【文档说明】高考数学(理数)一轮复习课件：第二章 函数的概念与基本初等函数Ⅰ 第八节 函数与方程 (含详解).ppt，共(34)页，569.000 KB，由MTyang资料小铺上传

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第八节函数与方程本节主要包括2个知识点：1.函数的零点问题；2.函数零点的应用问题.突破点(一)函数的零点问题基础联通抓主干知识的“源”与“流”1.函数的零点(1)函数零点的定义对于函数y＝f(x)，我们把使的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．(2)几个等价关系方程f(x)＝0有实数根⇔函数y

＝f(x)的图象与有交点⇔函数y＝f(x)有．f(x)＝0x轴零点(3)函数零点的判定(零点存在性定理)如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有_________，那么，函数y＝f(x)在区间______内

有零点，即存在c∈(a，b)，使得，这个__也就是方程f(x)＝0的根．f(a)·f(b)<0(a，b)f(c)＝0c2．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与零点的关系Δ＝b2－4acΔ>0Δ＝0Δ<0

二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与x轴的交点__________________无零点个数________(x1,0)(x1,0)，(x2,0)210考点贯通抓高考命题的“形”与“神”函数零点所在区间的判断判断函数零点(方程的根)所在区间的方法(1)解方

程法：当对应方程易解时，可通过解方程确定方程是否有根落在给定区间上．(2)定理法：利用零点存在性定理进行判断．(3)数形结合法：画出相应的函数图象，通过观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断，或者转化为两个函数图象在给定区

间上是否有交点来判断．[例1](1)(2016·赣中南五校联考)在下列区间中，函数f(x)＝x2－3x－18有零点的区间是()A．[0,1]B．[1,8]C．[－2，－1]D．[－1,0][解析]法一：∵f(1)

＝12－3×1－18＝－20<0，f(8)＝82－3×8－18＝22>0，∴f(1)·f(8)<0，又f(x)＝x2－3x－18在区间[1,8]的图象是连续的，故f(x)＝x2－3x－18在区间[1,8]上存在零点．法二：令f(x)＝0，得x2－3x－18＝0，∴(x

－6)(x＋3)＝0，得x＝6∈[1,8]，∴f(x)＝x2－3x－18在区间[1,8]上存在零点．[答案]B[解析]∵f(x)＝lnx－12x－2在(0，＋∞)上是增函数，又f(1)＝ln1－12－1＝ln1－2<0，f(2)＝ln2－

120<0，f(3)＝ln3－121>0，∴x0∈(2,3)，故选C.[答案]C(2)(2017·长沙模拟)已知函数f(x)＝lnx－12x－2的零点为x0，则x0所在的区间是()A．(0,1)B．(1,2)C

．(2,3)D．(3,4)函数的零点存在性定理只能判断函数在某个区间上的变号零点，不能判断不变号零点，而且连续函数在一个区间的端点处函数值异号是这个函数在这个区间上存在零点的充分条件，不是必要条件，所以在判断一个函数在某个区间上不存在零点时，不能完全依赖函数

的零点存在性定理，要综合函数性质进行分析判断．[易错提醒]函数零点个数的判断判断函数零点个数的方法直接法直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个不同的解就有几个零点定理法零点存在性定理：利用定理不仅要求函数的图象在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f

(a)·f(b)<0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点图象法利用图象交点的个数：画出函数f(x)的图象，函数f(x)的图象与x轴交点的个数就是函数f(x)的零点个数；将函数f(x)拆成两个函数h(x)和g

(x)的差，根据f(x)＝0⇔h(x)＝g(x)，则函数f(x)的零点个数就是函数y＝h(x)和y＝g(x)的图象的交点个数性质法利用函数性质：若能确定函数的单调性，则其零点个数不难得到；若所考查的函数是周期函数，则只需解决在一个周期内的零点的个数[例2](1)函数f(x)＝

x2＋x－2，x≤0，－1＋lnx，x>0的零点个数为()A．3B．2C．7D．0[解析](1)法一：由f(x)＝0得x≤0，x2＋x－2＝0或x>0，－1＋lnx＝0，解得x＝－2或x＝e.因此函数f(x)共有2个零点．法二：函数f(x)的图象如

图所示，由图象知函数f(x)共有2个零点．[答案]B[解析]因为函数f(x)是定义域为R的奇函数，所以f(0)＝0，即0是函数f(x)的一个零点，当x>0时，令f(x)＝ex＋x－3＝0，则ex＝－x＋3，分别

