【文档说明】高考数学(理数)一轮复习课件：第二章 函数的概念与基本初等函数Ⅰ 第一节 函数及其表示 (含详解).ppt，共(48)页，756.000 KB，由MTyang资料小铺上传

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第二章函数的概念与基本初等函数Ⅰ第一节函数及其表示本节主要包括3个知识点：1.函数的定义域；2.函数的表示方法；3.分段函数.突破点(一)函数的定义域基础联通抓主干知识的“源”与“流”1．函数与映射的概念函数映射两集合A，B设A，B是两个__________设A，B是两个__

________对应关系f：A→B如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的____一个数x，在集合B中都有________的数f(x)和它对应如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的_____一个元素x，在集合B中都有_________

的元素y与之对应名称称_________为从集合A到集合B的一个函数称对应_________为从集合A到集合B的一个映射记法y＝f(x)，x∈A对应f：A→B非空的数集非空的集合任意任意唯一确定唯一确定f：A→Bf：A→B2.函数的有关概念(1)函数的定

义域、值域：在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，______________叫做函数的定义域；与x的值相对应的_____叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．显然，值域是集合B的__

___．(2)函数的三要素：_______、_____和_________．(3)相等函数：如果两个函数的_______和_________完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据．x的取值范围Ay值子集定义域值域对应关系

定义域对应关系考点贯通抓高考命题的“形”与“神”求给定解析式的函数的定义域常见基本初等函数定义域的基本要求(1)分式函数中分母不等于零．(2)偶次根式函数的被开方式大于或等于0.(3)一次函数、二次函数的定义域均为R.(4)y＝x0的定义域是{x|

x≠0}．(5)y＝ax(a>0且a≠1)，y＝sinx，y＝cosx的定义域均为R.(6)y＝logax(a>0且a≠1)的定义域为(0，＋∞)．(7)y＝tanx的定义域为xx≠kπ＋π2

，k∈Z.[例1]y＝x－12x－log2(4－x2)的定义域是()A．(－2,0)∪(1,2)B．(－2,0]∪(1,2)C．(－2,0)∪[1,2)D．[－2,0]∪[1,2][解析]要使函数有意义，必须x－12x≥0，x≠0，4－x2>0，∴x∈(－2,0)∪[1

,2)．即函数的定义域是(－2,0)∪[1,2)．[答案]C[易错提醒](1)不要对解析式进行化简变形，以免定义域发生变化．(2)当一个函数由有限个基本初等函数的和、差、积、商的形式构成时，定义域一般是各个基本初等函数定义域的交集．(3)定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示，不能

用“或”连接，而应该用并集符号“∪”连接．求抽象函数的定义域对于抽象函数定义域的求解(1)若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则复合函数f(g(x))的定义域由不等式a≤g(x)≤b求出；(2)若已知函数f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)

在x∈[a，b]上的值域．[例2]若函数y＝f(x)的定义域是[0,2]，则函数g(x)＝f2xx－1的定义域为________．[解析]由题意得，x－1≠0，0≤2x≤2，解得0≤x＜1，即g(x)的定义域是[0,1)．[答案][0,1)[

易错提醒]函数f[g(x)]的定义域指的是x的取值范围，而不是g(x)的取值范围．已知函数定义域求参数[例3](2017·杭州模拟)若函数f(x)＝mx2＋mx＋1的定义域为一切实数，则实数m的取值范围是()A．[0,4)B．(0,4)C．[4，＋∞)D．[0

,4][解析]由题意可得mx2＋mx＋1≥0恒成立．当m＝0时，1≥0恒成立；当m≠0时，则m>0，Δ＝m2－4m≤0，解得0<m≤4.综上可得：0≤m≤4.[答案]D[方法技巧]已知函数定义域求参数的思想方法已知函数的定

义域，逆向求解函数中参数的取值，需运用分类讨论以及转化与化归的思想方法．转化与化归的思想方法是通过某种转化过程，将一个难以解决的问题转化为一个已经解决或者比较容易解决的问题，从而获解．1．[考点一]函数y＝xln(2－x)的定义域为()

A．(0,2)B．[0,2)C．(0,1]D．[0,2]解析：由题意知，x≥0且2－x>0，解得0≤x＜2，故其定义域是[0,2)．答案：B能力练通抓应用体验的“得”与“失”2．(2017·青岛模拟)

