【文档说明】高考数学(理数)一轮复习课件：第二章 函数的概念与基本初等函数Ⅰ 第四节 二次函数与幂函数 (含详解).ppt，共(38)页，666.500 KB，由MTyang资料小铺上传

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第四节二次函数与幂函数本节主要包括2个知识点：1.幂函数；2.二次函数.突破点(一)幂函数基础联通抓主干知识的“源”与“流”1.幂函数的定义形如(α∈R)的函数称为幂函数，其中x是_______，α为_____．对于幂函数，只

讨论α＝1,2,3，12，－1时的情形．2．五种幂函数的图象y＝xα自变量常数3．五种幂函数的性质函数性质y＝xy＝x2y＝x3y＝x12y＝x－1定义域RRR[0，＋∞)(－∞，0)∪(0，＋∞)值域R[0，＋

∞)R[0，＋∞)(－∞，0)∪(0，＋∞)奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性增x∈_________时，增；x∈_______________时，减增增x∈(0，＋∞)时，减；x∈________时，减[0，＋∞)(－∞，0](－∞，0)考点贯通抓高考命题的“形”与“神”幂函数的图象[例1]

幂函数y＝f(x)的图象过点(4,2)，则幂函数y＝f(x)的图象是()[解析]令f(x)＝xα，则4α＝2，∴α＝12，∴f(x)＝x12，则f(x)的图象如选项C中所示．[答案]C[方法技巧]幂函数图象的规律(1)幂函数的图象一定会出现在第一象限，一定不会出现在第四象限，至于是否出现在第二、

三象限，要看函数的奇偶性；(2)幂函数的图象最多能同时出现在两个象限内；(3)如果幂函数图象与坐标轴相交，则交点一定是原点；(4)当α为奇数时，幂函数的图象关于原点对称；当α为偶数时，幂函数的图象关于y轴对称．幂函数的性质(1)幂函数在(0，＋∞)上都有定义；(2)幂函数的图象

过定点(1,1)；(3)当α>0时，幂函数的图象都过点(1,1)和(0,0)，且在(0，＋∞)上单调递增；(4)当α<0时，幂函数的图象都过点(1,1)，且在(0，＋∞)上单调递减；(5)当α为奇数时，幂函数为奇函数；当α为偶数时，

幂函数为偶函数．[例2](1)设a＝3525，b＝2535，c＝2525，则a，b，c的大小关系是________．(2)若(a＋1)13－<(3－2a)13－，则实数a的取值范围

是________．[解析](1)∵y＝x25(x>0)为增函数，∴a>c.∵y＝25x(x∈R)为减函数，∴c>b.∴a>c>b.(2)不等式(a＋1)13－<(3－2a)13－等价于a＋1>3－2a>0或3－2a<a＋1<0或a＋1<0<3－2a.解得23<a<32或a<

－1.[答案](1)a>c>b(2)(－∞，－1)∪23，32[方法技巧]幂值大小比较的常见类型及解题策略(1)同底不同指，可以利用指数函数单调性进行比较．(2)同指不同底，可以利用幂函数单调性进行比较．(3)既不同底又不同指，常常找到一个中间值，通过比较两个幂值与中

间值的大小来判断两个幂值的大小．能力练通抓应用体验的“得”与“失”1．[考点二]已知函数f(x)＝(m2－m－1)x23＋－mm是幂函数，且x∈(0，＋∞)时，f(x)是增函数，则m的值为()A．－1B．2C．－1或2D．3解析：∵函数f(x)＝

(m2－m－1)x23＋－mm是幂函数，∴m2－m－1＝1，解得m＝－1或m＝2.又∵函数f(x)在(0，＋∞)上为增函数，∴m2＋m－3>0，∴m＝2.答案：B2．[考点一]图中C1，C2，C3为三个幂函数y＝xk在第一象限内的图象，则解析式中指数k的值依次可以是()A．－1，12，3B．－

1,3，12C.12，－1,3D.12，3，－1解析：根据幂函数图象的规律知，选A.答案：A3．[考点一、二](2017·昆明模拟)已知幂函数f(x)＝(n2＋2n－2)xn2－3n(n∈Z)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，则n的值为()A．－3B．1C．2D．1或2解析：由于f

(x)为幂函数，所以n2＋2n－2＝1，解得n＝1或n＝－3，经检验只有n＝1符合题意．答案：B4．若a＝1223，b＝1523，c＝1213，则a，b，c的大小关系是()A．a<b<cB．c<a<bC．b<c<aD．b<a<c解析：∵y＝x23(x>0)是

增函数，∴a＝1223>b＝1523.∵y＝12x是减函数，∴a＝1223<c＝1213，所以b<a<c.答案：D[考点二]5．若(a＋1)12＜(3－2a)12，则实数a的取值范围是________

．解析：易知函数y＝x12的定义域为[0，＋∞)，在定义域内为增函数，所以a＋1≥0，3－2a≥0，a＋1＜3－2a，解得－1≤a＜23.答案：－1，23[考点二]突破点(二)二次函数基础联通抓主干知识的“源”与“流”1.二次函数解析式的

