【文档说明】人教版高中数学必修第二册《平面向量的线性运算》精选练习(教师版).doc，共(9)页，254.705 KB，由MTyang资料小铺上传

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人教版高中数学必修第二册《平面向量的线性运算》精选练习一、选择题1.如图，在直角梯形ABCD中，AB=2AD=2DC，E为BC边上一点，BC→=3EC→，F为AE的中点，则BF→=()A.23AB→－13AD→B.13AB→－23AD→C.－23AB→＋13AD→D.－13AB→＋23

AD→【答案解析】答案为：C；解析：BF→=BA→＋AF→=BA→＋12AE→=－AB→＋12AD→＋12AB→＋CE→=－AB→＋12AD→＋12AB→＋13CB→=－AB→＋12AD→＋14AB→＋1

6(CD→＋DA→＋AB→)=－23AB→＋13AD→.2.在△ABC中，D为△ABC所在平面内一点，且AD→=13AB→＋12AC→，则S△BCDS△ABD=()A.16B.13C.12D.23【答案解析】答案为：B；解析：由AD→=13AB→＋12AC→得点D在平行于

AB的中位线上，从而有S△ABD=12S△ABC，又S△ACD=13S△ABC，所以S△BCD=1－12－13S△ABC=16S△ABC，所以S△BCDS△ABD=13.故选B.3.已知向量a，b不共线，向量AB→=a＋3b，BC→=5a＋3b，CD→=－3a＋3b，则()A

．A，B，C三点共线B．A，B，D三点共线C．A，C，D三点共线D．B，C，D三点共线【答案解析】答案为：B；解析：因为BD→=BC→＋CD→=2a＋6b=2(a＋3b)=2AB→，所以BD→，AB→共线，又有公共点B，所以

A，B，D三点共线．故选B．4.已知a，b是不共线的向量，AB→=λa＋b，AC→=a＋μb，λ，μ∈R，则A，B，C三点共线的充要条件为()A．λ＋μ=2B．λ－μ=1C．λμ=－1D．λμ=1【答案解析】答案为：D；解析：∵A，B，C三点共线，∴AB→∥AC→，设AB→

=mAC→(m≠0)，则λa＋b=m(a＋μb)，∴λ＝m，1＝mμ，∴λμ=1，故选D．5.如图所示，下列结论正确的是()①PQ―→=32a＋32b；②PT―→=32a－b；③PS―→=32a－12b；④PR―→=32a＋b.A．①②B．③④

C．①③D．②④【答案解析】答案为：C；①根据向量的加法法则，得PQ―→=32a＋32b，故①正确；②根据向量的减法法则，得PT―→=32a－32b，故②错误；③PS―→=PQ―→＋QS―→=32a＋32b－2b=32a－12b，故③正确；④PR―

→=PQ―→＋QR―→=32a＋32b－b=32a＋12b，故④错误，故选C.6.已知点O为△ABC外接圆的圆心，且OA―→＋OB―→＋CO―→=0，则△ABC的内角A等于()A．30°B．45°C．60°D．90°【答案解析】答案为：A；由OA―→＋OB―→＋CO―

→=0得，OA―→＋OB―→=OC―→，由O为△ABC外接圆的圆心，结合向量加法的几何意义知，四边形OACB为菱形，且∠CAO=60°，故A=30°.7.如图，已知△OAB，若点C满足AC―→=2CB―

→，OC―→=λOA―→＋μOB―→(λ，μ∈R)，则1λ＋1μ=()A.13B.23C.29D.92【答案解析】答案为：D；∵OC―→=OA―→＋AC―→=OA―→＋23AB―→=OA―→＋23(OB―→－OA―→)=13OA―→＋23OB―→，∴λ

=13，μ=23，∴1λ＋1μ=3＋32=92.故选D.8.如图，在△ABC中，AN―→=13NC―→，P是BN上的一点，若AP―→=mAB―→＋29AC―→，则实数m的值为()A.13B.19C．1D．3【答案解析】

答案为：B；因为AN―→=13NC―→，所以AC―→=4AN―→.所以AP―→=mAB―→＋29AC―→=mAB―→＋89AN―→，因为B，P，N共线，所以m＋89=1，m=19.9.如图所示，在△ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N，若AB