函数y＝1－x22x2－3x－2的定义域为()A．(－∞，1]B．[－1,1]C．[1,2)∪(2，＋∞)D.－1，－12∪－12，1解析：由题意得1－x2≥0，2x2－3x－

2≠0，解得－1≤x≤1，x≠2且x≠－12，即－1≤x≤1且x≠－12，所以函数的定义域为－1，－12∪－12，1.故选D.答案：D[考点一]3．函数f(x)＝1－|x－1|ax－1(a>0且

a≠1)的定义域为______．解析：由题意得1－|x－1|≥0，ax－1≠0，解得0≤x≤2，x≠0，即0<x≤2，故所求函数的定义域为(0,2]．答案：(0,2][考点一]4．[

考点二]已知函数y＝f(x2－1)的定义域为[－3，3]，则函数y＝f(x)的定义域为________．解析：∵y＝f(x2－1)的定义域为[－3，3]，∴x∈[－3，3]，x2－1∈[－1,2]，∴y＝f(x)的定义域为[－1,2]．答案

：[－1,2]5．[考点三]若函数f(x)＝ax2＋abx＋b的定义域为{x|1≤x≤2}，则a＋b的值为________．解析：函数f(x)的定义域是不等式ax2＋abx＋b≥0的解集．不等式ax2＋abx＋b≥0的解集为{x|1≤x≤2}，所以a<0，1＋2＝－b，1×2＝

ba，解得a＝－32，b＝－3，所以a＋b＝－32－3＝－92.答案：－92突破点(二)函数的表示方法1．函数的表示方法函数的表示方法有三种，分别为_______、_______和_______．同一个函数可以用不同的方法

表示．2．应用三种方法表示函数的注意事项(1)解析法：一般情况下，必须注明函数的定义域；(2)列表法：选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征；(3)图象法：注意定义域对图象的影响．与x轴垂直的直线与其最多有一个公共点．

解析法列表法图象法基础联通抓主干知识的“源”与“流”3．函数的三种表示方法的优缺点优点缺点解析法简明扼要，规范准确(1)有些函数关系很难或不能用解析式表示；(2)求x与y的对应关系时需逐个计算，比较繁杂列表法能鲜明地显示自变量与函数

值之间的数量关系只能列出部分自变量及其对应的函数值，难以反映函数变化的全貌图象法形象直观，能清晰地呈现函数的增减变化、点的对称关系、最大(小)值等性质作出的图象是近似的、局部的，且根据图象确定的函数值往往有误差

考点贯通抓高考命题的“形”与“神”求函数的解析式求函数解析式的四种方法[典例](1)如图，修建一条公路需要一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连接(相切)．已知环湖弯曲路段为某三次函数图象的一部分，则该函数的解析式为()A．y＝12x3－12x2－xB．y＝12x3＋12x2－3

xC．y＝14x3－xD．y＝14x3＋12x2－2x[解析]设该函数解析式为f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d，则f′(x)＝3ax2＋2bx＋c，由题意知f0＝d＝0，f2＝8a＋4b＋2c＋d＝0，f′0＝c＝－1，f′2＝12a＋4b＋c＝3，解得

a＝12，b＝－12，c＝－1，d＝0，∴f(x)＝12x3－12x2－x.[答案]A(2)定义在R上的函数f(x)满足f(x＋1)＝2f(x)．若当0≤x≤1时，f(x)＝x(1－x)，则当－1≤x≤0时，f(x)＝_______

_.[解析]∵－1≤x≤0，∴0≤x＋1≤1，∴f(x)＝12f(x＋1)＝12(x＋1)[1－(x＋1)]＝－12x(x＋1)．故当－1≤x≤0时，f(x)＝－12x(x＋1)．[答案]－12x(x＋1)(3)(2017·合肥模拟)已知f(x)的定义域为{x|x≠0}，满足

3f(x)＋5f1x＝3x＋1，则函数f(x)的解析式为________．[解析]用1x代替3f(x)＋5f1x＝3x＋1中的x，得3f1x＋5f(x)＝3x＋1，∴3fx＋5f1x＝3x＋1，

①3f1x＋5fx＝3x＋1，②①×3－②×5得f(x)＝1516x－916x＋18(x≠0)．[答案]f(x)＝1516x－916x＋18(x≠0)[易错提醒]在求解析式时，一定要注意自变量的范围，也就是定义域．如已知f(x)＝x＋1，求函数f(x)的解析式