三种形式(1)一般式：f(x)＝，图象的对称轴是x＝－b2a，顶点坐标是－b2a，4ac－b24a；(2)顶点式：f(x)＝，图象的对称轴是x＝m，顶点坐标是(m，n)；(3)零点式：f(x)＝，其中x1，x2是方程ax2＋bx＋c＝0的两根

，图象的对称轴是x＝x1＋x22.ax2＋bx＋c(a≠0)a(x－m)2＋n(a≠0)a(x－x1)(x－x2)(a≠0)2．二次函数的图象和性质f(x)＝ax2＋bx＋ca>0a<0图象定义域R值域

4ac－b24a，＋∞－∞，4ac－b24a奇偶性b＝0时为偶函数，b≠0时既不是奇函数也不是偶函数f(x)＝ax2＋bx＋ca>0a<0单调性在____________上单调递减，在____________上单调递增在___________上单调递

增，在_____________上单调递减最值当x＝－b2a时，ymin＝___________当x＝____时，ymax＝4ac－b24a－∞，－b2a－b2a，＋∞－∞，－b2a－b2a，＋∞－b2

a4ac－b24a考点贯通抓高考命题的“形”与“神”求二次函数的解析式[例1]已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，试确定此二次函数的解析式．[解]法一(利用一般式)：设f(x)＝ax2

＋bx＋c(a≠0)．由题意得4a＋2b＋c＝－1，a－b＋c＝－1，4ac－b24a＝8，解得a＝－4，b＝4，c＝7.∴所求二次函数为f(x)＝－4x2＋4x＋7.法二(利用顶点式)

：设f(x)＝a(x－m)2＋n.∵f(2)＝f(－1)，∴抛物线的对称轴为x＝2＋－12＝12，∴m＝12.又根据题意，函数有最大值8，∴n＝8，∴f(x)＝ax－122＋8.∵f(2)＝－1，∴a

2－122＋8＝－1，解得a＝－4，∴f(x)＝－4x－122＋8＝－4x2＋4x＋7.法三(利用零点式)：由已知f(x)＋1＝0的两根为x1＝2，x2＝－1，故可设f(x)＋1＝a(x－2)(x＋1)，即f(x)＝ax2－ax－2a－

1.又函数有最大值ymax＝8，即4a－2a－1－a24a＝8.解得a＝－4或a＝0(舍)．∴所求函数的解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7.[方法技巧]求二次函数解析式的方法根据已知条件确定二次函数解析式，一般用待定系数法，选择规律如下：二次函数的图象确定二次函数的图象，主要有以下三

个要点：从这三方面入手，能准确地判断出二次函数的图象．反之，也可以从图象中得到如上信息．[例2]下面四个图象中，有一个是函数f(x)＝13x3＋ax2＋(a2－1)x＋1(a∈R)的导函数y＝f′(x)的图象，则f(－1)＝()A.13B．－13C.53D．－13或

53[解析]∵f′(x)＝x2＋2ax＋a2－1，∴f′(x)的图象开口向上，则②④排除．若f′(x)的图象为①，此时a＝0，f(－1)＝53；若f′(x)的图象为③，此时a2－1＝0，又对称轴x＝－a＞0，∴a＝－1，∴f(－1)＝－13.故f(－1)＝－13或53.[答案]D二次函数的图象与

性质的应用考法(一)二次函数的单调性[例3]已知函数f(x)＝x2＋2ax＋3，x∈[－4,6]．(1)求实数a的取值范围，使y＝f(x)在区间[－4,6]上是单调函数；[解]由于函数f(x)的图象开口向上，对

称轴是x＝－a，所以要使f(x)在[－4,6]上是单调函数，应有－a≤－4或－a≥6，即a≤－6或a≥4.所以实数a的取值范围是(－∞，－6]∪[4，＋∞)．[解]当a＝1时，f(x)＝x2＋2x＋3，∴f(|x|

)＝x2＋2|x|＋3，此时定义域为x∈[－6,6]，且f(x)＝x2＋2x＋3，x∈0，6]，x2－2x＋3，x∈[－6，0]，∴f(|x|)的单调递增区间是(0,6]，单调递减区间是[－6，0]．(2)当a＝1时，求f(|x|)的单调区间．[

方法技巧]研究二次函数单调性的思路(1)二次函数的单调性在其图象对称轴的两侧不同，因此研究二次函数的单调性时要依据其图象的对称轴进行分类讨论．(2)若已知f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)在区间A上单调递减(单调递增)，则A⊆－∞，－b2aA⊆－b2a，＋∞，即区间A一定在函

数对称轴的左侧(右侧)．考法(二)二次函数的最值二次函数的最值问题主要有三种类型：“轴定区间定”、“轴动区间定”、“轴定区间动”．解决的关键是弄清楚对称轴与区间的关系，要结合函数图象，依据对称轴与区间的关系进行分类讨论．设f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)，则二次函数f(x