画出函数y＝ex和y＝－x＋3的图象，如图所示，两函数图象有一个交点，所以函数f(x)有一个零点，根据对称性知，当x<0时函数f(x)也有一个零点．综上所述，f(x)的零点个数为3.[答案]C(2)设函数f(x)是定义在R上的奇

函数，当x>0时，f(x)＝ex＋x－3，则f(x)的零点个数为()A．1B．2C．3D．4(1)图象法求函数零点个数的关键是正确画出函数的图象．在画函数的图象时，常利用函数的性质，如周期性、对称性等，同时还要注意函数定义域的限制

．(2)对于一般函数零点个数的判断问题，不仅要判断区间[a，b]上是否有f(a)·f(b)<0，还需考虑函数的单调性．[易错提醒]能力练通抓应用体验的“得”与“失”1．[考点一]用二分法研究函数f(x)＝x5＋8x3－1

的零点时，第一次经过计算得f(0)<0，f(0.5)>0，则其中一个零点所在的区间和第二次应计算的函数值分别为()A．(0,0.5)，f(0.125)B．(0.5,1)，f(0.875)C．(0.5,1)，f(0.75)D．(0

,0.5)，f(0.25)解析：∵f(x)＝x5＋8x3－1，f(0)<0，f(0.5)>0，∴f(0)·f(0.5)<0，∴其中一个零点所在的区间为(0，0.5)，第二次应计算的函数值应为f(0.25)，故选D.答案

：D2．[考点一]设f(x)＝lnx＋x－2，则函数f(x)的零点所在的区间为()A．(0,1)B．(1,2)C．(2,3)D．(3,4)解析：函数f(x)的零点所在的区间转化为函数g(x)＝lnx，h(x)＝－x＋2图象交点的横坐标所在的范围

．作出图象如图，可知f(x)的零点所在的区间为(1,2)．故选B.答案：B3．设f(x)是区间[－1,1]上的增函数，且f－12·f12<0，则方程f(x)＝0在区间[－1,1]内()A．可能有3个实数根B．可能有2个实数根C．有唯一的实数根D．没有实数根解析：由f

(x)在区间[－1,1]上是增函数，且f－12·f12<0，知f(x)在区间－12，12内有唯一的零点，∴方程f(x)＝0在区间[－1,1]内有唯一的实数根．答案：C[考点二]4．已知函数f(x)＝

－2，x>0，－x2＋bx＋c，x≤0，若f(0)＝－2，f(－1)＝1，则函数g(x)＝f(x)＋x的零点个数为______．解析：依题意得c＝－2，－1－b＋c＝1，由此解得b＝－4，c＝－2.由g(x)＝0得f(x)＋x＝0，该方程等

价于x>0，－2＋x＝0，①或x≤0，－x2－4x－2＋x＝0.②解①得x＝2，解②得x＝－1或x＝－2.因此，函数g(x)＝f(x)＋x的零点个数为3.答案：3[考点二]突破点(二)函数零点的应用问题

由于函数y＝fx的零点就是方程fx＝0的根，所以在研究方程的有关问题时，如比较方程根的大小、确定方程根的分布、证明根的存在性等，都可以将方程问题转化为函数问题解决.此类问题的切入点是借助函数的零点，结合函数的图象，采用数形结合思想加以解决.考

点贯通抓高考命题的“形”与“神”由函数零点存在情况或个数求参数的范围[例1](1)(2017·昆明模拟)若函数f(x)＝3ax＋1－2a在区间(－1,1)内存在一个零点，则a的取值范围是()A.15，＋∞B．(－∞，－

1)∪15，＋∞C.－1，15D．(－∞，－1)[解析]当a＝0时，f(x)＝1，与x轴无交点，不合题意，所以a≠0.函数f(x)＝3ax＋1－2a在区间(－1,1)内是单调函数，又因为f(x)

＝3ax＋1－2a在区间(－1,1)内存在一个零点，所以f(－1)·f(1)<0，即(1－5a)(a＋1)<0，解得a<－1或a>15，故选B.[答案]B(2)(2017·南昌十校联考)若函数f(x)满足f(x)＋1＝1fx＋1，当x∈[0,1]时，f(x)＝x.若在区间(－

1,1]内，g(x)＝f(x)－mx－2m有两个零点，则实数m的取值范围是()A.0，13B.0，13C.13，1D.13，1当－1<x<0时，0<x＋1<1，所以f(x＋1)＝x＋1，从而f(x)＝1fx＋1－1＝1x＋1－1

