【文档说明】高考数学(理数)一轮复习课件：第二章 函数的概念与基本初等函数Ⅰ 第五节 指数与指数函数 (含详解).ppt，共(41)页，758.500 KB，由MTyang资料小铺上传

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第五节指数与指数函数本节主要包括3个知识点：1.指数幂的运算；2.指数函数的图象及应用；3.指数函数的性质及应用.突破点(一)指数幂的运算基础联通抓主干知识的“源”与“流”1.根式(1)根式的概念若，则x叫做a的n次方根，其中n＞1且n∈N*

.式子na叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．(2)a的n次方根的表示xn＝a⇒x＝____当n为奇数且n>1时，x＝______当n为偶数且n>1时.xn＝ana±na2．有理数指数幂正分数指数幂：amn＝___(a＞0，m，n

∈N*，且n＞1)负分数指数幂：a－mn＝____＝____(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)幂的有关概念0的正分数指数幂等于__，0的负分数指数幂_______有理数指数幂的性质aras＝____(a＞0，r，s∈Q)

(ar)s＝___(a＞0，r，s∈Q)(ab)r＝____(a＞0，b＞0，r∈Q)nam1amn1nam0无意义ar＋sarsarbr考点贯通抓高考命题的“形”与“神”指数幂的运算指数幂的运算规律(1)有括号的先算括号里的，无括号的先算

指数运算．(2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数．(3)底数是负数，先确定符号，底数是小数，先化成分数，底数是带分数的，先化成假分数．(4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答．[典例

]化简下列各式：(1)2350＋2－2·21412－－(0.01)0.5；[解]原式＝1＋14×4912－110012＝1＋14×23－110＝1＋16－110＝16

15.[解](2)原式＝－52a16－b－3÷(4a23·b－3)12＝－52a－16b－3÷(2a13b－32)＝－54a12－·b32－＝－54·1ab3＝－5ab4ab2.(3)原式＝a13－b12

·a12－b13a12－b13＝a111326－－－·b115236＋＋＝1a.(2)56a13·b－2·－3a12－b－1÷4a23·b－312；(3)a23·b－112－·a12－·b136a·b5.[易错提醒](

1)分数指数幂中的指数不能随便约分，例如要将a24写成a12时必须认真考查a的取值才能决定，如(－1)24＝4－12＝1，而(－1)12＝－1无意义．(2)结果不能同时含有根式和分数指数幂，也不能既

有分母又有负分数指数幂．能力练通抓应用体验的“得”与“失”1.－27823－＋(0.002)12－－10(5－2)－1＋(2－3)0＝________.解析：原式＝－27823－＋150012－－105－2＋1＝－82723＋50012－10(5

＋2)＋1＝49＋105－105－20＋1＝－1679.答案：－16792.3a92a－3÷3a－73a13＝________.解析：原式＝(a92a32－)13÷(a73－a173)12＝(a3)13÷(a2)12＝a÷a＝1.答案：13.a43－8a13b4b23

＋23ab＋a23÷a23－－23ba×a·3a25a·3a＝________.解析：原式＝a13[a133－2b133]a132＋a13·2b13＋2b132÷a13－2b13a×a·a2312a12·a

1315＝a13(a13－2b13)×aa13－2b13×a56a16＝a13×a×a23＝a2.答案：a24．若x>0，则(2x14＋332)(2x14－332)－4x12－(x－x12)＝________.

解析：因为x>0，所以原式＝(2x14)2－(332)2－4x12－·x＋4x12－·x12＝4x124－3322－4x112－＋＋4x1122－＋＝4x12－33－4x12＋4x0＝－27＋4＝－23.答案：－235．若x12＋x12－＝3，

则x32＋x32－＋2x2＋x－2＋3的值为________．解析：由x12＋x12－＝3，得x＋x－1＋2＝9，所以x＋x－1＝7，所以x2＋x－2＋2＝49，所以x2＋x－2＝47.因为x32＋x32－＝(x12＋x12－)3－3(x12＋x1

2－)＝27－9＝18，所以原式＝18＋247＋3＝25.答案：25突破点(二)指数函数的图象及应用基础联通抓主干知识的“源”与“流”1．指数函数的图象y＝ax(a>0，且a≠1)函数0<a<1a>1图象在x轴_____，过定点____图象特征当x逐渐

增大时，图象逐渐_____当x逐渐增大时，图象逐渐_____上方(0,1)下降上升2.指数函数图象画法的三个关键点画指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0,1)，－1，1a.3．指数函数的图象与底数大小的比较如图是指数函数(1)y＝ax

，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的图象，底数a，b，c，d与1之间的大小关系为c>d>1>a>b.由此我们可得到以下规律：在y轴右(左)侧图象越高(低)，其底数越大.考点贯通抓高考命题的“形”与“神”与指数函数有关的函数图象辨析与指数函数有关的函数的图象的研