→=mAM→，AC→=nAN→，则m＋n的值为()A.1B.2C.3D.4【答案解析】答案为：B；解析：∵O为BC的中点，∴AO→=12(AB→＋AC→)=12(mAM→＋nAN→)=m2AM→＋n2AN→，∵M，O，N三点共线

，∴m2＋n2=1，∴m＋n=2.10.在△ABC中，AB=3，AC=2，∠BAC=60°，点P是△ABC内一点(含边界)，若AP→=23AB→＋λ·AC→，则|AP→|的取值范围为()A.2，

210＋333B.2，83C.0，2133D.2，2133【答案解析】答案为：D；解析：在AB上取一点D，使得AD→=23AB→，过D作DH∥AC，交BC于H.∵AP→=

23AB→＋λAC→，且点P是△ABC内一点(含边界)，∴点P在线段DH上.当P在D点时，|AP→|取得最小值2；当P在H点时，|AP→|取得最大值，此时B，P，C三点共线，∵AP→=23AB→＋λAC→，∴λ=13，∴AP→=13AC→＋23AB→，∴AP→2=

19AC→2＋49AB→2＋49AB→·AC→=529，∴|AP→|=2133.故|AP→|的取值范围为2，2133.故选D.11.如图所示，在△ABC中，AD=DB，点F在线段CD上，设AB→=a，AC→=b，AF→=xa＋yb，则1x

＋4y＋1的最小值为()A.6＋22B.63C.6＋42D.3＋22【答案解析】答案为：D；解析：由题意知AF→=xa＋yb=2xAD→＋yAC→，因为C，F，D三点共线，所以2x＋y=1，即y=1－2x.由题图可知x＞0且x≠1.所以1x＋4y＋

1=1x＋21－x=x＋1x－x2.令f(x)=x＋1x－x2，则f′(x)=x2＋2x－1x－x22，令f′(x)=0，得x=2－1或x=－2－1(舍).当0＜x＜2－1时，f′(x)＜0，当x＞2－1且x≠1时，f′(x)＞0.所以当x=2－1时，f(x)取得极小值，亦

为最小值，最小值为f(2－)=22－1－2－12=3＋22.12.在△ABC中，点D在线段BC的延长线上，且BC→=3CD→，点O在线段CD上(与点C，D不重合)，若AO→=xAB→＋(1－x)AC→，则x的取值范围是()A.0，12B．0，13C.－12，

0D．－13，0【答案解析】答案为：D.解析：设BO→=λBC→，其中1＜λ＜43，则有AO→=AB→＋BO→=AB→＋λBC→=AB→＋λ(AC→－AB→)=(1－λ)AB→＋λAC→.又A

O→=xAB→＋(1－x)AC→，且AB→，AC→不共线，于是有x=(1－λ)∈－13，0，即x的取值范围是－13，0.二、填空题13.已知△ABC和点M满足MA→＋MB→＋MC→=0，若存在实数m

使得AB→＋AC→=mAM→成立，则m=.【答案解析】答案为：3；解析：由已知条件得MB→＋MC→=－MA→，如图，延长AM交BC于D点，则D为BC的中点.延长BM交AC于E点，延长CM交AB于F点，同理可证E，F分别为AC，AB的中点，即M为△ABC的重心，∴AM→=23AD→=13(AB

→＋AC→)，即AB→＋AC→=3AM→，则m=3.14.在直角梯形ABCD中，A=90°，B=30°，AB=23，BC=2，点E在线段CD上，若AE→=AD→＋μAB→，则μ的取值范围是.【答案解析】答案为：[0,0.5]；解析：由题意可求得AD=1，CD=3，∴AB→=2DC→，∵点E在线

段CD上，∴DE→=λDC→(0≤λ≤1).∵AE→=AD→＋DE→，又AE→=AD→＋μAB→=AD→＋2μDC→=AD→＋2μλDE→，∴2μλ=1，即μ=λ2，∵0≤λ≤1，∴0≤μ≤12.即μ的取值范围是[0,0.5].15.在直角梯形ABCD中，∠A=90°，∠B=30°，AB

