【文档说明】高考数学(文数)一轮复习课件 第二章 函数、导数及其应用 第九节 函数模型及其应用(含详解).ppt，共(24)页，475.500 KB，由MTyang资料小铺上传

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第九节函数模型及其应用函数模型函数解析式一次函数模型f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0)反比例函数模型f(x)＝kx＋b(k，b为常数且k≠0)1．几类函数模型函数模型函数解析式二次函数模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)指数函数

模型f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1)对数函数模型f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1)幂函数模型f(x)＝axn＋b(a，b为常数，a≠0)函数性质y＝ax(a>1)y＝logax(a>1)y＝xn(n>0)在(0，＋∞)上的增减性

单调____单调____单调递增增长速度越来越快越来越慢相对平稳图象的变化随x的增大逐渐表现为与_____平行随x的增大逐渐表现为与_____平行随n值变化而各有不同值的比较存在一个x0，当x>x0时，有logax<xn<ax递增递增y轴x轴2.三种函数模型的性质3．解函

数应用问题的4步骤(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择函数模型；(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的函数模型；(3)解模：求解函数模型，得出数学结论；(4)还原：将数学结论还原

为实际意义的问题．以上过程用框图表示如下：1．(教材习题改编)一根蜡烛长20cm，点燃后每小时燃烧5cm，燃烧时剩下的高度h(cm)与燃烧时间t(h)的函数关系用图象表示为图中的()答案：B[小题体验]2．已知某种动物繁殖量y(

只)与时间x(年)的关系为y＝alog3(x＋1)，设这种动物第2年有100只，到第8年它们发展到________只．答案：2001．函数模型应用不当，是常见的解题错误．所以要正确理解题意，选择适当的函数模型．2．要特别关注实际问题的自变量的取值范围，合理确定函数的定义域

．3．注意问题反馈．在解决函数模型后，必须验证这个数学结果对实际问题的合理性．1．甲、乙两人在一次赛跑中，从同一地点出发，路程S与时间t的函数关系如图所示，则下列说法正确的是()A．甲比乙先出发B．乙

比甲跑的路程多C．甲、乙两人的速度相同D．甲比乙先到达终点答案：D[小题纠偏]2．据调查，某自行车存车处在某星期日的存车量为4000辆次，其中变速车存车费是每辆一次0．3元，普通车存车费是每辆一次0．2元．若普通车存车量为x辆次，存车费总收入为y元，则y关于x的函数关系式是____

______．答案：y＝－0．1x＋1200(0≤x≤4000)[典例引领]考点一二次函数模型某跳水运动员在一次跳水训练时的跳水曲线为如图所示抛物线的一段．已知跳水板AB长为2m，跳水板距水面CD的高BC为3m．为安全和空中姿态优美，训练时跳水曲线应在离起跳点A处

水平距hm(h≥1)时达到距水面最大高度4m，规定：以CD为横轴，BC为纵轴建立直角坐标系．(1)当h＝1时，求跳水曲线所在的抛物线方程；(2)若跳水运动员在区域EF内入水时才能达到比较好的训练效果，求此时h的取值范围．解：由题意，最高点为(2＋h,4)，(h≥1)．设抛物线

方程为y＝a[x－(2＋h)]2＋4．(1)当h＝1时，最高点为(3,4)，方程为y＝a(x－3)2＋4．(*)将点A(2,3)代入(*)式得a＝－1．即所求抛物线的方程为y＝－x2＋6x－5．(2)

将点A(2,3)代入y＝a[x－(2＋h)]2＋4，得ah2＝－1．由题意，方程a[x－(2＋h)]2＋4＝0在区间[5,6]内有一解．令f(x)＝a[x－(2＋h)]2＋4＝－1h2[x－(2＋h)]2＋4，则f5＝－1h23－h2＋4≥0，f6＝－1h24

－h2＋4≤0.解得1≤h≤43．故达到比较好的训练效果时的h的取值范围是1，43．[由题悟法]二次函数模型问题的3个注意点(1)二次函数的最值一般利用配方法与函数的单调性解决，但一定要密切注意函数的定义域，否则极易出错；(2)确定一次函数模型时，一般是借助两个点来

确定，常用待定系数法；(3)解决函数应用问题时，最后要还原到实际问题．[即时应用]A，B两城相距100km，在两城之间距A城x(km)处建一核电站给A，B两城供电，为保证城市安全，核电站距城市距离不得小于10km．已知供电费用等于供电距离(km)的平方与供电量(亿度)之积的0．

25倍，若A城供电量为每月20亿度，B城供电量为每月10亿度．(1)求x的取值范围；(2)把月供电总费用y表示成x的函数；(3)核电站建在距A城多远，才能使供电总费用y最少？解：(1)由题意知x的取值范围为[10,90]．(2)y＝5x2＋52(100－x)2(