究，往往利用相应指数函数的图象，通过平移、对称、翻折变换得到其图象．[例1]函数y＝ax－1a(a>0，a≠1)的图象可能是()[解析]当a>1时函数单调递增，且函数图象过点0，1－1a，因为0<1－1a<1，故A

，B均不正确；当0<a<1时，函数单调递减，且函数恒过点0，1－1a，因为1－1a<0，所以选D.[答案]D指数函数图象的应用一些指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象数形结合求解．[例2](1)已知实数a，b满足等式

12a＝13b，下列五个关系式：①0<b<a；②a<b<0；③0<a<b；④b<a<0；⑤a＝b.其中不可能成立的关系式有()A．1个B．2个C．3个D．4个[解析]函数y1＝12x与y2＝13x的图象如图所示．由12a＝

13b得，a<b<0或0<b<a或a＝b＝0.故①②⑤可能成立，③④不可能成立．[答案]B(2)若曲线y＝|2x－1|与直线y＝b有两个公共点，则b的取值范围为________．[解析]曲线y＝|2x－1|与

直线y＝b的图象如图所示，由图象可得，如果曲线y＝|2x－1|与直线y＝b有两个公共点，则b的取值范围是(0,1)．[答案](0,1)能力练通抓应用体验的“得”与“失”1．[考点一]函数f(x)＝21－x的大致图象为()解析：∵f(x)＝

21－x＝2·2－x.∴f(x)在R上为减函数，排除C、D；又f(0)＝21＝2>1，排除B，故选A.答案：A2．[考点一]函数f(x)＝1－e|x|的图象大致是()解析：将函数解析式与图象对比分析，因

为函数f(x)＝1－e|x|是偶函数，且值域是(－∞，0]，只有A满足上述两个性质．答案：A3．[考点二]函数f(x)＝ax－b的图象如图，其中a，b为常数，则下列结论正确的是()A．a>1，b<0B．a>1，b>0C．0<a<1，b>0D

．0<a<1，b<0解析：由f(x)＝ax－b的图象可以观察出，函数f(x)＝ax－b在定义域上单调递减，所以0<a<1，函数f(x)＝ax－b的图象是在y＝ax的基础上向左平移得到的，所以b<0.答案：D4．[考点二]已知函数f(x)＝4＋ax－1的图象恒过定点P，则点P的坐

标是________．解析：令x－1＝0，则x＝1，f(1)＝5，即P点坐标是(1,5)．答案：(1,5)5．[考点二]若关于x的方程|ax－1|＝2a(a>0，且a≠1)有两个不相等的实数根，则a的取值范围是________．解析：方程|ax－1|＝2a(a>0，且a≠

1)有两个不相等的实数根转化为函数y＝|ax－1|与y＝2a有两个交点．①当0<a<1时，如图①，∴0<2a<1，即0<a<12；②当a>1时，如图②，而y＝2a>1不符合要求．∴0<a<12.答案：0，12突破点(三)指数函数的性质及应用基础联通抓主干知识的“源”与“流”指

数函数的性质y＝ax(a>0，且a≠1)函数0<a<1a>1定义域R值域(0，＋∞)单调性在R上是在R上是当x＝0时，性质函数值变化规律当x<0时，；当x>0时，当x<0时，；当x>0时，减函数增函数y＝1y>10<y<10<y<1y>1考点贯通

抓高考命题的“形”与“神”比较指数式的大小[例1](2016·全国丙卷)已知a＝243，b＝425，c＝2513，则()A．b<a<cB．a<b<cC．b<c<aD．c<a<b[解析]因为a＝243，b＝425＝245，由函数y＝2x在R上为增函数知，b<a；又因为a＝243＝423，c＝2513

＝523，由函数y＝x23在(0，＋∞)上为增函数知，a<c.综上得b<a<c.故选A.[答案]A[方法技巧]比较指数式大小的方法比较两个指数式大小时，尽量化同底或同指．(1)当底数相同，指数不同时，构造同一指数函数，然后利用指数函数

性质比较大小．(2)当指数相同，底数不同时，构造两个指数函数，利用图象比较大小．(3)当底数不同，指数也不同时，常借助1,0等中间量进行比较．解简单的指数方程或不等式[例2](1)(2017·福州模拟)已知

实数a≠1，函数f(x)＝4x，x≥0，2a－x，x<0，若f(1－a)＝f(a－1)，则a的值为________．[解析]当a<1时，41－a＝21，∴a＝12；当a>1时，代入不成立．故a的

值为12.[答案]12[解析]∵f(x)为偶函数，当x＜0时，f(x)＝f(－x)＝2－x－4.∴f(x)＝2x－4，x≥0，2－x－4，x＜0，当f(x－2)＞0时，有x－2≥0，2x－2－4＞0或x－2＜0，2－x＋2－4