=23，BC=2，点E在线段CD上，若AE―→=AD―→＋μAB―→，则μ的取值范围是________．【答案解析】答案为：0，12；解析：由题意可求得AD=1，CD=3，所以AB―→=2DC―→.∵点E在线段CD上，∴DE―→=λDC―→(0≤λ≤1)．∵AE―→=AD―→＋DE―

→，又AE―→=AD―→＋μAB―→=AD―→＋2μDC―→=AD―→＋2μλDE―→，∴2μλ=1，即μ=λ2.∵0≤λ≤1，∴0≤μ≤12，即μ的取值范围是0，12.16.如图，在等腰直角三角形ABC中，点O是斜边BC的中点，过点O的直线分别交直线AB、AC于不同的两点M、N，若

AB→=mAM→，AC→=nAN→(m＞0，n＞0)，则mn的最大值为________．【答案解析】答案为：1；解析：以A为坐标原点，线段AC、AB所在直线分别为x轴、y轴建立如图所示的平面直角坐标系，设△ABC的腰长为2，则B(0,2)，C(2,0)，O(1,1)．∵AB→=mAM→，A

C→=nAN→，∴M0，2m，N2n，0，∴直线MN的方程为nx2＋my2=1，∵直线MN过点O(1,1)，∴m2＋n2=1，即m＋n=2，∴mn≤m＋n24=1，当且仅当m=

n=1时取等号，∴mn的最大值为1.三、解答题17.如图，已知△OCB中，B，C关于点A对称，OD∶DB=2∶1，DC和OA交于点E，设OA→=a，OB→=b．(1)用a和b表示向量OC→，DC→；(2)若OE→=λOA→，

求实数λ的值．【答案解析】解：(1)由题意知，A是BC的中点，且OD→=23OB→，由平行四边形法则，得OB→＋OC→=2OA→．∴OC→=2OA→－OB→=2a－b，∴DC→=OC→－OD→=(2a－b)－23b=2a－5

3b．(2)∵EC→∥DC→，EC→=OC→－OE→=(2a－b)－λa=(2－λ)a－b，DC→=2a－53b，∴2－λ2=－1－53，∴λ=45．18.已知O，A，B是不共线的三点，且OP―→=mOA―→＋nOB―→(

m，n∈R)．(1)若m＋n=1，求证：A，P，B三点共线；(2)若A，P，B三点共线，求证：m＋n=1.【答案解析】证明：(1)若m＋n=1，则OP―→=mOA―→＋(1－m)OB―→=OB―→＋m(OA―→－OB―→)，∴OP―→－OB―→=m(OA―→－OB―→)，即BP―→=mBA

―→，∴BP―→与BA―→共线．又∵BP―→与BA―→有公共点B，∴A，P，B三点共线．(2)若A，P，B三点共线，则存在实数λ，使BP―→=λBA―→，∴OP―→－OB―→=λ(OA―→－OB―→)．又OP―→=mOA―→＋nOB

―→.故有mOA―→＋(n－1)OB―→=λOA―→－λOB―→，即(m－λ)OA―→＋(n＋λ－1)OB―→=0.∵O，A，B不共线，∴OA―→，OB―→不共线，∴m－λ＝0，n＋λ－1＝0，∴m＋n=1.19.如图，在△ABO中，OC→＝14OA→，OD→＝12OB→

，AD与BC相交于点M，设OA→＝a，OB→＝b.试用a和b表示向量OM→.【答案解析】解：设OM→＝ma＋nb，则AM→＝OM→－OA→＝ma＋nb－a＝(m－1)a＋nb.AD→＝OD→－OA→＝12OB→－OA→＝－a＋12b.又∵A

、M、D三点共线，∴AM→与AD→共线．∴存在实数t，使得AM→＝tAD→，即(m－1)a＋nb＝t－a＋12b.∴(m－1)a＋nb＝－ta＋12tb.∴m－1＝－t，n＝t2，消去t，得m－1＝－2n，即m＋2n＝1.①又∵CM→＝OM→－OC→＝ma＋nb－14a＝

m－14a＋nb，CB→＝OB→－OC→＝b－14a＝－14a＋b.又∵C，M，B三点共线，∴CM→与CB→共线，∴存在实数t1，使得CM→＝t1CB→，∴m－14a＋nb＝t1－14a

