【文档说明】高考数学(文数)一轮复习课件 第二章 函数、导数及其应用 第五节 二次函数与幂函数(含详解).ppt，共(25)页，619.000 KB，由MTyang资料小铺上传

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第五节二次函数与幂函数1．五种常见幂函数的图象与性质y＝xy＝x2y＝x3y＝xy＝x－1图象函数特征性质12y＝xy＝x2y＝x3y＝xy＝x－1定义域________________________值域_______

________________________奇偶性________________________单调性_______________________________________________________公共点____函数特征性质{y|y≥0}{

x|x≥0}{y|y≥0}{x|x≠0}{y|y≠0}奇偶奇非奇非偶奇(－∞，0)减，(0，＋∞)增增增(－∞，0)和(0，＋∞)减(1,1)增12RRRRR2．二次函数解析式的三种形式(1)一般式：f(x)＝；(2)顶点式：f(x)＝；(3)零点式：f(x)＝．3．二次函数的图

象和性质f(x)＝ax2＋bx＋ca>0a<0图象ax2＋bx＋c(a≠0)a(x－m)2＋n(a≠0)a(x－x1)(x－x2)(a≠0)f(x)＝ax2＋bx＋ca>0a<0定义域x∈R值域4ac－b24a，＋∞－∞

，4ac－b24a单调性在－∞，－b2a上递减，在－b2a，＋∞上递增在－∞，－b2a上递增，在－b2a，＋∞上递减奇偶性b＝0时为偶函数，b≠0时既不是奇函数也不是偶函数图象特点①对称轴：x＝－b2a；②顶点：

－b2a，4ac－b24a1．已知幂函数y＝f(x)的图象过点(2，2)，则函数的解析式为________________．答案：f(x)＝x12(x≥0)[小题体验]2．已知f(x)＝ax2＋bx＋

3a＋b是偶函数，且其定义域为[a－1,2a]，则y＝f(x)的值域为________．答案：1，31271．对于函数y＝ax2＋bx＋c，要认为它是二次函数，就必须满足a≠0，当题目条件中未说明a≠0时，就要讨论a＝0和a≠0两种情况．2．幂函数的图象一定会出现在第一

象限内，一定不会出现在第四象限，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性；幂函数的图象最多只能同时出现在两个象限内；如果幂函数图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．1．已知函数f(x)＝ax2＋x＋5的图象在x轴上方，则a的取值范围是______

__．答案：120，＋∞[小题纠偏]2．给出下列命题：①函数y＝2x是幂函数；②如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点；③当n<0时，幂函数y＝xn是定义域上的减函数；④二次函数y＝ax2＋bx＋c，x∈[m，n]的最值一定是4ac－b24a．其中正确的是________(填序

号)．答案：②[题组练透]1．幂函数y＝f(x)的图象过点(4,2)，则幂函数y＝f(x)的图象是()考点一幂函数的图象与性质解析：令f(x)＝xα，则4α＝2，∴α＝12，∴f(x)＝x12．答案：C2．已知幂函数f(x)＝(m2－3m＋3)xm＋1为偶函数，则

m＝()A．1B．2C．1或2D．3解析：∵幂函数f(x)＝(m2－3m＋3)xm＋1为偶函数，∴m2－3m＋3＝1，即m2－3m＋2＝0，解得m＝1或m＝2．当m＝1时，幂函数f(x)＝x2为偶函数，满足条件．当m＝2时，幂函数f(x)＝x3为奇函数，不满足条件．

故选A．答案：A3．若(a＋1)12<(3－2a)12，则实数a的取值范围是________．解析：易知函数y＝x12的定义域为[0，＋∞)，在定义域内为增函数，所以a＋1≥0，3－2a≥0，a＋1<3－2a，解得－1≤a<23．答案：－1，23[谨记通法]幂函数的指数与

图象特征的关系(1)幂函数的形式是y＝xα(α∈R)，其中只有一个参数α，因此只需一个条件即可确定其解析式．(2)若幂函数y＝xα(α∈R)是偶函数，则α必为偶数．当α是分数时，一般将其先化为根式，再判断．(3)若幂函

数y＝xα在(0，＋∞)上单调递增，则α>0，若在(0，＋∞)上单调递减，则α<0．[典例引领]考点二求二次函数的解析式已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，试确定此二次函

数的解析式．解：法一：(利用二次函数的一般式)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．由题意得4a＋2b＋c＝－1，a－b＋c＝－1，4ac－b24a＝8，解得a＝－4，b＝4，c＝7.故所求二次函数

