【文档说明】高考数学(理数)一轮复习课件：第二章 函数的概念与基本初等函数Ⅰ 第九节 函数模型及应用 (含详解).ppt，共(31)页，381.500 KB，由MTyang资料小铺上传

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第九节函数模型及应用本节主要包括2个知识点：1.基本初等函数模型；2.两类特殊函数的模型.突破点(一)基本初等函数模型基础联通抓主干知识的“源”与“流”1.几类常见的函数模型函数模型函数解析式一次函数模型f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0)

反比例函数模型f(x)＝＋b(k，b为常数且k≠0)二次函数模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)指数函数模型f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1)对数函数模型f

(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1)幂函数模型f(x)＝axn＋b(a，b为常数，a≠0)2.三种基本初等函数模型的性质函数性质y＝ax(a>1)y＝logax(a>1)y＝xn(n>0)在(0，＋∞)上的

增减性单调单调单调递增增长速度越来越快越来越慢相对平稳图象的变化随x的增大，逐渐表现为与平行随x的增大，逐渐表现为与平行随n值变化而各有不同值的比较存在一个x0，当x>x0时，有logax<xn<ax递增递增y轴

x轴考点贯通抓高考命题的“形”与“神”二次函数模型[例1]为了保护环境，发展低碳经济，某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多

为600吨，月处理成本y(元)与月处理量x(吨)之间的函数关系可近似地表示为：y＝12x2－200x＋80000，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品的价值为100元．则该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家至少需要补贴多少元

才能使该单位不亏损？[解]设该单位每月获利为S，则S＝100x－y＝100x－12x2－200x＋80000＝－12x2＋300x－80000＝－12(x－300)2－35000，因为400≤x≤600，所以当x＝400时，S有最大值－40000.故该单位

不能获利，需要国家每月至少补贴40000元，才能不亏损．在建立二次函数模型解决实际问题中的最优问题时，一定要注意自变量的取值范围，需根据函数图象的对称轴与函数定义域在坐标系中对应区间之间的位置关系讨论求解．解决函数应用问题时，最后还要还原到实际问题．[易错提醒]

指数函数、对数函数模型[例2](1)某食品的保鲜时间y(单位：小时)与储藏温度x(单位：℃)满足函数关系y＝ekx＋b(e＝2.718„为自然对数的底数，k，b为常数)．若该食品在0℃的保鲜时间是192小时，在22℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33℃的

保鲜时间是()A．16小时B．20小时C．24小时D．28小时[解析]由已知条件得，192＝eb，∴b＝ln192.又∵48＝e22k＋b＝e22k＋ln192＝192e22k＝192(e11k)2，∴e11k＝

4819212＝1412＝12.设该食品在33℃的保鲜时间是t小时，则t＝e33k＋ln192＝192e33k＝192(e11k)3＝192×123＝24.[答案]C(2)已知一容器中

有A，B两种菌，且在任何时刻A，B两种菌的个数乘积为定值1010，为了简单起见，科学家用PA＝lgnA来记录A菌个数的资料，其中nA为A菌的个数，现有以下几种说法：①PA≥1；②若今天的PA值比昨天的PA值增加1，则今天的A菌个数比昨天的A菌个数多10

；③假设科学家将B菌的个数控制为5万，则此时5<PA<5.5(注：lg2≈0.3)．则正确的说法为________．(写出所有正确说法的序号)[解析]当nA＝1时，PA＝0，故①错误；若PA＝1，则nA＝10

，若PA＝2，则nA＝100，故②错误；B菌的个数为nB＝5×104，∴nA＝10105×104＝2×105，∴PA＝lgnA＝lg2＋5.又∵lg2≈0.3，∴5<PA<5.5，故③正确．[答案]③[方法技巧]两种函数模型

的应用技巧(1)与指数函数、对数函数两类函数模型有关的实际问题，在求解时，要先学会合理选择模型，在两类模型中，指数函数模型是增长速度越来越快(底数大于1)的一类函数模型，与增长率、银行利率有关的问题都属于指数函数模型．(2)在解决指数函数、对数函数模型

