【文档说明】高考数学(文数)一轮复习课件 第二章 函数、导数及其应用 第三节 函数的奇偶性及周期性(含详解).ppt，共(29)页，500.500 KB，由MTyang资料小铺上传

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第三节函数的奇偶性及周期性1．函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有___________，那么函数f(x)就叫做偶函数关于____对称f(－x)＝f(x)y轴奇偶性定义图象特点奇函数如果对

于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有_____________，那么函数f(x)就叫做奇函数关于____对称f(－x)＝－f(x)原点2.函数的周期性(1)周期函数对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T

，使得当x取定义域内的任何值时，都有，那么就称函数f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．(2)最小正周期如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个，那么这个就叫做f(x)的最小正周期．f(x＋T)＝f(x)最小的正数最小正数1．下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)上单调递增的是()A．y

＝xB．y＝cosxC．y＝exD．y＝ln|x|答案：D[小题体验]2．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x>0时，f(x)＝x2＋1x，则f(－1)＝________．答案：－23．若函数f(x)是周期为5的奇函数，且满足f(1)＝1，f(2)＝2，则f(8)－f(14)＝

________．答案：－11．判断函数的奇偶性，易忽视判断函数定义域是否关于原点对称．定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件．2．判断函数f(x)的奇偶性时，必须对定义域内的每一个x，均有f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)，

而不能说存在x0使f(－x0)＝－f(x0)或f(－x0)＝f(x0)．3．分段函数奇偶性判定时，误用函数在定义域某一区间上不是奇偶函数去否定函数在整个定义域上的奇偶性．1．已知f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数，那么a

＋b的值是()A．－13B．13C．12D．－12解析：∵f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数，∴a－1＋2a＝0，∴a＝13．又f(－x)＝f(x)，∴b＝0，∴a＋b＝13．答案：B[小题纠偏]2

．下列函数中，为奇函数的是()A．y＝3x＋13xB．y＝x，x∈{0,1}C．y＝x·sinxD．y＝1，x<0，0，x＝0，－1，x>0解析：由函数奇偶性定义易知函数y＝3x＋13x和y＝x·sinx都是偶函数，排除A和C；函数y＝x，x∈{0,1}的定义域

不关于坐标原点对称，既不是奇函数又不是偶函数，排除B；由奇函数的定义知y＝1，x<0，0，x＝0，－1，x>0是奇函数，故选D．答案：D[题组练透]判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)＝1－x2＋x2－1；考点一函数奇偶性的判断解：∵由x2－1≥0，1

－x2≥0，得x＝±1，∴f(x)的定义域为{－1,1}．又f(1)＋f(－1)＝0，f(1)－f(－1)＝0，即f(x)＝±f(－x)．∴f(x)既是奇函数又是偶函数．解：(2)∵函数f(x)＝3－2x＋2x－3的定义域为32，不关于坐标原点对称，∴函数f(x)

既不是奇函数，也不是偶函数．(2)f(x)＝3－2x＋2x－3；(3)∵f(x)的定义域为R，∴f(－x)＝3－x－3x＝－(3x－3－x)＝－f(x)，所以f(x)为奇函数．(3)f(x)＝3x－3－x；解：∵由4－x2≥0，|x＋3|－3≠0，得－2≤x≤

2且x≠0．∴f(x)的定义域为[－2,0)∪(0,2]，∴f(x)＝4－x2|x＋3|－3＝4－x2x＋3－3＝4－x2x，∴f(－x)＝－f(x)，∴f(x)是奇函数．(4)f(x)＝4－x2|x＋3|－3；解：易知函数的定义域为(－

∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，又当x>0时，f(x)＝x2＋x，则当x<0时，－x>0，故f(－x)＝x2－x＝f(x)；当x<0时，f(x)＝x2－x，则当x>0时，－x<0，故f(－x)＝x2＋x＝f(x)，故原函数是偶函数．(5)(易错题)f(x)＝x2＋x，x>0，x