为f(x)＝－4x2＋4x＋7．法二：(利用二次函数的顶点式)设f(x)＝a(x－m)2＋n．∵f(2)＝f(－1)，∴抛物线对称轴为x＝2＋－12＝12．∴m＝12，又根据题意函数有最大值8，∴n＝8，∴y＝f(x)＝ax－122＋8．∵f(2)＝－1，∴a

2－122＋8＝－1，解得a＝－4，∴f(x)＝－4x－122＋8＝－4x2＋4x＋7．法三：(利用两根式)由已知f(x)＋1＝0的两根为x1＝2，x2＝－1，故可设f(x)＋1＝a(x－2)(x＋1)，即f(x)＝ax

2－ax－2a－1．又函数有最大值ymax＝8，即4a－2a－1－a24a＝8．解得a＝－4或a＝0(舍去)，故所求函数解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7．[由题悟法]求二次函数解析式的方法[即时应用]已知二次函数f(x)的图象经过点(4,3)，它在x轴上截得的线段长为2，

并且对任意x∈R，都有f(2－x)＝f(2＋x)，求f(x)的解析式．解：∵f(2－x)＝f(2＋x)对x∈R恒成立，∴f(x)的对称轴为x＝2．又∵f(x)的图象被x轴截得的线段长为2，∴f(x)＝0的两根

为1和3．设f(x)的解析式为f(x)＝a(x－1)(x－3)(a≠0)．又∵f(x)的图象过点(4,3)，∴3a＝3，a＝1．∴所求f(x)的解析式为f(x)＝(x－1)(x－3)，即f(x)＝x2－4x＋3．[锁定考向]高考对二次函数图象与性质进

行单独考查的频率较低．常与一元二次方程、一元二次不等式等知识交汇命题是高考的热点，多以选择题、填空题的形式出现，考查二次函数的图象与性质的应用．常见的命题角度有：(1)二次函数的单调性问题；(2)二次函数的最值问题；(

3)二次函数中恒成立问题．考点三二次函数的图象与性质[题点全练]角度一：二次函数的单调性问题1．若函数f(x)＝x2＋a|x－2|在(0，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围是________．解析：∵f(x)＝x2＋a|x－2|，∴f(x)＝

x2＋ax－2a，x≥2，x2－ax＋2a，x<2.又∵f(x)在(0，＋∞)上单调递增，∴－a2≤2，a2≤0，解得－4≤a≤0，即实数a的取值范围是[－4,0]．答案：[－4,0]角度二：二次函数的最值问题2．已知函数f(x)＝x2－2x＋4在区间[0，m](m>0)上的最大值为

4，最小值为3，则实数m的取值范围是()A．[1,2]B．(0,1]C．(0,2]D．[1，＋∞)解析：作出函数的图象如图所示，从图中可以看出当1≤m≤2时，函数f(x)＝x2－2x＋4在区间[0，m](m>0)上的最大值为4，最小值为3．故选A．答案：A角度三：二次函数

中恒成立问题3．已知函数f(x)＝ax2－2x＋2，若对一切x∈12，2，f(x)>0都成立，则实数a的取值范围为()A．12，＋∞B．12，＋∞C．[－4，＋∞)D．(－

4，＋∞)解析：由题意得，对一切x∈12，2，f(x)>0都成立，即a>2x－2x2＝－2x2＋2x＝－21x－122＋12，而－21x－122＋12≤12，则实数a的取值范围为12，＋∞．答案：B[通法在握]1．二次函数最值问题的3种类型及解题思路

(1)类型：①对称轴、区间都是给定的；②对称轴动、区间固定；③对称轴定、区间变动．(2)思路：抓“三点一轴”，三点是指区间两个端点和中点，一轴指的是对称轴．2．由不等式恒成立求参数取值范围的2大思路及1个关键(1)思路：一是分离参数；二是不分离参数．(2)关键：两种思路都是将问题归结为

求函数的最值，至于用哪种方法，关键是看参数是否可分离．这两个思路的依据是：a≥f(x)⇔a≥f(x)max，a≤f(x)⇔a≤f(x)min．已知函数f(x)＝x2＋2ax＋2，x∈[－5,5]．(1)当a＝－1时，求函数f

(x)的最大值和最小值；(2)求实数a的取值范围，使y＝f(x)在区间[－5,5]上是单调函数．[演练冲关]解：(1)当a＝－1时，f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，x∈[－5,5]，所以当x＝1时，f(x)取得最小值1；当x＝－5时，f(x)取得最大值37

．(2)函数f(x)＝(x＋a)2＋2－a2的图象的对称轴为直线x＝－a，因为y＝f(x)在区间[－5,5]上是单调函数，所以－a≤－5或－a≥5，即a≤－5或a≥5．故a的取值范围是(－∞，－5]∪[5，＋∞)．