，通过换元的方法可得f(x)＝x2＋1，函数f(x)的定义域是[0，＋∞)，而不是(－∞，＋∞)．能力练通抓应用体验的“得”与“失”1.已知函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，且f(x)＝2f1xx－1，则f(x)＝________.解析：在f(x)＝2

f1xx－1中，用1x代替x，得f1x＝2f(x)1x－1，将f1x＝2f(x)1x－1代入f(x)＝2f1xx－1中，求得f(x)＝23x＋13(x>0)．答案：23x＋13(x>0)2．函数f(x)满足

2f(x)＋f(－x)＝2x，则f(x)＝________.解析：由题意知2fx＋f－x＝2x，2f－x＋fx＝－2x，解得f(x)＝2x.答案：2x3．已知f(x＋1)＝x＋2x，求f(x)的解析式．解：设t＝

x＋1，则x＝(t－1)2，t≥1，代入原式有f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2－2t＋1＋2t－2＝t2－1.故f(x)＝x2－1，x≥1.4．已知f(x)是二次函数，且f(0)＝0，f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，求f(x)的解

析式．解：设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，由f(0)＝0，知c＝0，f(x)＝ax2＋bx，又由f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，得a(x＋1)2＋b(x＋1)＝ax2＋bx＋x＋1，即ax2＋(2a

＋b)x＋a＋b＝ax2＋(b＋1)x＋1，所以2a＋b＝b＋1，a＋b＝1，解得a＝b＝12.所以f(x)＝12x2＋12x，x∈R.5．已知fx＋1x＝x2＋1x2，求f(x)的解析式．解：由

于fx＋1x＝x2＋1x2＝x＋1x2－2，所以f(x)＝x2－2，x≥2或x≤－2，故f(x)的解析式是f(x)＝x2－2，x≥2或x≤－2.突破点(三)分段函数基础联通抓主干知识的“源”与“流”1．分

段函数若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的，这样的函数通常叫做分段函数．2．分段函数的相关结论(1)分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．(2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，值域等于各段函

数的值域的并集．对应关系考点贯通抓高考命题的“形”与“神”分段函数求值[例1](1)设f(x)＝1－x，x≥0，2x，x<0，则f(f(－2))＝()A．－1B.14C.12D.32[解析]因为f(

－2)＝2－2＝14，所以f(f(－2))＝f14＝1－14＝12，故选C.[答案]C(2)(2017·张掖高三模拟)已知函数f(x)＝12x，x≥4，fx＋1，x<4，则f(1＋log25)的值为()A

.14B.1221log5＋C.12D.120[解析]因为2<log25<3，所以3<1＋log25<4，则4<2＋log25<5，则f(1＋log25)＝f(1＋log25＋1)＝f(2＋log25)＝1222log5＋＝14×122log5＝14

×15＝120，故选D.[答案]D[方法技巧]分段函数求值的解题思路求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值．求参数或自变量的值或范围[例2](1)(201

7·西安模拟)已知函数f(x)＝log2x，x>0，x2，x≤0，若f(4)＝2f(a)，则实数a的值为()A．－1或2B．2C．－1D．－2[解析]f(4)＝log24＝2，因而2f(a)＝2，即f(a)＝1，当a>0时，f(a)＝log2a＝1，因而a＝2，

当a≤0时，f(a)＝a2＝1，因而a＝－1，故选A.[答案]A[解析]当x<1时，由ex－1≤2得x≤1＋ln2，∴x<1；当x≥1时，由x13≤2得x≤8，∴1≤x≤8.综上，符合题意的x的取值范围是x≤8.[答案](－∞，8](2)设函数f(x)＝ex－1，x<1，x13，x≥1，

则使得f(x)≤2成立的x的取值范围是________．[方法技巧]求分段函数自变量的值或范围的方法求某条件下自变量的值或范围，先假设所求的值或范围在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值或范围，切记代入检验，看所求的自变量的值或范围

是否满足相应各段自变量的取值范围．能力练通抓应用体验的“得”与“失”1．已知函数f(x)＝1－2x，x≤0，x2，x>0，则f(f(－1))＝()A．2B．1C.14D.12解析：由题意得f(－1)＝1－2－1＝12，则f(f(－1))＝f12＝122＝14.