问题时，一般需要先通过待定系数法确定函数解析式，再借助函数的图象求解最值问题，必要时可借助导数．能力练通抓应用体验的“得”与“失”1．[考点一]用长度为24的材料设计一场地，场地为矩形，且中间用该材料加两道隔墙，要使矩形的面积最

大，则隔墙的长度为()A．3B．4C．6D．12解析：隔墙的长为x(0<x<6)，矩形面积为y，则y＝x×24－4x2＝2x(6－x)＝－2(x－3)2＋18，∴当x＝3时，y最大．答案：A2．[考点二]某地为了抑制一种有害昆虫的繁殖，引入了一种以该昆虫为食物

的特殊动物，已知该动物的繁殖数量y(只)与引入时间x(年)的关系为y＝alog2(x＋1)，若该动物在引入一年后的数量为100只，则到第7年年底它们将发展到()A．300只B．400只C．600只D．700只解析：将x＝

1，y＝100代入y＝alog2(x＋1)得，100＝alog2(1＋1)，解得a＝100，所以x＝7时，y＝100log2(7＋1)＝300.答案：A3．[考点二]燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬，研究燕子的专家发现，两岁燕子的飞

行速度可以表示为v＝5log2q10(m/s)，其中q表示燕子的耗氧量，则燕子静止时的耗氧量为________个单位．当一只两岁燕子的耗氧量为80个单位时，其速度是________m/s.解析：由题意，燕子静止时v＝0，即

5log2q10＝0，解得q＝10；当q＝80时，v＝5log28010＝15(m/s)．答案：10154．[考点二]调查表明，酒后驾驶是导致交通事故的主要原因，交通法规规定，驾驶员在驾驶机动车时血液中酒精

含量不得超过0.2mg/mL.某人喝酒后，其血液中酒精含量将上升到3mg/mL，在停止喝酒后，血液中酒精含量以每小时50%的速度减少，则至少经过________小时他才可以驾驶机动车．(精确到小时)解析：设n小时

后他才可以驾驶机动车，由题意得3(1－0.5)n≤0.2，即2n≥15，解得n≥log215，故至少经过4小时他才可以驾驶机动车．答案：45．[考点一]A，B两城相距100km，在两城之间距A城x(km

)处建一核电站给A，B两城供电，为保证城市安全，核电站距城市距离不得小于10km.已知供电费用等于供电距离(km)的平方与供电量(亿度)之积的0.25倍，若A城供电量为每月20亿度，B城供电量为每月10亿度．(1)求x的取值范围；(2)把月供电总费用y表示成x的函数；(3)核电站建在距A城多远

，才能使供电总费用y最少？解：(1)由题意知x的取值范围为[10,90]．(2)y＝5x2＋52(100－x)2(10≤x≤90)．(3)因为y＝5x2＋52(100－x)2＝152x2－500x＋25000＝152

x－10032＋500003，所以当x＝1003时，ymin＝500003.故核电站建在距A城1003km处，能使供电总费用y最少．突破点(二)两类特殊函数的模型基础联通抓主干知识的“源”与“流”1．“y＝x＋ax”型函数模型(1)“y＝x＋a

x”型函数模型在实际问题中会经常出现．解决此类问题，关键是利用已知条件，建立函数模型，然后化简整理函数解析式，必要时通过配凑得到“y＝x＋ax”型函数模型．(2)求函数解析式要确定函数的定义域．对于y＝x＋ax(a>0，x>0)类型的函数最值问题，要特别注意定义域和基本不等式中等号成立

的条件，如果在定义域内满足等号成立，可考虑用基本不等式求最值，否则要考虑函数的单调性，此时可借用导数来研究函数的单调性．2．分段函数模型(1)实际问题中有些变量间的关系不能用同一个关系式给出，而是由几个不同的关系式构成，如出租车票价与路程之间的关系

，应构建分段函数模型求解．(2)构造分段函数时，要力求准确、简捷，做到分段合理、不重不漏．(3)分段函数的最值是各段最大值(或最小值)中的最大者(或最小者).考点贯通抓高考命题的“形”与“神”函数y＝x＋ax(a>0)模型[例1]为了在夏季降温和冬季供暖时减