，于是f(x)＝1x＋1－1，－1<x<0，x，0≤x≤1，f(x)－mx－2m＝0⇔f(x)＝m(x＋2)，由图象可知0<m≤kAB＝13.[答案]B已知函数零点求参数的范围的常用方法(1)直接法：直接根据题

设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围．(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决．(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，作出函数的图象，然后数形结合求解．[方法技巧]利用函数零点比较大小[例2]已知函数f(x)＝2x＋x，g(x

)＝log2x＋x，h(x)＝x3＋x的零点依次为a，b，c，则a，b，c的大小关系为()A．a<b<cB．a<c<bC．a>b>cD．c>a>b[解析]f(x)＝2x＋x的零点a为函数y＝2x与y＝－x图象的交点的横坐标，由图象可知a<0，g(x)＝log2x＋x的零点b为函数y＝log

2x与y＝－x图象的交点的横坐标，由图象知b>0，令h(x)＝0，得c＝0.故选B.[答案]B能力练通抓应用体验的“得”与“失”1．[考点一]若函数f(x)＝ax＋1在区间(－1,1)上存在一个零点，则实数a的取值范围是()A．(1，＋∞)B．(－∞，1)

C．(－∞，－1)∪(1，＋∞)D．(－1,1)解析：由题意知，f(－1)·f(1)<0，即(1－a)(1＋a)<0，解得a<－1或a>1.答案：C2．函数f(x)＝2alog2x＋a·4x＋3在区间

12，1上有零点，则实数a的取值范围是()A.－∞，－12B.－∞，－32C.－∞，－34D.－32，－12解析：函数f(x)在12，1上是单调函数，又f12＝3>0，则根据零点存

在性定理，应满足f(1)＝4a＋3<0，解得a<－34.答案：C[考点一]3．已知x0是f(x)＝12x＋1x的一个零点，x1∈(－∞，x0)，x2∈(x0,0)，则()A．f(x1)<0，f(x2)<0B．f(x1)>0，f(x2)>0C．f(x1)>0，f(x2)<

0D．f(x1)<0，f(x2)>0解析：在同一坐标系下作出函数f(x)＝12x，f(x)＝－1x的图象(图略)，由图象可知当x∈(－∞，x0)时，12x>－1x；当x∈(x0,0)时，12x<－1x，所以当x1∈(－∞，x0)，x2∈(x0,

0)时，有f(x1)>0，f(x2)<0.答案：C[考点二]4．(2017·安庆模拟)已知函数f(x)＝2x，x>1，9x1－x2，x≤1.若函数g(x)＝f(x)－k仅有一个零点，则k的取

值范围是()A.43，2B．(－∞，0)∪43，＋∞C．(－∞，0)D．(－∞，0)∪43，2[考点一]解析：函数f(x)＝2x，x>1，9x1－x2，x≤1，若函数g(x)＝f(x

)－k仅有一个零点，即f(x)＝k只有一个解，在平面直角坐标系中画出y＝f(x)的图象，结合函数图象可知，方程只有一个解时，k∈(－∞，0)∪43，2，故选D.答案：D5．已知函数f(x)＝x2－1，x<1，log12x，x≥1

，若关于x的方程f(x)＝k有三个不同的实根，则实数k的取值范围是________．解析：关于x的方程f(x)＝k有三个不同的实根，等价于函数f(x)与函数y＝k的图象有三个不同的交点，作出函数的图象如图所示，由图可知实数k的取值范围是(－1,0)．答案：(－

1,0)[考点一][全国卷5年真题集中演练——明规律](2014·新课标全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝ax3－3x2＋1，若f(x)存在唯一的零点x0，且x0＞0，则a的取值范围为()A．(2，＋∞)B．(－∞，－2)C．(1，＋∞)D．(－∞

，－1)解析：由题意知f′(x)＝3ax2－6x，当a＝3时，f′(x)＝9x2－6x＝3x(3x－2)，则当x∈(－∞，0)时，f′(x)>0；x∈0，23时，f′(x)<0；x∈23，＋

∞时，f′(x)>0，注意f(0)＝1，f23＝59>0，则f(x)的大致图象如图(1)所示．不符合题意，排除A、C.图(1)当a＝－43时，f′(x)＝－4x2－6x＝－2x(2x＋3)，则

当x∈－∞，－32时，f′(x)<0，x∈－32，0时，f′(x)>0，x∈(0，＋∞)时，f′(x)<0，注意f(0)＝1，f－32＝－54，则f(x)的大致图象如图(2)所示．不符合题意，排除D.图(2)