答案：C[考点一]2．已知f(x)＝3sinπx，x≤0，fx－1＋1，x>0，则f23的值为()A.12B．－12C．1D．－1解析：f23＝f－13＋1＝3sin－π3＋1＝－12.答案：B[考点一]3．已知f(x)

＝log3x，x＞0，ax＋b，x≤0，且f(0)＝2，f(－1)＝3，则f(f(－3))＝()A．－2B．2C．3D．－3解析：由题意得f(0)＝a0＋b＝1＋b＝2，解得b＝1.f(－1)＝a－1＋b＝a－1

＋1＝3，解得a＝12.则f(x)＝log3x，x>0，12x＋1，x≤0，故f(－3)＝12－3＋1＝9，从而f(f(－3))＝f(9)＝log39＝2.答案：B[考点一

]4．设函数f(x)＝3x－1，x＜1，2x，x≥1，则满足f(f(a))＝2f(a)的a的取值范围是()A.23，1B．[0,1]C.23，＋∞D．[1，＋∞)解析：由

f(f(a))＝2f(a)得，f(a)≥1.当a＜1时，有3a－1≥1，∴a≥23，∴23≤a＜1.当a≥1时，有2a≥1，∴a≥0，∴a≥1.综上，a≥23，故选C.答案：C[考点二]5．已知函数f(x)＝2x＋1，

x≥0，3x2，x<0，且f(x0)＝3，则实数x0的值为________．解析：由条件可知，当x0≥0时，f(x0)＝2x0＋1＝3，所以x0＝1；当x0<0时，f(x0)＝3x20＝3，所以x0＝－1.所以实数x0的值为－1或1.答案：

－1或1[考点二]6．已知f(x)＝12x＋1，x≤0，－x－12，x＞0，使f(x)≥－1成立的x的取值范围是________．解析：由题意知x≤0，12x＋1≥－1或x＞0，－x－12≥－1，解得－4≤x≤0或0＜x≤2，故x的取值范围是[－4,2

]．答案：[－4,2][考点二][全国卷5年真题集中演练——明规律]1．(2016·全国甲卷)下列函数中，其定义域和值域分别与函数y＝10lgx的定义域和值域相同的是()A．y＝xB．y＝lgxC．y＝2xD．y

＝1x解析：函数y＝10lgx的定义域与值域均为(0，＋∞)．函数y＝x的定义域与值域均为(－∞，＋∞)．函数y＝lgx的定义域为(0，＋∞)，值域为(－∞，＋∞)．函数y＝2x的定义域为(－∞，＋∞)，值域为(0，＋∞)．函数y＝1x的定义域与值域均为

(0，＋∞)．故选D.答案：D2．(2015·新课标全国卷Ⅱ)设函数f(x)＝1＋log22－x，x<1，2x－1，x≥1，则f(－2)＋f(log212)＝()A．3B．6C．9D．12解析：∵－2<1，∴f(－2)＝1＋log2(2＋2)＝1＋log24＝1＋2＝3.∵

log212>1，∴f(log212)＝2log212－1＝122＝6.∴f(－2)＋f(log212)＝3＋6＝9.答案：C3．(2015·新课标全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝2x－1－2，x≤1，－log2x＋1

，x>1，且f(a)＝－3，则f(6－a)＝()A．－74B．－54C．－34D．－14解析：由于f(a)＝－3，①若a≤1，则2a－1－2＝－3，整理得2a－1＝－1.由于2x>0，所以2a－1＝－1无解；②若a>1，则－log2(a＋1)＝－3，解得a＝7，所以f(6－a)＝f(－1)＝2

－1－1－2＝－74.综上所述，f(6－a)＝－74.答案：A4．(2013·新课标全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝－x2＋2x，x≤0，lnx＋1，x>0.若|f(x)|≥ax，则a的取值范围是()A．(－∞，0]B．(

－∞，1)C．[－2,1]D．[－2,0]解析：y＝|f(x)|的图象如图所示，y＝ax为过原点的一条直线，当|f(x)|≥ax时，必有k≤a≤0，其中k是y＝x2－2x(x≤0)在原点处的切线的斜率，显然，k＝－2.所以a的取值范围是[－2,0]．答案：D