【文档说明】高考数学(理数)一轮复习课件：第二章 函数的概念与基本初等函数Ⅰ 第六节 对数与对数函数 (含详解).ppt，共(38)页，670.500 KB，由MTyang资料小铺上传

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第六节对数与对数函数本节主要包括3个知识点：1.对数的运算；2.对数函数的图象及应用；3.对数函数的性质及应用.突破点(一)对数的运算基础联通抓主干知识的“源”与“流”概念如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数

x叫做以a为底N的对数，记作_________，其中a叫做对数的底数，N叫做真数，logaN叫做对数式对数式与指数式的互化：ax＝N⇔__________性质loga1＝0，logaa＝1，alogaN＝___x＝logaNN对数的概念、性质及运算x＝loga

Nloga(M·N)＝____________logaMN＝_______________运算法则logaMn＝________(n∈R)a>0，且a≠1，M>0，N>0重要公式(1)换底公式：logab＝logcblogca(a>0，且a≠1，c>0，且c≠

1，b>0)；(2)logab＝1logba，推广logab·logbc·logcd＝_____.logaM＋logaNlogaM－logaNnlogaMlogad考点贯通抓高考命题的“形”与“神”对数的运算[典例]计算：(1)lg25＋lg2·lg50＋(lg2)

2；[解](1)原式＝(lg2)2＋(1＋lg5)lg2＋lg52＝(lg2＋lg5＋1)lg2＋2lg5＝(1＋1)lg2＋2lg5＝2(lg2＋lg5)＝2.[解](2)原式＝lg32－2lg3＋1

32lg3＋3lg2－32lg3－1·lg3＋2lg2－1＝1－lg3·32lg3＋2lg2－1lg3－1·lg3＋2lg2－1＝－32.(3)原式＝lg2lg3＋lg2lg9·lg3l

g4＋lg3lg8＝lg2lg3＋lg22lg3·lg32lg2＋lg33lg2＝3lg22lg3·5lg36lg2＝54.(2)lg32－lg9＋1lg27＋lg8－lg1000lg0.3·lg1.2；(3)(log32＋log92)·(log43＋lo

g83)．[方法技巧]解决对数运算问题的四种常用方法(1)将真数化为底数的指数幂的形式进行化简．(2)将同底对数的和、差、倍合并．(3)利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用．(4)利用常用对数中的lg2＋lg5＝1.能力练通抓应用体验的

“得”与“失”1.log232－4log23＋4＋log213＝()A．2B．2－2log23C．－2D．2log23－2解析：log232－4log23＋4＝log23－22＝2－log23，又log213＝－log23，两者

相加即为B.答案：B2.12lg25＋lg2－lg0.1－log29×log32的值是________．解析：原式＝lg5＋lg2＋12－2＝1＋12－2＝－12.答案：－123.12lg3249－43lg8＋lg245＝________.解析：原式＝12(5lg2－2

lg7)－43×12×3lg2＋12(lg5＋2lg7)＝12(lg2＋lg5)＝12.答案：124．已知2x＝12，log213＝y，则x＋y的值为________．解析：∵2x＝12，∴x＝log212，∴

x＋y＝log212＋log213＝log24＝2.答案：25．设2a＝5b＝m，且1a＋1b＝2，则m＝________.解析：∵2a＝5b＝m>0，∴a＝log2m，b＝log5m，∴1a＋1b＝1log2m＋1log5m＝logm2＋logm5＝logm10＝

2.∴m2＝10，∴m＝10.答案：10突破点(二)对数函数的图象及应用基础联通抓主干知识的“源”与“流”1．对数函数的图象函数y＝logax，a>1y＝logax,0<a<1图象在y轴，过定点(1,0)图象特征当x逐渐增大时，图象是

的当x逐渐增大时，图象是_____的右侧上升下降2.底数的大小决定了图象相对位置的高低不论是a＞1还是0＜a＜1，在第一象限内，自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大，如图，0<c<d<1<a<b.3．指数函数与对数函数的关系指数函数y＝ax(a>0且a≠1)与对数函数y＝lo

gax(a>0且a≠1)互为，它们的图象关于直线对称．反函数y＝x考点贯通抓高考命题的“形”与“神”对数函数图象辨析[例1]函数f(x)＝lg1|x＋1|的大致图象为()[解析]f(x)＝lg1|x＋1|＝－lg|x＋1|的图象可由偶函数y＝－lg|x|的图象左移1个单

位得到．由y＝－lg|x|的图象可知选D.[答案]D[方法技巧]研究对数型函数图象的思路研究对数型函数的图象时，一般从最基本的对数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换得到．特别地，要注意底数a>1或0<a<1这两种不同情况．对数函数图