少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系C(x)＝k3x＋5(0≤x≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元，

设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．(1)求k的值及f(x)的表达式；(2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值．[解](1)由已知条件得C(0)＝8，则k＝40，因此f(x)＝6x＋20C(x)＝6x＋8003x＋5(0≤x≤10)．(2

)f(x)＝6x＋10＋8003x＋5－10≥26x＋108003x＋5－10＝70(万元)，当且仅当6x＋10＝8003x＋5，即x＝5时等号成立．所以当隔热层厚度为5cm时，总费用f(x)达到最小值，最小值为70万元.分段函数模

型[例2]国庆期间，某旅行社组团去风景区旅游，若每团人数在30人或30人以下，飞机票每张收费900元；若每团人数多于30人，则给予优惠：每多1人，机票每张减少10元，直到达到规定人数75人为止．每团乘飞机，旅行社需付给航空公司包机费15

000元．(1)写出飞机票的价格关于人数的函数；(2)每团人数为多少时，旅行社可获得最大利润？[解](1)设旅行团人数为x人，由题得0<x≤75(x∈N*)，飞机票价格为y元，则y＝900，0<x≤30，900－10x－30，30<x≤75，即y＝9

00，0<x≤30，1200－10x，30<x≤75.[解]设旅行社获利S元，则S＝900x－15000，0<x≤30，x1200－10x－15000，30<x≤75，即S＝900x－15000，0<x≤30，－10x－602＋21000，3

0<x≤75.因为S＝900x－15000在区间(0,30]上为单调增函数，故当x＝30时，S取最大值12000元，又x∈(30,75]时，S＝－10(x－60)2＋21000，此时当x＝60时，取得最大值21000.故每团人数为60时，旅行社可获得最大利润.(2)每团人数为多少时，旅行社

可获得最大利润？能力练通抓应用体验的“得”与“失”1．[考点二]某医药研究所开发的一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测，服药后每毫升血液中的含药量y(微克)与时间t(小时)之间近似满足如图所示的曲线．(1)写出第一次服药后y与t之间的函数关系式y＝f(t)；(2)据进一步测定，每毫升

血液中含药量不少于0.25微克时治疗疾病有效，求服药一次后治疗疾病有效的时间．解：(1)由题图，设y＝kt，0≤t≤1，12t－a，t>1，当t＝1时，由y＝4得k＝4，由121－a＝4得a＝3.所以y＝4t，0≤t≤1，

12t－3，t>1.解：由y≥0.25得0≤t≤1，4t≥0.25或t>1，12t－3≥0.25，解得116≤t≤5.因此服药一次后治疗疾病有效的时间是5－116＝7916(小时)．(2)

据进一步测定，每毫升血液中含药量不少于0.25微克时治疗疾病有效，求服药一次后治疗疾病有效的时间．2．[考点一]某企业每年需要向自来水厂缴纳水费约4万元，为了缓解供水压力，决定安装一个可使用4年的自动污水净化设备，安装这种净水设备的成本费(单位：万元)与管线、主体装置的占地面积(单位：平方米

)成正比，比例系数约为0.2.为了保证正常用水，安装后采用净水装置净水和自来水厂供水互补的用水模式．假设在此模式下，安装后该企业每年向自来水厂缴纳的水费C(单位：万元)与安装的这种净水设备的占地面积x(单位：平方米)之间的函数关系是C(x

)＝k50x＋250(x≥0，k为常数)．记y为该企业安装这种净水设备的费用与该企业4年共将消耗的水费之和．(1)试解释C(0)的实际意义，并建立y关于x的函数关系式并化简；(2)当x为多少平方米时，y取得最小值，最小值是多少万元？解：(1)C(0)表示不安装设备时每年缴纳的水费为4万元，∵C(0

)＝k250＝4，∴k＝1000，∴y＝0.2x＋100050x＋250×4＝0.2x＋80x＋5(x≥0)．(2)y＝0.2(x＋5)＋80x＋5－1≥20.2x＋5×80x＋5－1＝7，当0.2(x＋5)＝80x＋5，即x＝15时，ymin＝

7，故当x为15平方米时，y取得最小值7万元.