＋b，∴m－14＝－14t1，n＝t1.消去t1，得4m＋n＝1.②由①②得m＝17，n＝37，∴OM→＝17a＋37b.20.若点M是△ABC所在平面内一点，且满足AM→=34AB→＋14AC→.(1)求△ABM与△ABC的面积之比；(2)若N为AB的中点，A

M与CN交于点O，设BO→=x·BM→＋yBN→，求x，y的值.【答案解析】解：(1)由AM→=34AB→＋14AC→，可知M，B，C三点共线.如图，设BM→=λBC→，则AM→=AB→＋BM→=AB→＋λBC→=AB→＋λ(AC→－AB→)=(1－λ)AB→＋λAC→，所

以λ=14，所以S△ABMS△ABC=14，即△ABM与△ABC的面积之比为1∶4.(2)由BO→=xBM→＋yBN→，得BO→=xBM→＋y2BA→，BO→=x4BC→＋yBN→，由O，M，A三点共线及O，N，C三点共线⇒x＋y2＝1，x4＋y＝1⇒x＝47，y＝67.2

1.已知向量a=cos3x2，sin3x2，b=cosx2，－sinx2，且x∈－π3，π4．(1)求a·b及|a＋b|；(2)若f(x)=a·b－|a＋b|，求f(x)

的最大值和最小值．【答案解析】解：(1)a·b=cos3x2cosx2－sin3x2sinx2=cos2x，x∈－π3，π4．∵a＋b=cos3x2＋cosx2，sin3x2－sinx2，∴|a＋b|=cos3x2＋cosx22

＋sin3x2－sinx22=2＋2cos2x=2|cosx|．∵x∈－π3，π4，∴cosx>0，∴|a＋b|=2cosx．(2)f(x)=cos2x－2cosx=2cos2x－2cosx－1=2cosx－12

2－32．∵x∈－π3，π4，∴12≤cosx≤1，∴当cosx=12时，f(x)取得最小值－32；当cosx=1时，f(x)取得最大值－1．22.给定两个长度为1的平面向量OA→和OB→，它们的夹角为2π3.如图所示，点C在以O为圆心的圆弧

AB→上运动.若OC→=xOA→＋yOB→，其中x，y∈R，求x＋y的最大值.【答案解析】解：以O为坐标原点，OA→所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，如图所示，则点A的坐标为(1,0)，点B的坐标为－12，32，设∠AOC=αα∈0，2π3，则点C

的坐标为(cosα，sinα)，由OC→=xOA→＋yOB→，得cosα＝x－12y，sinα＝32y，所以x=cosα＋33sinα，y=233sinα，所以x＋y=cosα＋3sinα=2sinα＋π6，

又α∈0，2π3，则α＋π6∈π6，5π6.所以当α＋π6=π2，即α=π3时，x＋y取得最大值2.23.在如图所示的平面直角坐标系中，已知点A(1,0)和点B(－1，0)，|OC→|=1，且∠AOC=x，其中O为坐标原点.(1)若x=34π，设点D为线段OA

上的动点，求|OC→＋OD→|的最小值；(2)若x∈[0,π2]，向量m=BC→，n=(1－cosx，sinx－2cosx)，求m·n的最小值及对应的x值.【答案解析】解:(1)设D(t,0)(0≤t≤1)，由题易知C(-22,22)，所以OC→＋OD→

=(-22+t,22)，所以|OC→＋OD→|2=12－2t＋t2＋12=t2－2t＋1=(t-22)2＋12(0≤t≤1)，所以当t=22时，|OC→＋OD→|2最小，最小值为22.(2)由题意得C(cosx，sinx)，m=BC→=(cosx＋1，sinx)，则

m·n=1－cos2x＋sin2x－2sinxcosx=1－cos2x－sin2x=1－2sin(2x＋π4).因为x∈[0,π2]，所以π4≤2x＋π4≤5π4，所以当2x＋π4=π2，即x=π8时，sin(2x＋π4)取得最大值1，所以

m·n的最小值为1－2，此时x=π8.