)在闭区间[m，n]上的最大值、最小值有如下的分布情况：对称轴与区间的关系m<n<－b2a，即－b2a∈(n，＋∞)m<－b2a<n，即－b2a∈(m，n)－b2a<m<n，即－b2a∈(－∞，m)图象最值f(x)max＝f(m)，f(x)min＝f(n)f(x)max＝max{f(n)，f(

m)}，f(x)min＝f－b2af(x)max＝f(n)，f(x)min＝f(m)[例4]已知函数f(x)＝－x2＋2ax＋1－a在x∈[0,1]时有最大值2，求a的值．[解]函数f(x)＝－x2＋2ax＋1－a＝－(x－a)2＋a2－a＋1，对称轴方程为x＝a.当a<0时，f

(x)max＝f(0)＝1－a，∴1－a＝2，∴a＝－1.当0≤a≤1时，f(x)max＝f(a)＝a2－a＋1，∴a2－a＋1＝2，即a2－a－1＝0，∴a＝1±52(舍去)．当a>1时，f(x)max＝f(1)＝a，∴a＝2.综上可知，a＝－1或a＝2.[易错提醒]研究二次函数的性

质时要注意二次项系数a的正负及图象对称轴的位置．求最值时，也可考虑先用导数法确定单调性再根据极值与最值关系求解．考法(三)二次函数中的恒成立问题[例5]已知函数f(x)＝x2－2ax＋5(a＞1)．若f(x)在区间(－∞，2]上是减函数，且对任意的x1，x2∈[1，a＋1]，总

有|f(x1)－f(x2)|≤4，求实数a的取值范围．[解]∵f(x)的对称轴方程为x＝a，且f(x)在区间(－∞，2]上是减函数，∴a≥2.又x＝a∈[1，a＋1]，且(a＋1)－a≤a－1，∴f(x)max＝f(1)＝6－2a，f(x)min＝f(a)＝5－a2.∵对任意的x1，x2∈

[1，a＋1]，总有|f(x1)－f(x2)|≤4，∴f(x)max－f(x)min≤4，得－1≤a≤3.又a≥2，∴2≤a≤3.故实数a的取值范围是[2,3]．[方法技巧]由不等式恒成立求参数的解题思路(1)一般有两个解题思路：一是分离

参数；二是不分离参数．(2)两种思路都是将问题归结为求函数的最值，至于用哪种方法，关键是看参数是否可分离．这两个思路的依据是：a≥f(x)⇔a≥f(x)max，a≤f(x)⇔a≤f(x)min.能力练通抓应用体验的“得”与“失”1．[考点二]已知函数f(x)＝ax2＋bx＋c，若a>b>c且

a＋b＋c＝0，则它的图象可能是()解析：由a>b>c且a＋b＋c＝0，得a>0，c<0，所以函数图象开口向上，排除A，C.又f(0)＝c<0，所以排除B.答案：D2．[考点三·考法(一)]函数f(x)＝2x2－mx＋3，当x∈

[－2，＋∞)时，f(x)是增函数，当x∈(－∞，－2]时，f(x)是减函数，则f(1)的值为()A．－3B．13C．7D．5解析：函数f(x)＝2x2－mx＋3图象的对称轴为直线x＝m4，由函数f(x)的增

减区间可知m4＝－2，∴m＝－8，即f(x)＝2x2＋8x＋3，∴f(1)＝2＋8＋3＝13.答案：B3．[考点一]二次函数的图象过点(0,1)，对称轴为x＝2，最小值为－1，则它的解析式为________________．解析：依题意可设f(x)＝a(x－2)2－1，∵图象过点(0,1)

，∴4a－1＝1，∴a＝12.∴f(x)＝12(x－2)2－1＝12x2－2x＋1.答案：f(x)＝12x2－2x＋14．[考点三·考法(二)]设函数y＝x2－2x，x∈[－2，a]，若函数的最小值为g(a)，求g(a)

．解：∵函数y＝x2－2x＝(x－1)2－1，∴对称轴为直线x＝1，当－2<a≤1时，函数在[－2，a]上单调递减，则当x＝a时，y取得最小值，即ymin＝a2－2a；当a>1时，函数在[－2,1]上单调递减，在[1，a]上单调递增

，则当x＝1时，y取得最小值，即ymin＝－1.综上，g(a)＝a2－2a，－2<a≤1，－1，a>1.5．[考点三·考法(三)]已知a是实数，函数f(x)＝2ax2＋2x－3在x∈[－1,1]上恒小于零，求实数a的取值范围．解：由题可知2ax2＋2x－3

<0在[－1,1]上恒成立．当a＝0时，适合；当a≠0时，x＝0时，有－3<0恒成立；x≠0时，a<321x－132－16，因为1x∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)，当1x＝1，即x＝1时，不等式右边取最小值12，所以a<12，且a≠0.综上，实数a的取值范围是－∞，12

.