2－x，x<0.[谨记通法]判定函数奇偶性的3种常用方法(1)定义法(2)图象法(3)性质法①设f(x)，g(x)的定义域分别是D1，D2，那么在它们的公共定义域上：奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．②复合函数的奇偶性可概

括为“同奇则奇，一偶则偶”．[提醒](1)“性质法”中的结论是在两个函数的公共定义域内才成立的．(2)判断分段函数的奇偶性应分段分别证明f(－x)与f(x)的关系，只有对各段上的x都满足相同的关系时，才能判断其奇偶性．如“题组练透”第(5)题．[典例引领]考点二

函数的周期性设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x＋2)＝－f(x)，当x∈[0,2]时，f(x)＝2x－x2．(1)求证：f(x)是周期函数；(2)计算f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2018)．解：(1

)证明：∵f(x＋2)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)．∴f(x)是周期为4的周期函数．(2)∵f(0)＝0，f(1)＝1，f(2)＝0，f(3)＝－f(1)＝－1．又f(x)是周期为4的周期函数，∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝f(4)＋f(5)＋

f(6)＋f(7)＝„＝f(2012)＋f(2013)＋f(2014)＋f(2015)＝0．∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋„＋f(2018)＝f(2016)＋f(2017)＋f(2018)＝f(0)＋f(1)＋f(2)＝1．[由题

悟法]1．判断函数周期性的2个方法(1)定义法．(2)图象法．2．周期性3个常用结论(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a，(2)若f(x＋a)＝1fx，则T＝2a，(3)若f(x＋a)＝－1fx，则T＝2a(a>0)．[即时应用]1．若

f(x)是R上周期为5的奇函数，且满足f(1)＝1，f(2)＝2，则f(3)－f(4)等于()A．－1B．1C．－2D．2解析：由f(x)是R上周期为5的奇函数，知f(3)＝f(－2)＝－f(2)＝－

2，f(4)＝f(－1)＝－f(1)＝－1，∴f(3)－f(4)＝－1，故选A．答案：A2．已知定义在R上的函数满足f(x＋2)＝－1fx，x∈(0,2]时，f(x)＝2x－1．则f(1)＋f(2)＋f(3)＋„＋f(20

17)的值为________．解析：∵f(x＋2)＝－1fx，∴f(x＋4)＝－1fx＋2＝f(x)，∴函数y＝f(x)的周期T＝4．又x∈(0,2]时，f(x)＝2x－1，∴f(1)＝1，f(2)＝3，f(3)＝－1f1＝－1，f(4)＝－1f2

＝－13．∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋„＋f(2017)＝504[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)]＋f(504×4＋1)＝5041＋3－1－13＋1＝1345．答案：1345考点三函数性质的综合应用[锁定考向]函数的奇偶性、周期性以及

单调性是函数的三大性质，在高考中常常将它们综合在一起命制试题，其中奇偶性多与单调性相结合，而周期性常与抽象函数相结合，并以结合奇偶性求函数值为主．多以选择题、填空题形式出现．常见的命题角度有：(1)奇偶性的

应用；(2)单调性与奇偶性结合；(3)周期性与奇偶性结合；(4)单调性、奇偶性与周期性结合．[题点全练]角度一：奇偶性的应用1．(2017·福建三明模拟)函数y＝f(x)是R上的奇函数，当x<0时，f(x)＝2x，则当x>0时，f(x)＝()A．－2xB．2－xC．－2－

xD．2x解析：x>0时，－x<0，∵x<0时，f(x)＝2x，∴当x>0时，f(－x)＝2－x．∵f(x)是R上的奇函数，∴当x>0时，f(x)＝－f(－x)＝－2－x．故选C．答案：C角度二：单调性与奇偶性结合2．(2016·天津高考)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间

(－∞，0)上单调递增．若实数a满足f(2|a－1|)＞f(－2)，则a的取值范围是()A．－∞，12B．－∞，12∪32，＋∞C．12，32D．32，＋∞解析：因为f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(－∞，