象的应用[例2](2017·长沙五校联考)设方程10x＝|lg(－x)|的两个根分别为x1，x2，则()A．x1x2<0B．x1x2＝1C．x1x2>1D．0<x1x2<1[解析]构造函数y＝10x与y＝|lg(－x)|，并作出它们的图象，如图所示．因为x1，x2是10x＝|lg(－x)|的

两个根，则两个函数图象交点的横坐标分别为x1，x2，不妨设x2<－1，－1<x1<0，则10x1＝－lg(－x1)，10x2＝lg(－x2)，因此10x2－10x1＝lg(x1x2)，因为10x2－10x1<0，所以lg(x1x2)<0，即

0<x1x2<1.[答案]D能力练通抓应用体验的“得”与“失”1．[考点二]已知函数f(x)＝lnx，g(x)＝lgx，h(x)＝log3x，直线y＝a(a<0)与这三个函数图象的交点的横坐标分别是x1，x2，x3，则x1，x2，x3的大小关系是()A．x2<x3<x

1B．x1<x3<x2C．x1<x2<x3D．x3<x2<x1解析：分别作出三个函数的图象，如图所示，由图可知x2<x3<x1.答案：A2．[考点一]在同一直角坐标系中，函数f(x)＝xa(x≥0)，g(x)＝logax(a>0且a

≠1)的图象可能是()解析：当a>1时，函数f(x)＝xa(x≥0)单调递增，函数g(x)＝logax单调递增，且过点(1,0)，由幂函数的图象性质可知C错；当0<a<1时，函数f(x)＝xa(x≥0)单调递增，且过点(1,1)，函数g(x)＝logax单调递减，且过点(1,0)，排除

A，又由幂函数的图象性质可知B错．故选D.答案：D3．[考点二]已知函数y＝loga(x＋c)(a，c为常数，其中a>0，a≠1)的图象如图，则下列结论成立的是()A．a>1，c>1B．a>1,0<c<1C．0<a

<1，c>1D．0<a<1,0<c<1解析：由对数函数的性质得0＜a＜1，因为函数y＝loga(x＋c)的图象在c＞0时是由函数y＝logax的图象向左平移c个单位得到的，所以根据题中图象可知0＜c＜1.答

案：D4．[考点二]当x∈(1,2)时，不等式(x－1)2<logax恒成立，则实数a的取值范围是________．解析：设f1(x)＝(x－1)2，f2(x)＝logax，要使当x∈(1,2)时，不等式(x－1)2<log

ax恒成立，只需f1(x)＝(x－1)2在(1,2)上的图象在f2(x)＝logax图象的下方即可．当0<a<1时，显然不成立；当a>1时，如图，要使x∈(1,2)时f1(x)＝(x－1)2的图象在f2(x)＝logax的图

象下方，只需f1(2)≤f2(2)，即(2－1)2≤loga2，又即loga2≥1，所以1<a≤2，即实数a的取值范围是(1,2]．答案：(1,2]突破点(三)对数函数的性质及应用基础联通抓主干知识的“源”与“流”对数函数的性质y＝logax(a>0，且

a≠1)函数a>10<a<1定义域(0，＋∞)值域R单调性在(0，＋∞)上是_______在(0，＋∞)上是______当x＝1时，_____性质函数值变化规律当x>1时，；当0<x<1时，当x>1时，；当0<x<1时，增函数减函数y＝0y>0y<0y<0y>0考

点贯通抓高考命题的“形”与“神”求函数的定义域[例1]函数f(x)＝4－|x|＋lgx2－5x＋6x－3的定义域为()A．(2,3)B．(2,4]C．(2,3)∪(3,4]D．(－1,3)∪(3,6][解析]由4－|x|≥0，x2－5x＋6x

－3>0，得－4≤x≤4，x>2且x≠3，故函数定义域为(2,3)∪(3,4]，故选C.[答案]C比较对数式的大小[例2]已知a＝log1213，b＝log1312，c＝log213，则()A．a

>b>cB．b>c>aC．c>b>aD．b>a>c[解析]∵a＝log1213>1,0<b＝log1312＝log32<1，c＝log213＝－log23<0，∴a>b>c.[答案]A[方法技巧]比较对数式大小的三种方法(1)单调性法：在同底的情况下直接得到大小关系，若不同底，先化为同底．(

2)中间量过渡法：即寻找中间数联系要比较的两个数，一般是用“0”，“1”或其他特殊值进行“比较传递”．(3)图象法：根据图象观察得出大小关系．简单对数不等式的求解[例3]已知不等式logx(2x2＋1)<logx(3x)<0成立，则实数x

的取值范围是________．[解析]原不等式⇔0<x<12x2＋1>3x>1①或x>12x2＋1<3x<1②，解不等式组①得13<x<12，不等式组②无解，所以实数x的取值范围为13，12.[答案]13，12[方法技巧]简单对数不等式问题的

求解策略(1)解决简单的对数不等式，应先利用对数的运算性质化为同底数的对数值，再利用对数函数的单调性转化为一般不等式求解．(2)对数函数的单调性和底数a的值有关，在研究对数函数的单调性时，要按0<a<1和a>1