10≤x≤90)．(3)因为y＝5x2＋52(100－x)2＝152x2－500x＋25000＝152x－10032＋500003，所以当x＝1003时，ymin＝500003．故核电站建在距A城1003km处，能使供电总费用y最少．[典例引领]考点二函数y＝x＋

ax模型的应用为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系C(x)＝

k3x＋5(0≤x≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元，设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．(1)求k的值及f(x)的表达式；(2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值．解：(1)由已知条件得C(0)＝8，则k

＝40，因此f(x)＝6x＋20C(x)＝6x＋8003x＋5(0≤x≤10)．(2)f(x)＝6x＋10＋8003x＋5－10≥26x＋10·8003x＋5－10＝70(万元)，当且仅当6x＋10＝8003x＋5，即x＝5时等号成立．所以当隔

热层厚度为5cm时，总费用f(x)达到最小值，最小值为70万元．[由题悟法]应用函数y＝x＋ax模型的关键点(1)明确对勾函数是正比例函数f(x)＝ax与反比例函数f(x)＝bx叠加而成的．(2)解决实际问题时一般可以直接建立f(x)＝ax＋bx的模型，有时可以将所列函数关系式转化

为f(x)＝ax＋bx的形式．(3)利用模型f(x)＝ax＋bx求解最值时，要注意自变量的取值范围，及取得最值时等号成立的条件．[即时应用]“水资源与永恒发展”是2015年联合国世界水资源日主题，近年来，某企业每年需要向自来水厂所缴纳水费约4万元，为了缓解供水压力，决定安装一个可

使用4年的自动污水净化设备，安装这种净水设备的成本费(单位：万元)与管线、主体装置的占地面积(单位：平方米)成正比，比例系数约为0．2．为了保证正常用水，安装后采用净水装置净水和自来水厂供水互补的用水模式．假设在此模式下，安装后该企业每年向自来水厂缴纳

的水费C(单位：万元)与安装的这种净水设备的占地面积x(单位：平方米)之间的函数关系是C(x)＝k50x＋250(x≥0，k为常数)．记y为该企业安装这种净水设备的费用与该企业4年共将消耗的水费之和．(1)试解释C(0)的实际意义，并建立y关于x的函数

关系式并化简；(2)当x为多少平方米时，y取得最小值，最小值是多少万元？解：(1)C(0)表示不安装设备时每年缴纳的水费为4万元，∵C(0)＝k250＝4，∴k＝1000，∴y＝0．2x＋100050x＋250×4＝0．2x＋

80x＋5(x≥0)．(2)y＝0．2(x＋5)＋80x＋5－1≥20.2×80－1＝7，当x＋5＝20，即x＝15时，ymin＝7，∴当x为15平方米时，y取得最小值7万元．[典例引领](2016·四川高考)某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入．若该公司2015年全年投入研发

资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是()(参考数据：lg1．12≈0．05，lg1．3≈0．11,lg2≈0．30)A．2018年B．2019年C．2020年D．20

21年考点三指数函数与对数函数模型解析：法一：设2015年后的第n年，该公司全年投入的研发资金开始超过200万元，由130(1＋12%)n＞200，得1．12n＞2013，两边取常用对数，得n＞lg2－lg1.3lg1.12≈0.30－0.11

0.05＝195，∴n≥4，∴从2019年开始，该公司全年投入的研发资金开始超过200万元．法二：根据题意，知每年投入的研发资金增长的百分率相同，所以从2015年起，每年投入的研发资金组成一个等比数列{an}，其中，首项a1＝130，公比q

＝1＋12%＝1．12，所以an＝130×1．12n－1．由130×1．12n－1＞200，两边同时取常用对数，得n－1＞lg2－lg1.3lg1.12，又lg2－lg1.3lg1.12≈0.3－0.110.05＝3．8，则n

＞4．8，即a5开始超过200，所以2019年投入的研发资金开始超过200万元，故选B．答案：B[由题悟法]指数函数与对数函数模型的应用技巧(1)与指数函数、对数函数两类函数模型有关的实际问题，在求解时，要先学会合理选择模型，在两类模型中，指数函数模型是增长速

度越来越快(底数大于1)的一类函数模型，与增长率、银行利率有关的问题都属于指数函数模型．(2)在解决指数函数、对数函数模型问题时，一般先需要通过待定系数法确定函数解析式，再借助函数的图象求解最值问题．[即时应用]某医药研究所开发的一种新药，如果成年人按规定

的剂量服用，据监测，服药后每毫升血液中的含药量y(微克)与时间t(小时)之间近似满足如图所示的曲线．(1)写出第一次服药后y与t之间的函数关系式y＝f(t)；(2)据进一步测定，每毫升血液中含药量不少于0．25微克时治疗疾病有效，求服药一次后治疗疾病有效的时间．解：(1)由题图，设y＝

kt，0≤t≤1，12t－a，t>1，当t＝1时，由y＝4得k＝4，由121－a＝4得a＝3．所以y＝4t，0≤t≤1，12t－3，t>1.(2)由y≥0．25得0≤t≤1，4t≥0.25或

t>1，12t－3≥0.25，解得116≤t≤5．因此服药一次后治疗疾病有效的时间是5－116＝7916(小时)．板块命题点专练（三）点击此处