b}＝a，a≤b，b，a>b.函数f(x)＝－x＋3

，g(x)＝log2x，则函数h(x)＝min{f(x)，g(x)}的最大值是________．解析：依题意，h(x)＝log2x，0<x≤2，－x＋3，x>2.当0<x≤2时，h(x)＝log2x是增函数，当x>2时，h(x)＝3－x是减函数，则h(x)max＝h(2)＝1

.答案：1[全国卷5年真题集中演练——明规律]1.(2015·新课标全国卷Ⅱ)设函数f(x)＝ln(1＋|x|)－11＋x2，则使得f(x)>f(2x－1)成立的x的取值范围是()A.13，1B.－∞，13∪(1，＋∞)C.

－13，13D.－∞，－13∪13，＋∞解析：∵f(－x)＝ln(1＋|－x|)－11＋－x2＝f(x)，∴函数f(x)为偶函数．∵当x≥0时，f(x)＝ln(1＋x)－11＋x2，在(0，＋∞)上y＝ln(

1＋x)递增，y＝－11＋x2也递增，根据单调性的性质知，f(x)在(0，＋∞)上单调递增．综上可知：f(x)>f(2x－1)⇔f(|x|)>f(|2x－1|)⇔|x|>|2x－1|⇔x2>(2x－1)2⇔3x2－4x＋1<0⇔13<x<1.故选A.答案：A2．(2013·新课

标全国卷Ⅰ)若函数f(x)＝(1－x2)(x2＋ax＋b)的图象关于直线x＝－2对称，则f(x)的最大值为________．解析：∵点(1,0)，(－1,0)在f(x)的图象上，且图象关于直线x＝－2对称，∴点(－5,0)，(－3,0)必在f(x)的图象上．∴

f－5＝1－2525－5a＋b＝0，f－3＝1－99－3a＋b＝0，即5a－b＝25，3a－b＝9，解得a＝8，b＝15.∴f(x)＝(1－x2)(x2＋8x＋15)＝－(x＋1)(x－1)(x＋3)(x＋5)＝－(x2＋4x＋

3)(x2＋4x－5)令t＝x2＋4x＝(x＋2)2－4≥－4，则y＝－(t＋3)(t－5)＝－(t2－2t－15)＝－(t－1)2＋16.故当t＝1时，f(x)max＝16.答案：16