进行分类讨论．(3)某些对数不等式可转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．对数函数的综合问题[例4]函数f(x)＝loga(ax－3)(a>0，且a≠1)在[1,3]上单调递增，则a的取值范围是()A．

(1，＋∞)B．(0,1)C.0，13D．(3，＋∞)[解析]由于a>0，且a≠1，∴u＝ax－3为增函数，∴若函数f(x)为增函数，则f(x)＝logau必为增函数，因此a>1.又u＝ax－3在

[1,3]上恒为正，∴a－3>0，即a>3.[答案]D[方法技巧]与对数有关的单调性问题的解题策略(1)求出函数的定义域．(2)判断对数函数的底数与1的关系，当底数是含字母的代数式(包含单独一个字母)时，要考查其单调性，就必须对底数进行分类

讨论．(3)判断内层函数和外层函数的单调性，运用复合函数“同增异减”原则判断函数的单调性．能力练通抓应用体验的“得”与“失”1．函数y＝log232x－1的定义域是()A．[1,2]B．[1,2)C.

12，1D.12，1解析：由log23(2x－1)≥0，得0<2x－1≤1，即12<x≤1，即函数定义域为12，1.答案：D[考点一]2．[考点二](2017·石家庄模拟)

已知a＝log23＋log23，b＝log29－log23，c＝log32，则a，b，c的大小关系是()A．a＝b<cB．a＝b>cC．a<b<cD．a>b>c解析：因为a＝log23＋log23＝log233＝32log23>1，b＝log29－log2

3＝log233＝a，c＝log32<log33＝1，所以a＝b>c.答案：B3．[考点四]若f(x)＝lg(x2－2ax＋1＋a)在区间(－∞，1]上递减，则a的取值范围为()A．[1,2)B．[1,2]C．[1，＋∞)D．[2，＋∞)解析：令函数g(x)

＝x2－2ax＋1＋a＝(x－a)2＋1＋a－a2，对称轴为x＝a，要使函数在(－∞，1]上递减，则有g1>0，a≥1，即2－a>0，a≥1，解得1≤a<2，即a∈[1,2)．答案：A4．[考点四]设函数f(x)＝|logax|(0<a<1)的定义域为[m，n]

(m<n)，值域为[0,1]，若n－m的最小值为13，则实数a的值为()A.14B.14或23C.23D.23或34解析：作出y＝|logax|(0<a<1)的大致图象如图，令|logax|＝1，得x＝a或x＝1a，又1－a－1

a－1＝1－a－1－aa＝1－aa－1a<0，故1－a<1a－1，所以n－m的最小值为1－a＝13，即a＝23.答案：C5．[考点三]已知函数f(x)为奇函数，当x＞0时，f(x)＝log2x，则满足不等式f(x)＞0的x的取值范

围是________．解析：由题意知y＝f(x)的图象如图所示，所以满足f(x)＞0的x的取值范围是(－1,0)∪(1，＋∞)．答案：(－1,0)∪(1，＋∞)[全国卷5年真题集中演练——明规律]1.(2016·全国乙卷)若a>b>1,0<c<1，则()A．a

c<bcB．abc<bacC．alogbc<blogacD．logac<logbc解析：∵y＝xα，α∈(0,1)在(0，＋∞)上是增函数，∴当a>b>1,0<c<1时，ac>bc，选项A不正确．∵y＝xα，α∈(－1,0)在(0，＋∞)上是减函数

，∴当a>b>1,0<c<1，即－1<c－1<0时，ac－1<bc－1，即abc>bac，选项B不正确．∵a>b>1，∴lga>lgb>0，∴alga>blgb>0，∴algb>blga.又∵0<c<1，∴lgc<0.∴algc

lgb<blgclga，∴alogbc<blogac，选项C正确．同理可证logac>logbc，选项D不正确．答案：C2．(2013·新课标全国卷Ⅱ)设a＝log36，b＝log510，c＝log714，则()A．c＞b＞aB．b＞c＞aC．a＞c＞bD．a＞b＞c解析：a＝log36＝1＋l

og32，b＝log510＝1＋log52，c＝log714＝1＋log72，则只要比较log32，log52，log72的大小即可，在同一坐标系中作出函数y＝log3x，y＝log5x，y＝log7x的图象(图略)，由三个图象的相对位置关系，可知a＞b＞c，故选D.答案：D

3．(2012·新课标全国卷)当0<x≤12时，4x<logax，则a的取值范围是()A．0，22B．22，1C．(1，2)D．(2，2)解析：∵0<x≤12，∴1<4x≤2

，∴logax>4x>1，∴0<a<1，排除C、D；取a＝12，x＝12，则有412＝2，log1212＝1，显然4x<logax不成立，排除A，故选B.答案：B