0)上单调递增，所以f(－x)＝f(x)，且f(x)在(0，＋∞)上单调递减．由f(2|a－1|)＞f(－2)，f(－2)＝f(2)，可得2|a－1|＜2，即|a－1|＜12，所以12＜a＜32．答案

：C解析：因为函数f(x)是定义在R上以3为周期的偶函数，所以f(5)＝f(－1)＝f(1)，即2a－3a＋1<1，化简得(a－4)(a＋1)<0，解得－1<a<4，故选A．答案：A角度三：周期性与奇偶性结合3．已知f(x

)是定义在R上以3为周期的偶函数，若f(1)<1，f(5)＝2a－3a＋1，则实数a的取值范围是()A．(－1,4)B．(－2,1)C．(－1,2)D．(－1,0)角度四：单调性、奇偶性与周期性结合4．已知定义在R上的奇函数

f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0,2]上是增函数，则()A．f(－25)<f(11)<f(80)B．f(80)<f(11)<f(－25)C．f(11)<f(80)<f(－25)D．f(－25)<f(80)<f(11)解析：因为f(x)满

足f(x－4)＝－f(x)，所以f(x－8)＝f(x)，所以函数f(x)是以8为周期的周期函数，则f(－25)＝f(－1)，f(80)＝f(0)，f(11)＝f(3)．由f(x)是定义在R上的奇函数，且满足f(x－4)＝－f(x)，得f(11)＝f

(3)＝－f(－1)＝f(1)．因为f(x)在区间[0,2]上是增函数，f(x)在R上是奇函数，所以f(x)在区间[－2,2]上是增函数，所以f(－1)<f(0)<f(1)，即f(－25)<f(80)<f(11)．答案：D函

数性质综合应用问题的常见类型及解题策略(1)函数单调性与奇偶性结合．注意函数单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称性．(2)周期性与奇偶性结合．此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行交换，将所求函数值的自变量转化到已

知解析式的函数定义域内求解．(3)周期性、奇偶性与单调性结合．解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解．[通法在握]1．(2017·广州模拟)已知f(x)在R上是奇函数，

且满足f(x＋4)＝f(x)，当x∈(0,2)时，f(x)＝2x2，则f(7)＝()A．2B．－2C．－98D．98[演练冲关]解析：因为f(x＋4)＝f(x)，所以函数f(x)的周期T＝4，又f(x)在R上是奇函数，所以f(7)＝f(－

1)＝－f(1)＝－2．答案：B2．已知偶函数f(x)对于任意x∈R都有f(x＋1)＝－f(x)，且f(x)在区间[0,1]上是递增的，则f(－6．5)，f(－1)，f(0)的大小关系是()A．f(0)<f(－6．5)<f(－1)B．f

(－6．5)<f(0)<f(－1)C．f(－1)<f(－6．5)<f(0)D．f(－1)<f(0)<f(－6．5)解析：由f(x＋1)＝－f(x)，得f(x＋2)＝－f(x＋1)＝f(x)，∴函数f(x)的周期是2．∵函数f(x)为偶函数，∴f(－6．5

)＝f(－0．5)＝f(0．5)，f(－1)＝f(1)．∵f(x)在区间[0,1]上是单调递增的，∴f(0)<f(0．5)<f(1)，即f(0)<f(－6．5)<f(－1)．答案：A3．设f(x)是定义在R上周期为4的奇函数，若在区间[－2,0)∪(0,2]上，f(x)＝

ax＋b，－2≤x<0，ax－1，0<x≤2，则f(2018)＝________．解析：设0<x≤2，则－2≤－x<0，f(－x)＝－ax＋b．f(x)是定义在R上周期为4的奇函数，所以f(－x)＝－f(x)＝－ax＋1＝－ax＋b，所以b＝1．而f(－2)＝f(－2＋4)＝f(2)，所以

－2a＋1＝2a－1，解得a＝12，所以f(2018)＝f(2)＝2×12－1＝0．答案：0