＞0，解得x＞4或x＜0.∴不等式的解集为{x|x>4或x<0}．[答案]{x|x>4或x<0}(2)若偶函数f(x)满足f(x)＝2x－4(x≥0)，则不等式f(x－2)>0的解集为________．[方法技巧]解指数不等式的思路方法对

于形如ax>ab的不等式，需借助函数y＝ax的单调性求解，如果a的取值不确定，则需分a>1与0<a<1两种情况讨论；而对于形如ax>b的不等式，需先将b转化为以a为底的指数幂的形式，再借助函数y＝ax的单调性求解．与指数函数有关的复合函数问题1.与指数函数有关的复合函数的定义域、值域(1

)y＝af(x)的定义域与f(x)的定义域相同．(2)先确定f(x)的值域，再根据指数函数的值域、单调性确定函数y＝af(x)的值域．2．与指数函数有关的复合函数的单调性利用复合函数的单调性判断形如y＝af(x)的函数的单调性，它的单调区间与f(x)的单调区间有关：(1)若a>1，函数f(

x)的单调增(减)区间即函数y＝af(x)的单调增(减)区间．(2)若0<a<1，函数f(x)的单调增(减)区间即函数y＝af(x)的单调减(增)区间．3．指数函数与二次函数的复合问题一般通过换元法转化为二次函数的问题

解决，换元过程中要注意“元”的取值范围的变化．[例3]已知函数f(x)＝13243－＋axx.(1)若a＝－1，求f(x)的单调区间；[解]当a＝－1时，f(x)＝13243－－＋xx，

令g(x)＝－x2－4x＋3，由于g(x)在(－∞，－2)上单调递增，在(－2，＋∞)上单调递减，而y＝13t在R上单调递减，所以f(x)在(－∞，－2)上单调递减，在(－2，＋∞)上单调递增，即函数f(x)的单调

递增区间是(－2，＋∞)，单调递减区间是(－∞，－2)．[解]令g(x)＝ax2－4x＋3，则f(x)＝13g(x)，由于f(x)有最大值3，所以g(x)应有最小值－1，因此必有a>0，g2a

＝3a－4a＝－1，解得a＝1，即当f(x)有最大值3时，a的值等于1.(2)若f(x)有最大值3，求a的值；[解]令g(x)＝ax2－4x＋3.由指数函数的性质知，要使f(x)＝1324

3－＋axx的值域为(0，＋∞)．应使g(x)＝ax2－4x＋3的值域为R，因此只能a＝0.(因为若a≠0，则g(x)为二次函数，其值域不可能为R)．故a的值为0.(3)若f(x)的值域是(0，＋∞)，求a的值．与指数函数有关的复合函数单调区间的求解步骤(1)求复合函数的定义域；(2)弄清函数是

由哪些基本函数复合而成的；(3)分层逐一求解函数的单调性；(4)求出复合函数的单调区间(注意“同增异减”)．[方法技巧]能力练通抓应用体验的“得”与“失”1．已知a＝1223，b＝243－，c＝1213，则下列关系式中正

确的是()A．c<a<bB．b<a<cC．a<c<bD．a<b<c解析：把b化简为b＝1243，而函数y＝12x在R上为减函数，43>23>13，所以1243<1223<1213，即b<a<c.答案：B[考点一]2

．[考点三](2016·青岛模拟)函数y＝4x＋2x＋1＋1的值域为()A．(0，＋∞)B．(1，＋∞)C．[1，＋∞)D．(－∞，＋∞)解析：令2x＝t，则函数y＝4x＋2x＋1＋1可化为y＝t2＋2t＋1＝(t＋1)2(t>0)．∵函数y＝(t＋1)2在(

0，＋∞)上递增，∴y>1.∴所求值域为(1，＋∞)．故选B.答案：B3．[考点三]已知函数y＝221－＋＋xax在区间(－∞，3)内单调递增，则a的取值范围为________．解析：函数y＝221－＋＋xax是由函数y＝2t和t＝－x2＋ax＋1复合而成．因

为函数t＝－x2＋ax＋1在区间－∞，a2上单调递增，在区间a2，＋∞上单调递减，且函数y＝2t在R上单调递增，所以函数y＝221－＋＋xax在区间－∞，a2上单调递增，在区间a2，＋∞上单调递减．又因为函数y＝221－＋＋x

ax在区间(－∞，3)内单调递增，所以3≤a2，即a≥6.答案：[6，＋∞)4．[考点二]不等式22－xx＜4的解集为________．解析：∵22－xx＜4，∴22－xx＜22，∵函数y＝2x在R上为增函数，∴x2－x＜2，即x2－x－2＜0，∴－1＜x＜2，即不等式的解

集为{x|－1<x<2}．答案：{x|－1＜x＜2}5．(2017·江苏南通调研)函数f(x)＝1422－xx的值域为________．解析：令t＝x2－2x，则有y＝14t，根据

二次函数的图象可求得t≥－1，结合指数函数y＝14x的图象可得0<y≤14－1，即0<y≤4.答案：(0,4][考点三]